Date
2011-06-09Metadata
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Dissertation
Algorithms for Tamagawa Number Conjectures
Abstract
In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Untersuchung der äquivarianten Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach entwickelt. Zunächst werden Algorithmen angegeben mit denen die lokale Fundamentalklasse, die globale Fundamentalklasse und Tates kanonische Klasse berechnet werden können. Dies ermöglicht unter anderem Berechnungen in Brauergruppen von Zahlkörpererweiterungen. Anschließend werden diese Algorithmen auf die Tamagawazahlvermutung angewendet. Die Epsilonkonstantenvermutung kann dadurch für alle Galoiserweiterungen L|K bewiesen werden, bei denen L in einer Galoiserweiterung E|Q vom Grad kleiner gleich 15 eingebettet werden kann. Für die Tamagawazahlvermutung an der Stelle 1 wird ein Algorithmus angegeben, der die Vermutung für ein gegebenes Fallbeispiel L|Q numerischen verifizieren kann. Im Spezialfall, dass alle Charaktere rational oder abelsch sind, kann dieser Algorithmus die Vermutung für L|Q sogar beweisen.
This thesis deals with algorithms for the equivariant Tamagawa number conjecture of Burns and Flach. In the first part, algorithms for the computation of the local fundamental class, the global fundamental class
and of Tate's canonical class are developed. This also allows computations in Brauer groups of number field extensions. These algorithms will subsequently be applied to the Tamagawa number conjecture. The epsilon constant conjecture can then be proved for all Galois extensions L|K, in which L can be embedded into a Galois extension E|Q of degree lower or equal to 15. Concerning the Tamagawa number conjecture at s=1, an algorithm is described, which numerically verifies the conjecture for a given Galois extension L|Q. In the special case where every character is rational or abelian, this algorithm can actually prove the conjecture for L|Q.
and of Tate's canonical class are developed. This also allows computations in Brauer groups of number field extensions. These algorithms will subsequently be applied to the Tamagawa number conjecture. The epsilon constant conjecture can then be proved for all Galois extensions L|K, in which L can be embedded into a Galois extension E|Q of degree lower or equal to 15. Concerning the Tamagawa number conjecture at s=1, an algorithm is described, which numerically verifies the conjecture for a given Galois extension L|Q. In the special case where every character is rational or abelian, this algorithm can actually prove the conjecture for L|Q.
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