Zur Potentialtheorie des Oseen-Systems

Die aus der Hydrodynamik bekannten dreidimensionalen Gleichungen von Oseen stellen ein mathematisches Modell der Strömung von inkompressiblen Flüssigkeiten und Gasen im stationären Gleichgewicht dar. Sie entstehen bei der Linearisierung des konvektiven Termes u · ∇u um einen von Null verschiedenen konstanten Vektor u = u_∞ = (κ, 0, 0), der die Geschwindigkeit der Strömung im Unendlichen repräsentiert. Man erhält damit aus den stationären nichtlinearen Navier-Stokes-Gleichungen die so genannten Oseen-Gleichungen in der Form −ν∆u+κ∂_1u+∇p = f in Ω, div u = 0 in Ω. Dabei ist Ω ⊂ R^3 das die Flüssigkeit enthaltende Strömungsgebiet. Gesucht sind hier das Geschwindigkeitsfeld u der Flüssigkeit und der zugehörige kinematische Druck p. Die kinematische Viskosität ν > 0 und die auf die Flüssigkeit wirkende äußere Kraft f sind gegeben. In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir eine explizite Potentialtheorie für die Oseen-Gleichungen und lösen das innere und das äußere Dirichlet-Problem sowie das innere und das äußere adjungierte Neumann-Problem mit einer modifizierten Neumann-Randbedingung mit Hilfe einer Randintegralgleichungsmethode im Raum der stetigen Funktionen auf einem C^2- Rand. Darüber hinaus betrachten wir eine Randwertaufgabe für die Oseen-Gleichungen in Gebieten mit Rissen, wobei hier die Dirichlet-Bedingung auf dem Rand des Gebietes und Sprünge der Geschwindigkeit und der Normalkomponenten des Oseen-Spannungstensors auf dem Riss vorgeschrieben werden.