Eigenschaften chromatischer Polynome

Die Berechnung des 1912 von Birkhoff eingeführten chromatischen Polynoms eines Graphen stellt bekanntlich ein NP-vollständiges Problem dar. Dieses gilt somit erst recht für die Verallgemeinerung des chromatischen Polynoms zum bivariaten chromatischen Polynom nach Dohmen, Pönitz und Tittmann aus dem Jahre 2003. Eine von Averbouch, Godlin und Makowsky 2008 vorgestellte Rekursionsformel verursacht durch wiederholte Anwendung im Allgemeinen einen exponentiellen Rechenaufwand. Daher war das Ziel der vorliegenden Dissertation, Vereinfachungen zur Berechnung des bivariaten chromatischen Polynoms spezieller Graphentypen zu finden. Hierbei wurden folgende Resultate erzielt: Für Vereinigungen von Sternen, für vollständige Graphen, aus welchen die Kanten von Sternen mit paarweise voneinander verschiedenen Ecken gelöscht wurden, für spezielle Splitgraphen und für vollständig partite Graphen konnten rekursionsfreie Gleichungen zur Berechnung des bivariaten chromatischen Polynoms mit jeweils linear beschränkter Rechenzeit gefunden werden. Weiterhin werden Möglichkeiten der Reduktion allgemeiner Splitgraphen, bestimmter bipartiter Graphen sowie vollständig partiter Graphen vorgestellt. Bei letzteren erweist sich eine hierbei gefundene Rekursionsformel durch eine polynomiell beschränkte Laufzeit als effektive Methode. Ferner konnte in einem Abschnitt zu Trennern in Graphen gezeigt werden, dass der Spezialfall der trennenden Cliquen, welcher im univariaten Fall sehr einfach ist, im bivariaten Fall sehr komplexe Methoden erfordert. Ein Zusammenhang zwischen dem bivariaten chromatischen Polynom und dem Matchingpolynom wurde für vollständige Graphen, welchen die Kanten von Sternen mit paarweise voneinander verschiedenen Ecken entnommen wurden, sowie für Bicliquen hergestellt. Die vorliegende Dissertation liefert darüber hinaus auch einige Untersuchungen zum trivariaten chromatischen Polynom, welches auf White (2011) zurückgeht und eine weitere Verallgemeinerung des bivariaten chromatischen Polynoms darstellt. Hierbei konnte gezeigt werden, dass dessen Berechnung selbst für einfache Graphentypen schon recht kompliziert ist. Dieses trifft sogar dann noch zu, wenn man die einzelnen Koeffizienten als bivariate Polynome abspaltet und einzeln berechnet. Abschließend stellt die Arbeit zu vielen Resultaten Implementierungen mit dem Computeralgebrasystem Mathematica bereit, welche zahlreiche Möglichkeiten zu eigenständigen Versuchen bieten.