The starting point of our reflections is a classroom situation in grade 12 in which it was to be proved intuitively that non-trivial solutions of the differential equation f' = f have no zeros. We give a working definition of the concept of preformal proving, as well as three examples of preformal proofs. Then we furnish several such proofs of the aforesaid fact, and we analyse these proofs in detail. Finally, we draw some conclusions for mathematics in school and in teacher training.

Die Unterrichtsschritte, die im Videoband nicht gezeigt werden konnten, werden in diesem Beiheft erläutert: Nach einer "Beschreibung des Themas" wird die "Ausarbeitung der drei Lernsequenzen" am Beispiel des Unterrichts in einer kaufmännischen Berufsschule, einer Berufsfachschule Gesundheitswesen und einer technischen Fachoberschule ausführlich dargestellt.

In dieser Arbeit werden einige didaktische Aspekte des Themas "Anwendungen" im Mathematikunterricht zusammenfassend dargestellt. Meine Diskussion beschränkt sich dabei im wesentlichen auf den gymnasialen Mathematikunterricht in der Bundesrepublik Deutschland; vieles gilt ähnlich aber auch für andere Schulformen bzw. für andere Länder.

The paper will consist of three parts. In part I we shall present some background considerations which are necessary as a basis for what follows. We shall try to clarify some basic concepts and notions, and we shall collect the most important arguments (and related goals) in favour of problem solving, modelling and applications to other subjects in mathematics instruction. In the main part II we shall review the present state, recent trends, and prospective lines of development, both in empirical or theoretical ...