Generalisierte Differenzenverfahren zur gitterfreien numerischen Lösung von Diffusionsgleichungen

In der vorliegenden Arbeit wird ein gitterfreies numerisches Verfahren um die Möglichkeit erweitert, Phasenübergänge in einem ganzheitlichen Modell ohne Unterscheidung der einzelnen Phasen zu simulieren. Gitterfreie Verfahren basieren auf unstrukturierten Punktewolken, die mit der Strömungsgeschwindigkeit bewegt werden. Dieser sogenannte Lagrange-Ansatz transportiert alle physikalischen Größen und führt zu einer natürlichen Abbildung des zugrundeliegenden Strömungsgebietes durch die Punktewolke. Die verbleibenden Diffusionsgleichungen werden numerisch mit einem generalisierten Differenzenverfahren gelöst, das eine Erweiterung der Methode der finiten Differenzen zur Diskretisierung von Differenzialoperatoren auf unstrukturierten Punktewolken darstellt. Dabei werden die Differenzialoperatoren analog zur Methode der finiten Differenzen in ihrer klassischen Form diskretisiert. Bei einem Phasenübergang ändern sich die Feldgrößen, die als Diffusionskoeffizienten in die Diffusionsgleichungen eingehen, entlang der Phasengrenze stark und können Unstetigkeiten von mehreren Größenordnungen aufweisen. Dies stellt eine Schwierigkeit bei der Diskretisierung der Diffusionsoperatoren in ihrer klassischen Form dar.

Nach der Formulierung und Untersuchung eines generalisierten Differenzenverfahrens werden am Beispiel der Poisson-Gleichung und der Wärmeleitungsgleichung hinreichende Bedingungen für die Stabilität des Gesamtverfahrens hergeleitet. Es zeigt sich, dass die geforderte Diagonaldominanz von generalisierten Differenzenverfahren im Allgemeinen nicht erfüllt ist, weshalb Stabilisierungstechniken untersucht werden. Zur Diskretisierung des Diffusionsoperators mit einem unstetigen Diffusionskoeffizienten werden zwei Ansätze formuliert, die stabile Verfahren liefern. Darüber hinaus werden Möglichkeiten zur Vorgabe von Neumann-Randbedingungen auf Randstücken untersucht, die eine Überschneidung mit der Unstetigkeit der Diffusivität aufweisen. Die vorgestellten Verfahren werden anhand ausgewählter Testfälle auf Konvergenz überprüft und abschließend auf erste Phasenübergangsprobleme angewandt.