Linear-elast ische Wellen in vordeformierten Medien Vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Gesawt hochschule Kassel nir Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (B.-Ing.) gmfi* Dissertation von Dip1.-Phys. Markus Horz aua Langendernbach (WestemaId) Referent: Korreferent: Tag der Einnejchung: Tag der mündlichen PrMung: Prof. Dr.-Ing. P, Haupt Prof. K. Hutter, Ph. D. 22. April 1994 27. Juni 1994 Herausgeber Der G e s d t ä f t s f ~ d e Direktor Institut für Medianik Universitl Gesamthochschule Rassel Organisation und Verwaltung Susanne Blum Zastitut für Mechanik Universität Cesamthochs&ule Kassel Moocbebmtr. 7 34109 K d Markus Horn Institut Wr Mechanik Universität Gsswnthochschule K a s d Manchebergatr. 7 34109 Kascel Alle Rechte vorbehalten. Vorwort Die voriiegende Arbeit entstand aus einem Teilprojekt der DFG Farscbergnippe "Inge- niwrwisscnschaftIiche und mathematische Analyse inelatischer und bruchmßchanischer Probleme* der TH Darrnstadt, das von mir am Institut fiir Mechanik der Universität Gesamthochschule Kassel bearbeitet wurde. Für die hervorragende Betreuung inöchte ich mich besonders bei H m Prof. Dr.- Ing. P. Haupt bedanken. Seine stetige Diskussionsbereitschaft war die Basis für einen wiss&blichen Gedankenaustausch, der dieser Arbeit entscheidende Impulse gab und so wesentlich zu ihrem Gelingen beigetragen hat. Diaer Dank gilt auch Herrn Prof, K. Hutter, Ph. D. aus Damistadt, der sich trotz der rKumlicben Entfernung nachdriicklicli an der Diskussion beteiligte und bereitwillig das Korreferat iibernommen hat. Bei den Mitarbeitern und Kollegen des Instituts fiir Mechm'k möchte ich mich für die kollegide Zusammenarbeit und die angenehme Arbeitsatmosphäre bedanken. Für ihr Interesse m dieser Arbeit und für zahlreiche ~ e s ~ r h h b über wissenschaftliche und nichtwjssenschaftliche Themen da& ich den Herren Dr. R Bonn, C. Gloth, Dr. St. Hartmaan, F. Hiibscher, Prof. Dr. G. Klöhn, Dr. A. Lion, G. Liihre und Dr. L. Schreiber. Besonders gilt dieser Dank meinem ~immerkolle&n Dr. M= Kamlah. Ich dutfte seine eigene Tätigkeit jederzeit unterbrechen, wenn ich bei der Formulierung meiner Ideen einen Ratddag brauclite. Schlidlich danke ich meinen Eltern für die Unterstiitaung während der Zeit meiner Ausbildung und meiner Schwester Bkke fiir zahlreiche stilistische und sprraehliche Korrek- turen an dieser Arbeit. Inhaltsverzeichnis Notation und hnnelaeichen 3 I hkrementeile Bewegung und Spannung 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Kinematik 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spannungstensoren 15 1.3 Die Ableitung der Wellengieichung und die Definition der. elastischen Modulri 17 . . . . . . . . 1.4 Die Relationen zwischen den verschiedenen elastisch Moduln 22 2 Darstellung der Wellengleichung fiir spaielle MateriaIeigenschaften 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 1 Materielle Symmetrie 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Isotrope elastische Körper 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Anisotrope elastische KBrper 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Elastisch-plastische Vordeformationen 35 2.5 Zur Darstellung animtmper Materialeigenschaften in der Elsto . Plastizität 42 3 Zur Lösung der Wellengleichurig für vordeformierte Medien . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Lösungen in der Form ebener Wellen 51 3.1.1 Die Dispersionsrelation und die Berechnung der Phasengeschwui- digkeit ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Gruppen- und Energiegedwindigkeit M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Charakteristische Flächen : 55 . . . . . . . . . 3.1.4 Darstellung beaiiglich der natkliche o a t o n 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Eine Methode zur analytischen Näherung 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 LangitudinaIwellen 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Transvers&I~vellen 65 3.3 Hochfrequenmäherurig fir inhomogene Vordeformationen . . . . . . . . . . 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Die Bestimmung der Phase 68 3.3.2 Die Bestimmung der Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.3 Das xugehorige Variationsprimip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4 Konische Refraktion der Elastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Die charakteristischen K u r m 85 3A-2 Die Bestimmung der Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Betrachtung spezieller Vordeformationen 90 4.1 AlI&emeine Eigeaschaften der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2 Zur Qualitäb der mit der Hochfrequenznäherung berechneten L o s u n e . + 100 4.3 Zur Geometrie der charakteristischen Flachen fik verschiedene Vordebor- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mabionen 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Eine einfache inhomogene Vordefomation 109 4.5 Ve~leich weiterer Reculiate mitder Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . 111' Notation und Formeheichen Zur Notation: Die in dimer Arbeit benutzten Grö%en werden zum einen zur Besclireibung verschiedener Konilgwationen - der momentanenen und der mfangliche Konfiguration - verwendet. Andererseits operieren sie auch auf unterschiedlichen Konfigurationen: Der natürlichen und der anfhglichen Konfiguration. Die Notation für die verschiedenen Größen, die sich aus den unterschiedii&en Beiichreibungen ergeben, wurde gemäi3 den folgenden allge- meinen Grundsätaen gewählt: Tensoren zweiter Stufe und Vektoren werden durch fett- gedruckte Buchstaben gekennzeichnet. Tensoren zweiter Stufe, die auf der natürlichen Konfiguration operieren werden durch grolle Buchstaben symbolisiert, während für die- jenigen, die auf der anfitnglichen Kdgurat ion operieren, kleine Buchstaben verwendet werden. Tensoren, die die anfängliche Konfiguration beschreiben, tragen zusätzlich den Index 0. Zum Beispiel ergeben sich für die verschiedenen Deformationagrädienten die Symbole F, f und Po. Ten~oren vierter Stufe werden durch Buchstahn in einem grcibren Schrifttyp symboljsiert. Die wichtigsten Formelzeichen:. natürliche Konfiguration vordefomiierte oder anfiqliche Konfiguration Momentmkonfiguration PP l PR X Div , Grad X div , grad Dichte der anfänglichen b w . der natiirIichen~Konfguration Ortsvektsr eines materiellen Punktes in der natüriichen Konfiguration Differentialoperatoren bezüglich X Ortsvektor eines materiellen Punkt= in der aafangiichen Konfiguration Differentidoperatorm bezilglicb X Versehiebungsvektor, der die Wellenbewegung beschreibt Deformationsgradient Vemchiebungsgradimt Greenscher Vermrrungstensor Cauchy~che~ Spannungstenmr erster Piola-Kirchhof-Tensar zweiter Piola-Kirchhoff-Tensor IR lsotropiegtuppe M Strukturtensoren zur Charakterisierung der Anisotropie T (n, m) spezielle Strukturtensoren k Wellenvektor V Ampiitudenvektor CPI, Phasengeschwindigkeit C# Gruppengeschwindigkeit 8(.) akustischer Tensor f~ Dispersionsfunktionen der verschiedenen Wellenmoden Einleit tmg Vordeformationen und Eigenspannungszustände eines Werkstoffes induzieren Anisotm pien und Inhomogenitaten, die nur indirekt erkennbar sind. Eine MÖglidAeit zu ihrer Identifikation ist durch die Mesung ddnierter Ultraschallsignale gegeben. Pi Aua- breitung von SchallweIlen wird nhdich durch die elastischen Eigenschaften des Körpers batimmt, die ihrerseits durch die Vordeiormationen beeinfluflt werden. Quantitative Zunmmenhiinge zwischen den Eigenspannungszustiinden ein= K G p m und der Ausbrei- tung ehtjscher Wellen sind somit die Grundlage für eine Methode zur xerst4rungsfreien Materialprüfung (V& r B. MAN et al, j1992], SASAIU et al. [1990]). Auf der Basis einer kontjnuumamechanischen Beschreibung der einer Vordeformation überlagerten Wellenbewegung soll jm Rahmen der vorliegenden Arbeit ein Beitrag zur Prüfung von Werkstoffen mit UltrasJiaI~wellen geleistet werden. Die Amplitude der das- tischen Wellen wird dabei ab so klein angenommen, daß die Integität des Materials hierdurch nicht beejduflt wird, und die BesMibung durch eine Iineare Elasthitätsbezie- hung gerechtfertig ist. Die für diese Weiienbewegung relevanten elastischen Eigenschaften werden durch eventuell vorhandene Vordeformationen beeinfluflt. Derwkige Vordeforma- tionen können das Ergebnis einer komplex verlaufenen Vorgeschichte des Materials sein und auch mit inelastischem Materialverhalten z u s ~ e n h ä n g e n . Experimentell wurde der Enffuß einer Vordeformation auf die Ausbreitung von Ultr* &iiwellen erstmals von Bswson & ~ E L S O N [I9591 untersucht und d a akwboehsti- sehep Efleki bezeichnet. Eine experimentelle Methode von CRECRAFT [L961 zur Iden- tifikation von Ejgenspannungszustkden basiert auf der Tatsache, da0 die Scherwellen, die in zueinander senkrechten Ebenen polarisiert sind, unter Umständen unterschiedli- che A~sbreitungs~chwindigkeiten besitzen. Die bei einer Vmdefomtion vorhandene Abhängigkeit der Wellengeschwindigkeitw von Nichtiinearitaten in der El~tizitätsbezie- liung wurde von SMWH, STERN & STEPHEMS [I961 verwendet, um ein Mdverfahren zur Bestimmung von elastischen IEwstantm hoherer Ordnung %U entwickeln. Experi- mentelle Untersuchungen %um Einfluß plastischer Vordeforrnatianen auf die Ausbreitung elalitischer Wellen findet man rum Beispiel in BIRAO & PAO [I9851 und TABIGUCHI & ~WASHIMIZU [1981]. Neben der Materialpnifung sind die verwendeten Methoden auch in der Geophyeik relevant (vgl. CRAMPIPI [1985]). Eine allgemeine Theorie der Akustoeiastizibät von TOURIN & BERNSTEIN [1981] be- schreibt die einer Vordeformatian überlagerte Bewegung mit Hilfe von drei verschiedenen IionFiguraiionen des Korpers, die auch. in spateren Veröffentlichungen z. B. von PAO, SACHSE & FUKUOKA 11984) verwendet wurden. Die speziellen Untersuchungen z u Einfluß der Vordeformation auf das Auxbreitungsverhalten elastischer Wellen bmchrän- ken sich in diesen Arbeiten jedoch auf die Berechnung der Phasengeschwindigkeiten für spezielle Ausbreitungsrichtungen. Weiterhin wird die Wellengleiehung nur für elastische Körper mit speziellen Symmetrieeigenschaften angeben. Die vorliegende Untersuchung elastjacher Wellen in vordeformierh Medien beschäf- tigt sich vor allem mit da Erwejterungdieger beiden Aspekte, d. h. der systematischenAb- Ieitung der Wellengleichung fit verschiedeneMateriale't~nschafeen und der Untersuchung des sich ergebenden Eösungsverhaltens. Inhaltlich ergeben somit zwei TeiIe: Während irn ersten Teil die Ableitung der Wellengleichung diskutiert wird, werden im zweiten Teil diejenigen Änderungen i h m LBsungsverMtens untersucht, die sich aufgrund der durch die Vmdefomtian bedidjnffte Änderung der elastischen EinSchaften ergeben. Die wich- tigste Änderung im Lösungverhdten der Wellengleichung resultiert dabei aus der Tatsa- che, daß eine Vordeformatian in einem Körper eine elastische Anisotropie induziert, Die BerWchbigung von Randbedingungen fM auf weitere Phänomene, beispielsweise zur Untersuchung von Obedadienwellen oder zur Bestimmung der SchiPingmgen von Plat- ten. Hier wurde der Einflufl einer Vordeformation van DQWMH & OGDEN [I9901 und OGDEN & ROXBURGH [I9931 untmsucht. Die Untersuchungen der vorliegenden Arbeit bes-igen sich im eiwzelnen mit fol- genden Aspekten: Irn ersten Kapitel werden auf der Basis der drei Konfigurationen des Körpers die sur Beschreibung notwendigen Spannungs - und Deformationstensoren defi- niert-. Die Annahme, daß die Gberlagerte inkrernentelle Bewegung rein elaatiscb ist und eine kleine Amplitude besitzt, rechtfertigt die Beschreibuog durch eine I j n m Ebti- zitätsbeziehung; diese wird einerseits durch die Materialeigenscbaften b d d u ß t und ist auch von den geometrischen Nichtlinearitäten abhiBngig, die in der Approximation der Spannung in der lokalen Impulsbilmz auitretm. Aufgnind der Lheaiderung ist die Struktur der sich mgebenden Wellengleichurig formal mit derjenigen identisch, die sich für ein allgemeines anisotropes Hnea~e1aetjsches Material ohne Vordeformation ergibt. Im Unterschied hierzu berechnen 6ch die Ko- effiaienten des Blastizitätstensors im vordeformierten M1 über einen Rmalimus, der auf der linearen Approximation verschiedener Spannungsmsoren in &ner um*bung des vordeformierten Zustandes basiert. Mit diesem Formalismus ist es mögiich, den Ertflull der Vordeformation auf die IioeffiIrieriiten der WeIlengleichung zu analysieren. Im zweiten Kapitel wird anscblieknd der Enfluß der Materialeigenschaften auf die Struktur der WeIIengleichung diskutiert. Hier werden zunächst elastische Materialien in Betracht &exogen, die in ihrer natürlichen Ausgmgskonfiguration isotrop oder wch anisotrop sind. %fährt ein Körper eine Verformung, die zu elastisch -plastischen Defor- mationen führt, so ist neben den drei schon ervilZhnten Konfigurationen eine vierte Kon- figuration relevant, die plastische Zwischenkonfiguratian. Diese entsteht fmd dadurch, daß man die gesamte Deformation multiplikativ in einen elastischen und einen plastischen Anteil aerlegt, wobei man sich die Entstehung des plastischen (bleibenden) Deformations anteils durch eine (gedachte) IoMe Entlastung veranschaulichen kann. Die multiplbtjve ZerIegung des Ddorrnationsgradienten ist nur bis auf Rotationen eindeutig. Daber ist es sinnvoll, die Invariani der Materidbeschreibung beauglich solcher Rotationen zu for- dern. Die Grundidee zu dieser Znvmianzfmdening stammt von GREEN & NAGKDI [1971]: Formuliert man ein elastisch-plastisches Materiaigesetx und fordert man dieses I n v a r i w pwitulat gegenüber Rotationen der Zwischenkonfiguration, so folgt, daß nur Ehtizitäts- beziehungen möglich sind, die einem isotropen natürlichen Ausg,angmstand des Körpers entsprechen. Bei der Formulierung eines Materidgeeetzes für mtiirlich anisotrope Kör- per ergibt sich aus dieser FoLderurig heraus die Notivmdigkeit, die InvaRanzeigenschaften des Elastizitiikgesetzes BU erweitern. Hierzu wird am Ende des Kapitels eine Moglichkeit dargestellt, anisotrope Materialeigenschaften durch isotrope Funktionen zu bachreiben, die jedoch von eusatslichen ten~rwertigen Variablen abhängen müssen. Da sich die prinzipielle Struktur der Wellengleichung durch die Vordeformation nicht ändert, können zu ihrer Liisung die Methoden angewandt werden, die zur Lösung der Wellengleichung für natUrIich anisotrope Materialien gebräuchlich sind. Im ersten Teil des dritten Kapitels werden die hierzu notwendigen Begriffe anhand von ebenen Wellen erläutert. Ebene Wellen sind aber nur dann parb ikdb Lösungen der Wellengleichung, wenn deren Iloefiienten konstant sind, d. h. wenn die Vordefomation homogen ist, Da dies in der Regel aber nicht der Fall ist, sollte dem Vergleich zwischen Experiment und Rechnung ein allgemeineres Löcungskorizept der Wellengleidung zugrundeliegen. Von TOKUOKA & IWACIIIMIZU [I9681 stammt ein verallgemejnerter Ansatz zur Lösung der WeUengleichung der Elastadynamik, der auch in der vorliegenden Arbeit ver\aendet wird und zur Untersuchung der Wellengleicliung mit den Methoden der geometrischen Optik führt. Mit diesen Methoden ist es möglich, NSherungslbungen für den Grenzfall hohm Frequenzen, d. h. kurzer Wellenlängen auch für inhomogene Vordcformationen au bmtim- men. Ebenm tvic in der geometrischen Optik führt die Hochfrequenznaherung zu einer partidlen Differentialgleichung erster Ordnung, der Qkonalgleichung, bei deren Lösung die augehörigen Eharakteristischen Kurven eine wichtige Rolle spielen. Da sich die Energie einer elastischen Welle entlang der charakteristischen Kurven ausbreitet, werden d i a e in Analogie zur geometrischen Optik als akustische Strabien interpretiert. Im Unterschied zur geometrischen Optik sind die akustischen Strahlen aufgrund des anisotropen Materi- alverhaltens jedoch nichb die orthogonalen Trajektorien zu den Flächen konstanter Phase. Die Gesetze der geometrischen Optik können aus einem Variationsprinzip, dem Prb- zip von F a m t abgeleitet werden. Im Zusammenhang mit der Hochfrequenmihernug wird eine Verallgemeinerung dies- Prinzips auf den Fall der Wellenausbreitung in an- isotropen Medien diskutiert. Speaidl kann gezeigt werden, daß die akustischen Strahlen eine spezielle Bogenlänge extremalisieren. Die sich =@bade formale Ahnli&kdt zum Prinzip von Jacobi erweitert die bekannte Analogie xwiacben der geometrischen Optik und der klassischen Mechanik eines M4tssenpdes aui den Fdi der Wellenausbreiturig in anisotropen Medien. Mit der so bereitgatellten LOsungsmethode wird schließlich im vierten Kapitel noch das Verhalten der elastischen Wellen für spezielle Vorddomationeri untersucht. Im Fall konstm* Kodbienten, d. h. homogener Vordeformation ist es hier grundsiitzlich mög- lich, die berechneten Eigenschaften aus der Gwmietrie der charakterifiti~chen Flachen zu erkennen, die bei d a Diskussion der ebenen Wellen im dritten Kapitel eingeführt wer- den. Die aus der geometrischen Optik motivierte Gsungsmetbode führt damit auch zu einem Versthdnis der WellmphBsiomene, die durch eine komplidertere Wellengleichung bmhrieben werden. 1 inkrementelle Bewegung und Spamnung Die Eigenschaften der linearen WelIengleichung in einem elastischen Material sind durch die Konstanten der zugehörigen linearen Elactizitatsbeziehung bestimmt. In einem vor deformierten Material werden diese Eigenschaften zusätzlich durch die Art der Varde- formation und durch NichtlinearjtAken der Materialgleichung beeinflu0t. Die in diesem Kapitel vorgestellte allgemeine Theorie der Akustoelwtizibät versucht, den E i d d der Materiakigenschaften und den der Vordeformation auf die Koeffizienten der Wellengiei- chung darzulegen. Ebeosa wie in der DarsteIlung verschiedener anderer Autoren basiert die hier vorge- stellte Beschreibung der überlagerten Bewegung auf drei verschiedenen Konfigurationen des Körpers1. Die zur Beschreibung notwendigen Spannungs- und Deformationstensoren werden in verschiedenen Eiiführungstexten in die Kontinuumsmschanik definiert, und in den ersten beiden Abschnitten für die verschiedenen Konfigurationen dargestellta. Die Annahme, daB die überiagerte Bewegung rein elastisch sei und eine kleine Am- plitude besi bxe, rßchtfertigt ihre Beschreibung durch eine lineare Hastieitätabeziehung. Formd entsteht diese lineare Elastizit ätsbesiehung durch die Approximation der Span- nung am vordeformierten Zustand und wird im dritten Abschnitt in Erweiterung der Vorgehensweise von HOGER [1986] und MAN & LU [1%9] für verschiedene Spannung* tensoren formuliert. Die Komponenten eines pigneten Elastizitätstensors ergeben sich pcbliefilich als Koefhienten der Wellengieichung. 1 Kinematik Die vorliegende Arbeit bmchaftigt sich mit elastischen Wellen, die eine kleine Amplitude besitzen und duer endlichen Vordefannation ÜbesIagert sind. Wie in den Darstellungen verschiedener anderer Autoren werden zur mätliematjschen Beschreibung drei verschie- dene Konfigurationen eines materiellen Körpers B = {P) verwendet. Dime sind die folgenden (vgl. Abb, 1): 1. Die natürliche oder Relerenzkoofiguratjon X = R(P), 2. die vordeformierte Konfiguration mit den Ortavektoren X = T(P) bsw. Z(P, t ) , Abbildung 1: Darstellung der drei im Falle der rein elastischen Vordeformation rele- vanten Konfigurationen dec Körpers 3, die Momentdmfiguration reprkentiert durch X 4 U = F(P,t). Im Rahmen dieser Arbeit wird angenommen, daß die der Vorddonn~tion überlagerte Welle eine kleine Amplitude besitzt, so daD für dieVerschiebung u zwischen der momen- tanen und der anfängiichen Konfiguration 11 gad U 11 < 1 gilt. Diese Annahme führt zu einer linearen Ektiaitätsbeziehung ewischen der durch u beschriebenen inkrementdlen Deformation und den dadurch veruniachten Spannungsänderungen (Inbentelle Span- n..~). Pik Bewegung ewischen der Referenz- und der vordeformierten Konfiguration werden im Gegensatz hierzu grok V ~ ~ e b u n g e n und auch inelastisches Materialverhdten in 1%- tracht gemgen. Tm Fd1 des letzteren wird eine weitere Konfiguration, die spannungdreie Zwischenkonfguration eingeführt werden, Ist die mrddomierte Kodgwation zeitunab hängig, daan wird ~ i e ais anfinglich beaeichnet. In der mathematischen Beschreibung der drei Konfigurationen R, Z bzw. F wird einem materiellen Punkt P d a K6rpcm jcweila ein Ortsvcktor zugoordnct: Beaugskonfiguration: P-+X = X(P) P' P = ~ - ~ ( X ) vordeformierte Konfiguration: P 4 x = R(P,t) P=X"(x , t ) Momentankon@ration: P + x + U = X (P, t) + U (P, t ) Die sich hieraus ergebende Identifikation d t ~ materiellen Punkt- mit seinem Ortsvektor in einer speziellen Konfiguration führe jeweils zu einer materiellen Darstellung der Bewegung. Hier werden zwei Mögiichkeiten verwendet: r Die Identifikation von P mit dem Ortsvektor X der Referenzkonfiguration ergibt eine Darstellung der Bewegung durch die Funktion mit x (X, t) = 2 (X-I ( X ) , t ) und u (X, t ) = ii (X*' (X) , t ) . a Die Darstellung des materiellen Punktes durch seinen Ortsvektar in der vordefor- rnierkn Konfiguration ergibt entsprechend x + u = x + u ( x , t ) mit u ( x , t ) = h ( ~ - ' ( x , t ) , t ) . Zusätzlich können die Orisvektoren X und X in den Argumenten der entsprechenden hktionen jeweils in unteischiedlichen ~oordinatens~sterne~ dargestellt werden. Speziell werden in der wirliegenden Behandlung zwei unabhzngige Koordinaknsysteme verwendet: Zum einen werden die materiellen Punkte in der Rderenakonfiguration jeweils mit drei rellen Zahlen identifiziert, den materiellen Koordinaten: Aufgcund der Eindeutigkeit definiert man die Tangentenvektoren ' und die Gradienienvektoren ~ ' = ~ r d p die zueinantlet dual sind: GA.G,=&;t . Zum anderen entsprechen tlen materiellen Punkten in der anfänglichen Kodguration Z(P) jeweils die drei reellen Zahlen ( X ' , x2, xa): Wiederum definiert man aufgrund der Eindeutigkeit, die entsprechenden Tangentenvektoren und die Gradientenvektoren gi=graad , die ebenfalls dual zueinander sind: F G r eine Bewvegung X R (Xl*) ein= materiellen Punktes ist der Defvrrnrs~onspdiefl~ als lineare Approximation von X , (X, t ) zu einer festen Zeit t definiert. In den verschie- denen Konfigurationen erhält man dadurch drei verschiedene Defoimatiomgradimten: In der letzten Gleichung wurde der Verscbiebungpgadientt h der inkremsntellen Bewegung beai5glich der anfänglichen Konfiguration eingeführt. Bezwich der natürlichen Konfigu- ration lautet er H=Gradu(X,t)=F-P, , Eine explizite B d n u n g von F kann Uber die Gateaux-Ableitung erfolgen. Sa erhalt man zum Beispiel für den Deformationsgradienten F, der anfänglichen Konfiguration Durch die Identifikation von R mit den Tangentenvektoren GA der materiellen Koordi- natenlinien bestimmt man eine Matrixdarsteilung von F,: Die Darstellung von im Basiscyitem der Tangentenvektoren der räumlichen Koordinaten ergibt Ej, Vergieich zeigt, daß eine allgemeine Darstellung von F* in der Form F. (X, 6) = Grad X (X, t ) = rigi b GA (1 -2) geschrieben werden kann, mit Bx' F,',== * Das in (1.2) vorkommende Tensorprodukk a @ b von zwei Vektoren a, b ist so definiert, daß (a @ b) U = (b . U) a ftir jeden beliebigen Vektor U gilt. Gemäß der Summationskon- vention wird hier wie im folgenden über doppelt vorkommende Indizes summiert. Die Matrix EiA in (1.2) stimmt mit der FunktiamImatrjx der ICoordinatendarstellung überein. In analoger Weise können auch fiir die beiden übrigen Deformationsgradienten entsprechende Kompwentendaretellungen abpleiteb werden. Die wichtigste Eigenschaft des Deformationsgradienten ist die Transformation von Li- nienelementen von einer IConfiguration in die andere gern3 h diesem Sinne operieren F und F. auf der natcirlichm Konfiguration, w&rend f auf der änfhglichen I; s ~ ~ ~ ~ L ~ ~ ~ ~ @ k l = +eiAx e t F ~ E;;~,F,CF,~~L~"" L Fdl stimmt das Elastizit5tsgesetz mit dem verailgemejnerten Hook~xchen Gesetz für einen dastischen KGrper ohne Vordeformation Gberein. FCir weitere Spannungs-Defomations- Paare findet man die Definition der elastischen Moduln in dem Buch von OGDEN [1984]. Dort findet man auch ejne Behandlung von Medien mit inneren Zwangsbedingungen. Schließüch können anhand von Tabelle 1 noch die Syrnmetrieeigemchaften der ver- schiedenen Elastizitatstensoren diskutiert werden: Zunächst ergibt sich aus den Syrn- metrien des Grmschen Venerrungstensors und des zweiten Piola-KjrchhoR-Tensors die Symmetrie von ]L in bmug auf das erste bzw. zrveite Indexpaar: 1st T zusätdich aus einem Potential ableitbar, so gilt zus~txlich Die Symmetrien von L stimmen damit mit den bekannten Symmetrien des Elastixitäk- tensors aus dem verallgemeinerten HookmEBen Gmetx überein. Der Zusammenhang zum ElastizitZtstensor zeigt, d d fiir 6: die gleichen Symmetrieeigensch&en gelten: Für den Elastizjtätstensors A gelten diese Eigenschaften nur in d n g e d r a t e r Weise, denn aufgrund der speziellen Weise, in der die Komponenten des Spannungstensors bei der Berechnung vonA addiert \verden, gilt die zu (1 -32) d o g e S ymrnetrieeigemchaft für A nur wenn die vordeformierte Konfiguration spaanunggfrei ist. Die Symmetrie be5glich der Vertauschung der beiden Indapaare bleibt jedoch erhalten und ergibt ich aus der enkprechenden Symmetrie von und der Symmetriedes Cauchyschen Spannungstensors: Die Glltifit von (1.33) genügt Voraussetsung, um Endeutigkeitsaussagen Wr die LÖmning der Wellengleichung abzuleiten4. 26 2 Darct el1ung der Wellengleichung fiir spezielle Ma- terialeigenschaft en Die Ableitung der Mrellengleichung für ein vordeformiertes Medium ist im Kapitel 1.3 dargcskdlt worden. Die Koeffizienten der Ortsableitungen in diescr partiellen Differen- tialgleichung zweiter Ordnung sind die elastischen Moduln, die auf dem Spann-- Defomations-Paar (TR, F) basieren, Da eine Materialgleichung jedoch mit der RilCe & %weiten PiolkKirchhoff-Tensors formuliert wird, können aus iht direkt nur die elastischen hloduln abgeleitet werden, die auf dem Spannungs-Defarmation&~Paar (*,E) basieren. In Kapitel 1.4 wurden daher die Zusammenhange ~wischwi den verschiedenen Elastizi- tlstensaren abgeleitet, und B ergaben sich die in Tabelle 1 zusmmengefaBten M a - tionen. Die Koeffizienten der Wellmglejchng können hiermit bestimmt mdwi, Wenn einer der ElasEiaitätsbenmren bekannt ist. Das vorliegende Kapitel beschäftigt sich mit der Frage, wie der Elastizitätstensor L fiir verschiedene Materjaleigmschafte~ berechnet werden kann. Damit bilden die in Tabelle 1 zusarnmengef~tea Relationen zwischen den verschiedenen Elastizitätstensoren dann eines Formaiismus fiir die Ableitung der Wel- lengleichung, die die inkrmentelle Bewegung eines vordeformierten rnderiellen Körpers beschreibt. Im Fall des sein elastischen Maberidverbltens ist T durch das Ehtizitätsgesetz ein- deutig als Funktion von E gegeben. Die lineare Approximation von * am anfangiicha Zustand kann hier durch das erste Glied einer Taybrentwicklung um den vordeformier- ten Zustand erhalten werden, Für rein elastjaches Materialverhalten besteht die Auigabe somib darin, eine Daratdlung für den zweiten Piola - KirchhofE - Tensor anzugeben und diese anscblideiid zu differenzieren. Die m6giche Form des Elastizitätsgesetzes wird dabei entscheidend durch die materiellen Symmetrieeigenschaften da Körpers bceidußt. Das für die Untersuchung der Symmetrien wichtige IConeept der materiellen Isotropie wird daher im ersten Abschnitt dieses Kapitels kurz dargesteflt. Für die isotrqe Elastizität implizieren die Invxianzeigenschaften eine spexielle Form win T, aus der eine einfache Gestalt von L abgeleitet werden kann. Für den W1 des anisotropen elastischen Materi- alverhdtens beschränkt sich die Darstellung von ]L auf den Fall der ByperelastiutBk, in dem man 3 durch Differentiation der F~rrnänderungsenergi~ erhalt. h Fdl des elastisch-plastischen M&erialvcrhaltens postuliert die ugrundeliegende kinematische Annahme die Existenz einer sp~nnungefreien 7;wischenkonfiguration: Be züglich dieser wird eine Elastizitatsbeziehung formuliert, deren finearisierung wiederum dem ersten Glied einer Taylorentwicklung entspricht. 2.1 Materielle Symmetrie Das Konzept der materiellen Symmetrie oder Isotropie wird von TRUE~DELL & NOLL [I9651 im Zusammenhang mit den l n v ~ a ~ m g e h t der MaterialgIeichung unter einem Wechsel der Referenzkonfguration eingeführt. Fitr einen Wechsel der Refenzkonfiguration, der durch eine invertierbare Abbildung X* = A (X) char&eEsiert ist, kam die Transformation des Deformationsgradienten durch Differentatioa der Identitat abgeleitet werden. Man erhäit F n = F P , mit Pm1=GradA(X) . P a r ) Fiir den t.Bchten Cauchy-Green Tensor C = FTF = X $2E impliziert dieser Wechsel der Referenzkodguration eine Tkmsformation gemaß Unter einer Symmetrietrmsformafion P eines KGpers wird im Rahmen die= Arbeit nach T W ~ D E L L & MOLL [I9851 ein Wechd P der Referenzkodguration verstanden, der uni- madulm (loid volumenerhaltend) ist, d. h. det P = 1 und ferner die Materiaglejchung invariant so daß im Fail der EIastjzit&t die Identität 1 T (C) = d;ip P+ (PCP) pT (2.2) für alle C gilt. Die Menge cler Transformationen, die die Materialgieichungin diesem Sinne invariant lat, bildet eine Gruppe - die Isotmpiqmpp des MaieBals. Ei Fatkorper ist dadurch definiert, dd seine Isotropiegruppe eine Unkrgruppe der orthogonalen Gruppe ist: gn CO@)=(QI Q ~ Q = I } Gilt gn = 0(3), so ist der Festkörper isotrop. Andernfalls ist die Iaotropiegruppe eine echte Untergruppe der orthogonalen Gruppe, und der Körper ist animtrop. Für ein hyperelastisches Maberial kann die Materialgleichurig aus der Forrnändenings- energie W durch Differeiilation abgeleitet werden: 1 - dw (E) -T = - P R dE In diesem Fall kann man zeigen, daß Q genau dann ein Element der Isotropiegruppe ist, falls die Rklation (EI = W (Q~EQ) erfüllt ist. H i r n benutzt man die Differentationsregel du, (E) dw (E), Q T ~ Q = d (QTEQ) ' die in bemg auf kartesische I{oord'iaten in einfacher Weise nachgeprüft werden kann, sowie die Potentialeigenschaft der ~orniändmunpener~ie w: Aus den Invarianzeigemxhaften eines materieUen K6rpers kennen spezide Einschränk~n- gen, an die Materialgleichung abgeleitet werden. Dies führt zu speziellen Formen dm EIBstidtatßtenm L. 2.2 Isotrope elastische Körper Im M e eines isotropen elastischen Körpers gilt die Invasianzeigenschaft (2.2) für alle or6hogonäleni Q. Der zweite Piola-Kirchhaff-Tensor k m in diesem Fall ia seiner allge- meinsten Form durch T = I ~ ~ + $ , E + & E ~ 12-41 dargesteilt werden, wobei die Funktionen @; von den Grundinvarianten win E abhän- gen. Im Fall der Bypereiastizität ist die Fomändemngsenergic W als Funktion der drei Gmndinvarianten von, E darstellbar und '? kann aus W durch Diffmntation berechnet werden. Aufgrund dw isotropen Ab- hängigkeit besitzt der Grccnsdic Verzcrnmgs~ensor die glcichcn Eigenvektoren wie drr zweib Plola-Kirchhof-Tcnsar, d. h. T und E aiind koaxial. Durch dirwe gcmcin~mcn Eignvektoren ist auf natürliche Weise eine Orthonoriiialbasia gegeben, baiiglich der die Ableitung von nach E eine einfadie Darstellung besitzt. Diese wurde von CCHADWICK & OGDEN [I971 b] Ageieitet und zeigt sich in folgendem Satz 2.1: Sei T die Menge der spmefrischen Tensoren 2. Stufe und sei eine differen- sierbare Tenso+nktion aujT so, da$ .i. (E) fcr alle E in T koaxial m E ist. D ie erde Ableitung von * nach E ist die lineare Abbildung ]L : 7 t T, die als Tensor vierter Stvje betrachtet wedm kann rrnd symbolisch mit L = &/dE bezeichnet wird. Es seies ferner ei, Q, und fl, P, t3 die EigenweTte von E und T , dann sind die Iriomponenfen vosa L im gemeinsamen Ha~~pbodisen- system da& 1 t A - t B LABAB = -- A # B keine Sumnaation 2 e A - e a (2.5) gegeben, mabei die übsigegen LAQCD unter Beachtung der Sytnmetrieeigenschaf~ tea verschwinden. Betrachtet man ein im natürlichen Zustand isotropes hyperelastisches Materjal, dann enthält die MateFialgleichung dle Terme, die maximal quadratisch in E sind. Bezejchnet man mit eA und tA die E- gmwerte von Ep und T~, dann ergeh sich Im Hauptachßensystem von E durch die Anwendung des obigen Satees die folgenden nichtverschwindenden Komponenten Wr den Elasti6tatstensor ]L: 2.3 Anisotrope elastische Körper Die FormZnderungaenergie W eines elastisclien Körpers ist eine skalarivertige hnktim des Greenschen Vemerningstensors, aus der der zweite Piola-IChchhoff-Tensor T durch Differentation nach E folgt. Der Tensor der elastischen Moduln L, der im FaU des elastischm Maberiala durch die Ableitung von T nach E, gegeben ist, wird somit für hyperelastische Materialien auch durch Bie zweite Ableitung der Formänderunggenergie dargcstelit, betechnet im vordeformierten anfänglichen Zustand: Für die Ableitung der Wdlengteichung in einem speziellen anisotropen Körper besteht somit die Aufgabe zunächst darin, eine Darstellung für w(E) a n z ~ h und machlies- send z ~ i d differenzieren. Eine allgemeine Darstellung &er Farmkdetungsenerpe W ivurde von Smith und iüvlin für dieienigen Isottapiegruppen abgeleitet, die zu den bekannten 32 verschidenen Rristallkiassen assoziiert sind und zum Beispiel von BBA- GAVAPITAM [I9661 angegeben wurden6. ~ i e m u bdtachkten sie W als Polynom in den Komponenten von E und erhielten aufgrund rler Symmetrieejgenschaften des KErpers für eine gegehe Isotropiegruppe mit algebraischen Methoden Einschränkungen an die mög- lichen Abhängigkeiten der Funktion W von den Komponeuten von E. Diese sind von der folgenden Form: Alle Polynome, die unter einer endtidien 'Ilramfonnationsgnippe, die Idit der j ewei l in KrjstaUWasse assaziiert ist, invariant sind, besitaen eine endliche Polynom- basis: Jedes unter der Transfomationsgruppe invaiiante Polynmn Mt sich als Polynom der Basimlemente I, schreiben, und Jedes Basiselment ist invariant unter den Trandor- mationen der Isot~piegruppe. Mathematisch erhielten Smith und Rivlin ihre Resultate durch Anwendung der klassischen Invdantentheorie, die man %um Beispiel jin dem Buch von Wen [I9481 findet. Die Annahme, daß TU & Polynom in den Komponenten win E darstellbar ist, ist erforderlich um die algebraischen Methoden der lnvariantentheorie anwenden zu können. Die grundsätzlichen Eigenschaften der von Smith und RivIin ab- geleiteten Resultate bleiben jedoch auch dann gültig, wenn die sugchijrige hnkt ion kein Polynom ist. Dies wurde von Wineman und Pipkin gez>e. Für die bekknnkn 32 Kristallklassenerhlelten Smithund Rivlin elf verschiedeneTypen für die Abhängigkeit der Formärideningsenesgie von Invarianten. Diese rnduaicren sich im hil der quadratischen P laeung der klassischen Elastizitätstheorie auf neun mögliche Abhkgigkeiten. Die verwendete Methode, die sich auf die Wquivalene einer endlichen Gruppe ?tu einer Untergruppe der Permukationsgruppe stützt, soll irn folgenden an einigen Mspiden erläutert werden. Zuvor sollen jedoch noch einige Vereinbarungen über die auftretenden Symmetrie transformationen getroffen werden: Mit R! sei die Rotation um die Koordinatenachse z j um den Winkel 8 bezeichnet. Die Spiegelung an der ebene wird im folgenden mit uü keichnet. Die Bezeichnugen der Jmkropjegruppen, die ia folgenden verwendet werden, sind mit denen aus BHAGAVANTAM I19661 identisch (Schönffiesnotation). r Monokline Kristallklasaen: Die Symmebriegnippe Clah des monoklinen Systems ist durch eine Drehung um eine Achse um den Winkel r und -I als erzeugende Gruppendemente charakterisiert. Stimmt die Drehachse mit der xa-Achse des Koordinatensystems überein, dann wird die zugehöri- ge Darstellung der Isotropiegruppe durch Rz = diag (-1, -1,l) und -1 erzeugt. Die Transformation E* = 33% ergibt Hier bedeutet die Forderung nach der Invarianz der Wmänderungseneigie, daf! gilt. Definiert man die 'Jlupel x und y gemäß so werden deren Komponenten durch die oben beschriebene Tkansfomafion jeweils gleich- zeitig mitehander vertauscht. Der entsprechende Sata aus der Invariantentheorie besagt, da51 jede unter der Transformationsgruppe invariante F'unktion mit Hilfe der Terme dargestellt werden kann7. Beriicksichtigt man weiterhin, daß die Terme I2 = &I, 12 = &,I3 = E= und I4 = &? bei der Transformation w ä n d e r t bleiben, W erhalt man ' W m [1048], S. 361f. fUI da4 betrachtete System analog zu SMITH Sc Rrvira [I9581 die folgenden unter der ~sfomationsgruppe invarianten Terme: Diese bilden eine funktionale Basis, d. h. jede unter der zugehörigen Isotropiegnippe invariante Funktion kann durch diese dargestellt werden: Bildet man aus dieser so abgeleiteh funktionalen Basis für die vorliegende KristalkItlasse die a1Igemeinste quadratische Form von m, dann erhalt man durch zweimalige Differwi- tation den Elastixitatstensor, der das Hookesche Gesetz fiir die vorliegende Anisotropie darstellt (vgl. B~IAGAVANTAM (19661). Weiterhin erhält man fiir die beiden übrigen Isotropiegruppen der monoklinen KG- atallklasmn 4 und Cm Kristallklasxen C, und Ca, die dmch ( L , u ~ ~ ) und D, gegeben sind, die gleiche funktionale Abhängigkeit & Formänderunpnergie8. Die allgemeinste funktionale Abhängigkeit W besit~i gemäi3 den bisber dargestellten Einschriinkungen die Form W (g = C,.. .,1;.1; -. - 1: . (2.11) ;iF..& Wimbei sind die Grökn 11, ..., I, die Elemente der irreduablm Polynombasis, die mit der jeweiligen Kristailklasse assoziiert ist. %tz der kredulribilität der Polynombasis ergeben sich Relationen zwisdien ihren Elementen, aus denen weitere Einadiränkungen an die mögliichen Abhbgigkeiten der Formänderungsenergie abgeleitet werden konnen. Speziell zeigte S M ~ ~ R [1962], diB W für jede Kristallklaee in der reduzierten Form darstellbar ist. Hierbei sind So, SI, ..., Sv Polynome in sechs funktional unabhingigen hvmianten Ki, ..., hß und Li, ..., L,-* die übrigen Elemente der Baais. Weiterhin ist diese Darstellung eindeutig, d. h. es existieren keine nichttnviden Relationen der F'om Im Fall d~ oben behandelten monoklinen Systems setzt man zum Beispiel (K1, ... , I!&) = (E l l l&r&rE~,E:g ,~a ) und LI = Ga&. Aufgrund der Relation L? = &KG 1st sich w durch w=so+,Ci1;i darstellen. Ern wei beren werden die Terme li; , ..., K6 und L1, ..., L,& bei der jeweiligen Ableitung der entsprechenden funktionalen Basis entsprechend gekennzeichnet. Tetragonale Kristallklassen: Die Symmetriegnippe der tetragonalen fiistdIk1wse Cqh wird durch die Drehung um eine Achse u m den Winkel 2. und -I erzeugt. c4h kann aus der Symmettiegruppe C9h der monoklinen Kristallklasse durch Hingun&meder Synunetrieoper&ionen und 33$ erharten werden. Da also CZh C gilt, müasen die für die monokline Kristallklacse abgeleiteten Einschränkungen auch fiir die hier betrachtete Syrnmetriegruppe gültig wiein. f i r die ausätzIiche Symmetrieopmation R$ .gilt Dies impliziert fiir die Formänderungsenergie W aus Gleichung (2.10) die zusätzliche In- variambedingung Während bei dieser Tkansformation die Komponente invariant bleibt, werden die Komponenten der folgenden Tupel simu~tan miteinander vertauscht: Andog zu dem vorher behandelten Beispiel ergibt sich durch Anwenden der zugehörigen Säiitze aus der hwiantentheorie die folgende funktionale Basis: 34 Die aus &(u,u] resultierende Invariante stimmt mit &z(a,z) iiberein. Für die Formhde- rungsenergie W ergibt sich nach SMITH [I9621 die folgende Darstellung Wiederum sind So, ..., .Sr hierin beliebige PoIynome in den Gröflen h; , ..., Kg. Auch hier ergibt sich die gleiche funktionale Abhängigkeit von W ffir zwei weitere Kristallklascen. Die Symrnetriegruppe D4h entsteht aus C4h durch RinzufÜgen von R: als ms%tzliches erzeugendes Gruppenelernent. Die Transformation impliziert in den Komponenten von E einen VorzeichenweEhsd in Ela und &3. Aus (2.12) wird hierdurch ein Vorzeichen~~mhsel in den Basiselementen LI, La, LI und Le induziert. Die entsprechende Folgerung für die mögliche Abhängigkeit von tu kann in der schon b* kannten Weise abgeleitet werden. Nach der Definition der Tupel mit den Komponenten &,Ci, f L* & 4 und f ergeben sich nach der Anwendung des S a t w der Invarianten- theorie analog zu den vorherigen Beispielen die Produkte L!, LI L2, LI&, ... BXB zusätzliche Znvarimten. Diese khnen jedoch durch die übrigen Invarianten dargestellt werden und sind damit in der funktionalen Basis überflhsig, z. B. gilt Die funktionale Basis für die Kristallklasse Ddh ergibt sich daher aus den in (2.12) auf- gefiihrten Basiselementen durch Streichen der Terme Lr, La, L6 und L g , so dafl die a l l e meine Elastizitätsbeziehung eines anisotropen elaqtiscbm Kiirpers, dasen lsotropiegruppe die Gruppe Dah iat, durch die folgenden Grundinyarainten dargestellt werden kann: Auch für nicht endliche Ifiotropigrupp~n kann eine Damtcllung von w in der glrichcn Form erhalten werden. Zum Bciapicl ergibt nich Ehr cin Iransvernal i~ii~roprn Maicrid dic folgende funktionale BasisQ: Fib rein elastisches Materialverhalten kann man die Koefhienten der WeliengIeichung durch zweimalige Differentation von W gernaß (2.8) und der xicb hieran anschließenden Umrechnung der elastischen Moduln gemäß Tabelle 1 erhalten. Mit der Erweiterung auf elastisch-~lastisches Materialverhalten beschäftigt sich der nächste Abschnitt, Die grundlegende kinematische Annahme in der geschw~ndigkettsunabhhgigen Pht i - zitatstheorie postuliert die Existenz einer spaanungsfreien ZwischenkonfiguwtioaiO. Diese entsteht aus der Momentankonfiguration durch eine gegedachte lokale Entlastung an jedem materiellen Punkt f zur Zeit t , was der Wegnahme aller elastischen Deformationsantei- le entspicht. Dazu gehört eine multiplikative Zmlegung des Defomationsgradienten in einen elastischen und einen plastischen Anteil g e r d Die so defmierte Zwischenkmkation erfüllt irn allgernejnen keine Kompatibiütabßbe- dingungen, d. h. es &stiert kein Verschiebungsfeld, aus dem der plastische Anteil I?# der Deformation abgeleitet werden kann". Die geometrische Bedeutung der verschiedenen Anteile des Deformationsgradienten liegt in der Transformation der materiellen Linienel& mmte der Referenz- und Zwischenkonfiguration: Auf dime Weise operiert der elastische Anteil des Deiomtionsgradienten auf der Zivi- ~ehenkonfguratjon und der plastische Anteil auf der Referenzkonfiguration. Die Gtöfiea, die auf der Zwischenkonfiguration operieren, rverden mit &nem Dach gekennwichnet. 'vgl. GREEN & ADKINS [lMO] l0siehe GREEN & NAGHDI [1D71], HAUPT [1985], BOLSAPPLE [lWSa], HOLSAPBLE [1973b], AOISAPPLE [1073cj, LEE & LIU [laq, LEE [106D], SrnonorP [I9761 "Dic Beschreibung der plasbischen Defomiationaanteile durch einen Vemchiebungwrcktor in PAO, WU k GAMER [199l] ist daher irn allgemeinen unxutäcsig. Die inkrernentelle Bewegung, die der endlichen elastisch-plastischen Ddomation über- lagert ist, wurde als rein elastisch angenommen. Somit besitzt der Deformationsgradient F, der Vordeformation den gleichen plastischen Anteil wie P: Mit dem Linienelement dx des anfänglichen Zustandes gilt weiterhin die Beziehung: Die geometrische Interpretation der Zwiachdoniiguration ist in AbbiIdung 3 veran- schaulicht. Auf der Basis dieser Zerlegung d~ Ddormationsgradienten lassen sich die Greenschen Ver&errungsknsoren definieren, die die elastischen Antaib dar Verzerrung im anf*hglichen und irn Momentanzustand beschreiben und auf der Zwischenkonfiguration operieren: * 1 * I %C = (%*Oe - I) , E. = i- (I?:@. - I) . (2.16) Die inkrementeiie Verzerrung ist dann im Unterschied zum Fatl der rein eIastiachen Vor- deformation die Differenz dieser beiden Venerrungstensoren: Der momentme Spannungszustand eines materiellen Körpers wird im Fall des inelas- tischen Mat?rialverhaitens durch seine gesamte Deformatimsgeschicbte beeinflußt. Aus dem dlgemeinen Funktional, das die momentane Spannung mit der Deformationsgeschich- te verknfipft, ltann aufgiund d a Postulats der materiellen Objektivitat eine reduzierte Form abgeIeitet werden. Dime verknüpft den zweiten Piola-Kirchhoff-Tensor zur Zeit t mit der Geschichte des rechten Cauchy-Green-Tensors C = FTF, bm. mit der Ge- schichte des Greenschen Verzerrungstensors'a. Aufgrund dieser Reduktion kann aus der Defomiationsgeschichte eines Körpers lediiich der mit dem p l w t i s h Anteik des D&r- mtionsgradienten gebildete Greensche Veraerningstensor bestimmt werden. Dieser ist jedoch invariant unter einer beüebigeii Rotation der Zwi- schenkdguration, so daß eine mdtiplikative ZerIegung des Deformationsgradienten in der Fomi P = eF', = * e ' , $ T ~ ~ p EU derjenigen aus Gleichung (2.14) äquivalent ist. Der plastische Anteil F, d a Deformati- onsgradienten i s t dso nur bis auf eine Drehung bestimmt, so d d aus der Deformatioqe- schichte lediglich die Vemung U, von Fp ( F p = &UP) bestimmt werden kann. Dime fe lhde Eindeutigkeit fuhrt zu der Forderung nach der Invarianz der Materiaigieichungen gegenüber beliebigen Drehungen der Zwischenkonfguration'B. Betrachtet man nun den Cauchyschen Spannungskmor als Funktion des elastischen und des plastischen Anteils der gesamten Deformation T = g dmn W eine duzierte Form mmit aus den folgenden hmrianzanfordening abgeleitet werden: a Das Prinzip der materiellen Objektivität: E n Wechsel des Bezupystems, der eine Transformation des Deformationsgadjenten gernaß J? 4 QF induziert, sollte eine Substitution des Cauchyschen Spannungstensors der Form T -r QTTQ zur F~lge haben. Die Invarianz der Materidgleichung bezüglidi einer beliebigen Drehung der Zwi- sdienkonfigucation gemäß Fiir die Funktion g ergibt sich aus diesen beiden Farderungen die folgende Be- dingung: Q ~ ( @ „ F ~ ) Q ~ = ~ ( Q * ~ , Q ~ , Q F ~ ) W,6 0(3) (2.17) Durch eine spezielle Wahl von Q und Q kann aus diesen Bedi&ungen eine redunierte Form abgeleitet nierden14: Ersetzt man in (2.17) QT durch den Rotatiansanteil aus der polaren Zerlegung von F, (@, = &U,) und wablt man fiir Q die Identität, dann erhalt man oder I ($* F,) = @=fi;lg (U„ F,) e*'e := -6'e & (fit iip) detF. Diese Darstellung zeigt, daC da.s Prinzip der materiellen Objektivitat erfilt werden kann, wenn eine ElastizitZtsbeaiehung mit Hiife des zweiten Piola-Kirchhof-Tensors irr Ab- hhgigkeit des E~enschen Vemerrungtensors %= bbezilglich der Zwischmhfiguration formuliert wird: % = detl?.~;' TE-' = t (&,F~) (2.18) Die Invmianzbedingung beztiglich beliebiger Rotationen der Zivischenkonfigur&tion impliziert die Forderung nach der imtropen Abhhgigkeit der Funktion g von dem Argu- ment E,. Enschrihkiingen an die möglichen Abhhgigkeiten von dem plastischen Anteil des Deformationsgradienten ergeben sich aus der für d i e Q giiltigm Bedingung durch die spezieIle Wahl Q = %T: oder 3 (ke, F) = % (q&% U,) %T (2.19) Aus der Isotropiebedingung in bezug auf die Variable E, folgt, daß die Abhängigkeit des Elastizitätspetz von den plastischen Deforrnationsmteilen in geeigneter Weise durch die Variable U, bzw. E, dargestellt wird. Die elastiscberi Deformationsanteile werden somit durch die Elastizit atsbeaieh~n~~~ beadirieben, mit Die hvariamanforderung bezüglich beliebiger Rotationen der Zwischenkonfigur&ion i s t somit nur fih Elastjaitätsbeziehungen erfüilt, dieisotrop von dem Argument fit abhangen. Für natürlich anisotrope Körper ist dies jedoch schon. im F d rein elastbcher Deformw tionen nicht erfiiiit, so daß H zunkhat nicht möglich erscheint, plastische Deformationen anisotroper K6rper dmstellen, ohne die in (2.20) dargecteIlte Invarimzanforderung ZU verletzen. Vor diesem Hintergrund wird im nächsten Abschnitt eine Möglichkeit disku- tiert, plastische Deformationen von Materialien au b ~ ~ b e n , die im natürlichen Zu- stand anisotrop sind. Die Anisotropie wird dort durch zusätziiche Variable charakten- aiert. Der vorliegende Abschnitt beschäftigt sich im weiteren mit der BesMlbung der inkrementdlm Bewegung jm Fall der elastisch-plastischen Vordefomiation bei isotropen ~astizit&eigenschaften, Auch hier ist der &gliche Zustand des Körpers mit einem Spannungdeld verknüpft, das durch den Cauchyschen S p a n n u n g s b r t, bmchrieben wird. Der assmiierte M t e Piok-Kirchhol-Tensor operiert analog zu (2.18) auf der Zwischenkonfigurathn: T, = de*POeFo:t,,E.:= I6Diese Form dm E l a s t i i i t ü ~ h ~ s wurde erstmals von 30ANsOM I18831 angegeben. Wiederum wird das Inkrement des zweiten Piola-Kirchhoff-Tensors beziiglich der Zwi- schenkon+ration durch die Differenz der entsprechenden Spannungstensoren =-+a definiert. Analog zur Herleitung von Gleichung (1.11) folgt aus = f fF„ die Relation micchen den Inkrementen des zweiten Piola-Kirchhoff-Tensm bezüglich der anfängli- chen und der Zwischenkwifiguration: + - 5 - det@tF..P;l (4 - t.) PE-' (2.21) Die Eneare Approximdion der Elastizitätsbmiehung vwknüpfi im Fall der elastisch- = - plastischen Vordeformation die Differenz - Ta linear mit der entapnechenden Differenz da Greenschen Vermngstensors: Gleichung (2.22) ddniert dw Sensor der elastischen Moduln C, der wiederum eine linea- re Abbildung auf dem Raum der aymmetrisehw Tensoren und damit ein Tensor vierter Stufe ist. Dies sind die elastischen Moduln, die auf dem SpannungeDeformabionePaar *,E basieren und bezüglich der Zwischenkoafigwation berechnet werden. Bezüglich der anfingiichen und der natürl ich Konfiguration bleiben im P d der eIastisch-plastischen Vordeformation die Definitionen der elasthchen Moduln mit denjenigen äua Kapitel. (1.3) identisch. * Die Herleitung der Relation zwischen den beiden Elastizitäiskensoren L und erfolgt im F d der elastisch-plastischen Vordeformation analog zur Herleitung der Relation zwischen ]L und im FaU der rein elastischen Vordeforrnation: Bei einer Drehung der Zwiscbenkonfiguration geht dieser 2&nrnenhang über in Da mit der Tensodunktion auch die heare Appr~ximation isotrop von dem Argument fCe abhiingt, sind die beiden letzten Relationen identisch. Dies bedeutet, da8 der Zu- aarnmenhmg zwischen und invariant ist gegenüber beliebigen Rotationen der Zwischenkonfiguration. Die sich ergehnde KomponentendarstelIung entspricht derjmi- gen aus Gleichung (1.25). Um die Zusammenhange zu den im Kapitel 1 definierten El~t ixi täts tensam zu ver- * vollständigen, soll ~chließlich noch die Relation mischen und L abgdeitet werden: In der Definitionsglejchung T - + D = [L -B.] können die Spannungs- und Deformationsinkrernente unter Ausnutsung der multiplikati- ven ZerIegung von F, in Bezug auf die natrirliche Konfiguration darwtellt wetden: Unter V m d u n g der Defintionsgleichring des Elastizit6tEtstensors ]C erhalt man Die konkrete Berechnung von kann auch hier wiederum durch Düf-tation des ElastizitZtsgeetges erfolgen, das gernaß (2.20) von dem Parameter Ep abhängen kann. Sind die elastischen Defomationsanteile hyperelastisch, so kann die Ableitung von T auch durch die zweite Ableitung der zugehörigen Formändeningsenergie dac&estellt werden: Dies bedeutet, daß zur Berleiturig der Wellengieichung E aus dem ElastizitätSg&z, das bezügIich der Zwixchenkonfguration formuIiert ist, durch DiiTewntation berechnet wird. Anschließend erhat man den Elastixitätstensor A aus der I Jr = Cajlx; 0 (2.32) s' Im FaU m = 2 erhäit man rum Beispiel drei isotrope Tensoren vierter Stufe: Die Auflistung der isotropen Tensoren sechster und achter Stufe in SILBER [I9861 zeigt, dai3 sich ihre Kanstruktion mit zunehmender Stufenzahl als aufwendiger erweist. Mit einer solchen Konstruktion ist es jedoch moglich, die skalarwertige Funktion w, (E,T(4,4)) gemZi3 SILBER [I9901 durch die folgende Reihe darzustellen: Nach E m e t m der Darstellung des isotropen Tensors vierter Stufe p a ß (2.32) und (2.33) erkennt man, dai3 der erste Term von (2.34) die bekannten in E quadratischen Terme der Formänderungenergie eines isotropen Körpers widerspiegelt: Weitere in E quadratische Glieder ergeben sich bei der entsprechenden Auswertung des dritten Terms. Da sich die Anzahl der hier benötigten imtropen Tensoren achter Stufe auf 105 erhöht, soll an dieser StelIe lediglich das Resultat d i ~ e r Entwicklung angegeben werden: Zusammen mit dem ersten Term enthält die Form!hdeningaenergie erhält diesel- ben quadratischen Terme, die sich auch aus der mit algebraischen Methoden abgeleiteten funktionalen b i s (2.13) ergeben: Hierin sind die Konstanten CL, ..., Cs Summen der Koeffizienten der isotropen Tensoren vierter und achter Stufe aus Gleichung (2.32). Der Vergleich mit den vorher abgeleiteten Resultaten zeigt somit, daß in diesem Fall xurnindest Bis zur quadratischen Form in E die Übereinstimmung der Darstellung von W, mit den algebraisch abgeleiteten Resultaten ex- plizit verifiziert werden kam. Da sich die Anzahl der isotropen Tensoren mit zunehmender Stufenzahl jedoch stark erhöht, wird die Darstellung durch die vorliegende Reilienentwick- Jung zunehmend aufwendiger. Die Darstellung anisotroper Materideigenschaften durch Imtrope Flinktimen scheint für Isetropiegnippen mit höherzähligen Symmetrien daher weniger in der praktischen Anwendung ab in ihrer theoretischen Bedeutung m liegen. 50 3 Zur Lösung der Wellengleichung fiir vordeformier- te Medien Während sich die ersten beiden Kapitel mit der Ableitung der Wellengleichung beschäf- tigt haben, sollen irn vorliegenden Kapitel einige Gsungsmöglichkeiten diskutiert werden. Die Struktur der Wellengleichung in vordeformierten Medien ist mit derjenigen identisch, die für die Wellenausbreitung in natiirlich anisotropen Medien relevant ist. Im Fall bo- mogener Vordefomationen sind ihre Koeffizienten konstant, wahrend sie für inhomogene Vordeformationen vorn Ort abhängen. Im Fall konstanter Koeffizienten sind ebene Wel- len mögliche partikuläre Losungen, deren Form von verschiedenen Autoren diskutiert wurdelg. Im ersten Teil dieses Kapitels werden auf der Basis dieser Darstellungen die %griffe darg-telit, die fiir die Wdlenausbreitung in anisotropen Medien und für das £01- gnde relevant sind. Die Größen werden dabei sowohl bezfiglich der natürlichen als auch bez Gglich der anfänglichen Konfiguration da~gestellt und die Relationen zwischen ihnen abgeleitet. Ebene Wellen &nd nur konstante Koeffizienten, d. h. für homogene Vordeformatio- nen Lösungen der Wellengleichung. Im Fall inhomogener Vordeformationw ist es mit den Methoden der geometri~hen Optik rnögkh, k u n g e n fiir den G r d d l hoher hguen- 5x1, d. h. kurzer WelIenlhgen zu konstruieren, Da reale Vordefmatioaen in der Xte& inhomogen sind, wird im zweiten Teil dieses Kapitels die Weliengleichung der Elasto- dynarnik mit den Methoden der geometrischen Optik untersucht. Physikalisch gesehen werden hiermit die IConeepte der geometrischen Optik auf die Ausbreitung elastischer Wellen enveitert. Die Gesetze der geometrischen Optik können aus einem Variations- prjnzip, dem Fermatschen. Prinzip abgeleitet werden. Die aus der geometrischen Optik bekannte Formulierung die= Prinzips läßt sich nur f i r isotrope Elastiilitäheigen~chaften auf die Elastodpamik übertragen. Eine Verallgemeinerung auf die Wdenausbreitung in anisotropen Medien wird schließlich im dritten Teil diskutiert. 3.1 Lösungen in der Form ebener Wellen 3.1.1 Die Dispersionsreiation und die Berechnung der Phasengeschwindig- keiten Nimmt man die Koefliaienten der Wellengleichung als konstant an, so kann man Losungen in der Form ebener WdIen U (X, t ) = ~ e ~ ( k ~ ~ ~ ) (3.1) bestimmen, wobei k den Wellenvektor mit dem Betrag k = bezeichnet und der Amplitudenvektor durch V gegeben ist. Durch Eisetren dieses Ansatm in die WeIIen- gleichung (1.19) erhalt man die Bedingung p p ~ 2 ~ i = ~ j i k ~ k ~ p i ~ := Q ; ~ (k) uk , (3.2) die aIs Eigenwertproblern für den akustischen Tensor Q (k) gelesen werden kann, der von dem Welienvektor abhängk:. Qik (k) = A,j;kjb (3.3) Die Symmetrie des Tensors A bezüglich der Vertauschung der beiden Indexpaare p ä J 3 Gleichung (1.33) impliziert die Symmetrie von Q. Somit besitzt die zugeh6rige charak- teristische Gleichung det ( ~ ; j * I k ~ k , - Aw2&) = det ( ~ i p (k) - p$6;i) = 0 (3.4) drei reelie Lösungen für J, u 2 = 2 ( k ) . Ah Wispersioiis~elation wird eine Gleichung bezeiclmet, die W als hinktim von k angibt. Ist das Eigenwertproblern des akustischa Tensors gelöst, so kann die Disper- aionsrelation in der Wrm 1 . (3.6) angegeben werdenao. Die Eigenwerte des akustischen Tensm sind genau dann positiv, wenn A pmitiv definit ist, d. h. wenn für einen beliebigen Tensor h die Relation h .A [h] > 0 200bwohl dcr Eigmvektor für jede der Wellenmden verschkien ist, wird der Index a der Einfachheit halber wggeleatirn. Die gleiche vereinfachte Notation wird auch für dio Gruppen- und die Phmenge- achwindigkeit verwendet, dic im folgenden eingelilhrb werden. gilta'. Zur Bestimmung der Phasengeschwindigkeit cph = w/b stellt man den Wellend- tor in der Form k = kn mit n, n = 1 dar und erhält für die ebene Welle aus Gleichung (3.1) die DarsteUung U (X, t ) c veik(n.~-~n') . Auch hier fordert die Wellengleichung, daß die Eigenwertgleicbung für den akustischen Tensor Q (n) := gjkvk = PD~hq 13.1) erfcillt ist. Die ~ugehönge charakteristische Gleichung besitzt wiederum drei Ale NullatelIen - die Eigenwerte von Q (n), zu denen drei zueinander orth~gonale Eigenvektoren gehören - die möglichen Polariaationsrichtungen. Für einen Kiirper ohne Vordefonnation gilt fi = I und T = 0, W da£! die im ersten Kapitel dngdürten Elastiaitätstensoren alle identisch sind und mit dem Elastixitätsten- sor aus dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz iibereinstimmen. Sind die zugrunde- liegenden elastischen Egenschaften zusätzlich isotrop, dann kann A mit den in (2.33) eingeführten isotropen Tensoren vierter Stufe gernaß dargestdt d e n . Die Berechnung des akustischen Tenmrs ergibt Aus der Lösung des Egenwertproblems von Q (n) erhält man die b b t e n Resultake der Wellenausbreitung in isotropen Medien: Der %um Bpwcrt X + 2p gehörende Eigen- vektor ist parallel zur Ausbreitungsrichtung (Longitudindwelle), wahrend dem Eigenwert p zwei Eigcnvektoren zugeordnet sind, die hierzu orthogonal sind (Tkansversalwden). Für die Longitudinalivelle ist die Bewegung eines materiellen Punktes paraiiei mrn Wel- lenvektoi k, wahrend sie für ejnc Tkansvmalwelle hienu orthogonal ist. Im Fall einer geringen Anisotropie sind diese Aussageri nur noch näherungiveise richtig, und die m6gli- chen Polarisationen werden als quasi - longitudinal bzw. quasi -transverrid bezeichnetm. 3etrachtet man die Wellenausbreibung in einer E h e , dann i s t ein möglicher Polarisa- tionsvektor der beiden TkansversalweIlen in etwa parallei zu dieser Ebene, wahrend der andere hiereu orthogonal ist. Die Trancvercal~vellen werden in diesem Fall als quasi SH- Wellen (horizontal) und quasi SV-Wellen (vertikal) bezeichnet. Aufgrund der Ähnlichkeit der charakteristischen Gleichungen (3.4) und (3.8) sind die Phasengeschwindigkeiten durch die in (3.5) eingefuhrten Funktionen gegeben -jedoch mit dem ArgumenC n anstelle von k: Aus diesem Gnind sind die Diap&sionsfunktion homogen vom Grad 12': W = fP (k) = kf* (n) = kcph (3.9) Hieraus können die b&amten Homogenitätdationen abgeleitet werden. Wegen ihrer Bedeutung im Abschnitt 3.3 sollen sie an dieser Stelle kurz dxgegtellt werden24: Leitet man (3.9) nach k ab und setzt anschließend b = I , 8o entsteht Eine weitere Dserentation nach n ergibt Schließlich sei noch die Darstellung der chx&erisbis&en Gleichung angegeben, die ent- steht, wenn der Ansatz Wr die ebene Welle in der Fomi in die WelIengieichung einpetzt wird. det ( ~ $ 8 ~ ~ 1 - p,6;k) = 0 n Hierin wurde der Inverse Gedivindigkeitsvektor a = n/cph = k/w 4ngerührta6. "Dies folgt auch schon aun der charakteristischen Gleichung (3.4) %gl. z. B. I~LINCIBE~L [i@Ss], HEURER [19lJ2], Si 286 apIn der engliarhf~prdigen Literatur wird der Begriff "downess" verwendet, 3.1.2 Gruppen- und EnergiegeschPPindigkeit FUr die Behandlung von 'Il'elleriphänomenen Sst weiterhin der Begtiff der Qruppenge- schwindigkei t wichtig. Die EinEhrung efforgt in b e h n t e r 15fejse durch die Linearkom- hination von Wellen verschiedener i\'ell~nlängen und Frequenzen? Als Beispiel sei hier die aberlWrung von zwei Ii'e1Ien gleicher Amplitude betrxhtet, die sich in ihren CVerten fit k und W geriqgfiigig unterscheiden: Der erste Term der rechten Seite beschreibt die Trägm1ie, deren Geschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit ist W + $ 6 ~ W lirn 1,=6=cm , W1-o k + - wahrend 'der zweite Term die einhüllende Welle beschreibt. Tay1omtentwidduq von W (k) Wert DaRn heißtmder der Vektor = gradkw (k) (3.13) Gmppengeschpuidigkeo't. Eine alternative Diuctellung kann man durch Differentatian Gl&chung (3.9) nach den Komponenten von n .erbaten: Ist das Eigenwectprobl~m des akushchen Tensors gebt, dann ergibt die DifTercntation von (ileichung (3.6) eine explizite Darstellung von C,: ,i - - 1 i * (8) - 8h p,va kz (3.15) Hieraus ergibt sich durch die innere Multiplikation mit n und unter Verwendung von k/w = n/cm eine Relation zwiachcn der Gruppen- und der Phasengeschwindigkeit, Irn letzten Schritt wurde die W t i o n p,vac%„ = ~,j,[sz~nnv'v~ verwendet, die sich durch die innere Multiplikabion der Egnwertgleicliung (3.7) mit V ergibt. Die geometrische Interpretation dieser Relation besagt, daB die Projektion der Gruppenpchwindigkeit auf die Ausbreitungsrichtung n der Welle gerade die Phasengescbwindigkeib ergibt. Derartige Wellen werden dispersianshj genannt. Eng verknüpft mit der Gruppengeschwindigkeit ist der Begfiff der Energiegegeschtoin- digkeiL I?* die Untersuchung betrachtet man den mit der Ausbreitung der elastischen Wellen verbundenen Ercergiefluß: F ü r ein Kontrollvolumen V kann gezeigt werden, daß die zeitIiche hderung der Energie in diesem VoIumen durch den Fluß eines Vektors p durch die Oberflache dac Volumens gegeben ist2? p ist der akustische Poyntn'apektor, dessen Betrag gleich der Energie ist, die pro Zejteinheit durch eine Einheitsftkhe pas- siert. Der Vektor der Energiegesehwindigkeit wird tlutch die Division der Komponenten des Poyntingvektors durch den zeitlichen Mittelwert der Energie der Wellenbewegung er- halten. Die k o n h t e Darstdlung, die sich für die Energiegeschwindigkeit ergibt, stimmt mit der Darstellung der Gruppengeschwindigkeit aus Gleichung (3.15) überein, sa daß die Energiegeschwindigkeit mit der Gruppengexhwindigkeit identisch ist. Darauf wird in Abschnitt 3.3 noch weiter eingegangen werden. 3.1.3 Charakteristische Flächen Die Ausbreitung der elastischen Wellen irn Festkörper ivird durch die Darstellung ver- schiedener Flächen im IR3 charakterisiert. Der vorliegende Abschnitt beschäftigt sich aunächst mit der Definition und der Konstruktion dieser Flachen, die durch die Par- stellung verschiedener Geschwindigkeiten als h k t i o n der Ausbreitungsrichtung definiert sind. Anschiießend werden einige ihrer geometrische Eigenschnften diskutiert, die irn weiteren aum Verahdnis des Lösunpverhaltens der Wellengieichung beitragen werden. Für verschiedene natarlich anisotrope Körper hdet man Beiyjde dieser DmteUungen beispielsweise in dem Buch von MUSGRAVE [1970]. Als erstes sei der VekCor betrachtet, dessen Richtung mit der Ausbreituqgsrichtung einer ebenen Welle zusammenfallt und der die Länge C„ besitzt. Variiert man die Aus- breitungsrichtung, dann beschreibt cpks eine Flache irn €Ra, die da GesehPrnnd1gkeitsflQ"che bezeichnet wird. I . Fall der isotropen Elastizität ohne Vorspärinung besteht sie aus einer einfachen und einer doppelten SphBre, die zu den Longitudinal- und den Transversalwellen a T h ~ o ~ o v [lgeSj S.119 ff. korrespondieren. Im Falle der Anisotropie ändert cidi aufgrund der Variation der Phasen- geschwindigkeit mit der Ausbreitungsrichtung die sphärische Gestalt der einzelnen Teile der Fläche. Ds weiterhin die Phaseng~chwjndigkeiten der beiden quasi-Transversaiwellen verschieden sind, spaltet sich die doppdte Sphäre irn allgemeinen auf. Die Inverse Ge- schuiintdigkcihfläjie ("slomcss-surface") entsteht durch Auftragen der inversen P W - geschwindigkeit als Funktion der Ausbreitungsrichtung, Sie wird somit durch die Mmge der Endpunkte der Vektoren s = n ( i / t p h ) dargestellt. Für isotrope Elastizität ohne Vor- Spannung ergibt sich wiederum eine doppelte und eine einfache Sphäre, deren Geometrie auSgnind einer Anisotropie geändert wird. SchlieDlich wird die Menge der möglichen Endpunkte der Gruppengeschwindigkeit als WelImuektoPflache ("wave vßctor suriace" ) bezeichnet. Am Beispiel eines vordeformierten natürlich isotropen Kapers, mit der in (2.6) darge- stellten Materialgieichung sind die soeben Angeführten Flikhen in Abbildung 4 jeweils in einer Ebene dargestellt. Hienu wurden die Materialparameter verwendet, die in LURIE [1991], S. 169 f* den Stahl Rex 535 angeben sind? Um die rnögiichen Einscka£ten der charakteristischen Mächen darzulegen, wurde die Vordehation gern% F, = diag (0.945,1.055,1.00) vorgeben, obwohl das h4zterialvm- halten des gewähiten Stahls bei dieser Deformation nicht mehr rein elastisch sein dürfte. Zum Verständnis der geometrischen Eigenschaften der Weilenvektorfikhe und zu ihrer geometrischen Konstruktion ist der folgende Zusammenhang 7;u der Inversen G~chwin- di~itsf ladie n~txlich~@: Die Differenz ds mischen zwei infinitesimal benachbarten inversen Geschwindigkeits- vektoren s und s + ds kann durch. Taylorentwicklung von s (n) erhalten wwden, Die skalare Multiplikation dieser Gleichung mit C, ergibt unter Berücksichtigung der in (3.16) hergeleiteten Relation zwischen der Gnippcn- und der Phasen~chwindigkeit und PaDa der Greemhe Verzerrungstcnaor von Lurie mit C bexeichnet wird, atimmt e ine Ddnition der nichtlinearen Mahialparameter aulSeite 165 mit der DeFintion in (2.6) iiberein. 2 9 D l ~ ~ t ~ ~ ~ 1 N T & -R [1080], S. 1791. Abbildung 4: Darstellung der im Text definierten Flächen, die irn weiteren zur Cha- rakterisietung der elastischen Wellen verwendet werden. a) Geschwin. digkeitsfläche b) Inverse Gmchwindigkeitdläche C) WelIenvektorfläche, Die linke obere Abbildung charakteriiiert die zugrundliegende Vorde- formation, Abbildung 5: Zur geometrischen Konstruktion der Gruppengeschwindigkeit. Der Vektor C, ist orthogonal zur Inversen Ge~chwindigkeitdlache. der Darstellung der Gruppengeschwindigkeit aus Gleichung (3.14) eine Orthoganalitats- beaiehung awjcchen C, und da: Da diese Gleichung für aüe Vektoren da gilt, die-tangentid an die Inverse Geschwindjg- keibfike sind, ist die zu s gehörende Gruppengeschwindigkit orthogonal zur Inversen Geschwindigkeit~fläche. Diese Konstruktion ist in Abbildung 6 veranschaulicht. Ist die Phasengeschwindigkeit ä1c Funktion der Ausbreitungsrichtung n dargestellt durch gegeben, dann h n aus dieser Orthogonalitätsbeziehung und Gleichung (3,181 eine expli- mte DarsteiImg der Gruppenpchwindigkeit abgeleitet werden. Letztere i ~ t wegen (3.1'1) proportional zu rvahrend der Betrag aus C, a n = CF, bm. cg B s = 1 be~timmt werden kann. Eine Parame- brdmtellung der Welienvektoriiäche kann somit unter Verwendung dec NomaIenvektors n, der Inversen Geschwindigkeitdäche durch angegeben werdenm. Die explizite bhnung ergibt das folgende Resultata1: U n h einem s i q u i ä m Pu& der WdlwvektorGche wird hier ein Punkt verstanden, iür den die beiden Tangentenvektoren 8c,/ae und acg/B4 linear abhängig sindaa. Das Auftreten der singuIären Punkte der Wellenvektorfläche i s t eng gekoppelt an einen Vorzei- chenwechsel der Gaußschen Krümmung der I n v m n Geschwincügkejtdkhe. Der hierzu von HOSCHEK [I9831 allgemein bewiesene Sah lautet in dem vorliegenden Zusammenhang wie folgt: Satz 3. I: Besitzt die Inverse ~esehmindigkefCsfaäde mit der Pammeta~da~de~lung s (0,d) an der Stelle (&, &) eine Nullstelle bm. einen Vorzekhmumhsd der Gauß- schen Krümmung, so hat die Wellenvektorfläche C, (B, $) an dmgleiden Sdeb le eine SingularitLt. Zum Beweis diees Satzes stellt man in dem hxprodukt die ParametFißierung der Welienvektorfli&e, die durch C, (n ( B , 4)) gegeben ist, analog zu BOSCHEK P9831 in der Form C, = nf lcgl dar. Die anschlieflmde Differentation nach der Produktregel ergibt drei Terme, deren Verschwinden äquivalent ist zu Die GauDsche Krümmung der Inversm Gachwindigkeitfläcbe kann iri der Form %ia Indizes B und 9 bedeuten partielle Ableitungm B I C R ~ ~ ~ ~ t ~ & MCGONIOLE [lD81] =vgl. Do C A ~ O [l9D3], S. G5 dargestellt werdens, und verschwindet genau dann, wenn (3.191 erfüllt ist. Dies beweist den in Satz 3.1 dargestellten Zusammenhang zivischen der Inversen Geschwindigkeit+ und der Wellenvekborfliche. 3.1.4 Darstellung bezüglich der natürlichen Konfiguration Die Bestimmung der Phasen- und Gruppengeschivindigkeit kann auch auf der Basis der WeIlengleichungcrfolgen, die in Relation zur natiirlichen Konfiguration formuliert ist. Der Vergleich der tierechneten und gernespenen Phasengeschwindigkeiten vereinfacht sich bei dieser Bedreibung, da in Experimenten zu verschiedenen Vordeformatiwen die Probe zur Bestimmung der Phasengeschwindigkeiten nicht neu verniessen werden muß3'. Der akustische Tensor S beziiglich der natürlichen Konfiguration entsteht durch setzen des Ansatzes in die Darstellung der Wellengleichung aus (1.201 Ebenso wie Gleichung (3.2) kann die so entstandene Relation als Eigenwertproblern für S g e l h n werden. Somit b ~ i t x t die chorakteristjschs Gleichung det (S {E) = 0 drei Mdlstellen, die die Dispersionsrelationen für die verschiedenen Wellenmoden d&- nieren. Die Bestimmung der Phasengwchwindigkeiten erfolgt analog der Beschreibung bezüglich der mfängiichen Konfiguration nach der Division durch den Betrag von K aus der entsprechenden charakteristischen Gleichung W det (S (N) - pRa~) = 0 mit CF,, = - . I< Fordert man, daß durch die beiden Ansatze aus den Gleichungen (3.20) und (3.1) die glei- che Wellenbewegung bmchrieben wird, dann ergeben sich aus der Bedingung U (X (X) , 0) = U (X,O) die Relationen rwi~hen den Wellen- und den Amplitudenwktoren: K = F ? ~ und V = V (3.22) %g[. LAUoWlTZ [1077], S. 53 "Dime Wellengcschwindiikciten werden von TPUMTEN & BRU(I . (3.46) .4fa In11 + (1 - 7 ) kafp (n2) - je ( ~ I z ) Die linke Seite von (3.46), die die Form (a + b)/(a jt + bja) besitzt, wird im nächsten Schtitt mit Hilfe der Ungleichung abgeschätzt, die weiter unten abgeleitet werden SOU. Mit dieser Anschätrung ergibt sich aus (3.46) unmittelbar, daß eine nicht konvexe Dispersionsfunktion f, die Ungleichung zur Folge hat. Letztere ist jedoch äquivalent zu einer im geometrischen Sinne nicht kon- vexen Inversen GeschwindiglaejtWe, da sie aus durch Verwenden der Dreiedcsungleichung gefolgert werden kann, und die Summe des Vmfaktoren von l/ f, (ni) und l/ f, (nz) eins ergibt. Nach der Vervollst%digung durch die Ableitung von Gleichung 13.47) zeigt die obig Rechnung, daß eine nicht konvexe XSispersionsfunktion eine nicht konvexe Inversen Geschwindiikeitsfkhe aur Folge hat. %usamrnen mit dem Existenzbeweis von BENTOM (1977) folgt hieraus, d& eine globale Msung der Ekonalgleichung irn dlgemeinennur existiwt, wenn die h m e Gedwjndig- keitsfläche konvex ist. Zur VervoIlSthdiiung dieser Argumentation soll schließlich noch die Ungleichung (3.47) abgeleitet werdm, Aus {fi - ja)' 2 0 foigk nach der Multiplikation mit ab die Relation Abbildung 7: Ist die inverse Geschwindigkeitsfläche nicht konvex, dann schneiden sich unter Umständen die charakteristischen Kurven. Daher existiert in diesem Fall keine globale Lösung der Eikonalgleichung. Nach der Addition von (a2 $ b') fifa faktorjsiert sowohl die linke als auch die rechte Seite, so daß ( Q ~ I -k bfa) (bfi + a f i ) 2 Ia $. h)ahf2 gilt, Die Division durch (afi + bf2) (a + b] fi6 f ü ü nun zur Ungleichung aus der (3.41) unmittelbar folgt. Hiermit wird die obige Rechnung vervollstandtgt, die die Geometrie der Inverem Geschwindigkeihflachehe mit, den Bedingungen für die Existenz einer globalen Lösung der Eikonalgleichung verbindet. Die fehlende Existenz einer globden Lösung kann für den Fall der nicht konvexen. Inversen Geschwindigkeitsfläche auch weniger formal mit der folgenden fJberlegung gefol- gert werden: Mach Satz 3.1 ist die fehlende IConve~itat eng verhupft mit dem Auftreten von Singularitaten der Wdlenvektarflkhe. Die Wellenvektorfläche repräsentiert jedoch die möglichen Tangentenvekbom an die char&teristischen Kurven. h Fail von auf- tretenden Singnlaritätan ist m nun möglich, dal3 sich die charakter'itisehen Kurven der Eikonaweichung schneiden. Geschieht dies am Ort X zur Zeit t , dann kann # ( X , t ) hier nicht angeben werden, falls für Anfangspunkte xi und X? der charakteristischen Kurven q$ (X,) # dO (X*) gilt. Eine globale Lösung der Bkona\glei&ung kann aus diesem Grund im allgemeinen nur bestimmt werden, falls die zugehörige Inverse Geschwindigkeitdädie konvex ist und die Wellenvektorfläche keine Singularitäten besitzt. 3.3.2 Die Bestimmung der Amplitude Die Gleichung zur Bestimmung der Amplitude (V(, die sls Transprigleichtcng bezeichnet wird, kann nach dem Einsetzen von (3.39) aus dem Imaginärteil der Wellengleichung (1.19) abgeleitet werden. Nach skalarer Multiplikation mit V lautet dieser und kann unter Ausnutzung der Symmetrie von A in der h r m geschrieben ~ v e d e n . Für die weitere Untersuchung wird die Darstdiung der Gruppenp schwindigkeit aus Gleichung (3.15) verwendet. Mit erbalt man fiir (3.48) Weiterhin folgt aus den charakteristischen Differential@ichungen (3.43), d d die totale zeitliche Ableitung von #* entIang einer charakteristischen Kurve verschwindet: Daher kürzen sich die zweiten Ableitungen, die sich in (3.49) durch die Differentation nach der Produktregel ergeben, und man erhat s~hließlich bzw. Die Integration dieser Gleichung über ein beliebiges Volumen V führt zu Die Anwendung des Gauflcchen Integralsatm ergibt: Dieses Resultat ist ein Tkansporttheorem, das sich auch in der Form ausdrücken lat und folgendemden interpretiert wird: Die Energie J (P,+) dV der V(4 Wellenbewegung bleibt innerhalb eines Volumens, das sich mit der Gnippengeschwin- digkeit entlang einer charaktmischen Kurve bewegt konstant. Die entsprechende bkale Aussage (330) bzw. (3.51) s t d t fest, daß die Enetgiedichte p,v2 einer elastischen Welle längs einer charakteristischen Kurve konstant ist. In diesem Sinne stellt Gleichung (3.50) eine dtemative Fomiulimg fiir die bekannte Tatsacbe dar, d d die Energimusbreitung einer elastischen Welle mit der Gruppengeschwindigkeit stattfindet. Di= verdeutlicht die physikalische Bedeutung der charakteristischen Kurven, deren Tangente jeweils durch die Gnippenge9chwjndigkeit gegeben isG. 3.3.3 Das zugehörige Variationsprinzip Die formale Ähnlichkeit zwischen den Prinzipien von F e r d und Jacobi begründet die bekannte U o g i e mischen der geometrischen Optik und der klassischen Mechanik ei- nes Massenpunktes: Die Ausbreitung einer Lichtwelle, die durch eine hinreichend kurze Welienlhge charakterisiert ist, erfolgt derart, daß die assoziierten Strahlen, d. h. die orthogonalen Trajektorien zu einer Wellenfront zu der Bewegung e h Teilchen kam+ pondierm. Durch die Verdlgemeinerung des Fwrnatschm Primips, die jm vorliegenden Abschnitt diskutiert drd, wird diese Analogie auf die Untersuchung von elatischea Wel- Ln in einem inhomogenen anisotropen linear elastischen Material erweitert. Hierzu wird gewigt , dai3 die charakteristischen Differentialgleichungen zur Eikonalgleichung formal 76 als Hamiltonsche Bewegungsgleichungen identifiziert werden können. Diese Identifikation &ließt auch die Formulierung eines speziellen Extremdprimips ein, daß zum Prinzip der stationären Wirkung in Analode steht. Bei der Ausführung ergibt sich aufgrund der schon diskutierten Homogenität der Di* persionsfunktionen ein Problem: Ein Vergleich mit der klassischen Mechanik wiirde es nahekgen, diese mit der Harnilhnfunktion zu identifizieren; diese wäre dann ebenßo wie die Lagrandunktion in dem Prinzip von Yacobi homogen vom Grad 1. Aus dieaem Grund könnte dann allerdings die Lagrmgdunktion nicht bestimmt werden: Die Eegendretrans- formation könnte nicht in der bekannten Weise ausgeführt werden, da die Determinm- te der zweiten Ableitungen von f, verschwindet und die generalisierten Impulse nicht nach den generalisierten Geschwjndigkeiten aufgelöst werden könnten. Das Fermatsche Prinaip in der EIastadynamik ist e r s t d s von EPSTEIN & SMATYCKI [ 9921 behandelt worden. In dieser Arbeit wird jedoch dem Problem der Auftäsbarkelk der ImpiJse nach den Geschwindigkeiten nur geringe A u h k s d e i t gewidmet. in der hier vorgestellten alternativen Vorgehensweise wird gezeigt, d d die charakteristischen Kurven der Hkond- gleichung eine spezielle Bogeniaiige extrem&~eren. Hierzu wird eine Idee von KLxNaBEIL I19881 verwendet. Zur Motivation der Vorgehenswdse soll zunhhst ein kurzer Vergleich zu den bekannten Prinaipien der analytischen Mechanik gezogen d e n , die man beispielsweise in dem Buch von GOLDSTEIN [I9891 dargestellt findet.. Schreibt man die Eikonalgleidiung in der Farm sa erhalt sie die Form der Bamilton-Jacobi Gleichung fir ein mechanisches System mit den generalisierten Koordinaten qi: In dieser Korrespondens kann die Phase 4 mit der Wirkungshnktion S verglichen w e r den, die Komponenten des lokalen Wellenvektors b = #=i entsprechen den generalisierten Impulsen pi = %S/8qi, während f, die Rolle der Hamiltonftinktion H übernimmt. Diese formale Ahnlichkeit IUt die Analogie zwischen einem aku&ischen Strahl und der Trajek- torie eines assoziierten mechanischen Sptems mit drei Freiheitsgraden vermuten. Das zugehorige Variationsprinzip der klassisclien Mechanik i s t das Prinzip der klein- sten Wirkung oder das Hmiltonsche Prinzip. Es enthält die Lagrangdunktion L als In- tegranden, die mit der Harniltonfunktion H über eine hgendretransformation verknüpft ist. Im fdgenden sollen zunächst die Ähnlichkeiten und die Unterschiede zwischen der kIassischen Mechanik und der Elasbodynamik dargelegt werden. Die Lösung der Hamilton-Jacobi Gleichung (3,53) ist äquivalent zur Lösung der su- gehörigen charakteristischen Gleichungen. Bezeichnet U wiederum den Kurvenparameter, dann ergibt sich dt /& = 1 als Differentialgleichung für die Variable t. Im Gegensatz zur Eikonalgleichung stimmt in den char&%eristischen Differentialgleichungen der Hamilton- Jacobi-Gleichung die unabhängige Variable U mit der Zeit t überein, Die übrigen Glei- chungen lauten Die in der ersten Zejle aufgdilhrten Bswegungsgleichungen. sind die Hamiltonschen Glei- chungen, die ein System gewähnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung der Bahn- kurven des mechanischen Systems im Phasenraum darstellen, Die korrespondierenden Gleichungen der Elastodynamik sind die Gleichungen (3.44). Das Variationsprinzip, das au den BewegunpsgIeichungen (3.54) 3uivalent ist, Ist das Prinzip der kleinsten Wirkung oder das Hamiltonsche Prinmp: Die Wirkung eines d p * mischen Prozesses, d. h, das Zdtintegral über die Lagrangefunktion, berechnet awischen den beiden Ronftguraiionen. {q"tl) = q ~ l ) md iqk(t2) = pfz)) , (k = 1, ..., n) ergibt für die tataächlicbe Bewegung dm Systems ejnen Extremwert: Eine notwendige Bedingung für einen Extremwert dieses Funktionals ist die Gültigkeit der EulepLagange Gleichungen: Emin ist die Lagrangefunktion L durch definiert, worin T = T (8, $, t) die kinetische E n e ~ i e und V = V ($, t) die potmti* Energie ist. Aus der Hmiltonfunktion H wird die Lagrangdi1nktion ÜbIicherweise durch eine Le- gendretransforrnation gemäß bestimmt, worin dje Variablen Qi .= HP, die generalisierten Geschwindigkeiten darstellen. Die EuIer-Lagrangeschen Bewegungsgleichungen (3.56) sind äquivalent zu den Hamilton- xhen GIeichungen (3.54). Dis folgt nach der Diffmtation der Lagrangduktion nach den generalisierten Impulsen und Geschwindigkeiten gemäfl aus der zweiten ~arniltonschen Gleichung: Ausgehend von der HamiHmfunktion H ist a bei der Bestimmung von L durch die Legen- dretcansformation (3.57) notwendig, die Gleichungen die generalisierten Geschwindig- keiten $ nach den generalisierten Impulsen pj aubulhen, so h ß die Lagrangefunktion als Funktion der generalisierten Koordinaten qk und Geschwindigkeiten ik dargestellt wird. Dies iat miiglicb, falls die Bedingung 8-i det '! = det - a ~ j # O a ~ i a ~ j erfiillt ist. Zm Gegensab mir analytischen Mechanik ist diese Bedingung in der Elastody- namik nicht erfüllt, da nach der zweiten Womogenitatrneiation (3.1 1) ein nichtverschwin- dender Vektor auf die Null abgebildet wird. Daher gilt in der EIastodynamik bf. , det - = &akj und der kanonische Fomdimus kann nicht in voller Analogie sur kiwiden Mechanik ausgeffihrt werden, Eine alternative Methode zur Formulierung von Variationsprinzipien, die zu Funktio- nen korrespondieren, die homogen vom Grad 1 sind, i s t in dem Buch von KLINGBEIL [I9881 dargestellt. Bei der Formulierung der erforderlichen Alternative wird im w e i t e ren die% Methode gefolgt, jedoch ausgehend von H anstelle von L. Zunächst werden die kontravarianten Komponenten eines symmetrischen Tensors zweiter Stufe durch die zweiten Ableitungen von f: definiert: Als Konsequenz der Homogenitatsrelationen (3.10) und (3.11) stimmt das Quadrat der Hamiltonfunktion, das durch 1 1 .. := gUh5 -: -.~tJ&$f* 2 (3.59) definiert ist, mit dem Quadrat von f, überein: Weiterhin kann aus den Homogenitäbrelationen die Beziehung abgeleitet werden40. Mit diesen Mationsn kann der kanonische Fordismus anaIog zur klassischen Me chanik durchgeführt werden. Da die Legendretransforrnation - wie oben dargestellt - auf der Basis von H grundsätzlich nicht ausgeführt werden kann, wird der Formalismus mit dem Quadrat der oben eingefirhrten Ratnjltonfunktion durchgefüht. Dies geschieht a d o g zur Idee von KLINGBE~L [1988]. Die generalisierten Geschwindigkeiten sind durch gegeben. Eine exgligte Darstellung der Metrik kann aus Gleichung (3.6) durch DiReren- tation abgeleitet werden: 1. 9.1 - A,jl k p.2v2 k?'V Ist der TensorA positiv definit, dann gilt dies auch für die Metrik, so da0 die Matr ixp in diesem &U invertimbar ist. ' ' K L I N ~ B E ~ ~ [1088], S. 284 Mit den kovarianten Komponenten gy zu gG können nun die Komponenten dm Wel- lenvektors durch k; = 56 (&/du) dargestellt werden. Die hgendretransformation ist damit durchführbar und man erhält für das Quadrat der Lagrangefunktion Das zugehörige Variationsprinzip, das in K t r w B ~ n . 119881 formuliert ist, extrmalisid eine Bogenlänge, die auf der in (3.62) definierten Lagrangefunktim basiert. Die Anwen- dung dieser Idee auf den Fall der Wellenausbreiturig in anisotropen Medien fiihrt zu dem folgenden Satz 3.2: FzYr die charukteristicchen Kurven der Eikonalgleiehung *Ist die durch definierte Bogenlänge extremai. Zum Beweis zeigt man, daß die zugehörigen Hdltonschen Gleichungen mit den d m rakteristischen Gleichungen von (3.42) iibereinstimmm. Die in dem Buch von Klingbei1 in Kapitel 8.5 angegebene Ableitung vereinfacht pich, wenn die Bogenlknge s als unab- hängiger Parameter eingeführt wird. Dies ist keine EinschFhkung der Allgemeinheit, da das Integral in (3.63) aufgrund der Homogenität des Integranden in dzi/dp invariant ist gegenüber Transformationen der Integrationsvariablenal: Bezeichnet man die Ableitung bezüglich s mit einem Strich und benutzt zu&tdich die Identität sa erhält man die Eule~Lagrmge Gleichqen in der Form I l ~ i e Abhandlung folgt den Ideen von B A B I ~ & B U L D ~ E V [1990], die d i i i~otrope Wellengleidiung in krummlinigen Koordinaten b u t r ~ h ~ . Dies sind jedoch die Euler-Lagrange Gleichungen, die zu dem Funktional gehören, so d d die Verwendung von HZ noch einmal motiviert ist. Die kanonischen Diffaentjalgleichungen für h? können in Analogie zur klassischen Mechanik abgeleitet werden*. In dem Integral wird die Bahnkurve jm Phasenraum gem.33 und k(s) -i ki(s) + ~ l i ( s ) variiert. Die Bogenlänge wird extremd, falls die Bedingung flur aiie adäsissigen h an der StelIe c = 0 gilt. Die Ableitungen bezüglich s und a können irn a&t;en Term miteinander vertauscht werden, Eine anschliehde partielle Integration Da die Endpunkte bei der Variation fefftgebalten werden, verschwindet der erste Term, und man erhält schließlich Das Integral in (3.64) verschwindet fiir alle Variationen der Bahnkurve genau dann, wenn die honischen Differentidgleichuqp erfüiit sind. Die erste Gleichung kann auch schon aus der in (3.61) gegebenen Definition der generalisierten Geschwindigkeiten abgeleitet werden, denn die Tkansformation des Kurvenparameters impliziert eine Multiplikation der generalisierten Gwchwindikeiben und Impulse mit dslab. Ein Vergleich mit (3.43) zeigt, daß die kanonisdien 1)ifferentidgleichungen von (3.63) mit den char&eristischen DiRerentialgleiEbungen von (3.42) übereinstimmen, falIs der Parameter U mit 1/2 s identifiziert wird. Daher ist die in (3.63) definierte BogenIänge {Ur die charakteristischen Kuwen extremal. Da die Bogenlänge aufgnind der ohn diskutier- ten Invarjanzeigenschaft jedoch unabhängig vom Kurvenparameter ist, beweist dies Satz 3.2, Spezialisiert man die Wellengleicitung auf den Fall des isotropen Körpem ohne Vor- defomation, dann ergibt sich eine bekannte Formulierung des Fmmatschen Prinzips: Li diesem Fall sind die Dispersionsfunktionen durch gegeben, und nach einer kurzen Rechnung ergibt sich der folgende Sonderfall von (3.63): D i w Variatioasprinaip ist die zur geometrischen Optik analoge Form d a bekannten Prinzips von Fermat. Mit dem obigen Satz wird d i e m Prinzip jedoch auf die W d e n a u ~ breitung in anisotropen Medien verallgemeinert. Eine weitere EinSchaft des Rrmatschen Prinzips besagt, dd sich die Strahlen auf Bahnkurven mit extremaler Laufzeit bewegen. Dies gilt auch für die vorliegende Formu- lierung: Zum Beweis wendet man g" auf die Ausbreitungarichtung an und erhä.It unter Verwendung der Relation zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit aus Gleichung Die Anwendung von &k ergibt Mit diesen Relationen transformiert sich das Vwiationsprinzip aus (3-63) zu Da der Integrand in (3.68) identisch gleich 1 ist , kann die Bogenlänge in (3.63) mit der Zeit identifiziert werden. Aufgnuid der Äquivalenz zwischen dem hier vorgestellten Varia- tionsprinzip und der Eütremalisierung der Laufzeit des akustischen Strahls vervollständigt sich die Korr~pondena zur Üblichen FormuIierung des &matschen Prinzip. Dem Variationsprjnzip aus Gleichung (3.63) entspricht in der klassischen Mechanik das Prinzip von Jacobi: Sind die mechischen KrBftte aus einem Potential ableitbar und die Zwangsbedingungen zeitunabhängig, d. h. ist das System konservativ und sklemnorn, dann ist die gesamte Energie E = T+ V konstant und die kinetische Energie i s t homogen vom Grade zwei in den generalisierten Geschwindigkeiten wobei die generalisierten Massen des Systems von den Koordinaten abhängen khnen, mki = rnu (ql, ..., 9"). In &diese F d ist die Lagrangefunktion durch gegeben und das Hamiltonsche Prinzip lautet Das Jmbi-Funktional kann. ab Linienjntegral dargegtellt werden das die gleiche Struktur wie das Integral in (3.63) besitzt: Xn beiden Falen sind die Inte- granden homogene W t i o n e n vom Grad 1 und die Linienintegrde können als Bogenlhge in dem zugehörigen Kodgmationsraum interpretiert werden. Betrachtet man die freie Bewegung eines Teilchefls, dann ffjlt S (X , i) = J (X) - Et mit wobei s die Bogenläw entlang der Bahnkuwe bedeutet. In diesem Fall lautet die Hamilton-Jambi Gleichung; wie folgt: 1 - [ g r a d ~ ) a + ~ = ~ oder (gcadJ,Ia=2m(E-73 . 2rn Abbildung 8: Zu einem Schnittpunkt der Inversen Gesehwindigkeidäche geheren verschiedene Gruppengeschwindigkeh und damit auch verschiedene Richtungen der Energieausbreitung. Die geometrische Optik urid die kIassische Mechanik eines Massenpunktes körnen als arm log betrachtet werden, da Gleichung (3.67) mit (3.70) identisch ist, falls der Brechungs- index * mit 4- identihiert hrd. Aufgrund der Ähnlichkeit zur Gleichung (3.69) korrespondiert die Fomulierung des FeEmatschw Prinzips aus (3.63), die auf die Wellenausbreituqg in anisotropen Mediw Bezug nimmt, jedmh zu einem aitgemeineren mechaniflchen System mit drei Mheitsgraden. 3.4 Konische Refraktion in der Elastodymmik Die Behandlung der Wellqleichung bt mit der im vorigen AbsEhnitt dargestellten Me- thode nicht möglich, wenn fiir eine Ausbreitungsrichtung n zwei Phasengeschwindigkei- ten, d. h. zwei Eigenwerte des akustischen Tensors ilbereinetimrnen. Da sich in dicsem Fall verschiedene Gruppengcschwindigkeitcn und rwmit vcrsehidnt: hngcntcn an die charakteristischen Kurven e r g c h , gehören zu dieser Au~b~itnngsiriel~tung vmchic dene Rjchtungn dm Encrgicau9bmitiing (vgl. Abbildung 8). Ilir~cs Pliliuomcri wird in der gmmetrjechcn Optik ds ko~~i t~c l t e BcjdEfam bi*~i!iehnc!t und wiirdu x. H. voii A ~ n m [I9881 untersucht, In der Elastodynamik sind nur die schon etwas älteren Arbeiten von UATKEVICH (1963) und DE ICLtRX & MUSGRAVE iI955] bekannt. Zu einem doppelten Eigenwert des akustischen Tensars gehören zwei linear unabhän- gige Eigenvektoren EI und E2, die orthonormiert wählbar sind, so daß eine Losung der Wellengleichung hier in der F m bestimmt werden kann. Die Koeffizienten der Weiiengleichung werden irn folgenden als konstant angenommen. Dies hat !zur Folge, daß soivohl der Wellenvektor k als auch die Eigenwerte und Eigenvektoren von Q konstant bleiben. 3.4.1 Die charakteristischen Kurven Besitzt der akustische Tensor Q einen doppelten Eigenwert, dann sind die beiden zu- gehörigen lihalgldcbungw in Form der Gleichung (3.42) gleichdeitjg erfüllt. In einer naheliegenden Verdgemeinerung der in Abschnitt 3.3 dargestellten Vorgehensweise könn- te die Bestimmungsgleichuae; für die Phase durch das Produkt dieser beidea Faktoren jn der Fonn F (k) = (f: [dzi) - 4;) ( X ( A i ) - 8) = 0 betrachtet werden. Mit der so abgeleiteten partiellen Differentialgleichung können die cha- rakteristischen Kurven jedoch nicht in der zu Gleichung (3.43) analogen Weise btstimmt werden: Die Djfferenfationen iuif der rechten Seite der charakteristischen Differentialglei- chungen müssen jeweils gema der PmrluktregeI ausgeführt werden. Daher bleibt in den auftretenden Summanden jeweils ein Faktor unverändert erhalten, was das Verschwinden der rechten Seiten zur Folge hat. Dieser Fall wird bei der Behandlung partieller Differenti- algleichungen erster Ordnung jedoch ausdricklich a ~ s ~ e s c h l o s w ~ ~ . ht einer alternativen Vorgehensweiae wird daher zunäciist der Realteil der Wellengleichung (1.19) betrachtet. N d dem Einsetzen von (3.71) ergibt aich für den G d U hoher nequmen Nach inneren Multiplikation mit dem Amplitudenvektor %Ei + q i a erhäit man unter Beachtung der Djspersionsrelation in der Farm (3.6) für die Eikonalgleicbung eine Summe 13 vgl. X . B. C~WRANT & Hiteswr [I968], S. ö3 von drei Termen: Die im wrigeii Abschnitt behandelte Eiondgleichung ergibt sich hieraus, falls v1 oder Q verschwindet. Die Behandlung von (3.12) hlm nun in der schw bekannten Weise erfolgen. Die zugehörigen chatakteristischen Differentialgleichungen lauten Führt man erneut die Zeit als unabhängige Variable ein, und bezeichnet man mit cf) und die aus f1 und f2 berechneten Gruppengeschwindi@iten, dann ergibt sich für die Tangenten an die chmaktmiatischen Kurven unter Verwendung von Ii = f fl = &f2 eine Linearkombination verschiedener Gruppengecchwindi i~ In den letzten beiden Gleichungen wurde der Winkel $ mit V1 m$=- 9 und sin$=- ,/m 4- verwendet, der für positive Werte von vt und va im Inkruall [o, $1 liegt. Obige Rechnung zeigt, daß sich im Gegensatz zum regulären ]Fall bei einem doppelten Ei~nwertes von Q verschiedene Tangenten an die charakteristischen Kurven mögiich sind, Diese ergeben aich nach Gleichung (3.74) fiir verschiedene Polarisationen, d. h. für verschiedene Wette von W und v2. Abbildung 9: lm Fall eines doppelten Eigenwertes des akustischen Tensors liegen die möglichen Tangentenvektoren der charakteristischen Kurven liegen auf einer Ellipse in der Ebene mit Normalenvektor n, die vom Urspruhg den Abstand C„ besitzt. Die innere Multiplikation von dxldt mit der Ausbreituagsrichtung > unter E- d t u n g von cpl . n = $1 . n = C, und der Orthoginalität der Eigenvektoren, daß die Projektion der Tangente der charakteristischen ICurve auf n wiederum die P h ~ w schwindigkeit ergibt. Durch die ~inkeifunktionen im ziveikn und drifien Term von (3.74) wird durch die Endpunkte der Tqentmvektoren daher eins Ellipse parametrisiert, die in einer Ebene mit Abstand C„ vom Ursprung hegt, Aus diesem Grund definiert die Menge de.r rnödichea %ngentenvektoren einen Kegelmantel. Damit ist die Bezeichnung konische hfraktion gerechtfertigt, da die Bezeichnung konisch von dem lateiniden Wort "mn~" (Kegel) stammt (vgl. Abbildung 9). Aufgrund der beiden Vorzeichen im ernten Term existiert ein ziveiter ~ege l , der die Menge der m6glichen Tangentwivektoren an die ~harakteriati~cben Kurve für die entgegengesetzte Ausbreitungsrichtu~ darstellt, 3.4.2 Die Bestimmung der Amplitude Ebenso wie im regulären M1 können die Bestimmungsglei&gen für die Amplitude auch irn Fall eines doppelten E~nrvertes des akustischen Tcnaors aus dem IrnaginGbeil der Wellengleicliung bestimmt werden. Nach der inneren Multiplikation mit v iE l ergibt sich Während die erste Gruppe von Termen der rechten Seite jeweils q und W enthält, k o m e pondieren die übrigen su den entsprechenden Termen aus Gleichung (3.48) und kennen daher in der gleichen Weise behandelt werden. Hierzu k m die Gruppengeschwindigkeit C(') in der Dmteliung identifiziert werden und man erhäib Nach der inneren Multiplikation dw Imaginärteils der Wellengleichung mit ~$52 ergibt eine analoge Rechnung die zweite BestimmungsgleiEhung zur Berechnung von q und vn: Ebenso wie im vorangehenden Abschnitt kann auch hier gefolgert werden, daß die Energie ausbreitung der Wellenbewegung entlang der charakterjstisdien Kurven der Eikondglei- Ehung erfolgt, denn anaiog zum regulicen Fd verschwindet auch hier die totale zeitliche Ableitung win $t entlang einer charakteristischen Kurve: Me ersten vier T m c von (3.77) bilden diejenigen Terme der linken Seiten von (3.75) und (3.76), die nach Auafhhrung der Differcntation zweite Ableitungen von enthaitcn. Nach 89 deren Substitution g m a ß (3.77) kann die Summe von (3.75) und (3.76) schließlich in der foIgenden Form geschrieben werden: Nach der DMsion durch dt kann ejn Großteil der Terme der letzten Gleichung mit der Divergenz von (poui + povi) dd/& identifiziert werden. Dies lcann nach der Multiplikation der men Zeila van Gleichung (3.74) mit (P,v: + P,V;) durch Differentation nachgeprüft werden. Nach dieser Identifikation Iäßt sich Gleichung (3.78) wiederum in Form eines Erhaltungesatzes schreiben werden: oder In Analogie $ur Interpretation von GIei&ung (3.48) bes* (3.701, d d sich die Summe der baden Energieoüchten, die zu den Palari~ationen G1 und 2, gebaren, in einem Km- ~rollvolymen honst mt bleibt, das sich mit dxj/dt entlang einer charakteristischen Kurve bewegt. 4 Betrachtung spezieller Vor deformat ionen Der allgemeinere Lösungsansatz mit veränderlicher Phase und Amplitude liefert nicht nur N ä h ~ l k u n g e n der Wellengleichung für inhomogene Vordeformationen und Eigen- spannungcrustande; auch im Fail konstanter K h i e n t e n ist er für das Verständnis und die physikalische Interpretation der Losung der Wellengleichung hireich. Insbesondere wird durch die in Abschnitt 3.3 hergeleiteten Gleichungen der Zusammenhang mischen der Geometrie der charakteristischen Flachen und dem Ausbreitungsverhalten der Une* elastischen Wellen deutlich. Für eine punktf6rmige Quelle wird hierzu im ersten Abschnitt dieses Kapiteis zunächst das Verhalten der charakterischen Kurven und der Flächen km- stanter Phase sowohl fiir isotrope als auch für anisotrope Materialeigemchaften diskutiert. Im Ancchluß daran erfolgt eine Darstellung des Verhaltens der Amplitude, die durch die ~rmqodgleichu& (3.51) bestimmt ist. Letsstere verknüpft die zeitliche Ändenuig der Energiedichte einer elastischen Welle mit der Divergenz der Gruppengeschwindigkeit, In Beispielmhnungen wll in diesem Kapitel das Lömmgsverhdten der Wellengleichung mit Hilfe der Geometrie der Eharaktmiden 'Flächen veranschaulicht werden. Irn Anscbluß daran wird der Eiduil verschiedener Votdeformatian auf die geometrischen Eigenschaften der charakteristischen Flächen untersucht. SchLidlich wird das kungsverhdten der Eikonalgleichung fiu eine spezielle inhomogene Vordeformation diskutiert. 4.1 Allgemeine Eigenschaffen der Lösung In diesem Abschnitt sollen einige allgemeine Eigenschaften der Lhung der linearen Wd- Iengleidiung durch Berechnung konkreter Beispiele veranschaulicht werden, D a u wird analog zu GASCMA~~M [I9641für einige apezicIIe elastische Eigenschaften das Verhalten der Flächen q5 = konst. und der charakteristischen Kurven diskutiert, Anschlieilend wird anhand eines weiteren Beispiels das durch die Transportgleichung bestimmte Verhalten der Amplitude erliutert . Zur Durchruhrung wurden die charakterhtitwhen Differentialgleichungen (3.44) der Ei- kmalgleichung mit einem Runge - Kutta. - Verfahren numerisch gelöst. Ans den Xlösungen des Sygterns (L&), die sich für verschiedene Anfangsbedingungen ergeben, kann dann die t o ~ u n g der Eikonalgleichung konstruiert werden - dies wurde in Abschnitt 3.3 dargelegt. Mit dieser im Vergleich zu anderen numerischen Lösunpverlahren einfachen Methode ist es möglich, Anfang~wertpmblcme fiir die Eikodgleichung zu lösen und damit den E d u ß der Vordefomiationen auf das Verhalten der L ö m g der Wellengleichung zu untersuchen. Typische Eigenschaften der Flächen konstanter Phase und der Schallstrahlen werden anhand des Wellenfeldes untersucht, das von einer als punktfirmig betrachteten Quelle erzeugt wird. Dies wird im folgenden für verschiedene Matwialeigenschaften und Vorde- formationen betrachtet. Den %chnungen wurde die nichtlinwe Elastizitätsbeziebung augcundgelegt, die wegen X = 2gu/(l- Zu) mit derjenigen aus Gleichung (2.6) identisch ist. Die Berechnung der Komponenten des Ellastizitätstensors L ist in (2.7) angegeben. Fiir das WelIenfeld, das durch einen h p u l s zur Zeit t = 0 erzeugt wird, sind fur die Longitudinal- bew. quasi-longi tudinaiwellen die charakberistischen ICurven der Eikonal- gleidiung jeweils fUr die gleichen Ausbreitungsrichtungen n und die FlLhen konstanter Phase für Zeitabstände von At = 4 . IO-'$ in Abbildung 10 dargestellt. Im einzelnen wurden für die dargestellten Rechnungen die folgenden Parameter verwendet: Für eine verschwindende Vordefmation F, = I erElt man die isotropen und orksunabhhgigen Materialeigenschaften, die der ersten Rechnung ~ugrundeliegen. Für die linearen Konstanten der Elastizitatsbmiehung (4.1) wurden die Werte p = lOGpa und U = 0.3 verwendet. In der xi-z2-Ebene bilden die Flächen kwstan- ter Phase eine Menge konxentBsJier Kreise, während die Schdlsirahlen durch Ur- sprungsgeraden repräsentiert werden, die hierzu orthogona1 sind. Der Rechnung Wr das zweite Beispiel wurden isotrope, jedoch ortsabhangige elagti- sche Eigenschaften zugmndegelegt. Hierzu wurde der Elasti7jtätsmodul p der vo- rigen Rechnung mit dem Faktor 1 - 0,15 1 (1 = lcm) multipliziert. Fiir kleiner werdende IVwte von Xa steigk der Wert von p, so daß sich für negative Werte von Xa die grofleren Phageschwindigkeiten ergeben. Damit vergrößern sich dann die Abstände der Flächen konstanter Phase, NI daß deren kreisförmige Gestalt im Gegensatz zum vorigen Beispiel aufgehoben wird. Die charakteristischen Kurven sind aufgrund der isotropen Elatizi.tätfieigensch&n nach wie vor die orthogona- l e ~ ~ Trajektorien zu den Flgchen $ = komt. Die Jnhomogenität der elastischen Eigenschdten hat jedoch deren Kriimmung zur Folgea 0 Die Vordeformation F, = diag (0,9,1.1,1.0) eines natrirlich isotropen Körpers mit den linearen Ehstizibätskonstanten aus dem ersten Beispiel und verschwindenden nichtlinearen Konstanten induziert eine Anisotmpie in dem fiir die Wellenausbrei- tun6 relevanten Elastizitätstensor A. Wie im dritten Kapitel dargeie&, ist die Abbi!dung 10: Das mit der Hochfrequenznäherung berechnete Wellenfeld einer punkt- förmigen Quelle. Die Darsteltungen enthalten f i r verschiedene Mate- rialeigenschaften und Vordeformationen jeweils die Flächen konstanter Phase (geschlossene Kurven) und die charakteristischen Kurven (Strah- len) der Eikonalgleichung. Gruppengmchwindigkeit in diesem Fall nicht pardlel zum Wellenvektor k, so daß die charakteristischen Kurven der Eikondgleichung nicht mehr orthogonal zu den Flächen 4 = konst. sind, Da die Vordeforrnation homogen gewählt wurde, sind die elastischen Eigenschaften jedoch urtsunabh~ngig. Aus dieswn Grund ergibt sich ebenso rvje im ersten Beispiel eine verschwindende Krümmung der charakteristi- schen Kurven. Irn Gegensatz zum ersten Beispiel sind die Flachen konstanter Phase a b d der Anisotropie ni&t mtationssymmetrisch. 'Eg bleibt jedoch eine Punkt- symmetrie bezüglich der Spiegelung am Koo~dinatenurs~rung erhalten. i In der vierten Beispielrechnung bewirkt eine ortsabhängige Vordeforrnation gema0 mit I=lm , d d die elastischen Eigenschaften, die fGr die Wellenausbreitung relevant sind, weder homogen noch isotrop sind. Die Momogenität der Vordeformation fuhrt zu einer -urig der ScbalIstrahlen, während die hierdurch induzierte Anisotropie ffir die fehlende Symmetrie verantwortlich ist. In der zugundeliegenden Elastizitatsbe- eiehung wurden die ortsunabhängigen Konstanten aus der ersten BeEspieInechnung verwendet. ~rtsundhangige lastische Eigenschaften sind die charakteristischen Kurven der Eko- nalgleichmg jeweils Geraden, deren Richtung duroh die Gruppengeschwindgkeit gegeben ist. Pie charakteristischen Kurven fiir ein, Wdenfeld; das von einem purikfirmigm Tm- pul8 am Ort x = 0 zur Zeit t = 0 induziert wird, besitzen.zur t~ daher jeweih die Lhge Ic, (n) ti 1, Aus diesem @rund ist in dem betraohteten Problem für einen spmiellw Wdlmodus eina Fläche knutanter Phase dem zugehärigen Teil der, Wdlenvekdache geometrisch ahnljch und'hnn somit auch ohne Rechnung konstruiert -den. Neben den Räohen konstanter Phase beeinfluflt d& Verbuf der charakteristischm Kur- ven auch das Verhalten d a Amplitude, de durch die T!rmportgleichung (3.50) bestimmt ist. Zu der numerischen Bestimmung der darin enthaltenen D i w n z der G r u p p ~ e - ~hwindigkeit wurden verschiedene Zosmpkurven für benachbarte Anfwbedingungen berechnet. Aus diesen Iiösungm eqeben sieh für eine wgebene Zeit verxhiedene Werte ~ ( t ) und k(b). Nach der Berechnung der nugehörigen Gruppengeschwindigkeiten, kann durch numerische Differmtakian hieraus ihre Divergenz berechnet werda. Zur Erläuterung der sjch ergbenden Eigenschaften wird im foigenden eine Bei- spielrechnung dargestellt, die ch~al;teristjschs Merkmale des Verhaltens der Amplitude Abbildung li: Der für das gerechnete Beispiel (quasEoSH-Wellen) relevante Teil der Inversen Geschwindigkeitdäche und die charaktenschen Kurven der Eikonalgleichung im ersten Quadranten. erläutert, die durch die Daasportgieichung bestimmt ist. Wiedenim wird ein natürlich isotropes Material betrachtet, daß homogen gern33 F. = diag (0.85,1.15,1.0) vordefor- miert ist. Die zupndegelegte Ilastizitatsbeaiehung ist wiederum durch den in (4.1) darstellten Zusammenhang gegeben (y, ='lOGpa, v = 0.3, V; = 0). in der X%-X*-Ebene wird im weiteren zunächt die 'Xfmsvei.palwelle betrachtet, de- ren Polarjsationsvektor quasi parallel zur xrxz-I3bme ist (quasi SH-Weilen). Der Teil der Inversen Geschwindigkkts0khe, der diese Welle ccharakterisit, ist in Abbildung 11 auf der l i h Seite dargestellt. Die richtungsabhängige KFUmmung dieses Teils ist in dem Bereich der Koordinatenachsen nur gering, während sie in der Mitte der jeweiligen Quadranten größere Werte besitzt. In der xlza-Ebme werden nun in dem Kreisgebiet 0.5crn = ri 5 4- 5 T. = 1.5crn fiir die Phase und die Amplitude die Anfangsbe- betrachtet. Auf der rechten von Abbildung 11 sind für den ersten Quadranten die c b rakterischen Kurven dargestellt, die ich für die auf dem inneren Rmiaring liegenden Anfangspunkte ergeben. Die Flachen konstanter Phase sind flir Gitabstinde von jeweils Abbildung 12: Das Quadrat des Vcrschiebungsvektors zur Zeit .t = 0 und zur Zeit tl = 4 . 1 0 - ~ s Abbildung 13: Das Quadrat des Verschiebungvektors und zu Zeiten ba = 8 I O d o ~ und i3 = 1.2 10-Ln 4.10-'s dargestellt. Da die Vordeformation homagen vorgeben wurde, sind die charakteristisEhen Kur- ven Geraden, deren Riclitungen jeweils durch die Gruppengeschwindigkeit gegeben sind. Weil, wie in Abschnitt 3.1 dargestellt, die Gruppengeschwindigkeit orthogonai zur Inver- sen Geschwindigkeitdäche ist, diese aber irn betrachteten Beispiel in der Nähe der Kc* ordinatenachsen nur eins geringe Krümmung besitzt, sind die charakteristischen ICurven in der N&e der I