Lösungen linearer Polynomgleichungen in Funktionenkörpern und Uniformisierbarkeit von t-Moduln

Bei abelschen t-Moduln über Funktionenkörpern, denen der Ring F_q[t] zugrunde liegt, spielt die Frage der Uniformisierbarkeit eine wichtige Rolle. In dieser Arbeit werden t-Moduln betrachtet, die durch t = τ^2 + A τ+ θ gegeben sind, wobei τ den q-Frobenius-Endomorphismus bezeichnet, A eine (d x d)-Matrix mit d = 2 ist und θ eine Unbestimmte über F_q ist, die als Skalar (der t entspricht) im Funktionenkörper F_q(( 1/θ )) aufgefasst wird. Nach einem Satz von Anderson aus der grundlegenden Arbeit “t-motives” (1986) kann die Frage der Uniformisierbarkeit in diesem Fall zu der folgenden Fragestellung umformuliert werden: Gibt es unter den rekursives Folgen (x_n), die durch bestimmte Startwert x_0 und die Rekursionsbedingung f(x_n; x_{n-1}) = 0 mit f(x, y) = x^(2) + A^1T x^(1) + A^T + θ x - θ^q y^(2) festgelegt werden (solche rekursiven Folgen existieren immer über dem algebraischen Abschluss des Funktionenkörpers), ausreichend viele, die gegen 0 konvergieren? (Hierbei bedeutet die Schreibweise x^(k), dass alle Einträge des Vektors x mit q^k potenziert werden; analog gilt dies auch für den Vektor y.) Dieses Problem führt zu der Frage, unter welchen Bedingungen an A und y sich für die Gleichung f(x, y) = 0 immer eine Lösung x finden lässt, deren Bewertung entscheidend größer als die Bewertung von y ist. In dieser Arbeit wird durch Ausnutzung der speziellen Form der Fq-linearen Polynomgleichung f(x, y) = 0 mit verschiedenen Ansätzen nach möglichst präzise Bedingungen gesucht, die hinsichtlich dieser Frage hinreichend für einen entscheidenden Anstieg der Bewertung sind. Die wichtigsten Ergebnisse dieser Untersuchungen sind die folgenden: -Die Polynomgleichung f(x, y) = 0 kann zu einer Gleichung reduziert werden, die nur noch von einer Komponente der Variable x abhängt. Die Bewertungen der Lösungen dieser Gleichungen können mit dem zugehörigen Newton-Polygon untersucht werden. Für d = 2 wurden mit diesem Vorgehen in der Dissertation von Bangert (Kassel, 2011) in Spezialfällen sowohl einige hinreichende Bedingungen als auch einige notwendige Bedingungen gefunden. Für d > 2 wächst die Komplexität bei diesem Vorgehen allerdings zu stark an, um die Frage nach Bedingungen für einen entscheidenden Bewertungsanstieg auf diese Weise beantworten zu können. -Die Gleichung f(x, y) = 0 kann mit Hilfe einer Verallgemeinerung des Henselschen Lemmas untersucht werden. Dieses Vorgehen liefert für beliebig große d unter starken Einschränkungen eine spezifische Bedingungen, die hinreichend für einen entscheidenden Bewertungsanstieg ist. -Das Ausgangsproblem kann zu einem Problem umformuliert werden, bei dem eine Polynomgleichung mit ganzen Koeffizienten anstatt der Gleichung f(x,y) = 0 betrachtet wird. Weiter lässt sich diese Polynomgleichung aus zwei zueinander ähnlichen Polynomgleichungen kleineren Grades zusammensetzen. Für die Teilprobleme, die zu diesen gleichartigen Gleichungen gehören, wird eine spezifische Bedingung gefunden, die für einen entscheidenden Bewertungsanstieg hinreichend ist. Darüber hinaus wird für den Spezialfall der Antidiagonalmatrizen mit d = 2 (dies umfasst das klassische Beispiel eines nicht-uniformisierbaren t-Moduls von Anderson) hinsichtlich dieser Teilprobleme eine vollständige Bestimmung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für einen entscheidenden Bewertungsanstieg ermittelt. Abschließend wird ein kurzer Ausblick auf den Zusammenhang der Ergebnisse, die sich aus der Untersuchungen der Lösungen der Polynomgleichung f(x, y) = 0 ergeben, mit der Frage der Uniformisierbarkeit von t-Moduln gegeben.