Date
2024Metadata
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Dissertation
Generalisierte Differenzenverfahren zur gitterfreien numerischen Lösung von Diffusionsgleichungen
Abstract
In der vorliegenden Arbeit wird ein gitterfreies numerisches Verfahren um die Möglichkeit erweitert, Phasenübergänge in einem ganzheitlichen Modell ohne Unterscheidung der einzelnen Phasen zu simulieren. Gitterfreie Verfahren basieren auf unstrukturierten Punktewolken, die mit der Strömungsgeschwindigkeit bewegt werden. Dieser sogenannte Lagrange-Ansatz transportiert alle physikalischen Größen und führt zu einer natürlichen Abbildung des zugrundeliegenden Strömungsgebietes durch die Punktewolke. Die verbleibenden Diffusionsgleichungen werden numerisch mit einem generalisierten Differenzenverfahren gelöst, das eine Erweiterung der Methode der finiten Differenzen zur Diskretisierung von Differenzialoperatoren auf unstrukturierten Punktewolken darstellt. Dabei werden die Differenzialoperatoren analog zur Methode der finiten Differenzen in ihrer klassischen Form diskretisiert. Bei einem Phasenübergang ändern sich die Feldgrößen, die als Diffusionskoeffizienten in die Diffusionsgleichungen eingehen, entlang der Phasengrenze stark und können Unstetigkeiten von mehreren Größenordnungen aufweisen. Dies stellt eine Schwierigkeit bei der Diskretisierung der Diffusionsoperatoren in ihrer klassischen Form dar.
Nach der Formulierung und Untersuchung eines generalisierten Differenzenverfahrens werden am Beispiel der Poisson-Gleichung und der Wärmeleitungsgleichung hinreichende Bedingungen für die Stabilität des Gesamtverfahrens hergeleitet. Es zeigt sich, dass die geforderte Diagonaldominanz von generalisierten Differenzenverfahren im Allgemeinen nicht erfüllt ist, weshalb Stabilisierungstechniken untersucht werden. Zur Diskretisierung des Diffusionsoperators mit einem unstetigen Diffusionskoeffizienten werden zwei Ansätze formuliert, die stabile Verfahren liefern. Darüber hinaus werden Möglichkeiten zur Vorgabe von Neumann-Randbedingungen auf Randstücken untersucht, die eine Überschneidung mit der Unstetigkeit der Diffusivität aufweisen. Die vorgestellten Verfahren werden anhand ausgewählter Testfälle auf Konvergenz überprüft und abschließend auf erste Phasenübergangsprobleme angewandt.
Nach der Formulierung und Untersuchung eines generalisierten Differenzenverfahrens werden am Beispiel der Poisson-Gleichung und der Wärmeleitungsgleichung hinreichende Bedingungen für die Stabilität des Gesamtverfahrens hergeleitet. Es zeigt sich, dass die geforderte Diagonaldominanz von generalisierten Differenzenverfahren im Allgemeinen nicht erfüllt ist, weshalb Stabilisierungstechniken untersucht werden. Zur Diskretisierung des Diffusionsoperators mit einem unstetigen Diffusionskoeffizienten werden zwei Ansätze formuliert, die stabile Verfahren liefern. Darüber hinaus werden Möglichkeiten zur Vorgabe von Neumann-Randbedingungen auf Randstücken untersucht, die eine Überschneidung mit der Unstetigkeit der Diffusivität aufweisen. Die vorgestellten Verfahren werden anhand ausgewählter Testfälle auf Konvergenz überprüft und abschließend auf erste Phasenübergangsprobleme angewandt.
In the present work, a meshfree numerical method is extended to the possibility of simulating phase transitions in a uniform model without distinguishing between the individual phases. Meshfree methods are based on unstructured point clouds that move with the flow velocity. This so-called Lagrange-ansatz transports all physical properties and leads to a natural representation of the underlying flow domain by the point cloud. The remaining diffusion equations are solved numerically using a generalized finite difference method, which is an extension of the finite difference method for discretizing differential operators on unstructured point clouds. The differential operators are discretized in their classical form analogous to the finite difference method. During a phase transition, the field quantities, which are used as diffusion coefficients in the diffusion equations, change strongly along the phase boundary and can exhibit discontinuities of several orders of magnitude. This poses a difficulty for the discretization of diffusion operators in their classical form.
After formulating and studying a generalized finite difference method, sufficient conditions for the stability of the overall method are derived using the Poisson equation and the heat conduction equation as examples. It is shown that the required diagonal dominance is generally not satisfied by generalized finite difference methods, which is why stabilization techniques are investigated. For the discretization of the diffusion operator with a discontinuous diffusion coefficient, two methods are presented which provide stable methods. In addition, possibilities for imposing Neumann boundary conditions on boundary sections intersecting with the discontinuity of the diffusivity are investigated. The presented methods are tested for convergence on selected test cases and finally applied to some initial phase change problems.
After formulating and studying a generalized finite difference method, sufficient conditions for the stability of the overall method are derived using the Poisson equation and the heat conduction equation as examples. It is shown that the required diagonal dominance is generally not satisfied by generalized finite difference methods, which is why stabilization techniques are investigated. For the discretization of the diffusion operator with a discontinuous diffusion coefficient, two methods are presented which provide stable methods. In addition, possibilities for imposing Neumann boundary conditions on boundary sections intersecting with the discontinuity of the diffusivity are investigated. The presented methods are tested for convergence on selected test cases and finally applied to some initial phase change problems.
Citation
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