| dc.date.accessioned | 2019-03-25T18:29:40Z | |
| dc.date.available | 2019-03-25T18:29:40Z | |
| dc.date.issued | 2018 | |
| dc.identifier | doi:10.17170/kobra-20190322356 | |
| dc.identifier.uri | http://hdl.handle.net/123456789/11155 | |
| dc.language.iso | ger | |
| dc.rights | Urheberrechtlich geschützt | |
| dc.rights.uri | https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/ | |
| dc.subject | t-Moduln | ger |
| dc.subject | Uniformisierbarkeit | ger |
| dc.subject | Funktionenkörper | ger |
| dc.subject | Lineare Polynomgleichungen | ger |
| dc.subject.ddc | 510 | |
| dc.title | Lösungen linearer Polynomgleichungen in Funktionenkörpern und Uniformisierbarkeit von t-Moduln | ger |
| dc.type | Dissertation | |
| dcterms.abstract | Bei abelschen t-Moduln über Funktionenkörpern, denen der Ring F_q[t] zugrunde liegt, spielt die Frage der Uniformisierbarkeit eine wichtige Rolle. In dieser Arbeit werden t-Moduln betrachtet, die durch
t = τ^2 + A τ+ θ
gegeben sind, wobei τ den q-Frobenius-Endomorphismus bezeichnet, A eine (d x d)-Matrix mit d = 2 ist und θ eine Unbestimmte über F_q ist, die als Skalar (der t entspricht) im Funktionenkörper F_q(( 1/θ )) aufgefasst wird.
Nach einem Satz von Anderson aus der grundlegenden Arbeit “t-motives” (1986) kann die Frage der Uniformisierbarkeit in diesem Fall zu der folgenden Fragestellung umformuliert werden:
Gibt es unter den rekursives Folgen (x_n), die durch bestimmte Startwert x_0 und die Rekursionsbedingung f(x_n; x_{n-1}) = 0 mit
f(x, y) = x^(2) + A^1T x^(1) + A^T + θ x - θ^q y^(2)
festgelegt werden (solche rekursiven Folgen existieren immer über dem algebraischen Abschluss des Funktionenkörpers), ausreichend viele, die gegen 0 konvergieren?
(Hierbei bedeutet die Schreibweise x^(k), dass alle Einträge des Vektors x mit q^k potenziert werden; analog gilt dies auch für den Vektor y.)
Dieses Problem führt zu der Frage, unter welchen Bedingungen an A und y sich für die Gleichung f(x, y) = 0 immer eine Lösung x finden lässt, deren Bewertung entscheidend größer als die Bewertung von y ist.
In dieser Arbeit wird durch Ausnutzung der speziellen Form der Fq-linearen Polynomgleichung f(x, y) = 0 mit verschiedenen Ansätzen nach möglichst präzise Bedingungen gesucht, die hinsichtlich dieser Frage hinreichend für einen entscheidenden Anstieg der Bewertung sind.
Die wichtigsten Ergebnisse dieser Untersuchungen sind die folgenden:
-Die Polynomgleichung f(x, y) = 0 kann zu einer Gleichung reduziert werden, die nur noch von einer Komponente der Variable x abhängt. Die Bewertungen der Lösungen dieser Gleichungen können mit dem zugehörigen Newton-Polygon untersucht werden. Für d = 2 wurden mit diesem Vorgehen in der Dissertation von Bangert (Kassel, 2011) in Spezialfällen sowohl einige hinreichende Bedingungen als auch einige notwendige Bedingungen gefunden. Für d > 2 wächst die Komplexität bei diesem Vorgehen allerdings zu stark an, um die Frage nach Bedingungen für einen entscheidenden Bewertungsanstieg auf diese Weise beantworten zu können.
-Die Gleichung f(x, y) = 0 kann mit Hilfe einer Verallgemeinerung des Henselschen Lemmas untersucht werden. Dieses Vorgehen liefert für beliebig große d unter starken Einschränkungen eine spezifische Bedingungen, die hinreichend für einen entscheidenden Bewertungsanstieg ist.
-Das Ausgangsproblem kann zu einem Problem umformuliert werden, bei dem eine Polynomgleichung mit ganzen Koeffizienten anstatt der Gleichung f(x,y) = 0 betrachtet wird. Weiter lässt sich diese Polynomgleichung aus zwei zueinander ähnlichen Polynomgleichungen kleineren Grades zusammensetzen. Für die Teilprobleme, die zu diesen gleichartigen Gleichungen gehören, wird eine spezifische Bedingung gefunden, die für einen entscheidenden Bewertungsanstieg hinreichend ist.
Darüber hinaus wird für den Spezialfall der Antidiagonalmatrizen mit d = 2 (dies umfasst das klassische Beispiel eines nicht-uniformisierbaren t-Moduls von Anderson) hinsichtlich dieser Teilprobleme eine vollständige Bestimmung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für einen entscheidenden Bewertungsanstieg ermittelt.
Abschließend wird ein kurzer Ausblick auf den Zusammenhang der Ergebnisse, die sich aus der Untersuchungen der Lösungen der Polynomgleichung f(x, y) = 0 ergeben, mit der Frage der Uniformisierbarkeit von t-Moduln gegeben. | ger |
| dcterms.abstract | For Abelian t-modules over function fields, which are constructed from the ring F_q[t], the question of uniformization plays a crucial role. This work is about t-modules given by
t = τ^2 + A τ+ θ;
where τ denotes the Frobenius endomorphism of characteristic q, A is a (d x d)-matrix with d = 2, and θ is an undetermined variable over F_q which has the property of a scalar (that corresponds to t) in the function field Fq(( 1/θ )).
Following a theorem published by Anderson in his fundamental article “t-motives” (1986) the question of uniformization can be restated in the following way:
Among the recursive sequences (x_n) given by some particular starting values x_0 and the recursion condition f(x_n; x_{n-1}) = 0 with
f(x, y) = x^(2) + A^1T x^(1) + A^T + θ x - θ^q y^(2)
(recursive sequences with these properties always exist in the algebraic closure of the function field), are there suffiently many sequences that converge to 0?
(In this notation x^(k) means that all components of the vector x are taken to the power q^k; the same holds for y likewise.)
This problem leads to the question which conditions on A and y guarantee that there always exists a solution x for the equation f(x; y) = 0, such that x has a decisively greater valuation than y.
By using different approaches that utilize the special form of the Fq-linear polynomial equation f(x, y) = 0, this work researches on preferably precise conditions that are sufficient for a decisive increase of valuation regarding this question. The most notable results of this research are the following:
-The polynomial equation f(x, y) = 0 can be reduced to an equation which is only dependent on one component of the variable x. The valuations of the solutions of this equation can be determined by analyzing the corresponding Newton polygonial. For d = 2, in some special cases some necessary conditions as well as some suffient conditions were found by Bangert in his dissertation (Kassel, 2011). Though, for d > 2, when follwing this approach, the complexity increases drastically, which reveals in this way no meaningfiul answer to the question regarding conditions for a decisive increase of valuation.
-A generalization of Hensel’s lemma can be used on the equation f(x, y) = 0. For arbitrary d, under strong restrictions, this results in a specific condition that is sufficient for a decisive increase of valuation.
-The initial problem can be restated as a problem which concerns a polynomial equation with integer coefficients instead of f(x; y) = 0. Further, this polynomial equation is composed of two polynomial equations of smaller degrees that are similar to each other. Regarding the subproblems that correspond to these similar equations, a specific condition is found which is sufficient for a decisive increase valuation. Afterwards, for the special case of anti-diagonal matrices with d = 2 (this includes the classical example of non-uniformizable t-modules by Anderson), regarding these subproblems a complete specification of necessary and sufficent conditions for a decisive increase of valuation is determined.
In conclusion, a short prospect is given on the relation between the results, which come from the research of the solutions of the polynomial equation f(x,y) = 0, and the question of uniformization of t-modules. | eng |
| dcterms.accessRights | open access | |
| dcterms.creator | Wulf, Dominik | |
| dcterms.dateAccepted | 2018-01-31 | |
| dcterms.extent | 92 Seiten | |
| dc.contributor.corporatename | Kassel, Universität Kassel, Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften, Institut für Mathematik | ger |
| dc.contributor.referee | Rück, Hans-Georg (Prof. Dr.) | |
| dc.contributor.referee | Petersen, Sebastian (Dr.) | |
| dc.subject.swd | Newton-Polygon | ger |
| dc.subject.swd | Funktionenkörper | ger |
| dc.subject.swd | Algebraische Gleichung | ger |
| dc.type.version | publishedVersion | |
