vorgelegt von
Dipl.−Ing. Stefan Rohrer
Mai 2003
genehmigte Dissertation zur Erlangung
Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.−Ing.)
im Fachbereich Elektrotechnik
der Universität Gesamthochschule Kassel
Digitales stochastisches Magnetfeld−Sensorarray
des akademischen Grades eines
Datum der Disputation: 9. Juli 2004
1. Gutachter: Prof. Dr.-Ing Hentschke
2. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Becker
Beisitzer: Prof. Dr. Kassing
Beisitzer: Prof. Dr. rer. nat. Hillmer
Vorwort
An dieser Stelle mo¨chte ich Danke sagen an die Personen, die mich bei der Entstehung
dieser Arbeit unterstu¨tzt haben.
An erster Stelle ist dabei Herr Prof Dr.-Ing. Siegbert Hentschke zu nennen. Er hat mich
wa¨hrend meiner Arbeit ausgezeichnet betreut und dabei viele nu¨tzliche Anregungen ge-
geben. Dank seines Einsatzes war es mo¨glich, den Sensorchip auch fertigen zu lassen.
Er hat mich auch ermuntert, diese Arbeit trotz der langen Unterbrechung durch meinen
Peru-Aufenthalt zu Ende zu bringen. Ich bin ihm dafu¨r sehr zu Dank verpflichtet.
Ebenfalls herzlichen Dank an Dr.-Ing. Norbert Reifschneider, der in seiner Dissertation
schon viele Vorabeiten geleistet hat, mir eine ausgezeichnete Design-Umgebung zur Ver-
fu¨gung gestellt hat und immer fu¨r Fragen zur Verfu¨gung stand.
Ein Dankescho¨n auch an Herrn Dipl.-Ing. Klaus Sindelar und Herrn Helmut Go¨rlitz
fu¨r ihre Unterstu¨tzung im Hard- und Software-Bereich. Mit zum Erfolg des Projekts
hat auch Herr Dipl.-Ing. Alexander Domes, der in seiner Studienarbeit eine Auswerte-
Schaltung fu¨r den Sensorchip entwickelt hat. Dr.-Ing. Andreas Herrfeld und Dipl-Ing.
Markus Andiel ist zu danken fu¨r die gute Kollegialita¨t.
Aufgrund der großzu¨gigen Teilzeitregelung bei der Firma Micronas in Freiburg wurde
diese Arbeit erst mo¨glich gemacht. Dafu¨r danke ich besonders Herrn Dipl.-Ing. Friedrich
Schmidtpott und Herrn Dr.-Ing. Ulrich Sieben.
Besonderen Dank gebu¨hrt auch der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG), die das
Projekt finanziell unterstu¨tzt hat.

Fu¨r Eva, fu¨r meine Eltern und Geschwister
und fu¨r alle meine Freunde hier in Deutschland und in Peru.

Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung 1
1.1 Magnetische Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Grundlagen 5
2.1 Bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 MAGFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Hall-MAGFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Split-Drain-MAGFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Thermisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 Generations-Rekombinations-Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.4 1/f-Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.5 Rauschen im MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.6 Rauschen im MAGFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Abha¨ngige Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4 Entscheidung zwischen zwei Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.5 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.6 Langevin-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Digitale stochastische Sensoren 23
3.1 Gekoppelte Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Ru¨ckgekoppelte Inverter ohne Stro¨me . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Ru¨ckgekoppelte Inverter mit Stromquellen . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Rauschen im gekoppelten Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Rauschen der Anfangsdifferenzspannung . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Stochastische Differentialgleichung fu¨r die
Differenzspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 MAGFET im ru¨ckgekoppelten Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Magnetfeldabha¨ngige Differenzspannungsentwicklung . . . . . . . 48
3.3.2 Magnetfeldabha¨ngiger stochastischer Kippvorgang . . . . . . . . . 52
3.3.3 Magnetfeldabha¨ngiger stochastischer Kippvorgang mit statistischer
Anfangsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I
4 Digitale Magnetfeld-Sensorarrays 61
4.1 Sensorstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Statische Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Dynamische Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Realisierter Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.1 Arbeitspunktwahl durch Precharge-Spannungen . . . . . . . . . . 67
4.3.2 Arbeitspunktwahl durch gekoppelte Kapazita¨ten . . . . . . . . . . 74
4.3.3 Rauschbehafteter Kippvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Arbeitspunkteinstellung mit Lo¨ffelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Sensorarrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.1 Layout der Sensorarrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.2 Kopplungen zwischen Array-Elementen . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Blockschaltbild des Sensor-Chips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Ergebnisse der Messungen 95
5.1 Sensitivita¨t der MAGFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 Bestimmung der Magnetfeldkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Messung digitaler Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 Verbesserung der Detektion bei schwachen Magnetfeldern . . . . . . . . . 111
5.6 Messung analoger Magnetfeldsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.7 1/f-Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.8 Metastabilita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.9 Verhalten bei tiefen und hohen Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.10 Leistungsaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 Zusammenfassung und Ausblick 121
Literaturverzeichnis 123
Lebenslauf 131
Index 131
II
Abbildungsverzeichnis
1.1 Typische Flussdichten fu¨r verschiedene Anwendungen . . . . . . . . . . . 1
1.2 Messbereiche von Magnetfeldsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Hallplatte mit negativen Ladungstra¨gern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Hallwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 n-Kanal Hall-MAGFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 n-Kanal Split-Drain-MAGFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Potentialverteilung im Split-Drain-MAGFET [70] . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 MOS-Rauschersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Binomialverteilung mit p = 0, 4 und n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 U¨bergangswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 Normalverteilung mit µ = 0, 4 und σ = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.10 Entscheidung zwischen zwei Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Signalumsetzung in stochastischen Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ru¨ckgekoppelte Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Arbeitsbereiche der einzelnen Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Fall A1 (ohne Rauschen) fu¨r typische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Fall A2 (∆V (0) 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 SPICE-Simulation von Fall A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Fall A2: Zeit tr in Abha¨ngigkeit von ∆V (0) . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.8 Fall A3 (γ 6= 0) fu¨r typische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.9 Ru¨ckgekoppelte Inverter mit Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10 Fall B2 (γ = 1, ∆V (0) = 0V) fu¨r typische Werte . . . . . . . . . . . . . . 34
3.11 Fall B3 (γ = 1, ∆I = 0A) fu¨r typische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.12 Fall B4 (γ 6= 1, ∆V (0) = 0V) fu¨r typische Werte . . . . . . . . . . . . . . 36
3.13 Fall B5 (Gleichung 3.50) fu¨r typische Werte . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.14 Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte von ∆V fu¨r µV 0 = 0V und
σV 0 = 200µV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.15 Wahrscheinlichkeitsdichte bei µV 0 = 100µV und σV 0 = 200µV . . . . . . 39
3.16 Wahrscheinlichkeitsdichte bei µV 0 = 0V, σV 0 = 200µV und ∆I = 0, 1µA . 39
3.17 Wahrscheinlichkeitsintegrale fu¨r µV 0 = 0V und σV 0 = 200µV . . . . . . . 40
3.18 Wahrscheinlichkeitsintegrale fu¨r µV 0 = 100µV und σV 0 = 200µV . . . . . 40
3.19 Wahrscheinlichkeitsintegrale fu¨r µV 0 = 0V, σV 0 = 200µV und ∆I = 0, 1µA 41
3.20 Entscheidungswahrscheinlichkeiten in Abha¨ngigkeit vom Mittelwert von
∆V (0), C1 = 100fF, tr = 2, 5ns, σV 0 = 200µV . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.21 Entscheidungswahrscheinlichkeiten in Abha¨ngigkeit vom Mittelwert von
∆V (0), C1 = 100fF, tr = 3, 5ns, σV 0 = 200µV . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.22 Referenzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III
3.23 P1(B), Pmeta(B) und P0(B) fu¨r tr=3ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.24 P1(B) und P0(B) fu¨r tr=10ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.25 Rausch-Ersatzschaltbild der Referenzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.26 Entwicklung von p(∆V,B, t) fu¨r B=0T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.27 Entwicklung von p(∆V,B, t) fu¨r B=10mT . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.28 Entwicklung von P1(B, t), P0(B, t) und Pmeta(B, t) fu¨r B=10mT . . . . . 56
3.29 P1(B) und P0(B) in Abha¨ngigkeit von B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.30 Perr(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.31 Zeit bis zum Erreichen von Pmeta = 0, 5 in Abha¨ngigkeit von C . . . . . 58
3.32 Perr,min in Abha¨ngigkeit von tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Einzelnes Element fu¨r ein Sensorarray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Unterschiedliche Precharge-Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Zeitlich verzo¨gertes Precharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Kapazita¨tsdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Gekoppelte Kondensatoren an den MAGFET-Drains . . . . . . . . . . . 66
4.6 Gekoppelte Kondensatoren an den Inverterknoten . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Realisierter Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Ansteuerung des Sensors mittels Vpreq und Vuv . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.9 a)Precharge-Phase, b)Entladungsphase I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10 c) Entladungsphase II (t1<t<t2), d) Entscheidungsphase (t>t2) . . . . . 71
4.11 SPICE-Simulation eines Kippvorgangs, Arbeitspunkteinstellung durch Vdda
und Vddb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.12 |∆Vlr2(t)| bei Vdda = 5V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.13 a) Precharge-Phase, b) Entladungsphase I . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.14 c) Entladungsphase II (t1<t<t2), d) Entscheidungsphase (t>t2) . . . . . 76
4.15 SPICE-Simulation des Kippvorgangs, Arbeitspunkteinstellung durch Vcl
und Vcr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.16 |∆Vlr2| in Abha¨ngigkeit von Vcl bei Vuv=3,0V . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.17 |∆Vlr2| in Abha¨ngigkeit von Vuv bei Vcl=2,5V . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.18 Wahrscheinlichkeitsdichte p(∆Vlr2, B, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.19 Kumulierte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.20 Wahrscheinlichkeiten P1, P0 und Pmeta fu¨r B=10mT . . . . . . . . . . . . 83
4.21 Wahrscheinlichkeiten P1 und P0 im gekippten Zustand . . . . . . . . . . 84
4.22 Fehlerwahrscheinlichkeit in Abha¨ngigkeit von B . . . . . . . . . . . . . . 86
4.23 Arbeitspunkteinstellung durch Lo¨ffelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.24 Nichtu¨berlappendes Taktsystem fu¨r die Lo¨ffelschaltung . . . . . . . . . . 87
4.25 SPICE-Simulation der Lo¨ffelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.26 MAGFET-Dimensionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.27 Schema der beidseitigen Sensoranordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.28 Teilansicht des Layouts eines MAGFET-Arrays . . . . . . . . . . . . . . 89
4.29 Komplette Layoutdarstellung einer Seite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.30 Array-Layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.31 Blockschaltbild des Chips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.32 Foto des Sensor-Chips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1 Arbeitspunktverschiebung durch ∆Vddb −∆Vddb0,5 . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Arbeitspunktverschiebung durch ∆Vcr −∆Vcr0,5 . . . . . . . . . . . . . . 97
IV
5.3 Gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit in verschiedenen Arbeitspunkten . . 100
5.4 Wahrscheinlichkeitsintegral bei Arbeitspunkteinstellung mit Vdda und Vddb,
B = ±5, 74mT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 Wahrscheinlichkeitsintegral bei Arbeitspunkteinstellung mit Vcr und Vcl,
B = ±5, 74mT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Wahrscheinlichkeitsintegral in verschiedenen Arbeitspunkten, jeweils im
Vergleich zur erwarteten Binomialverteilung, Arbeitspunkteinstellung durch
gekoppelte Kapazita¨ten, Vcl=2,1V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7 Wahrscheinlichkeitsintegral in verschiedenen Arbeitspunkten, jeweils im
Vergleich zur erwarteten Binomialverteilung, Arbeitspunkteinstellung durch
Precharge-Spannungen, Vddb=4,0V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.8 P1,1022 und P0,1022 in Abha¨ngigkeit von B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.9 Perr,1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.10 αn in Abha¨ngigkeit von n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.11 Perr in Abha¨ngigkeit von n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.12 Rechtecksignal mit f=200Hz, B=±13,2mT . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.13 n1 bei B = ±5,4mT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.14 n1 bei B = ±13,5mT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.15 n1 bei B = ±27mT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.16 n1 bei B = ±34mT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.17 Kurzer Magnetfeldpuls bei f=10MHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.18 Blockschaltbild Tiefpass und DPLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.19 Verilog Code fu¨r Tiefpass und DPLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.20 Signaldetektion mit Tiefpass und DPLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.21 Signaldetektion mit Tiefpass und DPLL - Detail . . . . . . . . . . . . . 113
5.22 Sa¨gezahn-Signal 100Hz, Spitzenwerte B = ±17mT . . . . . . . . . . . . . 115
5.23 Sa¨gezahn-Signal 1Hz, Spitzenwerte B = ±17mT . . . . . . . . . . . . . . 115
5.24 Normierte FFT mit fmag = 10Hz und B = 0, 61mT . . . . . . . . . . . . 116
5.25 50%-Metastabilita¨tsgrenze bei Raumtemperatur . . . . . . . . . . . . . . 117
5.26 Pmeta, P1 und P0, bei Vuv = 2, 1V, Vcr = 2, 5V, f=10MHz . . . . . . . . . 118
V
VI
Tabellenverzeichnis
2.1 Standardabweichung der Binomialverteilung abha¨ngig von der Zahl der
Messungen n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Vergleich der Verfahren zur Arbeitspunkteinstellung . . . . . . . . . . . . 62
4.2 ∆Vlr2 in mV zur Zeit t2 fu¨r die kT/C-Rauschspannungen . . . . . . . . . 71
4.3 η in V/T zur Zeit t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Zeit t2 in ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 ∆Vlr2n in mV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6 η/VT−1 fu¨r verschiedene Arbeitspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 Zeit t2 in ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8
q
u2n2 mit SPICE ermittelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9 G/(109s−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.10 G/(109s−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.11 λ · 103/VT−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.12 λ · 103/VT−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.13 Faktor α in T−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.14 Faktor α in T−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.15 Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r B=10mT, Arbeitspunkteinstellung durch Precharge-
Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.16 Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r B=10mT, Arbeitspunkteinstellung durch ge-
koppelte Kapazita¨ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Arbeitspunkte nebeneinander liegender Kana¨le . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r Perr=±5,47mT, Arbeitspunkt-
Einstellung durch Vdda und Vddb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r Perr = ±5, 47mT, Arbeitspunktein-
stellung durch Vcl und Vcr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Perr fu¨r B=5,47mT nach Gleichung 4.22, Arbeitspunkt-Einstellung durch
Vdda und Vddb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 Perr fu¨r B=5,47mT nach Gleichung 4.22, Arbeitspunkt-Einstellung durch
Vcl und Vcr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Messwerte fu¨r α/T−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.7 Messwerte fu¨r α/T−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.8 normierte Standardabweichung σn/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.9 α1022/T
−1, Arbeitspunkteinstellung durch Vdda und Vddb . . . . . . . . . . 104
5.10 α1022/T
−1, Arbeitspunkteinstellung durch Vcl und Vcr . . . . . . . . . . . 104
5.11 Perr bei 65
oC und 5,47mT, Arbeitspunkteinstellung mit Vcl und Vcr . . . 118
5.12 Perr bei 0
oC und 5,47mT, Arbeitspunkteinstellung mit Vcl und Vcr . . . . 118
VII
5.13 Leistungsaufnahme eines 10-fach Arrays bei Vuv = 3, 0V und VDD = 5V . 119
VIII
Kapitel 1
Einfu¨hrung
1.1 Magnetische Sensoren
Die Verwendung magnetischer Sensoren hat in den letzten Jahren stetig zugenommen.
Vor allem in den Bereichen der Datenspeicherung, der medizinischen Gera¨te und in
der Automobilindustrie werden magnetische Sensoren zunehmend eingesetzt. Zahlreiche
Forschungsprojekte auf diesem Gebiet zeigen die Wichtigkeit und Anwendbarkeit der
Magnetfeldsensorik. Es existieren inzwischen eine Vielzahl von Sensortypen, die einen
großen Bereich von Feldsta¨rken und Flussdichten abdecken ko¨nnen. Angefangen von
den niedrigsten Flussdichten beim Neuromagnetismus und den magnetischen Anomalien
u¨ber die Messung des Erdmagnetfelds und die magnetischen Speichermedien bis hin zu
den Permanentmagneten und Supraleitern wird ein Bereich von 1014 Gro¨ßenordnungen
erfasst. (Abbildung 1.1) [21].
Verschiedene Materialien und zugrundeliegende physikalische Effekte werden bei der
Konstruktion der Sensoren verwendet. Einige typische Beispiele fu¨r Sensoren und ihre
jeweiligen Messbereiche zeigt Abbildung 1.2 [72].
1.2 Ziel der Arbeit
In dieser Arbeit wird untersucht, wie digitale stochastische Magnetfeldsensoren, die in
Arrays angeordnet sind, zur Datendetektion geeignet sind. Anders als in [104] wird da-
von ausgegangen, dass ein digitales magnetisches Eingangssignal mit zwei unterschied-
lichen Magnetfeldsta¨rken vorliegt, in Ausnahmefa¨llen auch ein terna¨res. Damit erge-
ben sich andere Randbedingungen wie zum Beispiel Arbeitspunkteinstellung oder die
10 −12 10 10 10 10 10 1010 −2 0 2−4−6−8−10
Magnetische Anomalien Erdmagnetfeld Speichermedien
magnetische
Strom (1A) in Leiter Permanentmagnete
Supraleiter
Neuromagnetismus
Tesla
Abbildung 1.1: Typische Flussdichten fu¨r verschiedene Anwendungen
1
pT nT uT mT T
Magnetowiderstand
MAGFET
Hall−Platte
Magnetooptischer Sensor
SQUID
fT
Flussdichte
Magnetotransistor
Abbildung 1.2: Messbereiche von Magnetfeldsensoren
U¨bersprechproblematik. Trotzdem ko¨nnen mit dem Sensor auch analoge Magnetfelder
gemessen werden, er ist dafu¨r allerdings nicht optimal. Zur besseren Beurteilung der
Design-Randbedingungen wird in der Arbeit ein Modell fu¨r die stochastischen digita-
len Sensoren auf Basis der ru¨ckgekoppelten Inverter hergeleitet. Dieser Schaltungstyp ist
nur durch Vereinfachung analytisch zu analysieren, doch lassen sich auch mit der Verein-
fachung die wichtigsten Eigenschaften der realisierten Sensortypen erkennen. Dadurch
ergeben sich Erkenntnisse u¨ber die Einsatzgrenzen von stochastischen Sensoren.
Zur Realisierung in Hardware wurde ein Standard CMOS-Prozess mit zwei Metall-Lagen
von IMEC ausgewa¨hlt. Beim Entwurf wurde besonderes Augenmerk auf minimale Sen-
sorgro¨ße gelegt, die im Wesentlichen durch die Designrules bestimmt wurde. Auch auf die
Skalierbarkeit wurde Wert gelegt, damit die Sensorstrukturen ohne Probleme auf klei-
nere Technologien transferiert werden ko¨nnen. Ein großer Teil des Zeitaufwandes floss
deshalb in das Layout der Sensorzellen. Die minimale Breite der Sensoren wird allerdings
nicht vom eigentlichen magnetfeldsensitiven Element, dem MAGFET, bestimmt, son-
dern von den folgenden ru¨ckgekoppelten Invertern. Ein gewisser U¨berhang ergibt sich
durch zusa¨tzliche Blo¨cke wie zum Beispiel die Metastabilita¨tsdetektion, die zur genaue-
ren Analyse der Schaltung dient. Die Parameterextraktion lieferte HSPICE-Modelle, die
mit den entsprechenden, von IMEC zur Verfu¨gung gestellten Parametern simuliert wer-
den konnten. Mit den Ergebnissen dieser Simulationen wurde das Layout noch einmal
optimiert.
Auf dem realisierten Chip sind neben Einzelsensoren und Sensorarrays auch einige ein-
fache Auswerteschaltungen wie Za¨hler und Arbeitspunkteinstellung vorhanden. Zur An-
steuerung der internen Register dient ein Zweidraht-Bus.
Untersucht werden in dieser Arbeit die Empfindlichkeit der Sensoren und deren Rausch-
verhalten. Die optimalen Arbeitspunkte mit maximaler Sensorempfindlichkeit werden
ebenfalls ermittelt.
2
1.3 Aufbau der Arbeit
In Kapitel 2 werden einige grundlegende Formeln dargestellt. Die Gleichungen fu¨r ein
ru¨ckgekoppeltes Inverterpaar werden in Kapitel 3 hergeleitet. Dabei wird auch ein Modell
zur Berechnung des Rauschens und fu¨r den Einfluss eines externen Magnetfelds erstellt.
Kapitel 4 behandelt das Layout und die besonderen Randbedingungen der Sensorarrays.
In Kapitel 5 werden die Messergebnisse dokumentiert und analysiert.
3
4
Kapitel 2
Grundlagen
2.1 Bewegte Ladungen im Magnetfeld
Auf Ladungstra¨ger, die sich in einem Magnetfeld bewegen, wirkt eine Kraft. Sie ist
abha¨ngig von der Sta¨rke des Magnetfelds sowie von der Geschwindigkeit und der Ladung
der Ladungstra¨ger. Nach ihrem Entdecker wird diese Kraft Lorentz-Kraft genannt.
FL = Q(v ×B) (2.1)
Die Kraft wirkt senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor v und zur Richtung der magne-
tischen Induktion B. Wenn in einer leitenden Platte mit der Breite b und der Dicke
d ein Strom von Elektronen in Richtung x fließt, werden diese durch ein senkrecht ge-
richtetes Magnetfeld Bz in ihrer Bewegungsrichtung abgelenkt. An der einen Stirnseite
der Platte herrscht dann ein Elektronenu¨berschuss, auf der anderen ein Elektronenman-
gel. Dadurch wird ein Gegenfeld in y-Richtung aufgebaut, das eine Gegenkraft bewirkt.
Es stellt sich ein Gleichgewicht zwischen den Kra¨ften ein. Die ganze Anordnung ist im
Gleichgewicht, wenn die Lorentzkraft FLy und die Kraft durch das elektrische Feld Fel
sich gegenseitig kompensieren.
Fel =FLy (2.2)
−eEy =− evxBz (2.3)
Dadurch folgt, dass zwischen den Stirnseiten eine Spannung entsteht. Diese Spannung
wird Hall-Spannung genannt.
UH = Bzvxb (2.4)
Mit der Stromdichte der Elektronen in x-Richtung ergibt sich daraus
UH =
1
ne
jxBzb (2.5)
=RHjxBzb. (2.6)
Der Koeffizient RH wird Hall-Koeffizient genannt. Der Hall-Effekt wurde von dem ame-
rikanischen Physiker E.H. Hall (1855-1938) im Jahre 1879 entdeckt [48].
Betrachten wir die Bewegung der Ladungen etwas genauer. In einem n-dotierten Material
kann die Stromdichte durch die Boltzmann-Transportgleichungen beschrieben werden.
5
dz
x
I
x
F
el
y
B
z
b
Abbildung 2.1: Hallplatte mit negativen Ladungstra¨gern
Die zwei Anteile sind hervorgerufen durch ein elektrisches Feld E und einen Gradienten
in der Ladungstra¨gerkonzentration ∇n. Fu¨r den Fall, dass kein Magnetfeld pra¨sent ist
(B = 0) lautet die Gleichung fu¨r die Stromdichte
Jn
flflfl
B=0
= σnE + qDn∇n. (2.7)
Dabei ist E die elektische Feldsta¨rke und σn die elektrische Leitfa¨higkeit.
σn =qµnn (2.8)
µn =
vn
|E| (2.9)
vn ist dabei die durchschnittliche Elektronengeschwindigkeit. Der Diffusionskoeffizient
Dn ha¨ngt nach der Einstein-Beziehung von der Beweglichkeit der Elektronen µn ab.
Dn =
kT
q
µn (2.10)
Diese Beziehung gilt nur fu¨r nicht degenerierte Halbleiter.
Bewegen sich die Elektronen im n-Halbleiter in einem Magnetfeld der Flussdichte B, so
wirkt die Lorentzkraft auf sie und die Stromdichte ergibt sich nach [102] zu
J = q2K1E +
q3
m∗
K2(E×B) + q
4
m∗2
K3B(EB). (2.11)
K1, K2 und K3 sind die kinetischen Koeffizienten, m
∗ die effektive Masse. Fu¨r diese
Gleichung wurden einige Vereinfachungen zugrundegelegt: Stro¨me und Spannungen sind
6
niederfrequent, es gibt keine Raumladungen in der Region, Vernachla¨ssigung der Gene-
ration und Rekombination von Ladungstra¨gern, sowie keine Ladungstra¨gergradienten
und damit keine Diffusionsstro¨me.
Fu¨hrt man die effektive Leitfa¨higkeit σB und die Hall-Beweglichkeit µH sowie die Kon-
stante b ein
σB =e
2K1 (2.12)
σBµH =
e3
m∗
K2 (2.13)
b =
e4
m∗2K3, (2.14)
so verku¨rzt sich die Gleichung 2.11 zu
J = σBE + σBµH(E×B) + bB(EB). (2.15)
Diese Gleichung vereinfacht sich noch weiter, wenn wir annehmen, dass das Magnetfeld
immer senkrecht zum elektrischen Feld steht. In der Abbildung 2.1 steht das Magnetfeld
B senkrecht zu den elektrischen Feldkomponenten, die nur einen x- und einen y-Anteil
haben. Der letzte Term in Gleichung 2.15 fa¨llt weg, da das Vektorprodukt gleich Null
ist. Man erha¨lt damit die Gleichung
J = σBE + σBµH(E×B) fu¨r B ⊥ E. (2.16)
Diese Gleichung beschreibt den Einfluss eines Magnetfelds auf bewegliche Ladungstra¨ger,
wie sie in einer Hall-Platte oder einem MAGFET vorkommen. Aus dieser Gleichung la¨sst
sich noch eine weitere Beziehung ableiten und zwar den Hallwinkel ΦH , der den Winkel
zwischen dem elektrischen Feld und der Stromdichte beschreibt (Abbildung 2.2). Fu¨r
ihn gilt
tan ΦH = µHB. (2.17)
Nach [102] unterscheidet sich die effektive Leitfa¨higkeit σB, die auch Corbino-Leitfa¨higkeit
genannt wird, kaum von der elektrischen Leitfa¨higkeit σn. Sie ist anna¨hernd
σB =
σn
1 + µ2B2
(2.18)
=
qµnn
1 + µ2B2
. (2.19)
Die Hall-Beweglichkeit µH wird definiert zu
µH = −rHµ. (2.20)
Dabei ist rH der Hall-Faktor, der von der Streuung und der Anisotropie eines Many-
Valley-Halbleiters abha¨ngt. In [60] wird gezeigt, dass rH in CMOS-MAGFETs nahe bei
1 liegt. Der Hall-Koeffizient RH in stark extrinsischem Silizium ergibt sich nach [102]
anna¨hernd zu
RH =
−rH
qn
. (2.21)
7
yx
0
J

B

H
(EB)

B
E
B

H
Abbildung 2.2: Hallwinkel
Der von Klaus von Klitzing im Jahr 1980 entdeckte Quanten-Halleffekt zeigt, dass im
Gegensatz zum klassischen Verlauf (Uh ∼ 1/n) die Hall-Spannung an bestimmten Stel-
len praktisch null wird. Der spezifische Hall-Widerstand an diesen Stellen nimmt einen
ganzzahligen Bruchteil von h/e2 an.
Rh = %h =
h
e2i
(2.22)
mit h=Planck’sches Wirkungsquantum, e=Elektronenladung und i=1,2,3,. . .
Bei den in dieser Arbeit untersuchten MAGFET-Sensoren ist aufgrund der Temperatu-
ren und der Geometrien der Quanten-Halleffekt aber vernachla¨ssigbar.
2.2 MAGFET
Basierend auf dem Hall-Effekt wurden zahlreiche Halbleiter-Magnetfeldsensoren ent-
wickelt. Die wichtigsten davon sind die Hallplatte, der bipolare Magnetotransistor und
der MAGFET. Im Jahr 1966 entdeckten Gallagher und Corak, dass der Kanal eines
MOSFET als Hallplatte verwendet werden kann [41]. Daraus entwickelten sich zwei
verschiedene Typen von Halbleiterelementen, der Hall-MAGFET und der Split-Drain-
MAGFET, die im Folgenden kurz beschrieben werden.
2.2.1 Hall-MAGFET
Abbildung 2.3 zeigt den sogenannten Hall-MAGFET, bei dem entlang des Kanals auf
beiden Seiten zwei zusa¨tzliche n+-Regionen als Kontakte das Messen einer Hall-Spannung
erlauben. Wenn der MAGFET im linearen Bereich arbeitet (VD ¿ VG − Vt) ergibt sich
die Spannungsdifferenz zwischen den beiden n+-Regionen zu
VH = G
rnch
Qch
IDB⊥. (2.23)
8
G ist der geometrische Korrekturfaktor, rnch der n-Kanal-Hall-Scattering-Faktor und Qch
die Ladungsdichte im Kanal. Wird der Transistor in dieser Region betrieben, entsteht
durch den Feldeffekt eine MOS-Hallplatte in der Inversionsschicht.
Kanal
n+ n+
S
D
p
A1
A2
n+
G
Abbildung 2.3: n-Kanal Hall-MAGFET
Mit den MOSFET-Gleichungen
Qch =C
′
ox(VG − Vt) (2.24)
ID =
W
L
µchC
′
ox(VG − Vt)VD (2.25)
erha¨lt man die Hallspannung
VH = µch
W
L
GVDB⊥. (2.26)
Die strombezogene Empfindlichkeit des Hall-MAGFETs ist damit
SI =
dVH
dIH
=
rnchG
Qch
=
rnchG
C ′ox(VG − Vt)
. (2.27)
Der Betrieb im linearen Bereich beschra¨nkt den Drainstrom auf niedrige Werte, weshalb
auch die Hallspannung gering ist. Deshalb wird dieser MAGFET oft im Sa¨ttigungsbe-
reich betrieben [7, 117].
2.2.2 Split-Drain-MAGFET
Wesentlich o¨fter verwendet wird der sogenannte Dual-Drain-MAGFET oder Split-Drain-
MAGFET (Abbildung 2.4). Statt einer Drain-Region hat dieses Halbleiterelement zwei
Drain-Regionen. Ein senkrecht zur Gate-Region wirkendes Magnetfeld fu¨hrt zu einer
Stromdifferenz ∆ID(B) = IDr(B⊥)− IDl(B⊥) zwischen den beiden Drains.
Wenn die Drains dieselbe Drainspannung VDS aufweisen, ergibt sich die Stromdifferenz
zu
∆ID =
1
2
GµHch
L
W
B⊥ID. (2.28)
9
Kanal
n+ n+
p
pS
Dr
n+
G
Dl
Abbildung 2.4: n-Kanal Split-Drain-MAGFET
Dabei ist ID die Summe der beiden Drainstro¨me IDr und IDl bei einem Magnetfeld mit
der Flussdichte B = 0T, µHch die Hallbeweglichkeit der Kanalladungstra¨ger und G der
geometrische Korrekturfaktor. W ist die Breite des MAGFETs und L die La¨nge. Fu¨r
L ¿ W und einer kleinen Lu¨cke zwischen den beiden Drains ist G = 1. Abbildung 2.5
zeigt die A¨quipotentiallinien und die Stromlinien eines Split-Drain-MAGFETs. In der
Na¨he der Source ist die Ladungsdichte der Elektronen hoch und sinkt zu den beiden
Drains hin ab.
Die Empfindlichkeit eines Split-Drain-MAGFETs wird normalerweise durch seine rela-
tive Stromdifferenz bezogen auf das Magnetfeld angegeben [102].
S ′ =
flflfl∆ID
ID
1
B⊥
flflfl (2.29)
=
1
2
µHch
L
W
G (2.30)
Bei Silizium-MAGFETs liegt die Empfindlichkeit typischerweise im Bereich bis zu 0,05/T.
Im Vergleich zu Hallplatten braucht der MAGFET weniger Strom und ist daher bes-
ser fu¨r Low-Power-Anwendungen geeignet. Ein Nachteil des MAGFETs ist das starke
1/f-Rauschen, das wesentlich ho¨her ist als in Hall-Elementen. Außerdem ist die Beweg-
lichkeit der Ladungstra¨ger im Kanal etwas geringer [7].
In [70] wird die Empfindlichkeit bezogen auf den Drain-Abstand hergeleitet. Die Formel
fu¨r die Empfindlichkeit lautet darin
S =
rHµ
4
· mWG
α
·
h
1− d
‡∆W
W
·i
. (2.31)
Dabei sind m und α Konstanten, die durch Messung bestimmt werden mu¨ssen, d ist der
Drain-Degradationsfaktor, ∆W der Abstand der beiden Drains. Fu¨r einen MAGFET in
Sa¨ttigung ergibt sich damit
S =
ηVDsatrHµG
VG − Vt − VDsat ·
W
L
·
h
1− d
‡∆W
W
·i
. (2.32)
10
Abbildung 2.5: Potentialverteilung im Split-Drain-MAGFET [70]
2.3 Rauschen
2.3.1 Thermisches Rauschen
Das thermische Rauschen liegt in der statistischen Fluktuation der Elektronen im Leiter
begru¨ndet. Die Rauschleistungsdichte des thermisches Rauschens oder Johnson-Nyquist-
Rauschens betra¨gt
Svt(f) = 4kT R (fu¨r die Rauschspannung) (2.33)
Sit(f) = 4kT
1
R
(fu¨r den Rauschstrom). (2.34)
mit R als Widerstand der Rauschquelle. Die Spektraldichte des thermischen Rauschens
ist ziemlich unabha¨ngig von der Frequenz (bis zu sehr hohen Frequenzen von ca. 1013
Hz). Wegen der konstanten Rauschleistungdichte kann es durch das Modell des weißen
Rauschens angena¨hert werden.
2.3.2 Schrotrauschen
Schrotrauschen oder Schottky-Rauschen entsteht, wenn Ladungstra¨ger eine Potential-
barriere u¨berqueren. Die Spektraldichte des Schrotrauschens betra¨gt
Sis(f) = 2 q IDC . (2.35)
Dabei ist IDC der Strom durch das Bauelement und q die Elektronenladung. Das Spek-
trum ist ebenfalls weiß bis hin zu hohen Frequenzen im Bereich des Kehrwerts der Tran-
sitzeit der Ladungstra¨ger durch die Verarmungsregion. Bei Magnetotransistoren tritt an
den pn-U¨berga¨ngen dieses Rauschen auf.
11
2.3.3 Generations-Rekombinations-Rauschen
Das Generations-Rekombinations-Rauschen entsteht durch die Schwankung der freien
Ladungstra¨ger in einem Bauelement. Typischerweise wird es beschrieben durch
Sig(f) = AI
2 4τr
1 + (2pifτr)2
. (2.36)
Dabei ist τr die mittlere Lebensdauer der Ladungstra¨ger und A ein Parameter, der von
der Art des Generations-Rekombinationsprozesses abha¨ngt. Dieses Rauschen, das auch
mit Traps oder Sto¨rstellen und Defektstellen zusammenha¨ngt, sieht man ha¨ufig in GaAs-
Bauelementen und auch in den Basisregionen von bipolaren Transistoren, J-FETs und
MESFETs.
2.3.4 1/f-Rauschen
Schließlich gibt es noch das 1/f-Rauschen, dessen Herkunft immer noch diskutiert wird.
Es ist abha¨ngig vom Herstellungsprozess und ha¨ngt oft mit Kristalldefekten und Verun-
reinigungen zusammen. Zwei verschiedene Gru¨nde fu¨r das Auftreten werden diskutiert.
Die McWorther-Theorie besagt, dass SI(f) proportional zu der Trap-Dichte im Gateoxid
Nt ist und damit direkt von der Prozessqualita¨t abha¨ngt. Es ist damit auch umgekehrt
proportional zur Gatefla¨che W · L. Dies ist wohl der Hauptgrund fu¨r das 1/f-Rauschen
in GaAs-Transistoren.
Die Hooge-Theorie beschreibt in [55] und [56] das 1/f-Rauschen als Schwankung der La-
dungstra¨gerdichte. Dies korrespondiert eher mit Messungen in bipolaren Transistoren.
Aus Experimenten wurde die Spektraldichte abgeleitet.
Sif (f) ' Iγ α
N
1
fβ
(2.37)
I ist der Strom, N die Summe der Ladungstra¨ger, α ein dimensionsloser Parameter,
der sogenannte Hooge-Parameter mit Werten zwischen 2 · 10−3 und 10−9, β ' 1 ± 0, 1
(typisch) sowie γ eine Konstante zwischen 0,5 und 2. [102, 47]
Chang zeigt in [24], dass in NMOS-Transistoren das 1/f-Rauschen kaum von der Gate-
Source-Spannung abha¨ngt, ganz im Gegensatz zu den p-Kanal-Transistoren.
2.3.5 Rauschen im MOSFET
Fu¨r den MOSFET sind das thermische Rauschen des Kanals, das thermische Rau-
schen des Gatestroms und das 1/f-Rauschen die dominierenden Rauschanteile. Im MOS-
Transistor bildet sich durch die Inversion ein Kanal zwischen Source und Drain. Fließt
ein Strom durch diesen Kanal, so zeigt sich das thermische Rauschen, das auch beim
Widerstand vorhanden ist. Das Rauschen ist abha¨ngig von der Gro¨ße des Kanalwider-
stands. Die thermische Rauschleistungsdichte des Drain-Rauschstromes betra¨gt
Sidt(f) = 4kT γ gm. (2.38)
Dabei ist gm die Steilheit und γ ein Passfaktor. Er betra¨gt γ = 1 fu¨r die lineare Region,
γ = 2/3 fu¨r den Sa¨ttigungsbereich und γ ≈ 2−3 fu¨r Kurzkanaltransistoren aufgrund der
12
gDS
S
G
C
GD
i
2
dt
C
GB
i
2
gt
g
m
V
GS
C
GS
i
2
df
D
S
Abbildung 2.6: MOS-Rauschersatzschaltbild
heißen Elektronen im Kanal. Dies gilt sowohl fu¨r den NMOS- als auch fu¨r den PMOS-
Transistor. [113]
Fu¨r ho¨here Frequenzen tritt das thermische Rauschen des Gatestroms bedingt durch die
kapazitive Kopplung der Kanalladungstra¨ger auf das Gate in Erscheinung. Die Rausch-
leistungsdichte dieses Rauschens lautet
Sigt(f) = 4kT δ gG (2.39)
mit
gG =
ω2C2GS
5gDS,0V
(2.40)
und δ ≈ 2γ. [92]
Fu¨r niedrige Frequenzen wird das 1/f-Rauschen bedeutsam. Die spektrale Leistungs-
dichte des 1/f-Rauschens fu¨r den MOSFET lautet
Sidf (f) =
KI g
2
m
WL C ′2ox
1
f
. (2.41)
Dabei ist fu¨r den NMOS-Transistor KI ≈ 5×10−27C2/m2 und fu¨r den PMOS-Transistor
KI ≈ 10−28C2/m2. [99]
In Abbildung 2.6 sind die einzelnen Rauschquellen in einem Ersatzschaltbild zusammen-
gefasst. Die Rauschstro¨me dazu lautenq
i2gt =
p
Sigt∆f =
p
4kT δ gG ∆f (2.42)q
i2dt =
p
Sidt∆f =
p
4kT γ gm ∆f (2.43)q
i2df =
p
Sidf∆f =
s
KI g2m
WL C ′2ox
1
f
∆f. (2.44)
2.3.6 Rauschen im MAGFET
Messungen zeigen, dass bezu¨glich des 1/f-Rauschens eine starke Antikorrelation zwischen
den beiden Drain-Stro¨men besteht. Die spektrale Rauschleistung des Differenzsignals
∆ID ist etwas gro¨ßer als die der beiden Stro¨me IDr und IDl. [14, 117]
13
Fu¨r diese Arbeit wird fu¨r den MAGFET das normale MOSFET-Rauschmodell verwen-
det.
2.4 Wahrscheinlichkeitstheorie
Das Verhalten eines stochastischen Sensors, wie er im na¨chsten Kapitel beschrieben wird,
kann durch stochastische Prozesse beschrieben werden. Die Binomialverteilung und die
Normalverteilung dienen zur Modellierung der Kennwerte eines stochastischen Sensors.
2.4.1 Binomialverteilung
Eine Serie von Kippvorga¨ngen einer bistabilen Kippstufe kann durch die Binomialvertei-
lung beschrieben werden, wenn die einzelnen Entscheidungen voneinander unabha¨ngig
sind und die Wahrscheinlichkeit des Kippens in eine Richtung konstant bleibt. Die bei-
den mo¨glichen Kipprichtungen sollen mit ’0’ und ’1’ bezeichnet werden. Bezeichnet k
die Zahl der gemessenen Einsen bei n Messungen und ist
p1 = 1− p0 = p
die Wahrscheinlichkeit einer ’1’ bei einer Messung, so betra¨gt die Wahrscheinlichkeit
dafu¨r, dass bei n Messungen genau k Einsen auftreten
pk =
µ
n
k
¶
· pk · (1− p)n−k. (2.45)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der gemessenen Einsen kleiner oder gleich einer
Schwelle κ ist, betra¨gt damit
Pk≤κ =
k=κX
0
µ
n
k
¶
· pk · (1− p)n−k. (2.46)
Eine Binomialverteilung wird durch genau zwei Kenngro¨ßen beschrieben, na¨mlich die
Wahrscheinlichkeit p und die Anzahl der Messungen n. Ihr Mittelwert lautet
µ = np. (2.47)
Ihre Varianz ergibt sich zu
V = np(1− p). (2.48)
und daraus ergibt sich ihre Standardabweichung zu
σ =
p
np(1− p). (2.49)
Abbildung 2.7 zeigt eine Binomialverteilung mit p = 0, 4 und n = 10 und Tabelle 2.1
die Standardabweichung fu¨r verschiedene p und n.
Fu¨r eine große Zahl von Messungen kann die Binomialverteilung durch eine Normalver-
teilung mit µ = np und σ =
p
np(1− p) angena¨hert werden.
14
00,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 2 4 6 8 10
p(k
)
k
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 2 4 6 8 10
S
p(k
)
k
Abbildung 2.7: Binomialverteilung mit p = 0, 4 und n = 10
n 1 10 100 1000
p
0,10 0,300 0,948 3,000 9,48
0,30 0,458 1,449 4,582 14,49
0,50 0,500 1,581 5,000 15,81
0,70 0,458 1,449 4,582 14,49
0,90 0,200 0,948 3,000 9,48
Tabelle 2.1: Standardabweichung der Binomialverteilung abha¨ngig von der Zahl der
Messungen n
2.4.2 Abha¨ngige Binomialverteilung
Wenn aufeinanderfolgende Messungen nicht mehr voneinander unabha¨ngig sind, sondern
eine Messung vom Zustand (0 oder 1) der vorherigen Messung abha¨ngt, dann ergibt sich
eine andere Verteilung. Abbildung 2.8 zeigt die auftretenden U¨bergangswahrscheinlich-
keiten. Dabei gilt
p0|1 = 1− p1|1 (2.50)
p1|0 = 1− p0|0. (2.51)
p
0j1
p
0j0
0
1 1
0
p
1j1
p
1j0
Abbildung 2.8: U¨bergangswahrscheinlichkeiten
Der Mittelwert einer solchen Verteilung fu¨r n Messungen ergibt sich zu
µ =
1− p0|0
2− p0|0 − p1|1n. (2.52)
15
Die Varianz der abha¨ngigen Verteilung ergibt sich zu
V =
ˆ
1− p0|0
2− p0|0 − p1|1
!2ˆ
1 + p0|0 − p1|1
1− p0|0 + p1|1
!ˆ
p1|1
1− p0|0
!
n. (2.53)
und ihre Standardabweichung lautet
σ =
1− p0|0
2− p0|0 − p1|1
vuutˆ1 + p0|0 − p1|1
1− p0|0 + p1|1
!ˆ
p1|1
1− p0|0
!
n. (2.54)
Fu¨r p0|0
!
= 1 − p1|1 = 1 − p ergibt sich aus der abha¨ngigen Verteilung wieder die Bino-
mialverteilung mit ihrem Mittelwert
µbin = p · n (2.55)
und der Varianz
Vbin = p · (1− p) · n. (2.56)
Lo¨st man die Gleichungen 2.52 und 2.53 nach p0|0 und p1|1 auf, so ergibt sich fu¨r µ 6= 0, 5n
p0|0 =
5µ3 − 6µ2n− 2n2V + µ(2n2 + 5nV − w)
2(2µ− n)(µ2 − µn + nV ) (2.57)
p1|1 =
3µ3 − 5µ2n + 2µn2 + 3µnV − n2V + (µ− n)w
2(2µ− n)(µ2 − µn + nV ) (2.58)
mit
w =
p
9µ4 − 12µ3n− 4µn2V + n2V 2 + 2µ2n(2n + 5V ) (2.59)
und fu¨r µ = 0, 5n
p0|0 = p1|1 =
4V
n + 4V
. (2.60)
2.4.3 Normalverteilung
Die Normalverteilung ist kontinuierlich und wird durch ihre Parameter Mittelwert µ und
Standardabweichung σ beschrieben. Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet
ϕ(x) =
1√
2piσ
e
−1
2
‡x− µ
σ
·2
. (2.61)
Das Wahrscheinlichkeitsintegral der Normalverteilung ergibt sich zu
Φ(z) =
1√
2pi
zZ
−∞
e
−1
2
z′2
dz′ (2.62)
16
mit
z =
x− µ
σ
. (2.63)
Ebenfalls verwendet wird
Φ0(z) =
1√
2pi
zZ
0
e
−1
2
z′2
dz′ = Φ(z)− 0, 5. (2.64)
Abbildung 2.9 zeigt die Dichtefunktion und das Wahrscheinlichkeitsintegral einer Nor-
malverteilung mit µ = 0, 4 und σ = 0, 1.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f
(x)
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
F
(x)
x
Abbildung 2.9: Normalverteilung mit µ = 0, 4 und σ = 0, 1
2.4.4 Entscheidung zwischen zwei Verteilungen
Gegeben seien zwei Ereignisse A und B. Abha¨ngig von dem jeweiligen Ereignis ko¨nnen
bei einer Messung eine unterschiedliche Anzahl von Nullen und Einsen gemessen werden.
Im Falle des Ereignisses A sei die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer ’1’ gleich
pA und die einer ’0’ gleich 1 − pA, im Falle des Ereignisses B tritt die ’1’ mit einer
Wahrscheinlichkeit von pB auf, eine ’0’ mit 1 − pB. Beide resultierenden Verteilungen
seien binomialverteilt und pA > pB. Fu¨r die Entscheidung, welches Ereignis aufgetreten
ist, werden n Messungen durchgefu¨hrt. Dabei werden m Einsen gemessen.
Die Punktwahrscheinlichkeit der Verteilung A (genau k Einsen bei n Messungen) lautet
pk,n,pA =
µ
n
k
¶
· pkA · (1− pA)n−k. (2.65)
Die Punktwahrscheinlichkeit der Verteilung B lautet
pk,n,pB =
µ
n
k
¶
· pkB · (1− pB)n−k. (2.66)
Die Stelle ks, bei denen beide Verteilungen die gleiche Punktwahrscheinlichkeit haben,
berechnet sich zu‡pA
pB
·ks · ‡1− pA
1− pB
·n−ks !
= 1. (2.67)
17
Daraus folgt
ks = n ·
ln
‡1− pB
1− pA
·
ln
‡pA
pB
· 1− pB
1− pA
· . (2.68)
Man beachte, dass hier ks nicht unbedingt eine ganze Zahl ist. Um anhand der Verteilun-
gen zu entscheiden, welches der beiden Ereignisse aufgetreten ist, muss eine Schwelle s
definiert werden, wo die Entscheidungsgrenze liegt. Man entscheidet sich fu¨r das Ereignis
A, wenn die Zahl der aufgetretenen Einsen gro¨ßer gleich der Schwelle s ist.
m ≥ s (2.69)
Andernfalls entscheidet man sich fu¨r das Ereignis B. In beiden Fa¨llen besteht eine gewisse
Wahrscheinlichkeit, sich falsch entschieden zu haben. Diese beiden Irrtumswahrschein-
lichkeiten berechnen sich zu
Perr,A =
s−1X
k=0
µ
n
k
¶
· pn−kA · (1− pA)k (2.70)
Perr,B =
nX
k=s
µ
n
k
¶
· pn−kB · (1− pB)k. (2.71)
Wenn die beiden Fehlerfa¨lle mit den gleichen Kostenfaktoren versehen sind, dann lautet
die Formel fu¨r die Fehlerminimierung
Perr = Perr,A + Perr,B → minimal (2.72)
Perr =
s−1X
k=0
µ
n
k
¶
· pn−kA · (1− pA)k +
nX
k=s
µ
n
k
¶
· pn−kB · (1− pB)k (2.73)
→ minimal.. (2.74)
Die Schwelle fu¨r den minimalen Fehler wird in diesem Fall nahe bei ks liegen.
Fu¨r eine große Anzahl von Messungen geht die Binomialverteilung in die Normalver-
teilung u¨ber. Deshalb soll im Folgenden die Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r diesen Fall er-
rechnet werden. Abha¨ngig von den beiden Ereignissen A und B resultieren zwei normal-
verteilte Verteilungen mit jeweils gleicher Standardabweichung σ und den Mittelwerten
µA und µB mit µA ≥ µB. Die Differenz der Mittelwerte sei ∆µ = µA − µB. Unter der
Annahme, dass beide Ereignisse gleich oft auftreten, liegt die Entscheidungsschwelle fu¨r
die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit bei
µs =
µA + µB
2
= µB +
∆µ
2
. (2.75)
Aufgrund der Symmetrie ergibt sich dann die Fehlerwahrscheinlichkeit zu
Perr =
1√
2piσ
∞Z
µs − µB
σ
e
−1
2
z2
dz = 1− Φ
‡µs − µB
σ
·
. (2.76)
18
00,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
p(x
)
x
m B
m s
m A
m B=0,4
m A=0,7
Abbildung 2.10: Entscheidung zwischen zwei Verteilungen
Setzt man die Differenz der beiden Mittelwerte in Relation zur Standardabweichung und
definiert man
γ =
∆µ
σ
, (2.77)
so erha¨lt man fu¨r die Fehlerwahrscheinlichkeit
Perr = 1− Φ
‡γ
2
·
. (2.78)
2.4.5 Stochastische Prozesse
In diesem Abschnitt soll eine kurze Zusammenfassung u¨ber stochastische Prozesse und
deren grundlegende Gleichungen gegeben werden. [54, 2, 71]
Ein Zufallsprozess oder stochastischer Prozess ist eine Folge von Zufallsvariablen X(t)
mit einer zeitabha¨ngigen Dichtefunktion p1(x, t). Eine Realisierung eines solchen Pro-
zesses ergibt im kontinuierlichen Fall eine Trajektorie x(t) oder im diskreten Fall eine
Zahlenfolge xt1 , . . . , xti , . . ..
Normalerweise sind die Xti nicht unabha¨ngig voneinander. So wird die Wahrschein-
lichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen X zum Zeitpunkt t2 im Intervall [x2 :
x2 + dx2] liegt, wenn es zum Zeitpunkt t1 im Intervall [x1 : x1 + dx1] gelegen hat,
durch pt1t2(x1, x2)dx1dx2 beschrieben. Zur Vereinfachung schreiben wir im Folgenden
statt pt1t2(x1, x2) auch p2(x1, t1; x2, t2), ebenso fu¨r die ho¨heren Verteilungen. Fehlt eine
solche statistische Abha¨ngigkeit zwischen den Zufallsvariablen verschiedener Zeiten, so
gilt
p2(x1, t1; x2, t2) = p1(x1, t1)p1(x2, t2). (2.79)
Definiert man den Scharmittelwert zur Zeit ti als
µi = E{Xti} =
Z
xp1(x, ti)dx, (2.80)
19
so lautet die Kovarianzmatrix
E{(Xt1 − µ1)(Xt2 − µ2)} =
Z
(x1 − µ1)(x2 − µ2)p2(x1, t1; x2, t2)dx1dx2 = 0. (2.81)
Die Zufallsvariablen sind also zeitlich unkorreliert. Wenn dann zusa¨tzlich die Dichtever-
teilung stationa¨r ist, also p(x, t) ≡ p(x), und bezeichnet p1(x) die Dichte einer Normal-
verteilung, so erha¨lt man den Prozess, der auch als weißes Rauschen bezeichnet wird.
X(t) ∼ W (0, σ2) (2.82)
Dabei ist 0 der Mittelwert und σ2 die Varianz. Im Folgenden soll das weiße Rauschen
mit ξ(t) bezeichnet werden. Es ist also
E{ξ(t)} = 0 (2.83)
und fu¨r die Zwei-Zeit-Kovarianzfunktion gilt
E{ξ(t)ξ(t′)} = σ2δ(t− t′). (2.84)
Deren Fourier-Transformierte ist unabha¨ngig von der Frequenz.
F (ω) =
Z
E{ξ(t)ξ(t + τ)} eiωτ dτ = σ2 (2.85)
Wa¨ren die Werte zeitlich korreliert, so wu¨rde im stationa¨ren Fall gelten
E{ξ(t)ξ(t + τ)} = σ
2
2m
e−m|τ | . (2.86)
Dabei ist m−1 eine Zeitkonstante und die Fourier-Transformierte lautet dann
F (ω) =
σ2
ω2 + m2
. (2.87)
Um eine Schaltung zu modellieren, die aus einem metastabilen Zustand kippt, ist das
Modell des zeitlich vo¨llig unkorrelierten stochastischen Prozesses nicht geeignet. Dafu¨r
verwenden wir einen Markov-Prozess. Ein Markov-Prozess ist dadurch gekennzeichnet,
dass fu¨r seine bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt
pn(xn, tn|xn−1, tn−1; . . . ; x1, t1) = p2(xn, tn|xn−1, tn−1). (2.88)
Das heißt, dass die U¨bergangswahrscheinlichkeit nicht von der gesamten Vorgeschichte,
sondern nur vom momentanen Wert abha¨ngt. Ein Markov-Prozess ist eindeutig durch
p1(x, t) und durch p2(x2, t2|x1, t1) bzw. p2(x2, t2; x1, t1) bestimmt.
Damit gilt auch fu¨r t3 > t2 > t1 die Beziehung
p3(x3, t3; x2, t2; x1, t1) = p3(x3, t3|x2, t2; x1, t1)p2(x2, t2; x1, t1)
= p2(x3, t3|x2, t2)p2(x2, t2|x1, t1)p1(x1, t1). (2.89)
Integriert man Gleichung 2.89 u¨ber x2, so folgt
p2(x3, t3; x1, t1) =
Z
p3(x3, t3; x2, t2; x1, t1)dx2
=
Z
p2(x3, t3|x2, t2)p2(x2, t2|x1, t1)p1(x1, t1)dx2. (2.90)
20
Daraus ergibt sich die Chapman-Kolmogorov-Gleichung, eine nichtlineare Integralglei-
chung, die fu¨r jeden Markov-Prozess erfu¨llt sein muss.
p2(x3, t3|x1, t1) =
Z
p2(x3, t3|x2, t2)p2(x2, t2|x1, t1)dx2 (2.91)
Wenn man fu¨r die Kurzzeiteigenschaften der U¨bergangswahrscheinlichkeit annimmt,
dass sie einer Normalverteilung mit dem Mittelwert A(z, t) und Varianz D(z, t) ent-
spricht, dann la¨sst sich daraus mit etwas mathematischem Aufwand [54] die Fokker-
Planck-Gleichung herleiten.
∂
∂t
p2(z, t|x, t′) =
‡
− ∂
∂z
A(z, t) +
1
2
∂2
∂z2
D(z, t)
·
p2(z, t|x, t′) (2.92)
Sie ist eine Gleichung fu¨r die U¨bergangswahrscheinlichkeit p2(z, t|x, t′) als Funktion von
x und t. Die entstehenden Trajektorien sind durch eine Drift A und die Diffusion D
gekennzeichnet. Der lineare Operator
£FP = − ∂
∂z
A(z, t) +
1
2
∂2
∂z2
D(z, t) (2.93)
wird als Fokker-Planck-Operator bezeichnet.
2.4.6 Langevin-Gleichung
Ein Markov-Prozess kann durch eine stochastische Differentialgleichung beschrieben wer-
den. Ausgegangen wird dabei von einer Differenzengleichung mit stochastischer Kom-
ponente.
X(t + ∆t)−X(t) = ∆X(t) = A(X(t), t)∆t +
p
D(X(t), t)∆W (2.94)
Darin ist ∆W normalverteilt mit den Eigenschaften
E{δ(∆W − z)} = 1√
2pi∆t
e
− z
2
2∆t (2.95)
E{∆W} = 0 (2.96)
E{∆W 2} = ∆t. (2.97)
Will man den Grenzwert ∆t → 0 bilden, so gibt es fu¨r den Faktor vor ∆W mehrere
Mo¨glichkeiten. Er kann zup
D(X(t + c ·∆t), t + c ·∆t) (2.98)
gewa¨hlt werden mit 0 ≤ c ≤ 1. Gebra¨uchlich sind zwei Varianten, na¨mlich c = 0,
das sogenannte Itoˆ-Kalku¨l und c = 0, 5, das sogenannte Stratonovich-Kalku¨l. Durch die
Grenzwertbildung ergibt sich
E{dW} = 0 (2.99)
E{dW 2} = dt. (2.100)
21
Aus der stochastischen Differenzengleichung 2.94 wird damit eine stochastische Diffe-
rentialgleichung.
dX = A(X, t)dt +
p
D(X, t)dW. (2.101)
Mit ξ(t) = dW/dt ergibt sich die Langevin-Gleichung
dX
dt
= A(X, t) +
p
D(X, t)ξ(t). (2.102)
Literatur: [98, 54, 71]
22
Kapitel 3
Digitale stochastische Sensoren
Ein digitaler stochastischer Sensor ist eine Anordnung, die in einen metastabilen Zu-
stand gebracht wird und von dort aus in einen der zwei mo¨glichen stabilen Endzusta¨nde
kippt. Der Kippvorgang wird dabei von verschiedenen physikalischen Gro¨ßen beeinflusst.
U¨blicherweise wird eine dieser physikalischen Gro¨ßen als Messgro¨ße genommen, die an-
deren sind dann die Sto¨rgro¨ßen. Da der Prozess des Kippens mit Rauschen behaftet ist,
wird sich bei wiederholter Durchfu¨hrung des Vorgangs eine stochastische Verteilung der
Endzusta¨nde ergeben. Aus dieser Verteilung wird dann die Messgro¨ße bestimmt.
In der vorliegenden Arbeit wird ein elektronischer Sensor vorgestellt, der auf diesem
Prinzip beruht. Kernstu¨ck der Schaltung ist ein ru¨ckgekoppelter Inverter aus MOSFET-
Transistoren, der in einem Precharge-Vorgang in den metastabilen Zustand gebracht
wird und aus diesem in einen der beiden mo¨glichen Endzusta¨nde ’Null’ oder ’Eins’ kippt.
Wird dieser Zyklus periodisch wiederholt und der Ausgang abgetastet, so bekommt man
einen seriellen Datenstrom aus Nullen und Einsen. Messgro¨ße ist das Magnetfeld, so-
dass ein weiterer Bestandteil des Sensors ein magnetfeldsensitives Element ist. In der
vorliegend Arbeit wird dafu¨r ein MAGFET verwendet. Das Rauschen der MOSFET-
Transistoren und des MAGFETs tra¨gt zum stochastischen Verhalten der Schaltung bei.
Abbildung 3.1 zeigt schematisch die Umsetzung eines analogen Eingangssignals in ein
digitales Ausgangssignal. Die stochastischen Sensoren werden bereits bei [87], [75] und
Messgroesse
t
Abtastwerte
1 0 0 1 0 1
B
1
p(1)
En
ts
ch
ei
du
ng
sk
en
lin
ie
Abbildung 3.1: Signalumsetzung in stochastischen Sensoren
[77] beschrieben. Auch in [104] werden die stochastischen Sensoren mit Hallplatten und
MAGFETs als magnetfeldsensitive Elemente behandelt. Eine detaillierte Analyse dieser
23
Sensoren bezu¨glich ihres stochastischen Verhaltens ist in der Literatur aber nicht zu
finden. Deshalb folgt in diesem Kapitel die Herleitung der Systemgleichungen fu¨r diese
Sensorart anhand des einfachsten Falls von zwei gekoppelten Invertern.
3.1 Gekoppelte Inverter
In den Abschnitten 3.1.1 und 3.1.2 werden die Beziehungen hergeleitet, die das Verhalten
von ru¨ckgekoppelten Invertern beschreiben. Sie dienen zur Analyse des Systems ohne
Einfluss einer Messgro¨ße. Im Allgemeinen werden zur Vereinfachung nur die MOSFET-
Gleichungen erster Ordnung verwendet, da sonst die meisten Gro¨ßen analytisch nicht
berechenbar wa¨ren. Die Beziehungen, die dadurch hergeleitet werden, erlauben trotzdem
einen guten Einblick in prinzipielle Abha¨ngigkeiten der Schaltung.
3.1.1 Ru¨ckgekoppelte Inverter ohne Stro¨me
Es werden die Gleichungen fu¨r den Fall zweier einfach ru¨ckgekoppelter Inverter hergelei-
tet. Auch zwei Knotenkapazita¨ten sollen beru¨cksichtigt werden, die MOSFET-internen
Kapazita¨ten werden jedoch vernachla¨ssigt beziehungsweise den Knotenkapazita¨ten zu-
geschlagen. Als erstes wird das Differentialgleichungssystem fu¨r die Anordnung in Abbil-
C
1
C
2
N1
P1
N2
V
1
V
2
P2
Abbildung 3.2: Ru¨ckgekoppelte Inverter
dung 3.2 aufgestellt. Es wird angenommen, dass zum Zeitpunkt Null die Spannungen V1
und V2 anna¨hernd gleich sind. Betrachtet man die Arbeitsbereiche der einzelnen MOS-
FETS (Abbildung 3.3), so erkennt man, dass, solange V1 und V2 nicht zu weit auseinander
liegen, alle Transistoren entweder im Sa¨ttigungsbereich arbeiten oder ausgeschaltet sind.
La¨dt man V1 und V2 auf VDD auf, so sind die PMOS-Transistoren ausgeschaltet und nur
24
V1
V2
P1
Vdd|Vtp|
Vdd
Vdd-|Vtp| aus
Saettigung
linear
0
0
V1
V2
P2
VddVdd-|Vtp|
Vdd
|Vtp|
aus
Saettigung
linear
0
0
V1
V2
N1
Vdd
Vdd
Vtn
aus
Saettigung
linear
0
0
V1
V2
N2
VddVtn
Vdd
aus
Saettigung
linear
0
0
Abbildung 3.3: Arbeitsbereiche der einzelnen Transistoren
die n-Kana¨ler aktiv. Die Differentialgleichungen dazu lauten
.
V1 = − βn
2C1
(V2 − Vtn)2 (3.1)
.
V2 = − βn
2C2
(V1 − Vtn)2. (3.2)
Sobald dann die Spannungen V1 und V2 die Spannung VDD − |Vtp| unterschreiten, wird
der jeweilige p-Kana¨ler aktiv. Wenn sowohl V1 als auch V2 diese Grenze unterschreiten
sind alle Transistoren eingeschaltet. Um im Folgenden eine Fallunterscheidung zu ver-
meiden, gehen wir davon aus, dass wir diesen Zustand bereits erreicht haben, durch die
Vorladung (Precharge) auf eine Spannung unterhalb von VDD − |Vtp|. Damit lautet das
Gleichungssystem der gekoppelten Inverter wie folgt.
.
V1 = − βn
2C1
(V2 − Vtn)2 + βp
2C1
(V2 − VDD + |Vtp|)2 (3.3)
.
V2 = − βn
2C2
(V1 − Vtn)2 + βp
2C2
(V1 − VDD + |Vtp|)2 (3.4)
Es gilt, solange keiner der Transistoren den linearen Bereich erreicht hat und fu¨r Vtn <
V1 < |Vtp| sowie Vtn < V2 < |Vtp|.
Dieses gekoppelte Differentialgleichungssystem wird weiter vereinfacht. Durch geeignete
Wahl der La¨ngen und Breiten der Transistoren kann erreicht werden, dass βn = βp = β.
Mit der weiteren Annahme dass Vtn = |Vtp| = Vt ergibt sich
.
V1 = − β
C1
(VDD − 2Vt)(V2 − VDD
2
) (3.5)
.
V2 = − β
C2
(VDD − 2Vt)(V1 − VDD
2
). (3.6)
25
Mit den Substitutionen
G1 =
β
C1
(VDD − 2Vt)
G2 =
β
C2
(VDD − 2Vt)
U1 = V1 − VDD
2
U2 = V2 − VDD
2
ergibt sich das gekoppelte Differentialgleichungssystem
U ′1 = −G1U2
U ′2 = −G2U1.
Die Lo¨sung dieses Gleichungssystems lautet
U1(t) = U1(0) cosh
p
G1G2t− U2(0)
r
G1
G2
sinh
p
G1G2t (3.7)
U2(t) = U1(0)
r
G2
G1
(− sinh
p
G1G2t) + U2(0) cosh
p
G1G2t. (3.8)
Wir bilden das Kapazita¨tsverha¨ltnis γ =
C2
C1
=
G1
G2
und erhalten damit die Beziehungen
U1(t) = U1(0) cosh
G1√
γ
t− U2(0)√γ sinh G1√
γ
t (3.9)
U2(t) = U1(0)
1√
γ
µ
− sinh G1√
γ
t
¶
+ U2(0) cosh
G1√
γ
t. (3.10)
Damit ergibt sich die Differenz ∆U(t) = U1(t)− U2(t) zu
∆U(t) = ∆U(0)
µ
cosh
G1√
γ
t +
√
γ sinh
G1√
γ
t
¶
+ U1(0)
1−√γ√
γ
sinh
G1√
γ
t. (3.11)
Nach der Resubstitution ergeben sich
V1(t) =
VDD
2
+
µ
V1(0)− VDD
2
¶
cosh
G1√
γ
t−
µ
V2(0)− VDD
2
¶√
γ sinh
G1√
γ
t (3.12)
V2(t) =
VDD
2
+
µ
V1(0)− VDD
2
¶
1√
γ
µ
− sinh G1√
γ
t
¶
+
µ
V2(0)− VDD
2
¶
cosh
G1√
γ
t (3.13)
und fu¨r die Spannungsdifferenz ∆V (t) = V1(t)− V2(t)
∆V (t) = ∆V (0)
µ
cosh
G1√
γ
t+
√
γ sinh
G1√
γ
t
¶
+
µ
V1(0)−VDD
2
¶
1−√γ√
γ
sinh
G1√
γ
t. (3.14)
Mit dieser Gleichung werden im Folgenden werden einige typische Fa¨lle untersucht.
26
01
2
3
4
5
0 2e-10 4e-10 6e-10 8e-10 1e-09 1,2e-09 1,4e-09
V
(t)
 in
 V
t in s
Abbildung 3.4: Fall A1 (ohne Rauschen) fu¨r typische Werte
Fall A1
γ = 1, ∆V (0) = 0V
Das ist der symmetrische Fall, bei dem C1 und C2 gleich sind und keine Ausgangsspan-
nungsdifferenz besteht. Ohne Rauschen wu¨rde das System nicht kippen, sondern immer
in der Metastabilita¨t bleiben. In der Realita¨t wird allerdings immer ein Rauschen vor-
handen sein, das die gekoppelten Inverter mit der Zeit zum Kippen bringt.
V1(t) = V2(t) = V (t) (3.15)
V (t) =
VDD
2
(1− cosh G1t + sinh G1t) + V1(0)(cosh G1t− sinh G1t)
=
VDD
2
‡
1− e−G1t
·
+ V1(0) e
−G1t
=
VDD
2
‡
1− e
−(VDD − 2Vt) β
C1
t·
+ V1(0) e
−(VDD − 2Vt) β
C1
t
(3.16)
∆V (t) = 0 (3.17)
Abbildung 3.4 zeigt den Spannungsverlauf von Gleichung 3.16 fu¨r typische Werte (β =
10−4A/V2, V1(0) = 4V, VDD = 5V, Vt = 1V, C1 = 100fF, γ = 1).
Fall A2
γ = 1, ∆V (0) 6= 0V
27
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5e-10 1e-09 1,5e-09 2e-09 2,5e-09 3e-09 3,5e-09 4e-09
V
1(t
), V
2(t
), D
V
(t)
 in
 V
t in s
V1(t),V2(t)
D V(t)
log(D V(t)) D V(0)=0,1mV
D V(0)=0,2mV
D V(0)=1mV
Abbildung 3.5: Fall A2 (∆V (0) 6= 0)
Hier fu¨hrt eine Spannungsdifferenz zum Zeitpunkt t = 0s zum Kippen der Stufe.
∆V (t) = ∆V (0)(cosh G1t + sinh G1t)
= ∆V (0) eG1t
= ∆V (0) e
(VDD − 2Vt) β
C1
t
(3.18)
Abbildung 3.5 zeigt den Spannungsverlauf fu¨r typische Werte (β = 10−4A/V2, Vt = 1V,
C1 = 100fF) Die Simulation mit einem SPICE-Simulator ergibt das in Bild 3.6 gezeigte
Ergebnis. Es wurde ein Parametermodell des verwendeten CMOS-Prozesses verwendet.
Zu beachten ist, dass die Simulation bei VDD begonnen wurde (nur NMOS-Transistoren
aktiv) und gleichzeitig die Schwellspannung des p-Kana¨lers im Modell etwas ho¨her ist
als 1V. Deshalb verla¨uft der Logarithmus der Differenzspannung am Anfang nichtlinear.
Die Zeit tr die beno¨tigt wird, bis die Spannungsdifferenz eine Schwelle Vr erreicht
(∆V (tr) = ±Vr) ergibt sich zu
tr =
1
G1
ln
flflfl Vr
∆V (0)
flflfl
=
C1
β(VDD − 2Vt) ln
flflfl Vr
∆V (0)
flflfl (3.19)
Abbildung 3.7 zeigt die Abha¨ngigkeit von tr aus Gleichung 3.19.
Fall A3
γ 6= 1, ∆V (0) = 0V
28
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5e-10 1e-09 1,5e-09 2e-09 2,5e-09 3e-09 3,5e-09 4e-09 4,5e-09 5e-09
V
1(t
), V
2(t
), D
V
(t)
 in
 V
t in s
V1(t),V2(t)
D V(t)
log(D V(t)) D V=0,1mV
D V=0,2mV
D V=1mV
Abbildung 3.6: SPICE-Simulation von Fall A2
0
2e-10
4e-10
6e-10
8e-10
1e-09
1,2e-09
1,4e-09
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
t x
 
in
 s
D V(0) in V
Abbildung 3.7: Fall A2: Zeit tr in Abha¨ngigkeit von ∆V (0)
29
05e-10
1e-09
1,5e-09
2e-09
0,6 0,8 1 1,2 1,4
t x
 
in
 s
g
Abbildung 3.8: Fall A3 (γ 6= 0) fu¨r typische Werte
In diesem Fall erfolgt das Kippen wegen der Unsymmetrie der Knotenkapazita¨ten.
∆V (t) =
µ
V1(0)− VDD
2
¶
1−√γ√
γ
sinh
G1√
γ
t (3.20)
Um zu bestimmen, wie lange es braucht, bis sich eine Spannungsdifferenz Vr eingestellt
hat, setzt man ∆V (tr) = Vr fu¨r γ < 1 und ∆V (tr) = −Vr fu¨r γ > 1. Damit ergibt sich
die Zeit tr zu
tr =
√
γ
G1
arsinh
2
√
γ(±Vr)
(2V1(0)− VDD)(1−√γ)
=
C1
√
γ
β(VDD − 2Vt) arsinh
2
√
γ(±Vr)
(2V1(0)− VDD)(1−√γ) . (3.21)
Abbildung 3.8 zeigt den Spannungsverlauf von Gleichung 3.21 in Abha¨ngigkeit von γ
fu¨r typische Werte (β = 10−4A/V2, Vt = 1V, C1 = 100fF).
3.1.2 Ru¨ckgekoppelte Inverter mit Stromquellen
Gegenu¨ber dem ru¨ckgekoppelten Inverterpaar im vorigen Abschnitt werden jetzt zu-
sa¨tzlich noch zwei Stromquellen eingefu¨gt. Diese Stro¨me ko¨nnen bereits von der zu
messenden Gro¨ße wie z.B. einem Magnetfeld abha¨ngen. Die Stro¨me werden im Moment
als konstant angesehen, unabha¨ngig von den Spannungen V1 und V2. Damit lauten die
Differentialgleichungen
30
N1
P1
N2
V
1
V
2
P2
C
2
C
1
I
1
I
2
Abbildung 3.9: Ru¨ckgekoppelte Inverter mit Stromquellen
.
V1 = − βn
2C1
(V2 − Vtn)2 + βp
2C1
(V2 − VDD + |Vtp|)2 − I1
C1
(3.22)
.
V2 = − βn
2C2
(V1 − Vtn)2 + βp
2C2
(V1 − VDD + |Vtp|)2 − I2
C2
. (3.23)
Mit der vereinfachenden Annahme βn = βp = β, was durch geeignete Dimensionierung
von W und L der MOSFETs erreicht werden kann, ergibt sich
.
V1= −β(VDD − Vtn − |Vtp|)
C1
·
ˆ
V2 − V
2
DD + |Vtp|2 − V 2tn − 2VDD|Vtp|
2(VDD − Vtn − |Vtp|) +
I1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
! (3.24)
.
V2= −β(VDD − Vtn − |Vtp|)
C2
·
ˆ
V1 − V
2
DD + |Vtp|2 − V 2tn − 2VDD|Vtp|
2(VDD − Vtn − |Vtp|) +
I2
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
!. (3.25)
Jetzt erfolgen einige Substitutionen.
G1 =
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
C1
(3.26)
G2 =
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
C2
(3.27)
31
U1 = V1 − V
2
DD + |Vtp|2 − V 2tn − 2VDD|Vtp|
2(VDD − Vtn − |Vtp|)
+
I1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
(3.28)
U2 = V2 − V
2
DD + |Vtp|2 − V 2tn − 2VDD|Vtp|
2(VDD − Vtn − |Vtp|)
+
I2
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
(3.29)
Das Gleichungssystem sieht damit aus wie im Falle ohne Stro¨me.
.
U1 = −G1U2
.
U2 = −G2U1
Dessen Lo¨sung lautet wie in den Gleichungen 3.7 und 3.8
U1(t) = U1(0) cosh
p
G1G2t− U2(0)
r
G1
G2
sinh
p
G1G2t
U2(t) = U1(0)
r
G2
G1
(− sinh
p
G1G2t) + U2(0) cosh
p
G1G2t.
Fu¨r die Differenzbildung muss jedoch ein anderer Weg gegangen werden, da die Stro¨me
mit einbezogen sind. Dazu werden weitere Substitutionen vorgenommen.
H1 = β(VDD − Vtn − |Vtp|) (3.30)
H2 =
V 2DD − |Vtp|2 − V 2tn − 2VDD|Vtp|
2(VDD − Vtn − |Vtp|) (3.31)
Damit ist
U1(t) = V1(t)−H2 + I1
H1
(3.32)
U2(t) = V2(t)−H2 + I2
H1
(3.33)
mit den Anfangswerten
U1(0) = V1(0)−H2 + I1
H1
U2(0) = V2(0)−H2 + I2
H1
.
Nach der Resubstitution lautet die Lo¨sung
V1(t) = H2 − I1
H1
+
‡
V1(0)−H2 + I1
H1
·
cosh
p
G1G2t
−
‡
V2(0)−H2 + I2
H1
·rG1
G2
sinh
p
G1G2t
(3.34)
V2(t) = H2 − I2
H1
+
‡
V1(0)−H2 + I1
H1
·rG2
G1
(− sinh
p
G1G2t)
+
‡
V2(0)−H2 + I2
H1
·
cosh
p
G1G2t
. (3.35)
32
Mit der Differenzbildung
∆V (t) = V1(t)− V2(t) (3.36)
∆I = I1 − I2 (3.37)
sowie dem Kapazita¨tsverha¨ltnis
γ =
C2
C1
=
G1
G2
(3.38)
folgt
∆V (t) =
−∆I
H1
+
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
cosh
G1√
γ
t
+
‡
(
1√
γ
−√γ)(V1(0)−H2 + I1
H1
) +
√
γ(∆V (0) +
∆I
H1
)
·
· sinh G1√
γ
t
. (3.39)
Schließlich erhalten wir
∆V (t) = ∆V (0)
‡
cosh
G1√
γ
t +
√
γ sinh
G1√
γ
t
·
+
∆I
H1
‡
cosh
G1√
γ
t +
√
γ sinh
G1√
γ
t− 1
·
+
‡
V1(0)−H2 + I1
H1
·
(
1√
γ
−√γ) sinh G1√
γ
t
. (3.40)
Im Folgenden werden einige Spezialfa¨lle von Gleichung 3.40 untersucht.
Fall B1
γ = 1, ∆V (0) = 0V, ∆I = 0A
Das ist wiederum der Fall, bei dem ohne Rauschen der metastabile Zustand nicht ver-
lassen wird. Die Spannungsdifferenz ist Null.
V (t) = H2 − I1
H1
+
‡
V1(0)−H2 + I1
H1
·
eG1t (3.41)
∆V (t) = 0
Fall B2
γ = 1, ∆V (0) = 0V, ∆I 6= 0A
Das ist der Fall, bei dem eine anfa¨ngliche Stromdifferenz besteht und zum Kippen der
Schaltung fu¨hrt.
∆V (t) =
−∆I
H1
+
∆I
H1
cosh G1t +
∆I
H1
sinh G1t
=
∆I
H1
(eG1t−1) (3.42)
33
05e-10
1e-09
1,5e-09
2e-09
2,5e-09
3e-09
1e-07 1e-06 1e-05 0,0001
t x
 
in
 s
D I in A
Abbildung 3.10: Fall B2 (γ = 1, ∆V (0) = 0V) fu¨r typische Werte
Es erfolgt eine Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Stromdifferenz positiv oder nega-
tiv ist. Mit ∆V (tr)
!
= Vr fu¨r ∆I > 0 und ∆V (tr)
!
= −Vr fu¨r ∆I < 0 ergibt sich fu¨r die
Zeit tr die Beziehung
tr =
1
G1
ln
‡
1 +
±VrH1
∆I
·
=
C1
β(VDD − Vtn − |Vtp|) ln
‡
1 +
±Vrβ(VDD − Vtn − |Vtp|)
∆I
·
. (3.43)
Abbildung 3.10 zeigt die Zeit bis zum Erreichen der Spannungsdifferenz Vr von Gleichung
3.43 in Abha¨ngigkeit von ∆I fu¨r typische Werte (β = 10−4A/V2, Vt = 1V, Vr = 1V,
C1 = 100fF).
Fall B3
γ = 1, ∆I = 0A, ∆V (0) 6= 0V
In diesem Fall fu¨hrt eine anfa¨ngliche Spannungsdifferenz zwischen den beiden Strom-
quellen zum Kippen der Stufe. Aus
∆V (t) = ∆V (0) eG1t (3.44)
Mit ∆V (tr)
!
= Vr fu¨r ∆V (0) > 0 und ∆V (tr)
!
= −Vr fu¨r ∆V (0) < 0 ergibt sich
tr =
1
G1
ln
±Vr
∆V (0)
. (3.45)
Abbildung 3.11 zeigt die Zeit bis zum Erreichen der Spannungsdifferenz Vr von Gleichung
3.45 in Abha¨ngigkeit von ∆V (0) fu¨r typische Werte (β = 10−4A/V2, Vt = 1V, Vr = 1V,
C1 = 100fF).
34
02e-10
4e-10
6e-10
8e-10
1e-09
1,2e-09
1,4e-09
0,01 0,1 1
t x
 
in
 s
D V0 in V
Abbildung 3.11: Fall B3 (γ = 1, ∆I = 0A) fu¨r typische Werte
Fall B4
γ 6= 1, ∆I = 0A, ∆V (0) = 0V
Hier sind die Stro¨me gleich und die Anfangsdifferenzspannung ist gleich 0V aber das
Kapazita¨tsverha¨ltnis ist ungleich 1.
∆V (t) =
‡
V1(0) +
I1
H1
−H2
·‡ 1√
γ
−√γ
·
sinh
G1√
γ
t (3.46)
Mit ∆V (tr)
!
= Vr fu¨r γ < 1 und ∆V (tr)
!
= −Vr fu¨r γ > 1 ergibt sich
tr =
√
γ
G1
arsinh
±Vr‡
V1(0) +
I1
H1
−H2
·‡ 1√
γ
−√γ
· . (3.47)
Abbildung 3.12 zeigt die Zeit bis zum Erreichen der Spannungsdifferenz Vr von Gleichung
3.47 in Abha¨ngigkeit von γ fu¨r typische Werte (β = 10−4A/V2, Vt = 1V, Vr = 1V,
C1 = 100fF).
Fall B5
γ = 1, ∆V (0) und ∆I beliebig.
Hier sind die Knotenkapazita¨ten gleich, die Stro¨me unterschiedlich und es besteht eine
35
02e-10
4e-10
6e-10
8e-10
1e-09
1,2e-09
1,4e-09
0,6 0,8 1 1,2 1,4
t x
 
in
 s
g
Abbildung 3.12: Fall B4 (γ 6= 1, ∆V (0) = 0V) fu¨r typische Werte
Anfangsspannungsdifferenz.
∆V (t) = ∆V (0)eG1t +
∆I
H1
‡
eG1t − 1
·
=
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t − ∆I
H1
(3.48)
Fu¨r diesen Fall ist es interessant, eine Beziehung zwischen ∆I und ∆V (0) herzuleiten,
um zu sehen, wie eine Stromdifferenz eine anfa¨ngliche Spannungsdifferenz ausgleichen
kann. Zum Zeitpunkt ty soll die Spannungsdifferenz ∆V (t) gleich Null sein.
∆V (ty)
!
= 0
∆I = ∆V (0)H1
1
1− e−G1ty
(3.49)
= ∆V (0) · β(VDD − Vtn − |Vtp|)
(1− e
−βVDD − Vtn − |Vtp|
C1
ty
)
(3.50)
Abbildung 3.13 zeigt die nach Gleichung 3.50 no¨tige Stromdifferenz ∆I zum Ausgleich
einer Anfangsspannungsdifferenz ∆V (0) fu¨r typische Werte (β = 10−4A/V2, Vt = 1V,
C1 = 100fF).
36
02e-06
4e-06
6e-06
8e-06
1e-05
1,2e-05
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
D
I i
n 
A
D V(0) in V
ty=0,1ns
ty=1ns
Abbildung 3.13: Fall B5 (Gleichung 3.50) fu¨r typische Werte
3.2 Rauschen im gekoppelten Inverter
In den folgenden Abschnitten wird der Einfluss des Rauschens auf das Kippverhalten der
ru¨ckgekoppelten Inverter untersucht. Es wird erst einmal unterschieden zwischen dem
Rauschen, das in der Precharge-Phase vorhanden ist, und dem Rauschen, das wa¨hrend
dem Kippen vorhanden ist. Die Stromquellen werden dann durch einen MAGFET in der
Sa¨ttigung ersetzt und schliesslich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung in Abha¨ngigkeit
vom Magnetfeld und anderen Randbedingungen hergeleitet.
3.2.1 Rauschen der Anfangsdifferenzspannung
Bei dem stochastischen Sensor wird in der Precharge-Phase die Schaltung der ru¨ckgekop-
pelten Inverter in einen metastabilen Zustand gebracht. Dies geschieht durch spezielle
Precharge-Transistoren. In diesem Zustand ist die Spannungsdifferenz ∆V (t) gleich oder
nahe bei Null. Da die Precharge-Transistoren rauschbehaftet sind, wird man eine gewisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung von ∆V (0) erhalten. Wenn man alle Transistoren außer
den Precharge-Transistoren vorla¨ufig als rauschfrei betrachtet, so kann man die Vertei-
lung der Differenzspannungen u¨ber die Zeit berechnen. Es sei ∆V (0) normalverteilt mit
dem Mittelwert µV 0 und der Standardabweichung σV 0. Damit ist die Verteilung von
∆V (0) zum Zeitpunkt Null gleich
p(∆V, 0) =
1√
2piσV 0
· e
−1
2
‡∆V − µV 0
σV 0
·2
. (3.51)
37
0200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
p(D
V
)
D V in V
t=0,0ns
t=0,1ns
t=0,3ns
t=1,0ns
Abbildung 3.14: Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte von ∆V fu¨r µV 0 = 0V und
σV 0 = 200µV
Diese Verteilung der Anfangsdifferenzspannung entwickelt sich dann u¨ber die Zeit. Mit
Gleichung 3.48 ergibt sich dafu¨r
p(∆V, t) =
1√
2piσV 0 eG1t
· e
−1
2
ˆ∆V − ‡µV 0 + ∆I
H1
·
eG1t +
∆I
H1
σV 0 eG1t
!2
. (3.52)
Wie sich die Wahrscheinlichkeitsdichte nach Gleichung 3.52 u¨ber die Zeit entwickelt
zeigen die Abbildungen 3.14 bis 3.16 fu¨r verschiedene Fa¨lle.
Mit dem zeitabha¨ngigen Mittelwert
µV (t) =
‡
µV 0 +
∆I
H1
·
eG1t−∆I
H1
(3.53)
und der zeitabha¨ngigen Standardabweichung
σV (t) = σV 0 e
G1t (3.54)
ergibt sich das Wahrscheinlichkeitsintegral von Gleichung 3.52 zu
P (∆V, t) = Φ
ˆ∆V − ‡µV 0 + ∆I
H1
·
eG1t +
∆I
H1
σV 0 eG1t
!
. (3.55)
Die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsintegrale aus Gleichung 3.55 in Abha¨ngigkeit von
der Zeit sind in den Abbildungen 3.17 bis 3.19 dargestellt.
38
0200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
p(D
V
)
D V in V
t=0,0ns
t=0,1ns
t=0,3ns
t=1,0ns
Abbildung 3.15: Wahrscheinlichkeitsdichte bei µV 0 = 100µV und σV 0 = 200µV
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
p(D
V
)
D V in V
t=0,0ns
t=0,1ns
t=0,3ns
t=1,0ns
Abbildung 3.16: Wahrscheinlichkeitsdichte bei µV 0 = 0V, σV 0 = 200µV und ∆I = 0, 1µA
39
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,004 -0,002 0 0,002 0,004
P(
D
V
)
D V in V
t=0,0ns
t=0,5ns
t=1,0ns
t=1,5ns
Abbildung 3.17: Wahrscheinlichkeitsintegrale fu¨r µV 0 = 0V und σV 0 = 200µV
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
P(
D
V
)
D V in V
t=0,0ns
t=0,5ns
t=1,0ns
t=1,5ns
Abbildung 3.18: Wahrscheinlichkeitsintegrale fu¨r µV 0 = 100µV und σV 0 = 200µV
40
00,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
P(
D
V
)
D V in V
t=0,0ns
t=0,5ns
t=1,0ns
t=1,5ns
Abbildung 3.19: Wahrscheinlichkeitsintegrale fu¨r µV 0 = 0V, σV 0 = 200µV und ∆I =
0, 1µA
Betrachten wir noch einmal den metastabilen Zustand. Der metastabile Zustand gilt
erst als verlassen, wenn die Differenzspannung so groß geworden ist, dass das Kippen
in eine Richtung eindeutig ist und die Wahrscheinlichkeit, dass die Stufe noch in die
andere Richtung kippt, nahezu Null ist. Um die Grenze zwischen Metastabilita¨t und
Gekipptsein zu definieren, wird eine Schwelle Vr festgelegt. Der metastabile Zustand
gilt dann als verlassen, wenn |∆V (t)| > Vr. Dies erfolgt nach der Zeit tr. Betra¨gt die
Evaluierungszeit tp, so bleibt das System im metastabilen Zustand, wenn tr > tp. Die
Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass das System im metastabilen Zustand bleibt, ist damit
Pmeta = P (tr > tp) bei einem fest gewa¨hlten ∆V (t) = Vr.
Die Zeit tr ist im allgemeinen Fall eine Funktion von ∆V (0), ∆I und γ.
tr = f(∆V (0), ∆I, γ)
U¨ber die Umkehrfunktion ko¨nnen die Werte von ∆V (0), ∆I und γ bestimmt werden,
mit denen gerade tr = tp erreicht wird. Als Beispiel wird jetzt der Fall B3 genommen,
bei dem tr nur von ∆V (0) abha¨ngt. Die Umkehrfunktion der Gleichung (3.45) lautet
∆V (0) = ±Vr e−G1tr . (3.56)
Damit kann der Bereich von ∆V (0) bestimmt werden, bei dem die gekoppelten Inverter
in der Metastabilita¨t bleiben und zwar bei
−∆Vr(0) = −Vr e−G1tr < ∆V (0) < Vr e−G1tr = ∆Vr(0). (3.57)
41
Kennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ∆V (0), so kann man daraus die Wahr-
scheinlichkeit der Metastabilita¨t berechnen.
Pmeta = P (tr > tp) =
∆Vr(0)Z
−∆Vr(0)
p(∆V ′, 0) d∆V ′ (3.58)
Der Ausgang der Schaltung liefert eine ’1’, wenn ∆V > Vr und eine ’0’, wenn ∆V <
−Vr An dieser Stelle wird jetzt unterschieden zwischen dem symmetrischen und dem
asymmetrischen Fall.
Symmetrischer Fall: µV 0 = 0
Falls ∆V (0) normalverteilt ist mit dem Mittelwert µV 0 = 0V und einer Standardabwei-
chung σV 0 6= 0V, so betra¨gt die Wahrscheinlichkeit der Metastabilita¨t
Pmeta = 2
∆Vr(0)Z
0
1√
2piσV 0
e
−1
2
‡∆V (0)
σV 0
·2
d∆V (0)
= 2
1√
2pi
∆Vr(0)
σV 0Z
0
e
−1
2
y2
dy. (3.59)
Dabei ist
∆Vr(0) = Vr e
−G1tr = Vr e
− β
C1
(VDD − Vtn − |Vtp|)tr
. (3.60)
Daraus erha¨lt man
Pmeta = 2Φ0
‡ Vr
σV 0
e−G1tr
·
= 2Φ0
‡ Vr
σV 0
e
− β
C1
(VDD − Vtn − |Vtp|)tr·
. (3.61)
Die Wahrscheinlichkeiten fu¨r die Einsen und Nullen als Ergebnis der gekippten Inver-
terstufen sind im symmetrischen Fall identisch und lauten hier
P1 = P0 = 0, 5− Φ0
‡ Vr
σV 0
e
− β
C1
(VDD − Vtn − |Vtp|)tr·
. (3.62)
Asymmetrischer Fall: µV 0 6= 0
Fu¨r den Fall, dass ∆V (0) normalverteilt ist mit einem Mittelwert µV 0 6= 0 und einer
Standardabweichung σV 0 6= 0, so gilt fu¨r die Wahrscheinlichkeit der Metastabilita¨t
Pmeta =
∆Vr(0)Z
−∆Vr(0)
1√
2piσV 0
e
−1
2
‡y − µV 0
σV 0
·2
dy. (3.63)
42
Dabei gilt identisch zum symmetrischen Fall
∆V (0)r = Vr e
−G1tr = Vr e
− β
C1
(VDD − Vtn − |Vtp|)tr
(3.64)
und es folgt
Pmeta = Φ
‡Vr e−G1tr −µV 0
σV 0
·
− Φ
‡−Vr e−G1tr −µV 0
σV 0
·
= Φ
‡Vr e−
tr
C1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)−µV 0
σV 0
·
− Φ
‡−Vr e−
tr
C1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)−µV 0
σV 0
·
. (3.65)
Die Wahrscheinlichkeiten fu¨r die Einsen und Nullen als Ergebnis der gekippten Inver-
terstufen im asymmetrischen Fall lauten
P1 = 1− Φ
‡Vr e−G1tr −µV 0
σV 0
·
= 1− Φ
‡Vr e−
tr
C1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)−µV 0
σV 0
·
(3.66)
und
P0 = Φ
‡−Vr e−G1tr −µV 0
σV 0
·
= Φ
‡−Vr e−
tr
C1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)−µV 0
σV 0
·
. (3.67)
In den Abbildungen 3.20 und 3.21 wird die Abha¨ngigkeit der Wahrscheinlichkeit der
Metastabilita¨t von der Standardabweichung der Spannungsdifferenz ∆V (0) und vom
Quotienten der Zeit tr und der Knotenkapazita¨t in der Schaltung C1 deutlich.
Um abzuscha¨tzen, wie eine Stromdifferenz ∆I zwischen den beiden Einga¨ngen der In-
verter die Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiebt(Fall B5), wird aus Gleichung (3.50)
die a¨quivalente Spannungsdifferenz zum Zeitpunkt Null berechnet (mit ty = tr).
∆V (0) = ∆I · 1− e
− tr
C1
β(VDD − Vtn − |Vtp|)
β(VDD − Vtn − |Vtp|) (3.68)
Wenn man von einem Mittelwert ∆V (0) = 0V ausgeht, was im Allgemeinen der Fall
sein wird, vorausgesetzt die Ladungseinkopplungen u¨ber die Kapazita¨ten der Precharge-
Transistoren sind nicht zu unterschiedlich, lauten die Gleichungen (3.65), (3.66) und
43
00,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001
P
Mittelwert von D V(0) in V
P0 P1
Pmeta
Abbildung 3.20: Entscheidungswahrscheinlichkeiten in Abha¨ngigkeit vom Mittelwert von
∆V (0), C1 = 100fF, tr = 2, 5ns, σV 0 = 200µV
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001
P
Mittelwert von D V(0) in V
P1P0
Pmeta
Abbildung 3.21: Entscheidungswahrscheinlichkeiten in Abha¨ngigkeit vom Mittelwert von
∆V (0), C1 = 100fF, tr = 3, 5ns, σV 0 = 200µV
44
(3.67) mit H1 = β(VDD − Vtn − |Vtp|) folgendermaßen.
P1 = 1− Φ
ˆ−∆I
H1
+
‡∆I
H1
+ Vr
·
e
− tr
C1
H1
σV 0
!
(3.69)
P0 = Φ
ˆ−∆I
H1
+
‡∆I
H1
− Vr
·
e
− tr
C1
H1
σV 0
!
(3.70)
Pmeta = 1− P1 − P0 (3.71)
3.2.2 Stochastische Differentialgleichung fu¨r die
Differenzspannung
Neben dem Rauschen der Precharge-Transistoren, die nur zu Beginn des Kippvorgangs
als festes ∆V0 in die Gleichungen eingehen, gibt es die Rauschbeitra¨ge der Transistoren
des ru¨ckgekoppelten Inverters und das Rauschen der Stromquellen. Diese Rauschbeitra¨-
ge kann man als ein Rauschen der Differenzspannung ∆V modellieren. Es bietet sich
an, dafu¨r eine stochastische Differentialgleichung aufzustellen und als deren Lo¨sung die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Endzusta¨nde zu erhalten.
Betrachten wir noch einmal den Fall B5 mit der Differenzspannung aus Gleichung 3.48.
∆V (t) =
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t − ∆I
H1
Die Ableitung dieser Gleichung nach der Zeit lautet
d∆V (t)
dt
= G1
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t
= G1∆V (t) + G1
∆I
H1
. (3.72)
Die Summe der vorhandenen Rauschstro¨me fu¨hrt zu einem Rauschen in ∆V . Unter der
Annahme, dass es sich bei diesem Rauschen um weißes Rauschen handelt, ko¨nnen wir
folgende stochastische Differentialgleichung aufstellen.
d∆V (t)
dt
= G1∆V (t) + G1
∆I
H1
+
p
G1g2ξ(t) (3.73)
Sie stellt eine Langevin-Gleichung nach 2.102 dar. Darin ist ξ(t) ein Gaußprozess mit
dem Mittelwert
E{ξ(t)} = 0 (3.74)
und der Kovarianz
E{ξ(t)ξ(t′)} = δ(t− t′). (3.75)
45
Das weiße Rauschen wird dabei mit einem Faktor g gewichtet, der von den Rauschstro¨-
men der MOSFETs und der Stromquellen abha¨ngt.
Gleichung 3.73 ist eine lineare Differentialgleichung mit stochastischer Komponente.
Da der Faktor vor ξ(t) nicht von ∆V (t) abha¨ngt, sind Itoˆ-Kalku¨l und Stratonovich-
Kalku¨l identisch. Eine allgemeine Lo¨sung der Differentialgleichung ohne den stochasti-
schen Term hat den integrierender Faktor
M(t) = e
Z
−G1dt
= e−G1t (3.76)
und damit lautet die Lo¨sung mit stochastischem Term
∆V (t) =
1
M(t)
µ tZ
0
‡
G1
∆I
H1
+
p
G1gξ(t
′)
·
M(t′)dt′ + K
¶
. (3.77)
Wird M(t) eingesetzt erha¨lt man
∆V (t) = eG1t
µ tZ
0
‡
G1
∆I
H1
+
p
G1gξ(t
′)
·
e−G1t′ dt′ + K
¶
(3.78)
und daraus
∆V (t) = K eG1t + eG1t G1
∆I
H1
tZ
0
e−G1t′ dt′ + eG1t
p
G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′ (3.79)
∆V (t) = K eG1t + eG1t G1
∆I
H1
‡−1
G1
e−G1t +K2
·
+eG1t
p
G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′ (3.80)
∆V (t) =
‡
K + K2G1
∆I
H1
·
eG1t−∆I
H1
+ eG1t
p
G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′. (3.81)
Mit dem Anfangswert ∆V (0) ergibt sich
∆V (t) =
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t−∆I
H1
+ eG1t
p
G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′. (3.82)
Da die Integration eine linere Operation ist und ξ(t) eine Gauss’sche Zufallsvariable,
muss auch ∆V (t) eine gaussverteilte Zufallsvariable sein.1 Ihr Mittelwert lautet
E{∆V (t)} = E
n‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t
o
−E
n∆I
H1
o
+E
n
eG1t
p
G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′
o. (3.83)
1An dieser Stelle soll nicht na¨her ausgefu¨hrt werden, warum ξ(t) integrierbar ist. Es wird auf [54]
und [71] verwiesen.
46
Unter Beru¨cksichtigung von Gleichung 3.74 erha¨lt man fu¨r den Mittelwert
E{∆V (t)} =
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
· eG1t − ∆I
H1
. (3.84)
Die Varianz von ∆V (t) betra¨gt
E{∆V (t)2} − E{∆V (t)}2. (3.85)
Dabei ist
E{∆V (t)2} = E
nh‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t−∆I
H1
i2o
+ E
n
2
‡‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
eG1t−∆I
H1
·
eG1t G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′
o
+ E
nh
eG1t
p
G1g
tZ
0
ξ(t′) e−G1t′ dt′
i2o
. (3.86)
Mit den Gleichungen 3.74 und 3.84 ergibt sich
E{∆V (t)2} = E{∆V (t)}2
+ E
n
e2G1t G1g
2
tZ
0
e−G1t′
t′Z
0
e−G1t′′ ξ(t′)ξ(t′′)dt′′dt′
o
(3.87)
und mit Gleichung 3.75 folgt daraus
E{∆V (t)2} = E{∆V (t)}2 + e2G1t G1g2
tZ
0
e−2G1t′ dt′ (3.88)
= E{∆V (t)}2 + g
2
2
‡
e2G1t−1
·
. (3.89)
Die Varianz von ∆V (t) lautet somit
E{∆V (t)2} − E{∆V (t)}2 = g
2
2
‡
e2G1t−1
·
. (3.90)
Damit ist ∆V (t) ein Gauss-Prozess dessen Mittelwert die Gleichung 3.84 und dessen Va-
rianz die Gleichung 3.90 darstellt. Seine zeitabha¨ngige Wahrscheinlichkeitsdichte lautet
p(∆V, t) =
1r
pig2
‡
e2G1t−1
· ez (3.91)
mit
z = −
ˆ
∆V −
‡
∆V (0) +
∆I
H1
·
· eG1t + ∆I
H1
!2
g2
‡
e2G1t−1
· . (3.92)
47
Definieren wir hier nun wieder eine Schwelle ±∆Vr, so ko¨nnen wir die Wahrscheinlich-
keiten fu¨r ’1’, ’0’ und Metastabilita¨t wie folgt schreiben.
P1(t) =
∞Z
∆Vr
p(∆V, t) d∆V (3.93)
Pmeta(t) =
∆VrZ
−∆Vr
p(∆V, t) d∆V (3.94)
P0(t) =
−∆VrZ
−∞
p(∆V, t) d∆V (3.95)
Mit dem Wahrscheinlichkeitsintegral der normierten und zentrierten Normalverteilung
lauten die Wahrscheinlichkeiten
P1(t) = 0, 5− Φ0
ˆ∆Vr − ‡∆V (0) + ∆I
H1
·
· eG1t + ∆I
H1r
g2
2
‡
e2G1t−1
·
!
(3.96)
P0(t) = 0, 5 + Φ0
ˆ−∆Vr − ‡∆V (0) + ∆I
H1
·
· eG1t + ∆I
H1r
g2
2
‡
e2G1t−1
·
!
(3.97)
Pmeta(t) = 1− P1(t)− P0(t). (3.98)
Wird die Dichtefunktion p(∆V, t) aus Gleichung 3.91 nach t, ∆V und ∆V 2 differen-
ziert erha¨lt man nach la¨ngerer Rechnung daraus die Fokker-Planck-Gleichung in Itoˆ-
Interpretation, die in Abschnitt 2.4.5 als Eigenschaft eines Markov-Prozesses angegeben
ist (Gleichung 2.92).
∂
∂t
p(∆V, t) =
− ∂
∂∆V
µ
G1
‡
∆V +
∆I
H1
·
p(∆V, t)
¶
+
1
2
∂2
∂∆V 2
µ
G1g
2p(∆V, t)
¶ (3.99)
3.3 MAGFET im ru¨ckgekoppelten Inverter
3.3.1 Magnetfeldabha¨ngige Differenzspannungsentwicklung
Nachdem im vorigen Abschnitt die Anfangsdifferenzspannung und die Stromquellen ab-
strakt eingesetzt wurden, wird in diesem Abschnitt ein Rauschmodell fu¨r einen ru¨ckge-
koppelten Inverter mit Precharge und einem MAGFET als Differenzstromquelle erstellt.
Das Modell dient dazu, um einige wichtige Beziehungen herzuleiten, wie zum Beispiel
48
Vl
N2
P2
V
r
P1
N1
V
preq
V
preq
C
l
C
r
MAGFET
V
DD
V
uv
Abbildung 3.22: Referenzschaltung
die optimalen Arbeitspunkte und die Grenzen eines solchen stochastischen Magnetfeld-
sensors. Abbildung 3.22 zeigt das Schaltbild fu¨r die untersuchte Konfiguration.
Die MOSFETs werden jetzt durch das Modell aus Kapitel 2.3.5 modelliert. Solange die
Differenzspannung zwischen den Knoten Vl und Vr kleiner als Vt ist und die Precharge-
Spannung kleiner als Vdd−Vt, befinden sich die Invertertransistoren in der Sa¨ttigung. Alle
Kapazita¨ten werden in zwei getrennten Knotenkapazita¨ten Cl und Cr zusammengefasst.
Damit die in Abbildung 3.22 gezeigte Schaltung querstromfrei bleibt, sind in diesem
Modell zwei Schalter vorgesehen, die wa¨hrend des Precharge-Vorgangs geo¨ffnet sind.
Sie stellen sicher, dass zwei benachbarte Kippvorga¨nge stochastisch unabha¨ngig sind. In
einem spa¨teren Modell (Abbildung 4.7 in Abschnitt 4.3) sind sie nicht mehr vorhanden,
da dort die Schalter direkt durch den MAGFET ersetzt werden.
Beim MAGFET wird davon ausgegangen, dass er sich noch in der Sa¨ttigung befindet.
Dies kann dadurch sichergestellt werden, dass seine Gate-Spannung niedrig gewa¨hlt wird.
An dieser Stelle wird noch einmal auf Gleichung 2.28 verwiesen, in der die Stromdifferenz
in Abha¨ngigkeit vom Magnetfeld am MAGFET formuliert wurde. Sie lautet
∆ID =
1
2
µHch
L
W
GIDB⊥
mit ID = IDl + IDr.
Im Folgenden wird statt B⊥ der Einfachheit halber nur noch B geschrieben. Es ist trotz-
dem immer die orthogonale Flussdichte gemeint. Mit der normierten Empfindlichkeit
S ′ =
∆ID
IDB
=
1
2
µHch
L
W
G (3.100)
ergibt sich die Drainstromdifferenz zu
∆ID = IDr − IDl = S ′IDB. (3.101)
49
Beim Abschalten eines Precharge-Transistors am Ende der Precharge-Phase nach dem
Aufladen der Kondensatoren verbleibt auf jedem Kondensator eine Rauschladung. Die
dadurch bedingte mittlere Rauschspannung betra¨gt
q
u2C =
vuuut4kTR
∞Z
0
1
1 + (2pifRC)2
df (3.102)
q
u2C =
r
kT
C
. (3.103)
Damit kann das durch einen Precharge-Transistor verursachte Rauschen als anfa¨ngliche
Spannungsdifferenz ∆V (0) mit einem Mittelwert 0 und einer Standardabweichung σp
angenommen werden.
σp =
q
u2C =
r
kT
C
(3.104)
Bei zwei Precharge-Transistoren betra¨gt die Standardabweichung wegen der statistischen
Unabha¨ngigkeit
σ2p =
r
2kT
C
. (3.105)
Setzt man (3.101) und (3.105) in die Gleichungen (3.69), (3.70) und (3.71) ein und
beru¨cksichtigt man, dass ∆I = −∆ID, so ergeben sich folgende Beziehungen
P1(B) = Φ
ˆ
S ′IDB
H1
r
C1
2kT
‡
e
− tr
C1
H1 − 1
·
−Vr
r
C1
2kT
e
− tr
C1
H1
! (3.106)
P0(B) = 1− Φ
ˆ
S ′IDB
H1
r
C1
2kT
‡
e
− tr
C1
H1 − 1
·
+Vr
r
C1
2kT
e
− tr
C1
H1
! (3.107)
Pmeta(B) = 1− P1(B)− P0(B). (3.108)
Man beachte, dass der MAGFET im Sa¨ttigungsbereich betrieben wird, damit die zur
Lo¨sung des Gleichungssystems geforderte Bedingung ∆I = const. na¨herungsweise er-
fu¨llt wird. Die Abbildungen 3.23 und 3.24 zeigen die Kurven fu¨r typische Werte(β =
10−4A/V2, C1 = 100fF).
50
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2
P
B in T
P0P1
Pmeta
Abbildung 3.23: P1(B), Pmeta(B) und P0(B) fu¨r tr=3ns
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2
P
B in T
P0P1
Abbildung 3.24: P1(B) und P0(B) fu¨r tr=10ns
51
3.3.2 Magnetfeldabha¨ngiger stochastischer Kippvorgang
In diesem Abschnitt soll der Einfluss des Magnetfeldes auf die stochastische Differen-
tialgleichung 3.73 aus Abschnitt 3.2.2 berechnet werden. Aus der Schaltung nach Abb.
3.22 kann der Faktor g bestimmt werden. Die Stromdifferenz ∆I ist magnetfeldabha¨ngig
nach Gleichung 3.101.
Fu¨r das Rauschmodell zur Bestimmung des Faktors g in Gleichung 3.73 werden die
einzelnen Rauschkomponenten betrachtet. Die Rauschstro¨me des MAGFETs und der
Inverter-MOSFETs sind alle unkorreliert und ko¨nnen zusammengefasst werden. Die 1/f-
Rauschanteile werden dabei nicht beru¨cksichtigt. Das thermische Gate-Rauschen kann
ebenfalls wegfallen, da die Arbeitsfrequenzen deutlich unter ωG liegen. Damit ergibt sich
das Rausch-Ersatzschaltbild, das in Abbildung 3.25 gezeigt ist. Die Schaltung wird als
V
l
V
r
q
i
2
np2
q
i
2
np1
q
i
2
nn2
q
i
2
nmr
q
i
2
nml
q
i
2
nn1
g
DSn1
g
DSml
g
DSmr
g
DSn2
C
l
C
r
g
DSp1
g
DSp2
Abbildung 3.25: Rausch-Ersatzschaltbild der Referenzschaltung
symmetrisch angenommen. Addiert man die einzelnen Rauschstro¨me, so ergibt sich
q
i2n =
q
i2nn + i
2
nm + i
2
np. (3.109)
Die Rauschbandbreite ∆f berechnet sich zu
∆f =
∞Z
0
1
1 +
µ
2pif
C
gDSn + gDSm + gDSp
¶2df
=
gDSn + gDSm + gDSp
4C
. (3.110)
Der Rauschstrom an beiden Knoten ist mit den Beziehungen aus Abschnitt 2.3.5
q
i2n =
r
4kT
2
3
(gmn + gmm + gmp)∆f. (3.111)
52
Fu¨hrt man als Abku¨rzung den Wert r ein mit
r =
gmn + gmm + gmp
gDSn + gDSm + gDSp
, (3.112)
so ergibt sich die mittlere Rauschspannung an jedem der beiden Knoten Vl und Vr zuq
u2n =
r
4kT · 2
3
· r
4C
. (3.113)
Damit erha¨lt man den Faktor g zu
g =
r
2 · 2kTr
3C
, (3.114)
wenn man vernachla¨ssigt, dass die MAGFET-Beitra¨ge teilweise korreliert sind.
Es wird weiter vorausgesetzt, dass g innerhalb des Bereichs, in dem alle Transistoren in
der Sa¨ttigung sind, na¨herungsweise konstant bleibt. Setzt man jetzt die Stromdifferenz
aus Gleichung 3.101 und den Faktor g in die stochastische Differentialgleichung 3.73 ein,
so erha¨lt man fu¨r die zeitabha¨ngige Wahrscheinlichkeitsdichte von ∆V (t) = Vl(t)−Vr(t)
p(∆V,B, t) =
1r
4pikTr
3C
‡
e2G1t−1
· e−z (3.115)
mit
z =
ˆ
∆V −
‡
∆V (0)− SIDB
H1
·
· eG1t − SIDB
H1
!2
4kTr
3C
‡
e2G1t−1
· . (3.116)
Die Abbildungen 3.26 und 3.27 zeigen die Entwicklung von p(∆V,B, t) mit und ohne
Magnetfeld fu¨r typische Schaltungswerte.
Die zeitabha¨ngigen Wahrscheinlichkeiten fu¨r ’1’, ’0’ und den metastabilen Zustand, der
durch die Schwellen ∆V = ±Vr begrenzt ist, ergeben sich damit zu
P1(B, t) = 0, 5− Φ0
ˆVr − ‡∆V (0)− SIDB
H1
·
· eG1t − SIDB
H1r
2kTr
3C
‡
e2G1t−1
·
!
(3.117)
P0(B, t) = 0, 5 + Φ0
ˆ−Vr − ‡∆V (0)− SIDB
H1
·
· eG1t − SIDB
H1r
2kTr
3C
‡
e2G1t−1
·
!
(3.118)
Pmeta(B, t) = 1− P1(B, t)− P0(B, t). (3.119)
Bildet man von den vorigen Gleichungen den Grenzwert fu¨r t →∞, so geht Pmeta(B, t)
gegen 0. Fu¨r die Kippwahrscheinlichkeiten nach ’0’ und ’1’ ergibt sich dann
P1(B) = 0, 5 + Φ0
µ‡
∆V (0)− SIDB
H1
·r 3C
2kTr
¶
(3.120)
53
00,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1 -0,5 0 0,5 1
p(D
V
,B
,t)
D V in V
t=1,8ns, B=0mT, D V(0)=0V
t=2,2ns, B=0mT, D V(0)=0V
t=2,6ns, B=0mT, D V(0)=0V
Abbildung 3.26: Entwicklung von p(∆V,B, t) fu¨r B=0T
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1 -0,5 0 0,5 1
p(D
V
,B
,t)
D V in V
t=1,8ns, B=10mT, D V(0)=0V
t=2,2ns, B=10mT, D V(0)=0V
t=2,6ns, B=10mT, D V(0)=0V
Abbildung 3.27: Entwicklung von p(∆V,B, t) fu¨r B=10mT
54
P0(B) = 0, 5− Φ0
µ‡
∆V (0)− SIDB
H1
·r 3C
2kTr
¶
. (3.121)
Diese beiden Beziehungen machen den Einfluss von Magnetfeld und Anfangsdifferenz-
spannung auf das Kippverhalten deutlich.
3.3.3 Magnetfeldabha¨ngiger stochastischer Kippvorgang mit sta-
tistischer Anfangsverteilung
Um den Kippvorgang der ru¨ckgekoppelten Inverter einschließlich des Precharge-Transistor-
Rauschens zu modellieren, wird jetzt auch noch die durch die Precharge-Transistoren
bedingte Anfangs-Standardabweichung σ2p aus Gleichung 3.105 in die Gleichungen 3.117
und 3.118 eingesetzt. Mit
ν =
σ2p
g
=
r
3
2 r
(3.122)
ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten zu
P1(B, t) = 0, 5− Φ0
ˆVr − ‡∆V (0)− SIDB
H1
·
· eG1t − SIDB
H1r
2kTr
3C
‡
(1 + 2ν2) e2G1t−1
·
!
(3.123)
P0(B, t) = 0, 5 + Φ0
ˆ−Vr − ‡∆V (0)− SIDB
H1
·
· eG1t − SIDB
H1r
2kTr
3C
‡
(1 + 2ν2) e2G1t−1
·
!
(3.124)
Pmeta(B, t) = 1− P1(B, t)− P0(B, t). (3.125)
Abbildung 3.28 stellt die Entwicklung der Kippwahrscheinlichkeiten u¨ber die Zeit bei
B =10mT dar.
Fu¨r große t und mit der Resubstitution H1 = β(Vdd − Vtn − |Vtp|) ergibt sich
P1(B) = 0, 5− Φ0
µ
SIDB
β(Vdd − Vtn − |Vtp|)
s
3C
2kTr(1 + 2ν2)
¶
(3.126)
P0(B) = 0, 5 + Φ0
µ
SIDB
β(Vdd − Vtn − |Vtp|)
s
3C
2kTr(1 + 2ν2)
¶
. (3.127)
An diesen beiden Gleichungen kann man ablesen, dass fu¨r die maximale Empfindlichkeit
des Sensors die Versta¨rkung der ru¨ckgekoppelten Inverter klein gehalten werden muss
und die Knotenkapazita¨ten groß sein sollen. Dabei ist allerdings zu beachten, dass man
durch die erho¨hte Zeit bis zum Kippen nicht an die Metastabilita¨tsgrenze gera¨t. Der
Faktor ν ist kaum von der MOSFET-Dimensionierung abha¨ngig. Abbildung 3.29 zeigt
P1 und P0 in Abha¨ngigkeit von der Flussdichte B des Magnetfelds.
55
00,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2e-09 4e-09 6e-09 8e-09 1e-08
P
t in s
P1(t), B=10mT, D Vr=1V, D V(0)=0VP0(t), B=10mT, D Vr=1V, D V(0)=0VPmeta(t), B=10mT, D Vr=1V, D V(0)=0V
Abbildung 3.28: Entwicklung von P1(B, t), P0(B, t) und Pmeta(B, t) fu¨r B=10mT
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15
P 1
(B
), P
0(B
)
B in T
P1(B), D V(0)=0VP0(B), D V(0)=0V
Abbildung 3.29: P1(B) und P0(B) in Abha¨ngigkeit von B
56
00,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
P
B in T
Perr(B)
Abbildung 3.30: Perr(B)
Ist bei der Detektion eines digitalen Magnetfeldsignals mit ±B die Wahrscheinlichkeit
fu¨r das Auftreten von Nullen und Einsen gleich und legt man die Schwelle zur Detektion
genau in die Mitte, so erha¨lt man die Fehlerwahrscheinlichkeit nach Gleichung 2.78 zu
Perr(B) = 0, 5− Φ0
µ
SID|B|
β(Vdd − Vtn − |Vtp|)
s
3C
2kTr(1 + 2ν2)
¶
. (3.128)
Definiert man die Konstante α zu
α =
SID
β(Vdd − Vtn − |Vtp|)
s
3C
2kTr(1 + 2ν2)
, (3.129)
so kann man auch schreiben
Perr(B) = 0, 5− Φ0
¡
α · |B|¢. (3.130)
Ein typischer Wert fu¨r α ist 7, 6T−1. Die Fehlerwahrscheinlichkeit dafu¨r ist in Abbildung
3.30 dargestellt.
Die Eigenschaft der Metastabilita¨t la¨sst sich auch zur Detektion eines dritten Zustandes
nutzen, sozusagen als terna¨rer Sensor. Dazu sollte die Wahrscheinlichkeit Pmeta groß ge-
nug sein, im Allgemeinen um 0,5. Interessant ist dabei, wo diese Grenze liegt, das heißt
wo Pmeta(B=0T, t)
!
= 0, 5 bei P1=P0. Die Kapazita¨t C la¨sst sich einstellen, wenn sie als
Kapazita¨tsdiode wie in [104] oder als variabel gekoppelter Kondensator wie im vorlie-
genden Projekt, und die Entscheidungszeit tr kann u¨ber die Taktfrequenz der Schaltung
57
01e-09
2e-09
3e-09
4e-09
5e-09
6e-09
7e-09
5e-14 1e-13 1,5e-13 2e-13 2,5e-13
t i
n 
s
C in F
t(Pmeta=0,5)
Abbildung 3.31: Zeit bis zum Erreichen von Pmeta = 0, 5 in Abha¨ngigkeit von C
kontrolliert werden. Es ergibt sich
Pmeta(t) = 2Φ0
ˆ
Vrr
2kTr
3C
‡
(1 + 2ν2) e2G1t−1
·
!
(3.131)
und mit der Umkehrfunktion Φ−10
Vrr
2kTr
3C
‡
(1 + 2ν2) e2G1t−1
· = Φ−10
µ
Pmeta
2
¶
. (3.132)
Wird diese Gleichung nach t aufgelo¨st, ergibt sich mit G1 = β(VDD − Vtn − |Vtp|)/C
t =
C
2β(VDD − Vtn − |Vtp|) ln
ˆ
1
1 + 2ν2
µ
3CV 2r
2kTr ·
‡
Φ−10 (0, 5 · Pmeta)
·2 + 1
¶!
.
(3.133)
Diese Abha¨ngigkeit wird in der Abbildung 3.31 gezeigt.
Betrachtet man die Schaltung als vollsta¨ndig gekippt, wenn Pmeta = 0, 000001, so ergibt
sich aus Gleichung 3.133 fu¨r eine feste Zeit tr eine maximale Kapazita¨t C(tr). Setzt
man diese Kapazita¨t wieder in die Gleichung fu¨r die Fehlerwahrscheinlichkeit ein, so
erha¨lt man die minimal mo¨gliche Fehlerwahrscheinlichkeit Perr,min bei einer gegebenen
Auflo¨sungszeit tr. Abbildung 3.32 stellt die minimal mo¨gliche Fehlerwahrscheinlichkeit
58
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 2e-08 4e-08 6e-08 8e-08 1e-07
P
tr in s
Perr,min(B=10mT)Perr,min(B=20mT)Perr,min(B=30mT)
Abbildung 3.32: Perr,min in Abha¨ngigkeit von tr
fu¨r eine gegebene Entscheidungszeit tr dar.
Perr,min(B) = 0, 5− Φ0
ˆ
S ′ID|B|
β(Vdd − Vtn − |Vtp|)
s
3C(tr)
2kTr(1 + 2ν2)
¶
(3.134)
59
60
Kapitel 4
Digitale Magnetfeld-Sensorarrays
4.1 Sensorstruktur
Ausgehend von dem Modell der ru¨ckgekoppelten Inverter aus dem letzten Kapitel wer-
den diese stochastischen Sensoren jetzt fu¨r eine Anordnung in Arrays optimiert. Wie im
vorigen Kapitel gezeigt, folgt der Prozess des Kippens der gekoppelten Inverter aus dem
metastabilen Zustand in einen festen Endzustand stochastischen Prinzipien. Die Wahr-
scheinlichkeit des Kippens in die eine oder andere Richtung ha¨ngt sowohl vom Arbeits-
punkt der gekoppelten Inverter als auch von einem a¨ußeren orthogonalen Magnetfeld
ab. Bei der Verwendung in Arrays ist die Arbeitspunkteinstellung wichtig. Als Opti-
mierungskriterien wurden in dieser Arbeit die Fla¨che und der Stromverbrauch gewa¨hlt,
natu¨rlich in Abha¨ngigkeit von der Empfindlichkeit. Deshalb ist eine querstrombehafte-
te Schaltung wie in Abbildung 4.1a in der Praxis nicht geeignet. Sie wu¨rde wa¨hrend
der Precharge-Phase zuviel Strom verbrauchen. Auch wu¨rden bei ho¨heren Frequenzen
die dadurch bedingten kurzen Prechargezeiten dazu fu¨hren, dass die gekoppelten Inver-
ter nicht mehr exakt in den Ausgangspunkt aufgeladen wa¨ren und dadurch die stati-
stische Unabha¨ngigkeit von benachbarten Entscheidungen verloren ginge. Aus diesem
Grund wurde eine Struktur nach Abbildung 4.1b gewa¨hlt, da dort durch Abschalten der
MAGFET-Gate-Spannung wa¨hrend des Precharge-Vorgangs die Schaltung querstrom-
frei wird.
4.2 Arbeitspunkteinstellung
Ein zentraler Punkt des Designs eines digitalen stochastischen Sensorarrays ist die Ein-
stellung der Arbeitspunkte. Durch Fertigungstoleranzen, die sich im Wesentlichen zei-
gen durch Schwankungen der Gate-Oxiddicke, Schwankungen in der Unterdiffusionsla¨n-
ge ∆L und ungleiche Dotierstoffkonzentrationen, entstehen Streuungen der MOSFET-
Parameter wie der Versta¨rkung β und der Schwellenspannung Vt. Auch wenn das Layout
im Entwurf genau symmetisch ist, sind bei der Realisierung Ungleichheiten vorhanden.
Damit ergeben sich aber auch Schwankungen im Arbeitspunkt der einzelnen Schaltun-
gen. Idealerweise sollte der Arbeitspunkt so liegen, dass ohne Anliegen eines externen
Magnetfelds durch das Eigenrauschen der MOSFETs und MAGFETs die Wahrschein-
lichkeit des Kippens in beide Richtungen jeweils 0,5 ist. Natu¨rlich kann der Arbeits-
punkt auch asymmetrisch gewa¨hlt werden. Er kann durch unterschiedliche Maßnahmen
beeinflusst werden. Die einzelnen Methoden haben verschiedene Vor- und Nachteile.
61
MAGFET
MAGFET
a) b)
V
DD
V
uv
V
preq
V
preq
V
preq
V
preq
V
DD
V
uv
Abbildung 4.1: Einzelnes Element fu¨r ein Sensorarray
Beeinflusst werden durch die Wahl der Methode die beno¨tigte Fla¨che pro Kanal, die Ge-
nauigkeit aufgrund zusa¨tzlichem Rauschen oder verla¨ngerter Auswertezeit, die Anforde-
rungen an die Codes, die Anspru¨che an den Fertigungsprozess und die Kalibrierkosten.
Ein großer Nachteil der statischen Methoden gegenu¨ber den dynamischen ist, dass sie
durch Gleichanteile im Magnetfeld oder durch Temperaturschwankungen ihren optima-
len Arbeitspunkt verlassen und im ungu¨nstigsten Fall nicht mehr detektieren ko¨nnen.
Ein interne Kompensation durch ein im Chip erzeugtes Magnetfeld, wie es [33] oder [103]
vorschla¨gt, ist aufwa¨ndig und fu¨hrt durch den Strom zu einer Temperaturerho¨hung. Ta-
belle 4.1 zeigt eine U¨bersicht u¨ber die mo¨glichen Methoden zur Arbeitspunkteinstellung.
Lasertrimmen Progr. D/A Floating-Gate Adaptiv
Typ statisch statisch statisch dynamisch
Fla¨che klein groß klein mittel
Prozess Standard Standard Floating-Gate Standard
Programmierbar nein ja ja ja
Codes alle alle alle beschra¨nkt
Kalibrierung ja ja ja nein
Tabelle 4.1: Vergleich der Verfahren zur Arbeitspunkteinstellung
62
4.2.1 Statische Arbeitspunkteinstellung
Lasertrimmen
Eine Methode ist das Lasertrimmen, bei der die Sensoren nach der Fertigung noch einem
Kalibrierungsprozess unterzogen werden, der den Arbeitspunkt mittels Verkleinerung
von aktiven Gatefla¨chen durch Laser einstellt. Diese Methode ist aufwa¨ndig und teuer.
Programmieren von Parametern
Eine weitere Methode ist das Programmieren von Parametern beim Testen der Sensoren.
Der optimale Arbeitspunkt wird gemessen und die entsprechenden Einstellungen dann in
einem nichtflu¨chtigen Speicher (meist Flash-ROM) auf dem Chip abgelegt. Die Daten aus
diesem Speicher werden u¨ber einen D/A-Umsetzer pro Kanal umgesetzt und beeinflussen
die Kippcharakteristik der einzelnen Sensorkana¨le [80, 36].
Programmierung von Floating-Gate-Transistoren
In [78] wird ein programmierbarer Floating-Gate n-Kanal MOSFET als Arbeitpunktein-
stellung fu¨r stochastische Sensoren gezeigt.
4.2.2 Dynamische Arbeitspunkteinstellung
Dabei ha¨ngt der Arbeitspunkt von den 0-1-Entscheidungen der gekoppelten Inverter
ab, die kontinuierlich ausgewertet werden. U¨ber einen geeigneten Algorithmus ko¨nnen
Steuergro¨ßen fu¨r den Sensor gewonnen werden, die den optimalen Arbeitspunkt einstel-
len. Aus den Gleichungen in Abschnitt 3.1 ko¨nnen die verschiedenen Mo¨glichkeiten der
Beeinflussung des Arbeitspunkts abgeleitet werden.
Unterschiedliche Precharge-Spannungen
Die Kippwahrscheinlichkeit ist durch Vera¨nderung der Precharge-Spannungen Vprel und
Vprer direkt beeinflussbar. Je nach Spannungsdifferenz kippt die Schaltung eher in die
eine oder eher in die andere Richtung (Abbildung 4.2).
Verzo¨gertes Abschalten der Precharge-Spannungen
Eine verzo¨gertes Abschalten der Precharge-Spannungen bei gleichzeitigem Einschalten
der Gate-Spannung des MAGFETs fu¨hrt ebenfalls zu einer Precharge-Spannungsdifferenz,
die das Kippverhalten beeinflusst. Ein kurzzeitiger Querstrom wird dabei in Kauf ge-
nommen (Abbildung 4.3).
Vera¨nderliche Knotenkapazita¨t
Wenn an den beiden Knoten L1 und R1 steuerbare Kapazita¨ten angeschlossen werden,
ko¨nnen die Umladezeiten der Knoten gesteuert werden (Abbildung 4.4). In [104] erfolgte
die Realisierung durch Kapazita¨tsdioden. Dafu¨r sind negative Spannungen erforderlich.
63
Vpreq
V
dd
V
prer
V
uv
V
prel
V
preq
Abbildung 4.2: Unterschiedliche Precharge-Spannungen
V
preql
V
preqr
V
dd
V
uv
Abbildung 4.3: Zeitlich verzo¨gertes Precharge
64
Vdr
V
dl
V
preq
V
preq
V
dd
V
uv
Abbildung 4.4: Kapazita¨tsdioden
Gekoppelte Kondensatoren
Statt direkt an den Inverterknoten kann ein Kondensator auch u¨ber einen MOSFET
angeschlossen werden. Der MOSFET wirkt dabei als steuerbarer Widerstand, dessen
Wert von seiner Gate-Spannung abha¨ngt. Der Anschluss kann entweder an die Drains
des MAGFETs oder an die Knoten der ru¨ckgekoppelten Inverter erfolgen (Abbildungen
4.5 und 4.6). Die Steuerspannungen fu¨r die einzelnen dynamischen Methoden ko¨nnen
durch D/A-Umsetzer oder extern zur Verfu¨gung gestellt werden.
Bei der Entscheidung, welche Methode fu¨r die vorliegende Realisierung eines Sensorar-
rays genommen wird, wurde als Grundvoraussetzung ein Standard-CMOS-Prozess an-
genommen, was die Floating-Gate-Lo¨sung ausschloss. Auch auf das Lasertrimmen sollte
verzichtet werden. Da die Lo¨sung mit den programmierbaren D/A-Wandlern bei großen
Sensorarrays zu viel Fla¨che in Anspruch nehmen wu¨rde, ergab sich zwingend eine dyna-
mische Arbeitspunkteinstellung. Aufgrund des hohen Fla¨chenbedarfs und der zusa¨tzlich
erforderlichen negativen Spannungen wurde die Lo¨sung mit den Kapazita¨tsdioden ver-
worfen. Als beste Lo¨sung bei minimaler Fla¨che fiel die Entscheidung fu¨r die gekoppelten
Kondensatoren. Zum Zwecke der genauen Untersuchung der Schaltung wurde auch die
Mo¨glichkeit vorgesehen, die Precharge-Spannungen und die Steuerspannungen extern
einstellen zu ko¨nnen.
65
Vdd
V
preq
V
preq
V
cl
V
cr
V
uv
Abbildung 4.5: Gekoppelte Kondensatoren an den MAGFET-Drains
V
preq
V
cl
V
cr
V
dd
V
preq
V
uv
Abbildung 4.6: Gekoppelte Kondensatoren an den Inverterknoten
66
4.3 Realisierter Sensor
Der realisierte Sensor, der in Abbildung 4.7 dargestellt ist, besteht aus einem ru¨ckgekop-
pelten Inverter mit der schon vorher erwa¨hnten Besonderheit, dass die Sources der bei-
den NMOS-Transistoren nicht an Vss, sondern direkt an die beiden Drains des MAGFET
angeschlossen werden. Mit den Drains sind u¨ber zwei Koppel-MOSFETs die Kondensa-
toren Cl0 und Cr0 verbunden. Sie werden zur Steuerung des Arbeitspunkts verwendet.
Cl1, Cr1, Cl2 und Cr2 sind parasita¨re Kapazita¨ten. Die vier Precharge-Transistoren la-
den die Gates der Inverter und die Drains des MAGFET vor. Mit dieser Anordnung
sind zwei Arten von Arbeitspunkteinstellung mo¨glich, na¨mlich durch unterschiedliche
Precharge-Spannungen und durch gekoppelte Kondensatoren. Bei der folgenden Ana-
lyse werden diese beiden Mo¨glichkeiten durch eine Fallunterscheidung beru¨cksichtigt.
Es ko¨nnen jeweils vier Phasen unterschieden werden. Als dominierenden Rauschbeitrag
wird nur das kT/C-Rauschen der Precharge-Transistoren modelliert. Als Kippergebnis
wird eine ’0’ angenommen, wenn die Spannung am Knoten L2 auf Null geht und am
Knoten R2 auf Vdd. Im umgekehrten Fall ist das Ergebnis eine ’1’. Die Ansteuersignale
Vpreq und Vuv zeigt Abbildung 4.8.
4.3.1 Arbeitspunktwahl durch Precharge-Spannungen
In diesem Fall sind die Spannungen Vcl und Vcr auf Vdd und die Kondensatoren Cl0 und
Cr0 sind nicht mit der Schaltung verbunden.
Precharge-Phase
Die Precharge-Transistoren sind aktiv und schalten damit alle Transistoren der Inverter
in den Aus-Zustand (Abbildung 4.9a). Alle Knotenkapazitaten werden auf Vdd, Vdda bzw.
Vddb aufgeladen. Wenn diese Phase durch die Abschaltung der Precharge-Transistoren
beendet wird, dann verbleibt auf allen Kondensatoren eine rauschbehaftete Ladung. Die
mittlere Rauschspannung an einem einzelnen Kondensator betra¨gt nach Gleichung 3.103
q
u2C =
r
kT
C
.
Die Parameterextraktion des Layouts ergibt fu¨r die Kapazita¨ten folgende Werte: Cl1 =
Cr1 = 37fF, Cl2 = Cr2 = 56fF. Hierbei sind die Gate-Kapazita¨ten der MOSFETs schon
beru¨cksichtigt. Damit ergibt sich die mittlere Rauschspannung am Ende des Precharge-
Vorgangs bei Raumtemperatur an den Knoten L1 und R1 zu jeweils
q
u2n1 = 335µV und
an den Knoten L2 und R2 zu jeweils
q
u2n2 = 272µV. Wie sich diese Rauschspannungen
auf das Kippverhalten auswirken wird nachher noch analysiert.
Entladungsphase I
Der MAGFET wird aktiv geschaltet, indem seine Gate-Spannung eingeschaltet wird.
Durch die Drainstro¨me werden die Kapazita¨ten entladen (Abbildung 4.9b). Der MAG-
FET ist im Sa¨ttigungsbereich, solange L1 > Vuv − Vtn und R1 > Vuv − Vtn. Seine Drain-
67
Cr2
C
l2
C
l1
C
r1
4/5,25
C
r0
C
l0
R0L0
V
ddb
V
dd
V
dda
2,5/1
1,75/1
1,5/1 1,25/1
2,5/1
1,75/1
I
pr
L1 R1
2/1 2/1
V
uv
I
mr
I
pl
I
ml
V
preq
2/1
V
cr
V
cl
V
preq
I
cl
I
nl
I
nr
2/1
I
cr
1,5/1
1,25/1
R2L2
Abbildung 4.7: Realisierter Sensor
68
25ns 75ns 125ns 175ns
Vuv
0V
1V
2V
3V
Vpreq
0V
1V
2V
3V
4V
5V
L2
R2
0V
5V
Ivdd
 1,0mA
 0,5mA
 0,0mA
Abbildung 4.8: Ansteuerung des Sensors mittels Vpreq und Vuv
(a) (b)
C
l1
C
l2
C
r1
C
r2
V
dda
V
preq
L1
R2
V
ddb
V
preq
L2
R1
C
l1
C
r1
L1 R1
V
uv
Abbildung 4.9: a)Precharge-Phase, b)Entladungsphase I
69
stro¨me lauten mit Gleichung 2.29
Iml =
1
2
IDm − S ′BIDm = (1
2
− S ′B) · 1
2
βm(Vuv − Vtn)2
=
1
2
βml(Vuv − Vtn)2 (4.1)
Imr =
1
2
IDm − S ′BIDm = (1
2
+ S ′B) · 1
2
βm(Vuv − Vtn)2
=
1
2
βmr(Vuv − Vtn)2. (4.2)
Die Gro¨ßen βml und βmr errechnen sich aus der relativen Empfindlichkeit S und dem
anliegenden Magnetfeld B damit zu
βml =
1
2
βm(1− SB) (4.3)
βmr =
1
2
βm(1 + SB). (4.4)
Entladungsphase II
Zum Zeitpunkt t=t1 werden die n-Kanal-MOSFETs aktiv (Abbildung 4.10c). Je nach
Spannungsdifferenz der Knoten L1 und R1 wird das fast gleichzeitig erfolgen. In den
Gleichungen muss der Body-Effekt beru¨cksichtigt werden.
Inl(t) =
βn
2
(R2(t)− L1(t)− Vtnbl(t))2 (4.5)
Inr(t) =
βn
2
(L2(t)−R1(t)− Vtnbr(t))2 (4.6)
Entscheidungsphase
Zum Zeitpunkt t=t2 werden die p-Kanal-MOSFETS aktiv und damit auch die kom-
pletten Inverter, die zu kippen beginnen(Abbildung 4.10d). Die Stro¨me der p-Kanal-
MOSFETs betragen dann
Ipl(t) =
βp
2
(Vdd − L2(t)− |Vtp|)2 (4.7)
Ipr(t) =
βp
2
(Vdd −R2(t)− |Vtp|)2. (4.8)
Das entstehende Gleichungssystem ist zu komplex, um es analytisch zu lo¨sen. Die Schal-
tung kann aber mit SPICE simuliert werden. Die SPICE-Simulation eines Kippvorgangs
fu¨r Vuv=3V und B=11,7mT zeigt Abbildung 4.11. Zum Zeitpunkt t=0ns wird die Ga-
tespannung Vuv des MAGFETs eingeschaltet. Die Knoten L1 und R1 werden langsam
entladen. Die n-Kana¨ler des ru¨ckgekoppelten Inverters werden zum Zeitpunkt t1=1,5ns
aktiv, die p-Kanal-Transistoren zum Zeitpunkt t2=4,2ns. Nach ungefa¨hr 17ns ist die
Schaltung vollsta¨ndig gekippt. Wesentlich fu¨r das Kippen der Inverter ist die Differenz-
spannung ∆Vlr2 zum Zeitpunkt t2 wenn die p-Kanal-Transistoren zu leiten beginnen.
∆Vlr2(t2) = L2(t2)−R2(t2) (4.9)
70
(c) (d)
C
l1
C
r1
C
r2
C
l2
L1 R1
L2
R2
V
uv
C
l1
C
r1
C
r2
C
l2
L1 R1
R2
L2
V
dd
V
uv
Abbildung 4.10: c) Entladungsphase II (t1<t<t2), d) Entscheidungsphase (t>t2)
Es stellt sich die Frage, wie der Einfluss des Rauschens auf die Kippcharakteristik er-
mittelt werden kann. Die u¨bliche Lo¨sung ist, eine Transienten-Monte-Carlo-Simulation
zu machen. Sie ist in diesem Fall allerdings nicht problemlos wegen der Metastabili-
ta¨t, da im metastabilen Bereich oft Konvergenzprobleme und damit auch falsche Werte
auftreten. Deshalb wird hier ein anderer Weg gewa¨hlt. An spezifischen Punkten wird
der Rauscheinfluss mit einer SPICE-Rauschsimulation ermittelt. Die Transienten und
deren Wahrscheinlichkeitsverteilung werden aber u¨ber eine stochastische Differential-
gleichung ermittelt. Vereinfachenderweise kann man den Einfluss des kT/C-Rauschens
der Precharge-Transistoren auf die Differenzspannung ∆Vlr2 bis zum Beginn der Ent-
scheidungsphase zur Zeit t2 simulieren und ab dort mit verschiedenen Parametern eine
Gleichung fu¨r das Kippen der nun aktiven ru¨ckgekoppelten Inverter aufstellen. Diese
Parameter werden ebenfalls durch eine SPICE-Simulation gewonnen.
Tabelle 4.2 zeigt den Einfluss der kT/C-Rauschspannungen der Precharge-Transistoren
auf die Spannung ∆Vlr2.
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vdda/V
4,0000 0,846 0,720 0,662 0,614 0,578 0,547
4,2500 1,424 1,151 1,114 0,894 0,847 0,793
4,5000 1,878 1,499 1,283 1,144 1,089 1,000
4,7500 2,176 1,802 1,530 1,386 1,312 1,229
5,0000 2,565 2,100 1,789 1,646 1,566 1,498
Tabelle 4.2: ∆Vlr2 in mV zur Zeit t2 fu¨r die kT/C-Rauschspannungen
Bezieht man die durch ein Magnetfeld bedingte Spannungsdifferenz ∆Vlr2m zum Zeit-
71
0ns 5ns 10ns 15ns
Vuv
0V
1V
2V
L1
R1
0V
1V
2V
3V
4V
5V
L2
R2
0V
1V
2V
3V
4V
5V
L2-R2
0V
1V
2V
3V
4V
5V
log(L2-R2)
-10
-5
0
Ipr
Ipl
PMOS leitet (t2)
(Entscheidungsphase)
0A
50uA
Inr
Inl
NMOS leitet (t1)
(Entladungsphase II)
0A
50uA
Imr
Iml
0A
10uA
20uA
30uA
40uA
Abbildung 4.11: SPICE-Simulation eines Kippvorgangs, Arbeitspunkteinstellung durch
Vdda und Vddb
72
punkt t2 auf die Flussdichte des Magnetfelds, so erha¨lt man den Parameter
η =
∆Vlr2m
B
(4.10)
Er ist in Tabelle 4.3 dargestellt.
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vdda/V
4,0000 0,024 0,019 0,017 0,013 0,013 0,011
4,2500 0,059 0,047 0,038 0,034 0,031 0,026
4,5000 0,095 0,075 0,062 0,056 0,050 0,042
4,7500 0,132 0,104 0,087 0,079 0,072 0,062
5,0000 0,170 0,135 0,114 0,105 0,097 0,082
Tabelle 4.3: η in V/T zur Zeit t2
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vdda/V
4,0000 5,056 2,784 1,813 1,302 1,000 0,703
4,2500 6,383 3,506 2,285 1,645 1,270 0,901
4,5000 7,674 4,191 2,721 1,952 1,506 1,064
4,7500 8,980 4,878 3,153 2,255 1,734 1,216
5,0000 10,310 5,577 3,591 2,560 1,961 1,365
Tabelle 4.4: Zeit t2 in ns
Tabelle 4.4 zeigt die Zeit t2 bis zum Leiten der p-Kanal-Transistoren. Das Kippen der
ru¨ckgekoppelten Inverter und das Verhalten der Spannung ∆Vlr2 wird in Abbildung 4.12
gezeigt.
73
-4
-2
 0
 2
 4
 0  5e-09  1e-08  1,5e-08  2e-08  2,5e-08
lo
g(|
D
V
lr2
|)
,
|DV
lr2
| in
 V
Zeit in s
Vuv=2,0V
    2,5V
    3,0V
    3,5V
    4,0V
    5,0V
Abbildung 4.12: |∆Vlr2(t)| bei Vdda = 5V
4.3.2 Arbeitspunktwahl durch gekoppelte Kapazita¨ten
Im Gegensatz zum vorigen Fall sind die Precharge-Spannungen jetzt gleich (Vdda =
Vddb = Vdd) und die Arbeitspunkteinstellung erfolgt u¨ber die Spannungen Vcl und Vcr.
Precharge-Phase
Die Precharge-Transistoren sind aktiv und schalten damit alle Transistoren der Inverter
in den Aus-Zustand. Die Steuerkondensatoren werden aufgeladen (Abbildung 4.13a).
Wenn diese Phase durch die Abschaltung der Precharge-Transistoren beendet wird, dann
verbleibt auf allen Kondensatoren eine Rauschladung. Die parasita¨ren Kapazita¨ten sind
gleich wie im letzten Abschnitt. Die Kondensatoren Cl0 und Cr0 haben eine Kapazita¨t
von ungefa¨hr 100fF.
Entladungsphase I
Der MAGFET wird aktiv geschaltet, indem seine Gate-Spannung eingeschaltet wird.
Durch die Drainstro¨me werden die Steuerkondensatoren entladen (Abbildung 4.13b).
Die Gleichungen fu¨r die Drainstro¨me des MAGFETs sind gleich wie im vorigen Fall
(Gleichungen 4.3 bis 4.4). Die p-Kanal-Transistoren an den Kondensatoren Cl0 und Cr0
befinden sich im linearen Bereich.
Entladungsphase II
Die n-Kanal-MOSFETs werden ab dem Zeitpunkt t=t1 aktiv (Abbildung 4.14c). Je
nach Spannungsdifferenz der Knoten L1 und R1 wird das fast gleichzeitig erfolgen. Die
74
(a) (b)
C
l1
C
l0
L0
C
l2
C
r1
C
r0
R0
C
r2
V
dd
V
dda
V
cl
V
preq
I
cl
R2
L1
V
ddb
V
preq
V
cr
I
cr
R1
L2
L0
C
l1
C
r1
C
r0
C
l0
R0
L1 R1
V
cr
V
cl
V
uv
Abbildung 4.13: a) Precharge-Phase, b) Entladungsphase I
Gleichungen fu¨r Inl und Inr ko¨nnen vom vorigen Abschnitt (Gleichungen 4.5 und 4.6)
u¨bernommen werden.
Entscheidungsphase
Zum Zeitpunkt t=t2 werden die Inverter komplett aktiv und beginnen zu kippen (Ab-
bildung 4.14d).
Auch in diesem Fall wird eine SPICE-Simulation der aus dem Layout extrahierten Netz-
liste durchgefu¨hrt. Abbildung 4.15 zeigt die Simulation fu¨r Vuv=3,0V, Vcl=2,5V und
bei B=11,7mT. Dabei werden die n-MOSFETs zum Zeitpunkt t1=2,3ns aktiv, die p-
MOSFETs zum Zeitpunkt t2=5,2ns. Die Schaltung ist nach ungefa¨hr 18ns vollsta¨ndig
gekippt. Wie schon im vorigen Fall ist fu¨r das Kippen der Inverter die Differenzspannung
∆Vlr2 = L2− R2 zum Zeitpunkt t2 wichtig, wenn die p-Kanal-MOSFETs zu leiten be-
ginnen. Als Parameter ist in diesem Fall die Steuerspannung Vcl vorhanden. Fu¨r sie gilt
Vcl ≈ Vcr. Die Quadrate der kT/C-Rauschbeitra¨ge der einzelnen Precharge-Transistoren
ko¨nnen addiert werden. Daraus erha¨lt man eine einzige Rauschdifferenzspannung ∆Vlr2n,
die zur weiteren Berechnung des Kippverhaltens dient. Die Rauschdifferenzspannung ist
in Tabelle 4.5 fu¨r verschiedene Arbeitspunkte angegeben.
Bezieht man den Betrag der durch das Magnetfeld hervorgerufenen Differenzspannung
auf die Flussdichte des Magnetfelds, so ergibt sich wie im vorhergehenden Abschnitt die
Relation
η =
∆Vlr2m
B
Die Werte von η sind in der Tabelle 4.6 aufgelistet. In Tabelle 4.7 ist die Zeit t2 bis zum
75
(c) (d)
L0
C
l1
C
r1
C
r2
C
r0
C
l0
C
l2
R0
L1 R1
V
cr
L2
R2
V
uv
V
cl
L0
C
l1
C
r1
C
r2
C
r0
C
l0
C
l2
R0
L1 R1
V
cr
V
cl
V
dd
V
uv
L2 R2
Abbildung 4.14: c) Entladungsphase II (t1<t<t2), d) Entscheidungsphase (t>t2)
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vcl/V
0,0 47,257 10,665 5,136 3,264 2,564 2,541
1,0 4,207 3,001 2,500 2,246 2,048 1,959
1,5 3,506 2,893 2,498 2,168 1,998 1,840
2,0 3,316 2,916 2,493 2,124 1,905 1,708
2,5 3,311 2,891 2,343 1,939 1,742 1,657
3,0 3,435 2,619 2,073 1,756 1,652 1,544
3,5 2,667 2,121 1,822 1,624 1,554 1,526
5,0 2,565 2,100 1,789 1,646 1,566 1,498
Tabelle 4.5: ∆Vlr2n in mV
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vcl/V
0,0 3,256 0,804 0,426 0,291 0,232 0,188
1,0 0,413 0,299 0,247 0,210 0,188 0,155
1,5 0,352 0,275 0,233 0,188 0,168 0,131
2,0 0,281 0,241 0,196 0,163 0,141 0,112
2,5 0,236 0,202 0,161 0,133 0,118 0,101
3,0 0,209 0,164 0,134 0,115 0,106 0,087
3,5 0,174 0,138 0,116 0,106 0,096 0,083
5,0 0,170 0,135 0,114 0,105 0,097 0,082
Tabelle 4.6: η/VT−1 fu¨r verschiedene Arbeitspunkte
76
0ns 5ns 10ns 15ns 20ns
Vuv
0V
1V
2V
L0
R0
5,0V
4,5V
L1
R1
0V
5V
L2
R2
0V
5V
L2-R2
0V
5V
log(L2-R2)
-10
-5
0
Ipr PMOS leitet (t2)
(Entscheidungsphase)
Ipl
0A
50uA
Inr
Inl
NMOS leitet (t1)
(Entladungsphase II)
0A
50uA
Imr
Iml
0A
10uA
20uA
30uA
40uA
Abbildung 4.15: SPICE-Simulation des Kippvorgangs, Arbeitspunkteinstellung durch
Vcl und Vcr
77
Leiten der p-Kanal-Transistoren dargestellt. Die Abbildungen 4.16 und 4.17 zeigen das
Kippverhalten der gekoppelten Inverter abha¨ngig von Vuv und Vcl.
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vcl/V
0,0 27,405 14,130 8,624 5,815 4,193 2,570
1,0 23,084 11,727 7,083 4,738 3,401 2,093
1,5 20,295 10,301 6,217 4,159 2,994 1,872
2,0 17,508 8,887 5,369 3,607 2,620 1,682
2,5 14,801 7,530 4,586 3,124 2,307 1,528
3,0 12,258 6,340 3,953 2,756 2,078 1,419
3,5 10,463 5,623 3,610 2,569 1,967 1,368
5,0 10,310 5,577 3,591 2,560 1,961 1,365
Tabelle 4.7: Zeit t2 in ns
-4
-2
 0
 2
 4
 0  5e-09  1e-08  1,5e-08  2e-08  2,5e-08
lo
g(|
D
V
lr2
|)
,|D
V
lr2
| in
 V
Zeit in s
Vcl=0,0V
    1,0V
    1,5V
    2,0V
    2,5V
    3,0V
    3,5V
    5,0V
Abbildung 4.16: |∆Vlr2| in Abha¨ngigkeit von Vcl bei Vuv=3,0V
4.3.3 Rauschbehafteter Kippvorgang
Unabha¨ngig von der Art der Arbeitspunkteinstellung kann das Kippen der gekoppelten
Inverter ab dem Zeitpunkt t2 na¨herungsweise durch eine Exponentialgleichung beschrie-
ben werden, die a¨hnlich der Gleichung 3.18 in Abschnitt 3.1.1 ist. Sie lautet
∆Vlr2(t) = ∆Vlr2(t2) · eG(t− t2) +λB
‡
eG(t− t2)−1
·
. (4.11)
Diese Gleichung gilt, solange noch alle Transistoren der ru¨ckgekoppelten Inverter in der
Sa¨ttigung arbeiten.
78
-4
-2
 0
 2
 4
 0  5e-09  1e-08  1,5e-08  2e-08  2,5e-08
lo
g(|
D
V
lr2
|)
,
|DV
lr2
| in
 V
Zeit in s
Vuv=2,0V
    2,5V
    3,0V
    3,5V
    4,0V
    5,0V
Abbildung 4.17: |∆Vlr2| in Abha¨ngigkeit von Vuv bei Vcl=2,5V
Unabha¨ngig von der Art der Arbeitspunkteinstellung ko¨nnen nun die Ergebnisse aus Ab-
schnitt 3.3.2 mit leichten Modifikationen auf den realisierten Sensor u¨bertragen werden.
Dabei werden folgende Vereinfachungen gemacht:
• Alle Anfangswerte beziehen sich auf den Zeitpunkt t2, an dem beide Inverter aktiv
sind.
• Der Faktor G wird als konstant angenommen und durch eine SPICE-Simulation
ermittelt.
• Der Faktor λ wird als konstant angenommen (MAGFET in der Sa¨ttigung) und
durch eine SPICE-Simulation bestimmt.
• Die Rauschdifferenzspannung g wird wa¨hrend des Kippens als konstant angenom-
men und durch eine SPICE-Simulation bestimmt.
• Der Mittelwert der Spannung ∆Vlr2 zum Zeitpunkt t2 ist gleich ∆Vlr2m
• Die Standardabweichung der Spannung ∆Vlr2 zum Zeitpunkt t2 ist gleich ∆Vlr2n
Mit diesen Vereinfachungen wird folgende Differentialgleichung a¨hnlich zu 3.73 aufge-
stellt.
d∆Vlr2(t)
dt
= G∆Vlr2(t) + GλB +
p
Gg2ξ(t) (4.12)
Der Faktor g berechnet sich in diesem Fall zu
g =
√
2 ·
q
u2n2, (4.13)
79
wobei die Rauschspannung un2 an den Knoten L2 und R2 durch eine SPICE-Simulation
bestimmt wird und in Tabelle 4.8 angegeben ist. Die Faktoren G und λ werden ebenfalls
mit SPICE bestimmt und sind in den Tabellen 4.9 bis 4.12 aufgelistet.
Vuv 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0q
u2n2/mV 1,746 1,669 1,575 1,484 1,414 1,407 1,402
Tabelle 4.8:
q
u2n2 mit SPICE ermittelt
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vdda/V
4,0000 0,683 0,900 1,204 1,702 1,943 2,256
4,2500 0,440 0,670 0,996 1,263 1,471 1,664
4,5000 0,436 0,632 0,932 1,154 1,366 1,555
4,7500 0,403 0,611 0,880 1,110 1,299 1,502
5,0000 0,392 0,606 0,874 1,095 1,267 1,471
Tabelle 4.9: G/(109s−1)
Vuv/V 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 5,0
Vcl/V
0,0 0,313 0,473 0,692 0,901 1,103 1,313
1,0 0,369 0,544 0,750 0,997 1,137 1,350
1,5 0,371 0,549 0,760 1,000 1,164 1,372
2,0 0,379 0,547 0,778 0,999 1,169 1,405
2,5 0,384 0,559 0,791 1,034 1,198 1,439
3,0 0,391 0,575 0,813 1,070 1,235 1,483
3,5 0,397 0,598 0,837 1,081 1,284 1,466
5,0 0,392 0,606 0,874 1,095 1,267 1,471
Tabelle 4.10: G/(109s−1)
Die Lo¨sung von Gleichung 4.12 lautet fu¨r t>t2
p(∆Vlr2, B, t) =
1r
pi2u2n2
‡¡
1 + ∆V 2lr2n / u
2
n2
¢
e2G(t− t2)−1
· e−z (4.14)
mit
z =
‡
∆Vlr2 − (η + λ)BeG(t− t2) + λB
·2
2u2n2
‡¡
1 + ∆V 2lr2n / u
2
n2
¢
e2G(t− t2)−1
· . (4.15)
Dieses Verhalten ist in den Abbildungen 4.18 und 4.19 fu¨r Vuv=3,0V, Vcl=2,5V und
B=10mT gezeigt.
80
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vdda/V
4,0000 0,785 2,091 1,719 2,083 2,125 1,824 1,567 1,839 2,122
4,5000 3,493 4,566 5,723 5,873 5,314 5,558 6,556 6,886 7,394
5,0000 3,047 2,865 4,743 5,570 5,175 5,870 6,762 7,361 8,841
Tabelle 4.11: λ · 103/VT−1
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 0,613 0,811 1,001 1,035 1,093 1,224 1,546 1,622 2,297
0,5 0,200 0,317 0,458 0,627 0,889 1,249 1,348 2,032 2,891
1,0 0,082 0,245 0,510 0,821 1,223 1,685 1,875 2,852 4,019
1,5 0,188 0,522 0,970 1,446 2,081 2,580 2,991 3,980 5,311
2,0 0,372 1,046 1,876 2,281 3,050 3,298 4,561 5,563 6,937
2,5 0,806 1,682 3,052 3,542 4,399 4,476 5,482 7,175 7,920
3,0 1,740 2,671 4,384 4,687 5,603 6,943 6,359 7,916 8,786
Tabelle 4.12: λ · 103/VT−1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
-0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
p(D
V
lr2
,
B
,t)
D Vlr2 in V
t=t2        
t=t2+1ns
t=t2+2ns
t=t2+3ns
Abbildung 4.18: Wahrscheinlichkeitsdichte p(∆Vlr2, B, t)
81
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
P
D Vlr2 in V
t=t2        
t=t2+1ns
t=t2+2ns
t=t2+3ns
Abbildung 4.19: Kumulierte Wahrscheinlichkeit
Betrachtet man die Stufe als gekippt, wenn |∆Vlr2| ≥ Vr, so ergeben sich die Wahr-
scheinlichkeiten der Einsen, der Nullen und des metastabilen Zustands zu
P1(B, t) =
∞Z
∆Vr
p(∆Vlr2, B, t) d∆Vlr2
= 0, 5− Φ0
ˆ
∆Vr − (η + λ)BeG(t− t2) + λBr
u2n2
‡¡
1 + ∆V 2lr2n / u
2
n2
¢
e2G(t− t2)−1
·
!
(4.16)
P0(B, t) =
−∆VrZ
−∞
p(∆Vlr2, B, t) d∆Vlr2
= 0, 5 + Φ0
ˆ
−∆Vr − (η + λ)BeG(t− t2) + λBr
u2n2
‡¡
1 + ∆V 2lr2n / u
2
n2
¢
e2G(t− t2)−1
·
!
(4.17)
Pmeta(B, t) = 1− P1(B, t)− P0(B, t). (4.18)
Fu¨r Zeiten kleiner als t2 ist P1(B, t)=0, P0(B, t)=0 und Pmeta(B, t)=1. Abbildung 4.20
zeigt das Verhalten der Wahrscheinlichkeiten fu¨r den Fall Vuv = 3, 0V, Vcl = 2, 5V und
B = 10mT. Lo¨st man die letzte Gleichung nach t auf und setzt man B=0T, so erha¨lt
82
00,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5e-09 1e-08 1,5e-08 2e-08 2,5e-08
P(
t)
Zeit in s
P1(t)P0(t)Pmeta(t)
Abbildung 4.20: Wahrscheinlichkeiten P1, P0 und Pmeta fu¨r B=10mT
man die Zeit tr bis zum Erreichen einer bestimmten Metastabilita¨tswahrscheinlichkeit
Perr.
tr =
1
2G
ln
ˆ
1
u2n2 + ∆V
2
lr2n
·
µ
u2n2 +
∆V 2r‡
Φ−10
¡
0, 5 · Pmeta(t)
¢·2
¶!
(4.19)
Hat die Schaltung genug Zeit, um vollsta¨ndig zu kippen, so geht Pmeta gegen Null und
P1 und P0 ergeben sich zu
P1(B) = 0, 5 + Φ0
ˆ
(η + λ) ·Bq
u2n2 + ∆V
2
lr2n
!
(4.20)
P0(B) = 0, 5− Φ0
ˆ
(η + λ) ·Bq
u2n2 + ∆V
2
lr2n
!
. (4.21)
Abbildung 4.21 zeigt P1 und P0 im vollsta¨ndig gekippten Zustand in Abha¨ngigkeit vom
Magnetfeld fu¨r Vuv = 3, 0V und Vcl = 2, 5V. Vergleicht man diese Abbildung mit der
entsprechenden Abbildung 3.29 aus Abschnitt 3.3.3, so kann man sehen, dass die Emp-
findlichkeit des realisierten Sensors wesentlich gro¨ßer ist, als die Empfindlichkeit des
einfach ru¨ckgekoppelten Inverters.
Ist bei der Detektion eines digitalen Magnetfeldsignals mit ±B die Wahrscheinlichkeit
fu¨r das Auftreten von Nullen und Einsen gleich und legt man die Schwelle zur Detektion
83
00,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03
P
B in T
P1P0
Abbildung 4.21: Wahrscheinlichkeiten P1 und P0 im gekippten Zustand
genau in die Mitte, so erha¨lt man die Fehlerwahrscheinlichkeit nach Gleichung 2.78 zu
Perr(B) = 0, 5− Φ0
ˆ
(η + λ) · |B|q
u2n2 + ∆V
2
lr2n
!
. (4.22)
Wie bereits beim einfach ru¨ckgekoppelten Inverter aus Kapitel 3.1 kann auch hier der
Empfindlichkeitsfaktor α definiert werden. Er lautet
α =
η + λq
u2n2 + ∆V
2
lr2n
, (4.23)
und mit ihm betra¨gt die Fehlerwahrscheinlichkeit
Perr(B) = 0, 5− Φ0
µ
α · |B|
¶
. (4.24)
Abbildung 4.22 zeigt die Abha¨ngigkeit der Fehlerwahrscheinlichkeit von der Flussdich-
te B in einem festen Arbeitspunkt (Vuv=3,0V, Vcl=2,5V). Die Tabellen 4.14 und 4.13
listen den Faktor α fu¨r verschiedene Arbeitspunkte auf, die Tabellen 4.16 und 4.15 die
Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r B=10mT.
84
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vdda/V
4,0 12,77 12,41 11,58 10,93 11,03 10,11 8,94 9,14 9,70
4,5 38,60 33,99 36,04 34,62 33,07 32,65 33,30 31,86 32,43
5,0 55,62 51,27 51,95 51,77 50,13 49,30 50,34 48,09 50,30
Tabelle 4.13: Faktor α in T−1
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 68,88 55,46 74,53 77,05 79,51 81,30 81,49 79,12 80.00
0,5 80,05 92,35 83,26 84,65 78,65 83,47 83,55 82,06 80,05
1,0 90,65 90,78 87,32 78,73 83,94 77,07 78,58 76,81 77,25
1,5 90,00 85,01 82,69 78,08 79,59 73,92 72,84 69,86 70,71
2,0 75,03 74,09 72,34 68,24 67,49 64,92 64,57 62,49 62,49
2,5 63,33 62,25 61,53 58,89 58,71 55,22 56,77 57,38 55,97
3,0 54,75 53,01 54,06 52,38 53,44 55,35 52,83 52,48 52,57
Tabelle 4.14: Faktor α in T−1
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vdda/V
4,0 0,449 0,451 0,454 0,457 0,456 0,460 0,464 0,464 0,461
4,5 0,350 0,367 0,359 0,365 0,370 0,372 0,370 0,375 0,373
5,0 0,289 0,304 0,302 0,302 0,308 0,311 0,307 0,315 0,307
Tabelle 4.15: Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r B=10mT, Arbeitspunkteinstellung durch
Precharge-Spannungen
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 0,245 0,290 0,228 0,221 0,213 0,208 0,208 0,214 0,212
0,5 0,212 0,178 0,203 0,199 0,216 0,202 0,202 0,206 0,212
1,0 0,182 0,182 0,191 0,216 0,201 0,220 0,216 0,221 0,220
1,5 0,184 0,198 0,204 0,217 0,213 0,230 0,233 0,242 0,240
2,0 0,227 0,229 0,235 0,247 0,250 0,258 0,259 0,266 0,266
2,5 0,263 0,267 0,269 0,278 0,279 0,290 0,285 0,283 0,288
3,0 0,292 0,298 0,294 0,300 0,296 0,290 0,299 0,300 0,300
Tabelle 4.16: Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r B=10mT, Arbeitspunkteinstellung durch ge-
koppelte Kapazita¨ten
85
00,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
P e
rr
B in T
Perr
Abbildung 4.22: Fehlerwahrscheinlichkeit in Abha¨ngigkeit von B
4.4 Arbeitspunkteinstellung mit Lo¨ffelschaltung
Um den Arbeitspunkt dynamisch einstellen zu ko¨nnen, wird in der vorliegenden Ar-
beit eine sogenannte Lo¨ffelschaltung verwendet. Sie besteht aus einem Kondensator CS,
der durch kleine Ladungspakete geladen oder entladen wird. Diese Ladungspakete sind
in den parasita¨ren Kapazita¨ten der seriellen MOS-Transistoren gespeichert. Abbildung
4.23 zeigt links die seriellen MOSFETs. Die Schaltung nach Abbildung 4.7 wird dann
an den Knoten L1 und R1 angeschlossen. Je nach Auswahl DL=1, DUQ=0 oder DL=0,
C
ni
C
s
C
l
0 C
r
0
C
pi
C
po
C
no
V
cr
SCIQ
DUQ SCOQ
SCI DL SCO
V
ch
R1
L1
2/1 2/1 2/1
2/1 2/1 2/1
2/1 2/1 2/1 2/1
V
dd
263fF(D)
V
cl
864fF
105fF 100fF
V
cs
L0 R0
V
preq
267fF(D)
Abbildung 4.23: Arbeitspunkteinstellung durch Lo¨ffelschaltung
DUQ=1 und der entsprechenden Spannung an den Knoten Vch und Vcl wird eine Ladung
86
in den Speicherkondensator CS u¨bertragen. Die Gro¨ße der Ladungspakete wird durch
die beiden externen Spannungen Vch und Vcl festgelegt. Im einfachsten Fall ist Vch=VDD
und Vcl=0V. Die Schaltspannungen SCI, SCO, SCIQ und SCOQ bilden ein nichtu¨ber-
lappendes Taktsystem nach Bild 4.24.
SCI
SCIQ
SCO
SCOQ
DL
DUQ
Ladungspaket 
Q
h
Ladungspaket 
Q
l
Abbildung 4.24: Nichtu¨berlappendes Taktsystem fu¨r die Lo¨ffelschaltung
Ein u¨bertragenes Ladungspaket berechnet sich unter der Annahme
Vcl ≤ Vcs ≤ Vch und Cpar = Cpi + Cpo fu¨r DUQ=0 und DL=1 zu
∆Qh = (Vch − Vcs)Cpar (4.25)
und mit Cpar = Cni + Cno fu¨r DUQ=1 und DL=0 zu
∆Ql = (Vcl − Vcs)Cpar. (4.26)
Im zweiten Fall ist ∆Q negativ. Die Spannung am Speicherkondensator CS vera¨ndert
sich abha¨ngig vom Verha¨ltnis Cpar zu CS.
∆Vcs = Vcs0 +
∆Q
CS
(4.27)
Abbildung 4.25 zeigt eine SPICE-Simulation.
Zum Abschalten der Lo¨ffelschaltung werden alle seriellen MOSFETs eingeschaltet und
Vcl mit Vch verbunden. Dann kann der Arbeitspunkt direkt u¨ber die Spannungen Vcl und
Vcr von außen eingestellt werden.
4.5 Sensorarrays
4.5.1 Layout der Sensorarrays
Wie schon am Anfang dieses Kapitels erwa¨hnt, wurden die Arrays auf minimalen Ab-
stand layoutet. Es wurden 10 Sensoren in einem Array nebeneinander platziert. Die
87
0us 2us 4us 6us 8us 10us 12us
SCI
0V
5V
SCIQ
0V
5V
SCO
0V
5V
SCOQ
0V
5V
DL
0V
5V
DUQ
0V
5V
Ucs 2.5V
Abbildung 4.25: SPICE-Simulation der Lo¨ffelschaltung
Abbildungen 4.27 und 4.28 zeigen die Anordnung der MAGFETs in den Arrays. Weil
aufgrund der Design-Rules die ru¨ckgekoppelten Inverter mehr Platz in der Breite brau-
chen, werden sie beidseitig angeordnet. Dadurch ko¨nnen auch die MAGFETs in mini-
malem Abstand voneinander angebracht werden. Da die Breite der gekoppelten Inverter
13, 5µm betra¨gt, ist der Abstand der MAGFETs 6, 75µm. Das Layout des MAGFETs
zeigt Abbildung 4.26. Die Lo¨ffelschaltungen zur Arbeitspunkteinstellung schließen sich
an die gekoppelten Inverter an. Sie sind im oberen Teil der Abbildung 4.29 zu erkennen.
Gate2; 0m
Drain R
Drain L
4; 75m1m
Source
1; 25m
4; 5m
Abbildung 4.26: MAGFET-Dimensionierung
88
gekoppelte Inverter
Arbeitspunkteinstellung
mit Loeffelschaltung
Ausleselogik
MAG
FET
13,5um
Abbildung 4.27: Schema der beidseitigen Sensoranordnung
MAGFETs
Cr
Cr
gekoppelte Inverter
gekoppelte Inverter
Abbildung 4.28: Teilansicht des Layouts eines MAGFET-Arrays
89
MAGFETs
gekoppelte
Inverter
Cr
Cl
Cs
Loeffel-
schaltung
Abbildung 4.29: Komplette Layoutdarstellung einer Seite
90
Abbildung 4.30: Array-Layout
91
4.5.2 Kopplungen zwischen Array-Elementen
Zwischen den einzelnen Array-Elementen kann ein U¨bersprechen stattfinden. Bedingt
durch die Sidewall-Kapazita¨ten der Metall- und Poly-Lagen und auch durch das ge-
meinsame Substrat werden Ladungen zwischen zwei nebeneinanderliegenden Sensoren
ausgetauscht. Dabei mu¨ssen zwei Anteile unterschieden werden. Zu Beginn der Eva-
luierungsphase werden alle Knoten von der Precharge-Spannung bis zu einer gewissen
Plateau-Spannung gezogen. Sind die Koppelkapazita¨ten zu den beiden benachbarten
Sensoren unterschiedlich, so entsteht dadurch bereits eine Spannungsdifferenz, die den
spa¨teren Kippvorgang beeinflusst. Allerdings ist dieser Anteil nur minimal abha¨ngig
vom Magnetfeldsignal und kann deshalb durch die Arbeitspunktregelung ausgeglichen
werden. Der zweite Anteil wird relevant, wenn das eigentliche Kippen der Sensoren aus
der Plateauphase heraus erfolgt. Dieses Kippen ist magnetfeldabha¨ngig und bewirkt die
Einkopplung einer Ladung in den Nachbarsensor. Falls dieser Sensor sich noch in der
Entscheidungsphase befindet und daher noch nicht gekippt ist, kann das seine Kippwahr-
scheinlichkeit in die eine oder andere Richtung beeinflussen. Beim Design der Sensoren
ist deshalb wu¨nschenswert, dass die außenliegenden Metall- bzw. Poly-Leitungen mo¨g-
lichst statische Signale wie Vdd oder Vss sind. Aufgrund der geforderten mimimalen Breite
war das meist nicht mo¨glich.
4.6 Blockschaltbild des Sensor-Chips
Abbildung 4.31 zeigt ein Blockschaltbild des gesamten Sensor-Chips. Alle internen Tak-
te werden aus einem extern eingespeisten Systemtakt MCLK generiert. Die internen
Register werden u¨ber einen Bus (DCLK, DDAT) angesteuert. Die Ausgangsdaten ste-
hen auf einem 8 bit breiten Bus (MDAT<7:0>) zur Verfu¨gung. Der programmierbare
GPO-Ausgang kann zur Synchronisierung verwendet werden. Ein Foto des Chips zeigt
Abbildung 4.32. Darauf sind in der Mitte rechts die Sensorarrays zu erkennen. Links ist
die synthetisierte Semicustom-Logik zur Ansteuerung und zum Auslesen der Daten zu
sehen.
92
MDAT<7:0>
GPO
MCLK
DCLK
DIN
Analogspannungen
externe
Einzelsensoren
Ausgangsstufe
Kontrollregister
Takterzeugungeinstellung
AuswertelogikMulti-
plexer
Sensorarray
Sensorarray
Sensorarray
Sensorarray
Arbeitspunkt-
Abbildung 4.31: Blockschaltbild des Chips
93
Abbildung 4.32: Foto des Sensor-Chips
94
Kapitel 5
Ergebnisse der Messungen
5.1 Sensitivita¨t der MAGFETs
Auf dem realisierten Chip wurden mehrere MAGFETs implementiert, deren Kenndaten
von außen gemessen werden ko¨nnen. Die Sensitivita¨t des in Bild 4.26 gezeigten MAG-
FETs wurde durch Messreihen ermittelt.1 Bei Vuv=2,5 V und einer Temperatur von 298
K betra¨gt sie
S ′ =
∆ID
ID ·B = 0, 0075 · T
−1 (5.1)
mit einer Genauigkeit von ±5 · 10−4/T. Sie liegt damit etwas unter den in der Literatur
genannten Werten fu¨r gro¨ßere MAGFETs [59, 70]. Das ist aber durch die minimale, nur
durch die Designrules limitierte Dimensionierung nicht anders zu erwarten. Der Drain-
Degradationsfaktor ist deshalb entsprechend hoch (siehe Gleichung 2.32).
Mit der Messung des Drain-Stroms des MAGFETs in der Sa¨ttigung wurde aus der
Gleichung
Idm =
1
2
βm(Vuv − Vt)2 (5.2)
die Gro¨ße βm bestimmt. Sie betra¨gt
βm = 70 · 10−6 A
V2
. (5.3)
Nach den Gleichungen 4.3 und 4.4 ergeben sich die magnetfeldabha¨ngigen Gro¨ßen βml
und βmr fu¨r den MAGFET zu
βml = 0, 5 ·
‡
70 · 10−6 − 2, 625 · 10−7B
T
· A
V2
(5.4)
βmr = 0, 5 ·
‡
70 · 10−6 + 2, 625 · 10−7B
T
· A
V2
. (5.5)
1Sofern nicht anders angegeben gelten fu¨r alle gemesssenen Gro¨ßen folgende Messfehler: ID und
∆ID: ±0, 01µA, B: ±100µT, Vuv, Vcr, Vcl, Vdda, Vddb: ±2mV, T : ±1K
95
00,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015 0,02
P 1
D Vddb-D Vddb0,5
Vuv=3,0V, Vdda=4,0VVuv=3,0V, Vdda=4,5VVuv=3,0V, Vdda=5,0VVuv=3,5V, Vdda=4,0VVuv=3,5V, Vdda=4,5VVuv=3,5V, Vdda=5,0V
Abbildung 5.1: Arbeitspunktverschiebung durch ∆Vddb −∆Vddb0,5
5.2 Arbeitspunkteinstellung
Bei den nachfolgenden Messungen wurde der Arbeitspunkt der Sensorarrays immer
durch a¨ußere Steuerspannungen eingestellt. Durch die externen Spannungen konnte der
Arbeitspunkt viel pra¨ziser eingestellt werden, als es u¨ber die interne Arbeitspunktein-
stellung mo¨glich gewesen wa¨re. Aufgrund eines Designfehlers war außerdem die interne
Arbeitspunkteinstellung mit der Lo¨ffelschaltung nur eingeschra¨nkt verwendbar. Die Mes-
sungen wurden, soweit nicht anders angegeben, bei der Frequenz f = 14, 32MHz durch-
gefu¨hrt. Die resultierende chipinterne Precharge-Dauer ist dabei gleich der Auswertungs-
zeit 35ns. In einer Messung werden jeweils die Werte von n=1022 aufeinanderfolgenden
Kippvorga¨ngen ausgelesen und summiert. Dann bestimmt sich die Wahrscheinlichkeit fu¨r
eine ’0’ als Ergebnis der gekippten Stufe durch P0 = n0/n und die Wahrscheinlichkeit
fu¨r eine ’1’ durch P1 = n1/n. Der metastabile Zustand kann im Moment vernachla¨ssigt
werden. In Abschnitt 5.8 wird speziell auf ihn eingegangen.
Als erstes soll die Abha¨ngigkeit der Wahrscheinlichkeit von den Arbeitspunktspannungen
dargestellt werden. Ohne angelegtes Magnetfeld ergeben sich fu¨r die Arbeitspunktein-
stellung mittels Vdda und Vddb die in Bild 5.1 dargestellten Kurven. Auf der x-Achse ist
die Abweichung der Spannung Vddb vom symmetrischen Arbeitspunkt (P0 = P1 = 0, 5)
dargestellt, auf der y-Achse der Mittelwert von P1.
Abbildung 5.2 zeigt dasselbe fu¨r die Arbeitspunkteinstellung mit Vcr und Vcl. Dargestellt
ist auf der x-Achse die Verschiebung der Spannung Vcl bezu¨glich des Punktes P0 =
0, 5. Die Beziehungen ko¨nnen in der Na¨he des symmetrischen Arbeitspunkts durch eine
96
00,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,004 -0,002 0 0,002 0,004
P 1
D Vcr-D Vcr0,5 in V
Vuv=2,5V, Vcr=2,0VVuv=2,5V, Vcr=2,5VVuv=2,5V, Vcr=3,0VVuv=3,0V, Vcr=2,0VVuv=3,0V, Vcr=2,5VVuv=3,0V, Vcr=3,0VVuv=3,5V, Vcr=2,0VVuv=3,5V, Vcr=2,5VVuv=3,5V, Vcr=3,0V
Abbildung 5.2: Arbeitspunktverschiebung durch ∆Vcr −∆Vcr0,5
lineare Gleichung angena¨hert werden.
∆P1 ≈ (∆Vddb −∆Vddb0,5) · −26
V
(5.6)
∆P0 ≈ (∆Vcr −∆Vcr0,5) · −114
V
(5.7)
Die Konstanten -26 und -144 wurden dabei aus der Regressionsgeraden bestimmt. Ein
Rauschen auf den Spannungen Vdda, Vddb, Vcl und Vcr hat damit direkten Einfluss auf
die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wie stark die Arbeitspunkte zwischen den einzelnen
Kana¨len voneinander abweichen zeigt Tabelle 5.1. 2
Vcl Vcr
Kanal 1 2,7197 V 2,5 V
Kanal 2 2,7380 V 2,5 V
Kanal 3 2,5818 V 2,5 V
Kanal 4 2,7490 V 2,5 V
Kanal 5 2,6892 V 2,5 V
Kanal 6 2,7441 V 2,5 V
Kanal 7 2,5696 V 2,5 V
Kanal 8 2,4585 V 2,5 V
Tabelle 5.1: Arbeitspunkte nebeneinander liegender Kana¨le
2Messgenauigkeit ±1, 5µV
97
5.3 Bestimmung der Magnetfeldkennlinien
Werden die Sensoren mit ihrem Arbeitspunkt so eingestellt, dass sie ohne Magnetfeld in
beide Richtungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit kippen (P1 = P0 = 0, 5), so bewirkt
ein von außen angelegtes Magnetfeld eine Vera¨nderung der Wahrscheinlichkeiten. Bei der
Messung von digitalen Magnetfeldern, die mit B und −B symmetrisch um den Null-
punkt liegen, gibt es zwischen den beiden Zusta¨nden eine Wahrscheinlichkeitsdifferenz
von ∆P=P1+ − P1−. Legt man die Entscheidungsschwelle nach Gleichung 2.76 genau in
die Mitte, d.h. auf B=0T, so kann man die Fehlerwahrscheinlichkeit Perr fu¨r eine Ent-
scheidung bestimmen. Der Faktor α beschreibt die A¨nderung der Wahrscheinlichkeit in
Abha¨ngigkeit vom Magnetfeld.
α =
∆P
B
(5.8)
Damit ist
Perr = 0, 5− Φ0(|α ·B|). (5.9)
Die Tabellen 5.2 und 5.3 zeigen die gemessenen Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Raum-
temperatur. Zum Vergleich dazu sind in den Tabellen 5.4 und 5.5 die theoretischen
Fehlerwahrscheinlichkeiten nach Gleichung 4.22 berechnet.
Vuv/V 2,0 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vdda/V
4,0 0,460 0,467 0,464 0,459 0,461 0,470 0,486 0,491
4,5 0,445 1) 0,450 0,436 0,424 0,439 0,475 0,484
5,0 0,461 1) 1) 0,438 0,422 0,416 0,451 0,485
1) kein Messwert vorhanden
Tabelle 5.2: Gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r Perr=±5,47mT, Arbeitspunkt-
Einstellung durch Vdda und Vddb
Vuv/V 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00
Vcl/V
0,0 1) 0,409 0,396 0,437 0,399 0,373 0,396
0,5 0,371 0,388 0,376 0,398 0,350 0,352 0,442
1,0 0,416 0,345 0,397 0,404 0,359 0,435 0,483
1,5 0,382 0,406 0,443 0,358 0,349 0,390 0,432
2,0 0,453 0,470 0,430 0,374 0,363 0,481 0,482
2,5 0,482 0,473 0,414 0,337 0,382 0,480 0,466
3,0 0,475 0,442 0,385 0,491 0,408 0,491 0,492
1) kein Messwert vorhanden
Tabelle 5.3: Gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r Perr = ±5, 47mT, Arbeitspunktein-
stellung durch Vcl und Vcr
Es zeigt sich, dass die Messwerte in einigen Bereichen gut mit den theoretischen Wer-
ten u¨bereinstimmen. Bei der Arbeitspunkteinstellung durch die Precharge-Spannungen
98
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vdda/V
4,0 0,472 0,473 0,475 0,476 0,476 0,478 0,480 0,480 0,479
4,5 0,416 0,426 0,422 0,425 0,428 0,429 0,428 0,431 0,430
5,0 0,381 0,390 0,388 0,389 0,392 0,394 0,392 0,396 0,392
Tabelle 5.4: Perr fu¨r B=5,47mT nach Gleichung 4.22, Arbeitspunkt-Einstellung durch
Vdda und Vddb
Vuv/V 2,0 2,25 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 0,353 0,381 0,342 0,337 0,332 0,328 0,328 0,333 0,331
0,5 0,331 0,307 0,324 0,322 0,334 0,324 0,324 0,327 0,331
1,0 0,310 0,310 0,316 0,333 0,323 0,337 0,334 0,337 0,336
1,5 0,311 0,321 0,326 0,335 0,332 0,343 0,345 0,351 0,349
2,0 0,341 0,343 0,346 0,354 0,356 0,361 0,362 0,366 0,366
2,5 0,364 0,367 0,368 0,374 0,374 0,381 0,378 0,377 0,380
3,0 0,382 0,386 0,384 0,387 0,385 0,381 0,386 0,387 0,387
Tabelle 5.5: Perr fu¨r B=5,47mT nach Gleichung 4.22, Arbeitspunkt-Einstellung durch
Vcl und Vcr
Vuv/V 2,0 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vdda/V
4,0 18,31 15,01 16,66 18,83 17,87 13,82 6,61 4,22
4,5 25,37 1) 23,02 29,41 35,18 28,03 11,38 7,53
5,0 17,78 1) 1) 28,37 35,98 38,67 22,33 7,07
1) kein Messwert vorhanden
Tabelle 5.6: Messwerte fu¨r α/T−1
Vuv/V 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 1) 42,22 48,28 29,13 46,92 59,16 48,12
0,5 60,07 52,08 57,92 47,05 70,46 69,54 26,61
1,0 38,65 72,80 47,57 44,58 66,22 29,90 7,59
1,5 55,06 43,68 26,26 66,32 70,72 51,06 31,15
2,0 21,64 13,66 32,13 58,51 63,94 8,50 8,40
2,5 8,40 12,52 39,81 76,92 55,03 8,97 15,40
3,0 11,47 26,72 53,37 4,06 42,47 4,30 3,84
1) kein Messwert vorhanden
Tabelle 5.7: Messwerte fu¨r α/T−1
99
00,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
P e
rr
B in T
Vcl=2,5V, Vuv=3,25VVcl=2,5V, Vuv=3,00VVcl=5,0V, Vuv=3,00V
Abbildung 5.3: Gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit in verschiedenen Arbeitspunkten
sind die gemessenen Resultate bei Vdda=5,0V allerdings deutlich schlechter als theo-
retisch vorhergesagt. Bei der Arbeitspunkteinstellung durch die gekoppelten Konden-
satoren stimmen die Ergebnisse gut u¨berein, wenn die MAGFET-Gatespannung Vuv
und die Steuerspannung Vcl im mittleren Bereich liegen. Dort liegt auch die minimale
Fehlerwahrscheinlichkeit. Trotzdem gibt es noch einige Ausreißer, die nicht durch die
Messunsicherheit erkla¨rt werden ko¨nnen. Einige Indizien deuten darauf hin, dass es sich
dabei um Resonanzen handelt. Es zeigt sich, dass dabei die digitalen Ausgangsdaten oft
alternieren, also korreliert sind. Dieser Effekt mu¨sste noch genauer untersucht werden.
Abbildung 5.3 zeigt die gemessene Fehlerwahrscheinlichkeit in Abha¨ngigkeit vom Ma-
gnetfeld bei Vuv=3,25V und Vcl=2,5V.
Um das Verhalten der Sensoren bei digitalen Magnetfeldern noch etwas genauer zu
untersuchen, erho¨hen wir jetzt die Zahl der Messungen. Es wird vorausgesetzt, dass die
Messungen statistisch unabha¨ngig sind. Bei n Messungen und unter Vernachla¨ssigung
der Metastabilita¨t ist dann nach Gleichung 2.47 der Mittelwert bei +B
µn+ = n · P1+ (5.10)
und bei −B
µn− = n · P1−. (5.11)
Die Formeln fu¨r P0 sind entsprechend. Wegen der Symmetrie ist
P1− = 1− P1+. (5.12)
100
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3
P
0,5+n1/1022
Vuv=3,0V, Vdda=4,0VVuv=3,0V, Vdda=4,5VVuv=3,0V, Vdda=5,0VVuv=3,5V, Vdda=4,0VVuv=3,5V, Vdda=4,5VVuv=3,5V, Vdda=5,0V
Abbildung 5.4: Wahrscheinlichkeitsintegral bei Arbeitspunkteinstellung mit Vdda und
Vddb, B = ±5, 74mT
Die Differenz der Mittelwerte betra¨gt dann
∆µn = µn+ − µn− = n · (2P1+ − 1). (5.13)
In den Abbildungen 5.4 und 5.5 sind die normierten Verteilungen mit n=1022 Messungen
fu¨r ein Magnetfeld mit B=±5, 47mT in verschiedenen Arbeitspunkten dargestellt. Es ist
deutlich zu sehen, dass die Sensoren in unterschiedlichen Arbeitspunkten verschiedene
Mittelwertdifferenzen ∆µ1022 aufweisen und dass auch die Standardabweichungen der
Verteilungen differieren.
Nach Gleichung 2.49 sollte die Standardabweichung bei 1022 Messungen und P1 = 0, 5
σ1022 =
p
nP1(1− P1) =
p
1022 · 0, 5 · (1− 0, 5) = 15, 98 (5.14)
betragen, was skaliert einen Wert von 15, 98/1022 = 0, 0156 bedeutet. Je nach Ar-
beitspunkt sind die gemessenen Standardabweichungen bis zum Faktor 2,5 gro¨ßer. Fu¨r
gro¨ßere n wird die Abweichung von der Binomialverteilung noch deutlicher. In den Ab-
bildungen 5.6 und 5.7 ist die Abweichung von der Normalverteilung fu¨r 1022 kumulierte
Messungen gezeigt. Es zeigt sich, dass die Abweichung gro¨ßer ist, wenn der Arbeitspunkt
durch die gekoppelten Kondensatoren eingestellt wird. Tabelle 5.8 stellt die gemessenen
Standardabweichungen den nach der Binomialverteilung erwarteten Werten gegenu¨ber.
Ursache fu¨r diese Abweichungen ist, dass die einzelnen Kippvorga¨nge nicht unabha¨ngig
voneinander sind. Es gibt dabei drei Mechanismen.
101
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3
P
0,5+n1/1022
Vuv=2,5V, Vcr=2,0VVuv=2,5V, Vcr=2,5VVuv=2,5V, Vcr=3,0VVuv=3,0V, Vcr=2,0VVuv=3,0V, Vcr=2,5VVuv=3,0V, Vcr=3,0VVuv=3,5V, Vcr=2,0VVuv=3,5V, Vcr=2,5VVuv=3,5V, Vcr=3,0V
Abbildung 5.5: Wahrscheinlichkeitsintegral bei Arbeitspunkteinstellung mit Vcr und Vcl,
B = ±5, 74mT
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
P
P1,AP
0,08
0,29
0,52
0,76
0,97
binom 
Abbildung 5.6: Wahrscheinlichkeitsintegral in verschiedenen Arbeitspunkten, jeweils im
Vergleich zur erwarteten Binomialverteilung, Arbeitspunkteinstellung durch gekoppelte
Kapazita¨ten, Vcl=2,1V
102
00,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
P
P1,AP
0,05
0,42
0,58
0,89
binom
Abbildung 5.7: Wahrscheinlichkeitsintegral in verschiedenen Arbeitspunkten, jeweils im
Vergleich zur erwarteten Binomialverteilung, Arbeitspunkteinstellung durch Precharge-
Spannungen, Vddb=4,0V
σ1
σ1022
1022
σ4088
4088
σ16352
16352
Binomial: 0,5000 0,01564 0,00782 0,00391
Vuv/V Vdda/V
3,00 4,00 0,4978 0,02536 0,01727 0,01201
3,00 4,50 0,4961 0,03469 0,02470 0,01818
3,00 5,00 0,4960 0,03082 0,02407 0,01980
3,50 4,00 0,4990 0,01803 0,01295 0,01057
3,50 4,50 0,4944 0,03412 0,02838 0,02512
3,50 5,00 0,4873 0,03898 0,03038 0,02590
Tabelle 5.8: normierte Standardabweichung σn/n
103
Erstens kann ein Kippvorgang durch Restladungen aufgrund von nicht vollsta¨ndigem
Precharge vom vorangegangenen Kippen abha¨ngen. Damit erga¨be sich eine abha¨ngige
Binomialverteilung wie sie im Abschnitt 2.4.2 beschrieben ist.
Die zweite Ursache ist, dass der Mittelwert der Messungen nicht konstant ist sondern
schwankt, bedingt durch die Precharge-Spannungen und die anderen Steuerspannungen,
die ebenfalls rauschbehaftet sind.
Als dritter Einflussfaktor kommt fu¨r lange Integrationszeiten das 1/f-Rauschen ins Spiel,
das in Abschnitt 5.7 noch genauer betrachtet wird.
Um in diesem Fall eine Aussage u¨ber die Fehlerwahrscheinlichkeit treffen zu ko¨nnen,
ist es no¨tig, die Differenz der Mittelwerte und die Standardabweichung in Beziehung zu
setzen. Dazu wird der Koeffizient αn (n = Anzahl der Einzelmessungen) definiert zu
αn =
∆µn
2 B σn
. (5.15)
Mit Gleichung 2.78 kann man die Fehlerwahrscheinlichkeit fu¨r eine Entscheidung zwi-
schen zwei verschiedenen Magnetfeldern berechnen, wenn die Entscheidungsschwelle µnd
genau in der Mitte zwischen den beiden Mittelwerten liegt.
µnd = (µn+ + µn−)/2 (5.16)
Perr,n(B) = 0, 5− Φ0
¡|αn ·B|¢ (5.17)
In den Tabellen 5.9 und 5.10 sind die gemessenen Koeffizienten α1022 bei Raumtempe-
ratur dargestellt.
Vuv/V 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00
Vdda/V
4,00 334,52 350,27 386,65 157,67 106,18
4,25 398,28 419,28 470,71 311,33 172,44
4,50 414,70 517,91 463,70 420,11 259,32
4,75 388,66 430,86 532,23 370,96 360,64
5,00 371,55 449,97 485,04 531,65 389,37
Tabelle 5.9: α1022/T
−1, Arbeitspunkteinstellung durch Vdda und Vddb
Vuv/V 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00
Vcr/V
0,00 414,67 389,49 460,65 457,13 515,13 528,92 625,06
0,50 488,12 452,40 535,52 544,46 539,84 616,32 513,16
1,00 425,47 505,29 503,75 380,75 451,64 543,88 366,31
1,50 457,26 419,79 401,24 450,43 495,22 520,56 431,37
2,00 307,93 348,16 378,91 450,40 581,22 460,77 374,67
2,50 213,76 256,91 387,07 624,13 588,30 431,94 497,21
3,00 239,13 341,63 415,97 231,37 546,87 230,31 204,53
Tabelle 5.10: α1022/T
−1, Arbeitspunkteinstellung durch Vcl und Vcr
Abbildung 5.8 zeigt die Wahrscheinlichkeiten P1,1022 und P0,1022 in Abha¨ngigkeit von
104
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,01 -0,005 0 0,005 0,01
P 1
,1
02
2(B
)  P
0,
10
22
(B
)
B in T
P1 : Vuv=3,25V, Vcr=2,5V
      Vuv=3,00V, Vcr=2,5V
      Vuv=3,25V, Vdda=4,5VP0 : Vuv=3,25V, Vcr=2,5V
      Vuv=3,00V, Vcr=2,5V
      Vuv=3,25V, Vdda=4,5V
Abbildung 5.8: P1,1022 und P0,1022 in Abha¨ngigkeit von B
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008
P e
rr
(B
)
B in T
Vuv=3,25V, Vcr=2,5VVuv=3,00V, Vcr=2,5VVuv=3,25V, Vdda=4,5V
Abbildung 5.9: Perr,1022
105
einem Magnetfeld fu¨r verschiedene Arbeitspunkte. Abbildung 5.9 zeigt die Fehlerwahr-
scheinlichkeit Perr,1022 bei symmetrischer Entscheidungsschwelle in Abha¨ngigkeit vom
Magnetfeld fu¨r verschiedene Arbeitspunkte.
In der idealen Binomialverteilung gilt
αn =
√
n · α. (5.18)
Um die gezeigte Abweichung zu korrigieren, setzt man
αn =
√
nk · α (5.19)
mit dem Faktor k, der zwischen 0 und 1 liegt. Damit kann man die Abha¨ngigkeit von
αn und Perr von der Zahl der Messungen n darstellen (Abbildungen 5.10 und 5.11).
0
100
200
300
400
500
600
700
1 10 100 1000
a
n
 
in
 T
-
1
n
Vuv=3,25V, Vcl=2,5V, k=0,604Vuv=3,5V, Vdda=4,0V, k=0,96
Abbildung 5.10: αn in Abha¨ngigkeit von n
106
00,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
1 10 100 1000
P e
rr
n
Vcl=2,5V, Vuv=3,25V, B=5,47mTVdda=4,0V, Vuv=3,50V, B=5,47mTVcl=2,5V, Vuv=3,25V, B=15,0mTVdda=4,0V, Vuv=3,50V, B=15,0mT
Abbildung 5.11: Perr in Abha¨ngigkeit von n
5.4 Messung digitaler Magnetfelder
Abbildung 5.12 zeigt die Messung eines Magnetfelds der Frequenz f = 200Hz. Die etwas
abgeflachten Flanken sind durch die hohe Induktivita¨t der verwendeten externen Spule
bedingt und nicht auf das Verhalten des Sensors zuru¨ckzufu¨hren.
Wie die Verteilungen bei verschiedenen Magnetfeldern liegen, zeigen die Abbildungen
5.13 bis 5.16. Gemessen wurde die Zahl der aufgetretenen Einsen n1. Die durch die
Anstiegs- und Abfallzeit der externen Spule bedingten Zwischenwerte wurden dabei
ausgeblendet. Es wurden jeweils 1022 Werte summiert. Die MAGFET-Gatespannung
ist Vuv = 2, 65V und die Spannung Vcl = 2, 5V.
Fu¨r die Analyse der Sensoren wurden im Wesentlichen externe Spulen zur Magnetfel-
derzeugung verwendet. Zur Betrachtung des Verhaltens der Sensoren bei ho¨herfrequen-
ten Magnetfeldern (fmag > 1000 Hz) war keine geeignete externe Quelle verfu¨gbar.
Die einzige praktikable Quelle boten die auf dem Metall1-Layer im Chip integrierten
Mikrospulen. Bedingt durch die damit verbundene lokale Wa¨rmeentwicklung und die
geringe Strombelastbarkeit der Metall1-Leitungen war aber die Magnetfeldsta¨rke sehr
beschra¨nkt. Eine Kurzzeitmessung zeigt Abbildung 5.17. Die Aufnahme erfolgte mit ei-
nem schnellen Speicheroszilloskop. Es wurde ein 7µs langer Strompuls durch die intern
integrierte Metall1-Spule geschickt, die damit ein Magnetfeldpuls von 14,5mT erzeugte.
Am Ausgang ist die dadurch erzielte A¨nderung des Verha¨ltnisses zwischen Nullen und
Einsen zu sehen. Die Messung zeigt, dass die Sensoren auch Magnetfelder detektieren
ko¨nnen, deren Frequenz bis nahe an die Taktfrequenz der Sensoren reicht.
107
0200
400
600
800
1000
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
n
0
Zeit in s
Vuv=2,0V, Vdda=4,0V
Abbildung 5.12: Rechtecksignal mit f=200Hz, B=±13,2mT
0
200
400
600
800
1000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
n
1
Zeit in s
Vuv=2,65V, Vcl=2,5V, f=10MHz
Abbildung 5.13: n1 bei B = ±5,4mT
108
0200
400
600
800
1000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
n
1
Zeit in s
Vuv=2,65V, Vcl=2,5V, f=10MHz
Abbildung 5.14: n1 bei B = ±13,5mT
0
200
400
600
800
1000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
n
1
Zeit in s
Vuv=2,65V, Vcl=2,5V, f=10MHz
Abbildung 5.15: n1 bei B = ±27mT
109
0200
400
600
800
1000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
n
1
Zeit in s
Vuv=2,65V, Vcl=2,5V, f=10MHz
Abbildung 5.16: n1 bei B = ±34mT
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5e-06 1e-05 1.5e-05 2e-05 2.5e-05 3e-05 3.5e-05 4e-05
B 
in
 m
T
Zeit in s
Magnetfeld
-4
-2
0
2
4
6
8
0 5e-06 1e-05 1.5e-05 2e-05 2.5e-05 3e-05 3.5e-05 4e-05
Sp
an
nu
ng
 in
 V
Zeit in s
Datenausgang @ 10MHz
Abbildung 5.17: Kurzer Magnetfeldpuls bei f=10MHz
110
5.5 Verbesserung der Detektion bei schwachen Ma-
gnetfeldern
Bei schwachen Magnetfeldern ist das Rauschen dominant. Die Zahl der Abtastvorga¨nge
muss erho¨ht werden, um das Nutzsignal ru¨ckgewinnen zu ko¨nnen. Durch Erho¨hung der
Abtastfrequenz kann die Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich gesenkt werden.
Dies soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Gegeben sein ein magnetisches
digitales Signal mit zwei Zusta¨nden (’0’ und ’1’ entsprechend den Flussdichten −B und
+B). Der stochastische digitale Magnetfeldsensor wandelt dieses Signal in ein digitales
elektrisches Signal um, das aber rauschbehaftet ist. In Abbildung 5.20 ist das magneti-
sche Signal als ”original signal” bezeichnet, das verrauschte Signal als ”eingangs signal”.
Im Beispiel ist µ(′0′) = 0, 125 und µ(′1′) = 0, 875. Die Frequenz des Sensors ist 16mal
ho¨her als die Frequenz des magnetischen Signals. Aus diesem Grund folgt ein Tiefpass-
Filter, hier ein einfacher Summierer u¨ber 16 Werte. Die Detektionsschwelle wird nach
Gleichung 2.75 in die Mitte gelegt (0, 5 ·16 = 8). Es folgt eine digitale Phasenregelschlei-
fe (DPLL), die den Schwellendetektor zur Regelung des Abtastzeitpunktes nutzt. Die
Unterabtastung fu¨r das Ausgangssignal erfolgt an einer festen Stelle und wird durch die
DPLL an die optimalen Stelle geregelt. Zusa¨tzlich wird ein Ausgangstakt (stakt) erzeugt,
der fu¨r die nachfolgenden Schaltungen den gu¨ltige Ausgangswert markiert (Abbildung
5.18). Der Ausgangstakt hat die gleiche Frequenz wie das magnetische Eingangssignal.
Die Schaltung wurde in der Hardware-Beschreibungssprache Verilog erstellt. Abbildung
5.19 zeigt die Verilog-Modellierung der Schaltung. Die Simulation der Signaldetektion
mit Hilfe eines Tiefpasses und einer DPLL zeigen die Abbildungen 5.20 und 5.21 Wa¨h-
rend bei einfacher Abtastung die Fehlerwahrscheinlichkeit der Detektion
Perr,1 = 0, 125 (5.20)
war, vermindert sie sich durch die Filterung auf
Perr,16 =
·Perr,1√
16
= 0, 03125. (5.21)
Bei dieser Formel wird von einer idealen Binomialverteilung ausgegangen. Durch die
DPLL erho¨ht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit wieder etwas. Na¨herungsweise lautet sie
dann
Perr,16,DPLL =
Perr,1
Perr,1 ·
√
15 + (1− Perr,1) ·
√
16
= 0, 0314, (5.22)
Teiler
durch 16
Tiefpass
DPLL
detektiertes_signal
summe
15
P
i=0
z
i
eingangs_signal
stakttakt
Abbildung 5.18: Blockschaltbild Tiefpass und DPLL
111
// Digitale Filterung und digitale PLL
// zur Decodierung von verrauschten Signalen
// 
module mag_filter_dpll(eingangs_signal, detektiertes_signal, takt, stakt);
input  eingangs_signal;
input  takt;
output detektiertes_signal;
output stakt;
wire eingangs_signal; // verrauschtes digitales Eingangssignal (mit f_abtast getaktet)
wire takt;            // Taktsignal f=f_abtast;
// Parameter 
parameter FILTER_LAENGE=16;     // Laenge der Delay−Kette
parameter FILTER_LAENGE_LN2=4;  // Zweierlogarithmus von FILTER_LAENGE
parameter TAKT_TEILER=16;       // Frequenzverhältnis f_abtast zu f_signal
parameter TAKT_TEILER_LN2=4;    // Zweierlogarithmus von TAKT_TEILER
// Register
reg [FILTER_LAENGE−1:0] verz_kette; // Delay−Kette zur Filterung
reg [FILTER_LAENGE_LN2:0]   summe;  
reg [FILTER_LAENGE_LN2−1:0] summe_b;
reg [FILTER_LAENGE_LN2−1:0] summe_a;
reg [FILTER_LAENGE_LN2−1:0] diff;
reg detect;
reg [TAKT_TEILER_LN2−1:0] zaehler;  // DPLL−Zaehler
reg spaet;  // regelpuls, wenn Abtastung zu spaet ist
reg frueh;  // regelpuls, wenn Abtastung zu frueh ist
reg stakt;           // Taktsignal f=f_signal;
reg detektiertes_signal;
/*******************/
/* initialisierung */
/*******************/
initial begin
zaehler=0;
frueh=0;
spaet=0;
verz_kette=16’haaaa; // 50%
stakt=0;
end
always @(posedge takt) begin
/*************/
/* Filterung */
/*************/
verz_kette=verz_kette<<1; 
verz_kette[0]=eingangs_signal;
summe_a=verz_kette[0]+verz_kette[1]+verz_kette[2]+verz_kette[3]+verz_kette[4]+verz_kette[5]
       +verz_kette[6]+verz_kette[7];
summe_b=verz_kette[8]+verz_kette[9]+verz_kette[10]+verz_kette[11]+verz_kette[12]+verz_kette[13]
       +verz_kette[14]+verz_kette[15];
summe=summe_b+summe_a;
// Ausgangssignal
if (zaehler==0) detektiertes_signal = (summe>FILTER_LAENGE/2) ? 1’b1 : 
                                      (summe<FILTER_LAENGE/2) ? 1’b0 : 1’bz;
if (zaehler==1) stakt=1;
if (zaehler>TAKT_TEILER/2) stakt=0;
/****************/
/* digitale PLL */
/****************/
diff=summe_b−summe_a;
if (zaehler>=(TAKT_TEILER−1)/3*2 && diff>FILTER_LAENGE/4 && diff<FILTER_LAENGE*3/4) frueh=1;
if (frueh==0 && zaehler>=0 && zaehler<(TAKT_TEILER−1)/3 && diff>FILTER_LAENGE/4 
    && diff<FILTER_LAENGE*3/4) spaet=1;
if(zaehler==TAKT_TEILER/2) begin
if      (frueh==1) zaehler=zaehler+0; 
else if (spaet==1) zaehler=zaehler+2;
else               zaehler=zaehler+1;
spaet=0;  // ruecksetzen
frueh=0;
end 
else
zaehler=zaehler+1;
end  // always
endmodule
Abbildung 5.19: Verilog Code fu¨r Tiefpass und DPLL
112
0us 10us 20us 30us 40us 50us 60us 70us 80us 90us 100us 110us 120us 130us 140us 150us 160us 170us 180us
takt
original_signal
eingangs_signal
summe[4:0]
0
5
10
15
diff[3:0]
-5
0
5
zaehler[3:0]
0
5
10
frueh
spaet
detektiertes_signal
stakt
Abbildung 5.20: Signaldetektion mit Tiefpass und DPLL
6,1us 6,2us 6,3us 6,4us 6,5us 6,6us 6,7us 6,8us 6,9us 7,0us 7,1us 7,2us 7,3us
takt
original_signal
eingangs_signal
summe[4:0]
0
5
10
15
diff[3:0]
-5
0
5
zaehler[3:0]
0
5
10
frueh
spaet
detektiertes_signal
stakt
Abbildung 5.21: Signaldetektion mit Tiefpass und DPLL - Detail
113
Eine andere Mo¨glichkeit ist, das gleiche Eingangssignal durch mehrere Kana¨le des Sen-
sorarrays abtasten lassen und dadurch eine geringere Fehlerwahrscheinlichkeit zu errei-
chen. Die Mehrfachabtastung bewirkt die gleiche Verbesserung wie die Erho¨hung der
Abtastfrequenz.
5.6 Messung analoger Magnetfeldsignale
Zwar wurde der Sensor fu¨r die Messung digitaler Magnetfeldsignale konzipiert und op-
timiert, doch kann er durchaus auch zur Messung analoger Magnetfeldsignale benutzt
werden. Um einen analogen Messwert zu erhalten, muss natu¨rlich der Arbeitspunkt mit
beru¨cksichtigt werden. Wie bei dem digitalen Fall, wo durch die Erho¨hung der Zahl der
Messungen die Fehlerwahrscheinlichkeit gesenkt werden kann, fu¨hrt im analogen Fall
die Summierung einer gro¨ßeren Zahl von Messungen zu einer verbesserten Genauigkeit
bzw. einer verringerten Toleranzspanne. Mit Bap als der Flussdichte eines Magnetfelds
im symmetrischen Arbeitspunkt (P1 = 0, 5, n1 = 0, 5n) und nref als Zahl der Einsen
bei der Messung einer Referenzflussdichte Bref erha¨lt man fu¨r die Flussdichte B die
Gleichung
B =
n1 − 0, 5n
nref − 0, 5n(Bref −Bap) + Bap. (5.23)
Dies ist eine lineare Na¨herung fu¨r das Wahrscheinlichkeitsintegral bei geringen Abwei-
chungen um den Arbeitspunkt. Die Fehlerspanne betra¨gt fu¨r ±3σn
∆B = ± 3σn
nref − 0, 5n(Bref −Bap) = ±
3
αn
. (5.24)
Abbildung 5.22 zeigt die Messung eines Magnetfeldsignals in Sa¨gezahnform mit einer
Frequenz von 100Hz und einer Flussdichte der Spitzenwerte von B = ±17mT. Die
Messung erfolgte mit f=5MHz und einer Summierung von jeweils 1022 Werten. Der
gewa¨hlte Arbeitspunkt war Vcl=2,5V und Vuv=2,65V. Abbildung 5.23 zeigt eine weitere
Messung, bei der die Frequenz des Magnetfeldsignals 1Hz betra¨gt.
5.7 1/f-Rauschen
Fu¨r den zur Fertigung der Sensoren benutzten 1,0µm CMOS-Prozess gab es von der
Foundry keine Angaben zu den 1/f-Rauschkoeffizienten (Hooge-Parameter etc.), da der
Prozess als rein digitaler Prozess charakterisiert war und das 1/f-Rauschen in digitalen
Schaltung normalerweise keine Rolle spielt. Um den Einfluss des 1/f-Rauschens zu analy-
sieren wurden mehrere Langzeitmessungen durchgefu¨hrt. Eine Messung zeigt Abbildung
5.24. In ihr wurde ein schwaches Magnetfeldsignal der Flussdichte B=0,61mT und der
Frequenz fmag=10 Hz mit einer Sensorfrequenz von f=2,5 MHz gemessen. Die Spitze bei
10 Hz und den ungeradzahligen Harmonischen des magnetischen Rechtecksignals sind
zu sehen. Bei einer Frequenz von ungefa¨hr 10 Hz und darunter ist das 1/f-Rauschen zu
erkennen. Werden die Sensoren mit einem statischen Arbeitspunkt betrieben, kann das
1/f-Rauschen durchaus von Bedeutung sein und vergro¨ßert die Fehlerwahrscheinlichkeit.
Wird der Arbeitspunkt dynamisch angepasst und ist die Arbeitsfrequenz dieser Nach-
fu¨hrung wesentlich gro¨ßer als die 1/f-Knickfrequenz, so wird das 1/f-Rauschen durch die
Nachfu¨hrung eliminiert.
114
200
300
400
500
600
700
800
900
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
n
1
Zeit in s
Abbildung 5.22: Sa¨gezahn-Signal 100Hz, Spitzenwerte B = ±17mT
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 1 2 3 4 5 6
n
1
Zeit in s
Abbildung 5.23: Sa¨gezahn-Signal 1Hz, Spitzenwerte B = ±17mT
115
00,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60
f in Hz
Vuv=3,0V, Ucl=2,1V, f=2,5MHz
Abbildung 5.24: Normierte FFT mit fmag = 10Hz und B = 0, 61mT
Prinzipiell ko¨nnen mit dem Sensor sehr niederfrequente oder statische Magnetfelder wie
zum Beispiel das Erdmagnetfeld gemessen werden, indem die Zahl der Messungen sehr
groß gewa¨hlt wird. Der limitierende Faktor ist in diesen Fa¨llen aber genau das 1/f-
Rauschen, da es im niederfrequenten Bereich dominierend wird.
Die u¨blicherweise verwendete Methode, um das 1/f-Rauschen zu eliminieren, ist das
”Correlated Double Sampling” [121, 62]. Diese Methode beruht darauf, dass man da-
von ausgehen kann, dass bei zwei kurz hintereinander durchgefu¨hrten Messungen die
1/f-Rauschanteile korreliert sind. Deshalb fu¨hrt man nach der ersten Messung noch eine
zweite durch, diesmal ohne das Nutzsignal oder mit einem invertierten Nutzsignal und
subtrahiert das Ergebnis von der ersten Messung. Dadurch wird das 1/f-Rauschen weit-
gehend eliminiert. Diese Methode kann im vorliegenden Fall allerdings nicht verwendet
werden. Durch das stochastische Verhalten der Schaltung macht eine Subtraktion zweier
aufeinanderfolgender Werte keinen Sinn. Außerdem wa¨re es schwierig, das in diesem Fall
magnetische Nutzsignal fu¨r die zweite Messung auszublenden oder zu invertieren.
5.8 Metastabilita¨t
Die Metastabilita¨tsgrenze wurde ebenfalls durch Messreihen ermittelt. Sie ha¨ngt von
der Frequenz, von der Temperatur und vom Arbeitspunkt ab. Abbildung 5.25 zeigt fu¨r
f=20MHz diejenigen Arbeitspunkte, in denen 50% der Kippvorga¨nge in der Metastabi-
lita¨t bleiben bei gleichzeitigem P1 = P0. Die Arbeitspunkteinstellung erfolgte u¨ber Vcl.
Als Vergleich ist der theoretische Wert dargestellt, der sich unter der Anwendung von
Gleichung 4.19 errechnen la¨ßt. Dabei muss auch noch eine zusa¨tzliche interne Verzo¨ge-
116
00,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
V
cl
 
in
 V
Vuv in V
20 MHz gemessen
20 MHz theoretisch
Abbildung 5.25: 50%-Metastabilita¨tsgrenze bei Raumtemperatur
rung bis zum Ausgangslatch beru¨cksichtigt werden. In ganz bestimmten Arbeitspunkten
zeigt der realisierte Sensor das Verhalten, das schon beim einfachen Modell im Abschnitt
3.2.1 in Bild 3.20 dargestellt ist. Abha¨ngig vom Magnetfeld a¨ndern sich die Kippwahr-
scheinlichkeiten so, dass u¨ber den metastabilen Zustand ein dritter Magnetfeldzustand
detektiert werden kann (Abbildung 5.26).
5.9 Verhalten bei tiefen und hohen Temperaturen
Das thermische Rauschen und das Kippverhalten des Sensors sind temperaturabha¨ngig.
Deshalb wurden auch Temperaturmessungen bei 0oC und 65oC durchgefu¨hrt. Dabei
zeigt sich wie erwartet, dass sich die optimalen Arbeitspunkte leicht verschieben. Bei
der tiefen Temperatur ist Perr deutlich geringer als bei der hohen Temperatur. Bei der
hohen Temperatur wird die Metastabilita¨tsgrenze erst bei ho¨heren Spannungen Vuv und
Vcr erreicht. Die Tabellen 5.11 und 5.12 zeigen die gemessenen Fehlerwahrscheinlichkeiten
bei den beiden Temperaturen.
5.10 Leistungsaufnahme
Einer der Vorteile des digitalen MAGFET-Sensors ist seine niedrige Leistungsaufnah-
me. Der Strom fu¨r ein einzelnes Array auf dem Chip konnte allerdings nicht direkt
gemessen werden. Er wurde deshalb per Simulation ermittelt. Tabelle 5.13 zeigt die Lei-
stungsaufnahme eines 10-Sensor-Arrays ohne Arbeitspunktregelung und Pad-Treiber fu¨r
verschiedene Frequenzen.
117
00,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15
P
B in T
P1P0Pmeta
Abbildung 5.26: Pmeta, P1 und P0, bei Vuv = 2, 1V, Vcr = 2, 5V, f=10MHz
Vuv/V 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 0,480 0,445 0,428 0,427 0,435 0,431 0,448
0,5 0,470 0,442 0,419 0,428 0,424 0,452 0,429
1,0 0,490 0,434 0,404 0,430 0,414 0,415 0,462
1,5 0,483 0,404 0,428 0,428 0,402 0,456 0,490
2,0 0,410 0,434 0,440 0,422 0,465 0,481 0,489
2,5 0,453 0,441 0,445 0,416 0,500 0,477 0,486
3,0 0,469 0,448 0,436 0,485 0,495 0,493 0,494
Tabelle 5.11: Perr bei 65
oC und 5,47mT, Arbeitspunkteinstellung mit Vcl und Vcr
Vuv/V 2,5 2,75 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0
Vcl/V
0,0 0,401 0,344 0,413 0,433 0,373 0,365 0,383
0,5 0,399 0,320 0,400 0,378 0,335 0,348 0,470
1,0 0,393 0,324 0,412 0,335 0,328 0,464 0,481
1,5 0,359 0,431 0,422 0,353 0,317 0,478 0,475
2,0 0,462 0,472 0,394 0,296 0,348 0,478 0,438
2,5 0,493 0,445 0,373 0,357 0,416 0,455 0,458
3,0 0,462 0,385 0,486 0,489 0,488 0,489 0,486
Tabelle 5.12: Perr bei 0
oC und 5,47mT, Arbeitspunkteinstellung mit Vcl und Vcr
118
f 1 MHz 10 MHz 20MHz
Vcl
0,0 V 146µW 1460µW 2920µW
2,5 V 131µW 1305µW 2610µW
5,0 V 124µW 1240µW 2480µW
Tabelle 5.13: Leistungsaufnahme eines 10-fach Arrays bei Vuv = 3, 0V und VDD = 5V
119
120
Kapitel 6
Zusammenfassung und Ausblick
In der vorliegenden Arbeit wurde ein Sensorarray vorgestellt, das dazu geeignet ist, ma-
gnetische Felder zu detektieren. Fu¨r die dazu verwendeten Kippstufen wurde ein Modell
entwickelt, mit dem ihr Verhalten na¨herungsweise durch stochastische Differentialglei-
chungen beschrieben werden kann. Aus diesem Modell wurden Na¨herungsformeln fu¨r
die zu erwartende Fehlerwahrscheinlichkeit abgeleitet.
Sta¨rken
Die vorliegenden Sensorarrays sind fu¨r eine Taktfrequenz von 10 MHz entworfen wor-
den, konnten aber in einzelnen Messungen bis maximal 28 MHz betrieben werden. Bei
ausreichend starken Magnetfeldern kann das Sensorarray digitale Felder bis zur Taktfre-
quenz detektieren. Im optimalen Arbeitspunkt erreichen die Sensoren fu¨r die Detektion
eines digitalen Magnetfeldes mit einer Flussdichte von ±60mT und einer Frequenz von
10MHz bei Raumtemperatur eine Fehlerwahrscheinlichkeit von unter 0,000032. Erho¨ht
man die Zahl der Abtastvorga¨nge pro Messung, so wird die Fehlerwahrscheinlichkeit
weiter verringert. Das Array hat einen geringen Fla¨chenbedarf und auch die Leistungs-
aufnahme ist im Vergleich zu anderen Sensoren sehr gering. Ein weiterer Vorteil ist, dass
die Sensorarrays problemlos skaliert werden ko¨nnen.
Schwa¨chen
Die Arbeitspunkteinstellung mit der Lo¨ffelschaltung war unbefriedigend. Um sich die
kleine Fla¨che zu erhalten, ist wohl am ehesten das Lasertrimmen geeignet. Eine eventuell
zu kompensierende Gleichkomponente des Magnetfelds oder der Arbeitspunkteinstellung
ko¨nnte in diesem Fall u¨ber einen fu¨r alle Arrayelemente gemeinsamen D/A-Wandler
realisiert werden.
Anwendungsfelder
Das Sensorarray war urspru¨nglich als Lesekopf fu¨r magnetische Speichermedien gedacht.
Nach [38] liegt die Flussdichte an der Oberfla¨che von magnetischen Speichermedien wie
Festplatten und Magnetba¨ndern bei ungefa¨hr 60 mT. Damit ist die Fehlerwahrschein-
lichkeit ausreichend gering, um solche Signale direkt zu detektieren. Nachteilig ist aber,
dass die magnetfeldsensitive Gate-Region nicht an der Oberfla¨che sondern mehrere Mi-
krometer tiefer liegt. Beim verwendeten 1,0µm-Prozess ist der Abstand der Gate-Region
121
zur Oberfla¨che ungefa¨hr 7,5µm. Eine Mo¨glichkeit, diese Limitierung zu u¨berwinden be-
steht darin, das Magnetfeld nicht von der Passivierungsseite anzulegen, sondern das
Substrat von unten anzuschleifen und das magnetische Medium auf der Substratseite
vorbeizufu¨hren. Eine andere Mo¨glichkeit, den nachteiligen hohen Abstand zu verringern,
wa¨re ein Magnetokonzentrator mit amorphen Legierungen hoher Permeabilita¨t [37, 13],
um das Magnetfeld nahe an die Gate-Region zu konzentrieren.
Das Sensor-Array ist auch gut geeignet, um eine Spuradaption zu realisieren. Weitere
Anwendungen fu¨r das Sensor-Array sind die genaue Lagedetektion von Magneten, z.B.
bei der Winkelkontrolle oder der Drehzahlmessung und Zu¨ndzeitpunktermittlung in der
Automobiltechnik.
Im Vergleich zu anderen in der Literatur erwa¨hnten Magnetfeld-Sensorarrays [16, 89,
116, 30, 97] ist das vorliegende Array a¨ußerst klein. Da die anderen Arrays aber zur ana-
logen Magnetfelddetektion entwickelt wurden ist ein direkter Vergleich nicht mo¨glich.
Vergleicht man den Sensor mit speziell fu¨r analoge Messungen eines langsamvera¨nderli-
chen Magnetfelds entwickelten Sensoren mit MAGFETs, wie in [25], so zeigt sich, dass
auch dort bei Langzeitmessungen das 1/f-Rauschen der limitierende Faktor ist. Der in
einem 0,5µ-CMOS-Prozess gefertigte MAGFET hat dort ein W/L von 80µm/40µm. Bei
einer Messzeit von 26ms wird eine Genauigkeit von 10 bit bei 100mT erreicht, das ent-
spricht einer Auflo¨sung von ungefa¨hr 100µT. Sein Stromverbrauch betra¨gt 9,9mA bei
5V fu¨r einen Kanal. Der in dieser Arbeit entwickelte Sensor wu¨rde im Vergleich dazu
bei der gleichen Messzeit eine Auflo¨sung nach 5.24 von 800µT bieten, allerdings mit
wesentlich kleinerer Fla¨che und kleinerem Stromverbrauch.
Ausblick
Neben der Verbesserung der Arbeitspunkteinstellung ist noch die Kopplung zweier ne-
beneinander liegender Sensoren zu untersuchen. Die integrierten Mikrospulen wirken
auch auf benachbarte Kana¨le, sodass sie fu¨r eine solche Untersuchung nicht verwendet
werden konnten. Es wird erwartet, dass das Kippverhalten nur wenig von den Nachbar-
sensoren beeinflusst wird (siehe Abschnitt 4.5.2). Auch die in bestimmten Arbeitspunk-
ten zu Tage tretenden Abweichungen von den erwarteten Werten sollten noch einmal
na¨her betrachtet werden.
122
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130
Lebenslauf
Stefan Rohrer
geboren am 30. Januar 1964 in Schramberg
1970 - 1983: Grundschule und Gymnasium in Schramberg
1983 - 1984: Grundwehrdienst bei der Bundeswehr
1985 - 1991: Studium der Elektrotechnik an der Universita¨t Karlsruhe (TH)
1991 - 1997: Ta¨tigkeit als Entwicklungsingenieur bei der Firma
Intermetall in Freiburg
1995 - 1997: Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universita¨t Kassel (GHK)
bei Prof. Dr. S. Hentschke
1997 - 1998: Freiwilligendienst in Peru, Gastdozent an der
Universidad Juan XXIII in Chepe`n
1998 - heute: Ta¨tigkeit als Entwicklungsingenieur bei der Firma
Micronas in Freiburg
131
Index
1/f-Rauschen, 12, 114
Arbeitspunkteinstellung, 61, 96
dynamisch, 63
statische, 63
Binomialverteilung, 14
abha¨ngige, 15
Boltzmann-Transportgleichungen, 5
Chapman-Kolmogorov-Gleichung, 21
Correlated Double Sampling, 116
D/A-Umsetzer, 63
Detektionsschwelle, 111
Dichtefunktion
der Normalverteilung, 16
Differentialgleichung
lineare, 46
stochastische, 45
Differentialgleichungen
stochastische, 21
Differentialgleichungssystem
gekoppeltes, 25
Differenzstromquelle, 48
Diffusion, 21
Diffusionskoeffizient, 6
Dotierstoffkonzentration, 61
DPLL, 111
Drehzahlmessung, 122
Drift, 21
Empfindlichkeit
strombezogene, 9
Erdmagnetfeld, 1
Faktor
integrierender, 46
Fehlerwahrscheinlichkeit, 18, 57, 84, 104,
106
Flash-ROM, 63
Floating-Gate-Transistor, 63
Flussdichten
typische, 1
Fokker-Planck-Gleichung, 21, 48
Fokker-Planck-Operator, 21
Fourier-Transformierte, 20
Gate-Region
magnetfeldsensitive, 121
Gaußprozess, 45
Generations-Rekombinations-Rauschen, 12
Hall-Beweglichkeit, 7
Hall-Koeffizient, 5
Hall-MAGFET, 8
Hall-Spannung, 5
Hallplatte, 8
Hooge-Parameter, 12, 114
Inverter
gekoppelte, 24
Itoˆ-Kalku¨l, 22, 46
Johnson-Nyquist-Rauschen, 11
Kapazita¨tsdioden, 63
Kippvorgang
stochastischer, 52
Kondensatoren
gekoppelte, 65
Korrekturfaktor
geometrischer, 9
Kovarianz, 45
Kovarianzmatrix, 20
Lagedetektion, 122
Langevin-Gleichung, 22, 45
Lasertrimmen, 63
Layout
der Sensorarrays, 87
Leistungsaufnahme, 117
Leistungsdichte
spektrale, 13
132
Lo¨ffelschaltung, 86
Lorentz-Kraft, 5
MAGFET, 8
im ru¨ckgekoppelten Inverter, 48
Magnetfelder
schwache, 111
Magnetfeldkennlinien, 98
Magnetfeldsignale
analoge, 114
magnetische Sensoren, 1
Magnetotransistor, 8
Magnetotransistoren, 11
Markov-Prozess, 20
Messbereiche magnetischer Sensoren, 1
Metastabilita¨t, 42, 116
Metastabilita¨tsgrenze, 116, 117
Mittelwert, 47
der Binomialverteilung, 14
Monte-Carlo-Simulation, 71
Neuromagnetismus, 1
Normalverteilung, 16
PLL, 111
Precharge, 25
Precharge-Phase, 67, 74
Precharge-Spannungen, 63
Prozesse
stochastische, 19
Quanten-Halleffekt, 8
Querstrom, 63
Rauschdifferenzspannung, 75
Rauschen
im MAGFET, 13
im MOSFET, 12
thermisches, 11
weißes, 11, 20, 46
Rauschladung, 50
Rauschleistungsdichte, 11
Scattering-Faktor, 9
Scharmittelwert, 19
Schrotrauschen, 11
Schwellenspannung, 61
Sensitivita¨t
der MAGFETs, 95
Sensor
terna¨rer, 57
Sensoren
magnetische, 1
Sidewall-Kapazita¨ten, 92
Split-Drain-MAGFET, 8
Standardabweichung
der Binomialverteilung, 14
stochastische Prozesse, 19
Sto¨rstellen, 12
Stratonovich-Kalku¨l, 22, 46
Strombelastbarkeit, 107
Supraleiter, 1
Taktsystem
nichtu¨berlappendes, 87
thermisches Rauschen, 11
Tiefpass-Filter, 111
Toleranzspanne, 114
U¨bergangswahrscheinlichkeit, 15, 20
Unterdiffusionsla¨nge, 61
Varianz, 47
der Binomialverteilung, 14
Wahrscheinlichkeitsdichte
zeitabha¨ngige, 53
Wahrscheinlichkeitsintegral
der Normalverteilung, 16
weißes Rauschen, 11
Winkelkontrolle, 122
Zu¨ndzeitpunktermittlung, 122
Zufallsvariable, 46
133