Date
2011-04-07Metadata
Show full item record
Dissertation
Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen
Abstract
Sei $N/K$ eine galoissche Zahlkörpererweiterung mit Galoisgruppe $G$, so dass es in $N$ eine Stelle mit voller
Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung
von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren.
Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von
Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer
sogenannten Tatesequenz konstruieren kann.
Unter den Voraussetzungen
1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe,
2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen
2a) $\chi$ ist abelsch,
2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren;
wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist.
Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig
lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85])
beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus,
der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht.
Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren
auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern.
Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit.
Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen
die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert.
Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung
von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren.
Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von
Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer
sogenannten Tatesequenz konstruieren kann.
Unter den Voraussetzungen
1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe,
2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen
2a) $\chi$ ist abelsch,
2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren;
wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist.
Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig
lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85])
beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus,
der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht.
Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren
auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern.
Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit.
Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen
die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert.
This thesis is concerned with the development of algorithms for the (numerical) verification of the equivariant Tamagawa number conjecure of Burns and Flach
for the pair $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$. These algorithms should be applicable to any Galois extensions $N/K$ of number fields with Galois group $G$,
provided there exists a place in $N$ with decomposition group $G$. Roughly speaking, in this special case, the equivariant Tamagawa number conjecture (for short ETNC)
is an equality between values of Artin $L$-functions and a refined Euler characteristic, which can be constructed via a so called Tate sequence.
Under the assumptions
1. there exists a place $v$ in $N$ with full decomposition group,
2. every absolutely irreducible character of $G$ fulfills one of the following conditions:
2a) $\chi$ is abelian,
2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$, and $\chi$ is a linear combination of induced trivial characters with integer coefficients;
we have developed an algorithm, which proves ETNC for individual extensions $N/\mathbb{Q}$.
Hypothesis 1. is needed to apply a criterion of Chinburg ([Chi89]) to construct the Tate sequence. For this, it was also essential to developed an algorithm which
computes local fundamental classes. For at most tamley ramified extensions we also used an idea from Chinburg in [Chi85] for the computation of local fundamental classes,
which goes back to Serre ([Ser]). For wildly ramified local Galois extensions we use the algorithm from Debeerst ([Deb11]), based on the same ideas of Serre.
Hypothesis 2. allows us to compute quotients of $L$-values and regulators exactly. This can be done, since in the case of abelian characters we can use the theory of
cyclotomic units and in the second case the analytic class number formula for subfields.
Without Hypothesis 2. the algorithm gives a numerical verification for individual extension $N/K$ up to the precision of the computation.
For $A_4$-extensions over $\mathbb{Q}$ we have implemented the algorithm in the computer algebra system MAGMA and verified the equivariant Tamagawa number conjecture
for 27 extensions numerically.
for the pair $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$. These algorithms should be applicable to any Galois extensions $N/K$ of number fields with Galois group $G$,
provided there exists a place in $N$ with decomposition group $G$. Roughly speaking, in this special case, the equivariant Tamagawa number conjecture (for short ETNC)
is an equality between values of Artin $L$-functions and a refined Euler characteristic, which can be constructed via a so called Tate sequence.
Under the assumptions
1. there exists a place $v$ in $N$ with full decomposition group,
2. every absolutely irreducible character of $G$ fulfills one of the following conditions:
2a) $\chi$ is abelian,
2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$, and $\chi$ is a linear combination of induced trivial characters with integer coefficients;
we have developed an algorithm, which proves ETNC for individual extensions $N/\mathbb{Q}$.
Hypothesis 1. is needed to apply a criterion of Chinburg ([Chi89]) to construct the Tate sequence. For this, it was also essential to developed an algorithm which
computes local fundamental classes. For at most tamley ramified extensions we also used an idea from Chinburg in [Chi85] for the computation of local fundamental classes,
which goes back to Serre ([Ser]). For wildly ramified local Galois extensions we use the algorithm from Debeerst ([Deb11]), based on the same ideas of Serre.
Hypothesis 2. allows us to compute quotients of $L$-values and regulators exactly. This can be done, since in the case of abelian characters we can use the theory of
cyclotomic units and in the second case the analytic class number formula for subfields.
Without Hypothesis 2. the algorithm gives a numerical verification for individual extension $N/K$ up to the precision of the computation.
For $A_4$-extensions over $\mathbb{Q}$ we have implemented the algorithm in the computer algebra system MAGMA and verified the equivariant Tamagawa number conjecture
for 27 extensions numerically.
Citation
@phdthesis{urn:nbn:de:hebis:34-2011040737225,
author={Janssen, Dörthe},
title={Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen},
school={Kassel, Universität, FB 10, Mathematik und Naturwissenschaften},
month={04},
year={2011}
}
0500 Oax
0501 Text $btxt$2rdacontent
0502 Computermedien $bc$2rdacarrier
1100 2011$n2011
1500 1/ger
2050 ##0##urn:nbn:de:hebis:34-2011040737225
3000 Janssen, Dörthe
4000 Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen / Janssen, Dörthe
4030
4060 Online-Ressource
4085 ##0##=u http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2011040737225=x R
4204 \$dDissertation
4170
5550 {{Algebraische Zahlentheorie}}
7136 ##0##urn:nbn:de:hebis:34-2011040737225
<resource xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-2.2 http://schema.datacite.org/meta/kernel-2.2/metadata.xsd"> 2011-04-07T10:11:43Z 2011-04-07T10:11:43Z 2011-04-07T10:11:43Z urn:nbn:de:hebis:34-2011040737225 http://hdl.handle.net/123456789/2011040737225 ger Urheberrechtlich geschützt https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/ Äquivariante Tamagawazahlvermutung Tatesequenz Lokale Fundamentalklassen 500 Ein Algorithmus zur numerischen Verifikation der äquivarianten Tamagawazahlvermutung für eine Familie von Zahlkörpererweiterungen Dissertation Sei $N/K$ eine galoissche Zahlkörpererweiterung mit Galoisgruppe $G$, so dass es in $N$ eine Stelle mit voller Zerlegungsgruppe gibt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Algorithmen, die für das gegebene Fallbeispiel $N/K$, die äquivariante Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach für das Paar $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$ (numerisch) verifizieren. Grob gesprochen stellt die äquivariante Tamagawazahlvermutung (im Folgenden ETNC) in diesem Spezialfall einen Zusammenhang her zwischen Werten von Artinschen $L$-Reihen zu den absolut irreduziblen Charakteren von $G$ und einer Eulercharakteristik, die man in diesem Fall mit Hilfe einer sogenannten Tatesequenz konstruieren kann. Unter den Voraussetzungen 1. es gibt eine Stelle $v$ von $N$ mit voller Zerlegungsgruppe, 2. jeder irreduzible Charakter $\chi$ von $G$ erfüllt eine der folgenden Bedingungen 2a) $\chi$ ist abelsch, 2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$ und $\chi$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von induzierten trivialen Charakteren; wird ein Algorithmus entwickelt, der ETNC für jedes Fallbeispiel $N/\mathbb{Q}$ vollständig beweist. Voraussetzung 1. erlaubt es eine Idee von Chinburg ([Chi89]) umzusetzen zur algorithmischen Berechnung von Tatesequenzen. Dabei war es u.a. auch notwendig lokale Fundamentalklassen zu berechnen. Im höchsten zahm verzweigten Fall haben wir hierfür einen Algorithmus entwickelt, der ebenfalls auf den Ideen von Chinburg ([Chi85]) beruht, die auf Arbeiten von Serre [Ser] zurück gehen. Für nicht zahm verzweigte Erweiterungen benutzen wir den von Debeerst ([Deb11]) entwickelten Algorithmus, der ebenfalls auf Serre's Arbeiten beruht. Voraussetzung 2. wird benötigt, um Quotienten aus den $L$-Werten und Regulatoren exakt zu berechnen. Dies gelingt, da wir im Fall von abelschen Charakteren auf die Theorie der zyklotomischen Einheiten zurückgreifen können und im Fall (b) auf die analytische Klassenzahlformel von Zwischenkörpern. Ohne die Voraussetzung 2. liefern die Algorithmen für jedes Fallbeispiel $N/K$ immer noch eine numerische Verifikation bis auf Rechengenauigkeit. Den Algorithmus zur numerischen Verifikation haben wir für $A_4$-Erweiterungen über $\mathbb{Q}$ in das Computeralgebrasystem MAGMA implementiert und für 27 Erweiterungen die äquivariante Tamagawazahlvermutung numerisch verifiziert. This thesis is concerned with the development of algorithms for the (numerical) verification of the equivariant Tamagawa number conjecure of Burns and Flach for the pair $(h^0(Spec(N), \mathbb{Z}[G]))$. These algorithms should be applicable to any Galois extensions $N/K$ of number fields with Galois group $G$, provided there exists a place in $N$ with decomposition group $G$. Roughly speaking, in this special case, the equivariant Tamagawa number conjecture (for short ETNC) is an equality between values of Artin $L$-functions and a refined Euler characteristic, which can be constructed via a so called Tate sequence. Under the assumptions 1. there exists a place $v$ in $N$ with full decomposition group, 2. every absolutely irreducible character of $G$ fulfills one of the following conditions: 2a) $\chi$ is abelian, 2b) $\chi(G) \subset \mathbb{Q}$, and $\chi$ is a linear combination of induced trivial characters with integer coefficients; we have developed an algorithm, which proves ETNC for individual extensions $N/\mathbb{Q}$. Hypothesis 1. is needed to apply a criterion of Chinburg ([Chi89]) to construct the Tate sequence. For this, it was also essential to developed an algorithm which computes local fundamental classes. For at most tamley ramified extensions we also used an idea from Chinburg in [Chi85] for the computation of local fundamental classes, which goes back to Serre ([Ser]). For wildly ramified local Galois extensions we use the algorithm from Debeerst ([Deb11]), based on the same ideas of Serre. Hypothesis 2. allows us to compute quotients of $L$-values and regulators exactly. This can be done, since in the case of abelian characters we can use the theory of cyclotomic units and in the second case the analytic class number formula for subfields. Without Hypothesis 2. the algorithm gives a numerical verification for individual extension $N/K$ up to the precision of the computation. For $A_4$-extensions over $\mathbb{Q}$ we have implemented the algorithm in the computer algebra system MAGMA and verified the equivariant Tamagawa number conjecture for 27 extensions numerically. open access Janssen, Dörthe Kassel, Universität, FB 10, Mathematik und Naturwissenschaften Bley, Werner (Prof. Dr.) Rück, Hans-Georg (Prof. Dr.) Algebraische Zahlentheorie 2010-04-21 </resource>
The following license files are associated with this item:
:Urheberrechtlich geschützt