Date
2017-02-27Metadata
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Dissertation
Zur Potentialtheorie des Oseen-Systems
Abstract
Die aus der Hydrodynamik bekannten dreidimensionalen Gleichungen von Oseen stellen ein mathematisches Modell der Strömung von inkompressiblen Flüssigkeiten und Gasen im stationären Gleichgewicht dar. Sie entstehen bei der Linearisierung des konvektiven Termes u · ∇u um einen von Null verschiedenen konstanten Vektor u = u_∞ = (κ, 0, 0), der die Geschwindigkeit der Strömung im Unendlichen repräsentiert. Man erhält damit aus den stationären nichtlinearen Navier-Stokes-Gleichungen die so genannten Oseen-Gleichungen in der Form
−ν∆u+κ∂_1u+∇p = f in Ω, div u = 0 in Ω.
Dabei ist Ω ⊂ R^3 das die Flüssigkeit enthaltende Strömungsgebiet. Gesucht sind hier das Geschwindigkeitsfeld u der Flüssigkeit und der zugehörige kinematische Druck p. Die kinematische Viskosität ν > 0 und die auf die Flüssigkeit wirkende äußere Kraft f sind gegeben. In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir eine explizite Potentialtheorie für die Oseen-Gleichungen und lösen das innere und das äußere Dirichlet-Problem sowie das innere und das äußere adjungierte Neumann-Problem mit einer modifizierten Neumann-Randbedingung mit Hilfe einer Randintegralgleichungsmethode im Raum der stetigen Funktionen auf einem C^2- Rand. Darüber hinaus betrachten wir eine Randwertaufgabe für die Oseen-Gleichungen in Gebieten mit Rissen, wobei hier die Dirichlet-Bedingung auf dem Rand des Gebietes und Sprünge der Geschwindigkeit und der Normalkomponenten des Oseen-Spannungstensors auf dem Riss vorgeschrieben werden.
−ν∆u+κ∂_1u+∇p = f in Ω, div u = 0 in Ω.
Dabei ist Ω ⊂ R^3 das die Flüssigkeit enthaltende Strömungsgebiet. Gesucht sind hier das Geschwindigkeitsfeld u der Flüssigkeit und der zugehörige kinematische Druck p. Die kinematische Viskosität ν > 0 und die auf die Flüssigkeit wirkende äußere Kraft f sind gegeben. In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir eine explizite Potentialtheorie für die Oseen-Gleichungen und lösen das innere und das äußere Dirichlet-Problem sowie das innere und das äußere adjungierte Neumann-Problem mit einer modifizierten Neumann-Randbedingung mit Hilfe einer Randintegralgleichungsmethode im Raum der stetigen Funktionen auf einem C^2- Rand. Darüber hinaus betrachten wir eine Randwertaufgabe für die Oseen-Gleichungen in Gebieten mit Rissen, wobei hier die Dirichlet-Bedingung auf dem Rand des Gebietes und Sprünge der Geschwindigkeit und der Normalkomponenten des Oseen-Spannungstensors auf dem Riss vorgeschrieben werden.
The Oseen equations, well-known in hydrodynamics, represent a mathematical model describing the motion of a viscous incompressible fluid flow. These equations follow by linearizing the convective term u · ∇u around a nonzero constant vector u = u_∞ = (κ,0,0) representing the velocity of the fluid flow at infinity. So from the stationary nonlinear Navier-Stokes equations we obtain the so called Oseen equations in the form
−ν∆u+κ∂_1u+∇p =f in Ω, divu =0 in Ω.
Here Ω ⊂ R^3 denotes a domain containing the fluid. The velocity field u and the kinematic pressure function p are unknown, while the kinematic viscosity ν > 0 and the external force density f acting on the fluid are given. In the present thesis we develop an explicit potential theory for the Oseen equations. We solve the interior and exterior Oseen Dirichlet boundary value problem as well as the interior and exterior adjoint Oseen Neumann boundary value problem with some nonstandard Neumann boundary condition using a boundary integral equations’ method in the space of continuous functions on a C^2-boundary. Furthermore, we consider a boundary value problem for the Oseen system in a cracked domains, where the Dirichlet condition is imposed on the domain’s boundary, while the jump of the velocity and the jump of the Oseen normal stresses are prescribed on the crack.
−ν∆u+κ∂_1u+∇p =f in Ω, divu =0 in Ω.
Here Ω ⊂ R^3 denotes a domain containing the fluid. The velocity field u and the kinematic pressure function p are unknown, while the kinematic viscosity ν > 0 and the external force density f acting on the fluid are given. In the present thesis we develop an explicit potential theory for the Oseen equations. We solve the interior and exterior Oseen Dirichlet boundary value problem as well as the interior and exterior adjoint Oseen Neumann boundary value problem with some nonstandard Neumann boundary condition using a boundary integral equations’ method in the space of continuous functions on a C^2-boundary. Furthermore, we consider a boundary value problem for the Oseen system in a cracked domains, where the Dirichlet condition is imposed on the domain’s boundary, while the jump of the velocity and the jump of the Oseen normal stresses are prescribed on the crack.
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