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Dissertation
Variationelle Zeitdiskretisierungen höherer Ordnung der Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen in zeitabhängigen Gebieten
(2016-08-11)
Wir betrachten zeitabhängige Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen in zeitabhängigen Gebieten, wobei die Bewegung des Gebietsrandes bekannt ist. Die zeitliche Entwicklung des Gebietes wird durch die ALE-Formulierung behandelt, die die Nachteile der klassischen Euler-und Lagrange-Betrachtungsweisen behebt. Die Position des Randes und seine Geschwindigkeit werden dabei so in das Gebietsinnere fortgesetzt, dass starke Gitterdeformationen verhindert werden. Als Zeitdiskretisierungen höherer Ordnung werden stetige ...
Dissertation
A High Order Finite Volume Scheme for the 2D Shallow Water Equations Including Topography
(2012-08-17)
Inhalt dieser Arbeit ist ein Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen Flachwassergleichung, welche das Fließverhalten von Gewässern, deren Oberflächenausdehnung wesentlich größer als deren Tiefe ist, modelliert.
Diese Gleichung beschreibt die gravitationsbedingte zeitliche Änderung eines gegebenen Anfangszustandes bei Gewässern mit freier Oberfläche. Diese Klasse beinhaltet Probleme wie das Verhalten von Wellen an flachen Stränden oder die Bewegung einer Flutwelle in einem Fluss. Diese Beispiele zeigen ...
Dissertation
Analysis of a Coupled Fluid-Elastic Interaction Problem
(2023-01)
In this thesis, a non-linear system of partial differential equations is studied, describing the motions of an elastic structure which is immersed into an incompressible viscous fluid. The displacement of the elastic structure is modelled by a Lamé system and the fluid velocity as well as the fluid pressure are described by the Navier-Stokes equations. The structure and the fluid are coupled via two boundary conditions at the interface which correspond to continuity of velocities and forces. As the elasticity is ...
Dissertation
Finite Element Simulations for the Design of Therapeutic Approaches for Retinal Diseases
(2022)
The retinal disease age-related macular degeneration is the most common cause of vision loss in industrialized countries. In this thesis, motivated by the drug (antibody) treatment of this disease, we designed long-term three dimensional Finite Element simulations of the drug distribution in the healthy human eye. The underlying model consists of a time-dependent convection-diffusion equation coupled to a stationary Darcy equation describing the flow of the aqueous humor through the vitreous medium. We replaced the ...
Habilitation
Computing Ground States for Fermi-Bose Mixtures through Efficient Numerical Methods
(2023-05)
In this work, we will first review the Quantum Mechanics theory to derive the main equations. Next, we will analyze these equations by Functional Analysis methods to find conditions for existence, uniqueness, multiplicity, and other properties as positivity. Next, we will review and develop some numerical methods for solving the nonlinear Schrödinger equation, its time version, generalizations with rotational terms, and systems of NLSE (NLSS). We notice that the main problem to run numerical methods is the memory ...
Dissertation
Positive und konservative Verfahren höherer Ordnung
(2010-03-17)
In der Anwendung treten häufig Differentialgleichungssysteme auf, deren Komponenten über das Lösen mit einer vorgegeben Genauigkeit hinaus Anforderungen an die, zur Näherung verwendeten, numerischen Verfahren stellen. Die Arbeit widmet sich hierbei den beiden Forderungen
1. Erhaltung der Positivität aller positiven Größen (z.B. Massen, Konzentrationen, Energie) und
2. Erhaltung der Masse in abgeschlossenen Systemen.
Ausgehend von einem komplexen ökologischen 2D Modell zur Beschreibung von Algendynamiken in flachen ...
Dissertation
A Unifying Theory for Runge-Kutta-like Time Integrators: Convergence and Stability
(2024)
The work deals with two major topics concerning the numerical analysis of Runge-Kutta-like (RK-like) methods, namely their stability and order of convergence. RK-like methods differ from additive RK methods in that their coefficients are allowed to depend on the solution and the step size. As a result of this, we also refer to them as non-standard additive RK (NSARK) methods. We motivate and introduce modified Patankar (MP) schemes as a subclass of NSARK methods and emphasize their importance. The first major part ...