9 7 8 3 7 3 7 6 0 3 6 0 7 I S B N 9 7 8 - 3 - 7 3 7 6 - 0 3 6 0 - 7 k a s s e l u n i v e r s i t y p r e s s B e i t r a g z u r n u m e r i s c h e n B e r e c h n u n g r o t i e r e n d e r S t r u k t u r e n i m S t r ö m u n g s f e l d h o c h b e l a s t e t e r a x i a l e r T u r b o v e r d i c h t e r u n d A n a l y s e d e r E n t s t e h u n g s m e c h a n i s m e n M a t t h i a s T e i c h M a tt h ia s T e ic h B e it ra g z u r n u m e ri s c h e n B e re c h n u n g r o ti e re n d e r S tr u k tu re n i m S tr ö m u n g s fe ld h o c h b e la s te te r a x ia le r T u rb o v e rd ic h te r u n d A n a ly s e d e r E n ts te h u n g s m e c h a n is m e n Matthias Teich Beitrag zur numerischen Berechnung rotierender Strukturen im Strömungsfeld hochbelasteter axialer Turboverdichter und Analyse der Entstehungsmechanismen kassel university press Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen. Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Martin Lawerenz, Universität Kassel Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch, TU Berlin Tag der mündlichen Prüfung: 1. November 2018 Die Dissertation wurde eingereicht unter dem Titel: Beitrag zur numerischen Berechnung rotierender Strukturen im Strömungsfeld hochbelasteter axialer Turbo- verdichter und Analyse der Entstehungsmechanismen mittels instationären Reynolds-gemittelten Navier- Stokes (URANS) und Detached-Eddy Simulation (DES) Rechnungen Das e-book ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2018 ISBN 978-3-7376-0360-7 (print) ISBN 978-3-7376-0361-4 (e-book) DOI: http://dx.medra.org/10.19211/KUP9783737603614 URN: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0002-403616 © 2019, kassel university press GmbH, Kassel www.upress.uni-kassel.de Printed in Germany III Vorwort Die vorliegende Dissertation ist im Zeitraum von Mai 2013 bis Januar 2018 am Fach- gebiet Strömungsmaschinen im Institut für Thermische Energietechnik (ITE) der Uni- versität Kassel während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter entstanden und befasst sich mit der numerischen Simulation zeitabhängiger Phänomene im Strö- mungsfeld einer stationären Verdichterkaskade. Zuerst möchte ich mich in besonderer Weise bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Martin Lawerenz für die Ermöglichung und Betreuung dieser Arbeit sowie für die anregenden fachlichen Gespräche und die inspirierende Zeit bedanken. Mein weiterer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch für die Bereitschaft zur Übernahme des Korreferats. Ebenso bedanke ich mich bei dem Hochleistungsrechenzentrum der Technischen Uni- versität Darmstadt sowie dem Hessischen Kompetenzzentrum für Hochleistungsrech- nung (HKHLR) für die Nutzung des Lichtenberg-Clusters und die hervorragende Un- terstützung hinsichtlich aller Fragen bezüglich Höchstleistungsrechnung. Basierend auf dem herausragenden Engagement von Herrn Thomas Opfer und Frau Renate Ehler- ding war es möglich, auch bei technischen Schwierigkeiten den zeitlichen Verzug auf ein Minimum zu reduzieren. Ferner gilt mein weiterer Dank allen Mitarbeitern, Kollegen und Studenten des Fachge- biets für Strömungsmaschinen, die während dieser Zeit sowohl mit fachlichen als auch außerfachlichen Diskussionen zum Erfolg dieser Arbeit beigetragen haben. Besonders hervorheben möchte ich Herrn Dipl.-Ing. Andreas Schiffer, Herrn Dr.-Ing. Georg Herm- le, Herrn Dipl.-Ing. Lionel Reiche. Nicht zuletzt möchte ich meinen Eltern, Georg und Hedwig Teich, meinem Bruder, Philipp Teich sowie meiner Freundin Hannah Blankenberg für die große moralische Unterstützung in besonders herausfordernden Phasen danken. IV INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Nomenklatur XVIII 1. Einleitung 1 2. Stand der Forschung 3 2.1. Strömungsphänomene in Verdichtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Experimentelle Untersuchungen zur RI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Numerische Untersuchungen zur RI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Zielsetzung und Vorgehensweise 20 4. Grundlagen der Strömungsmechanik 26 4.1. Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Turbulente Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1. Kolmogorov Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.2. Kolmogorov Energiespektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.3. Taylor-Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3. Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.1. Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . 39 4.3.2. Detached-Eddy-Simulation (DES) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5. Grundlagen der Signalanalyse 43 5.1. Signalanalyse im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2. Signalanalyse im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3. Methode zur Frequenz- und Modenanalyse rotierender Phänomene im Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3.1. Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.2. Methodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.3. Testfall - Signalrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 INHALTSVERZEICHNIS V 6. Verwendete Software und Hardware 61 6.1. Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2. Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3. Skalierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7. Modellierung und Netzgenerierung 69 7.1. Ringgitterwindkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1.1. Messpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.1.2. Datenbasis und Betriebspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.2. Räumliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.2.1. Vernetzung des Ringgitterwindkanals (1 Teilung) . . . . . . . . . 76 7.2.2. Vernetzung des Ringgitterwindkanals (17 Teilungen) . . . . . . . 77 7.3. Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.4. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8. Numerische Untersuchungen 86 8.1. Voruntersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.1.1. Auswertepositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1.2. Theoretische Gitteruntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1.3. Gültigkeit des numerischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8.1.4. Einfluss der Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.1.5. Einfluss der Zeitschritt- und Netzweite . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.1.6. Ressourcenkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.2. Untersuchung des RGWKs hinsichtlich RI . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.2.1. Nachweis der RI und Methodeneinfluss . . . . . . . . . . . . . . 122 8.2.2. Einfluss der Eintrittsrandbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.2.3. Detailuntersuchung der Rotierenden Instabilität . . . . . . . . . . 142 9. Zusammenfassung 161 Anhang 164 A. Erhaltungsgleichungen 165 B. Untersuchung des Kolmogorov Energiespektrums 167 VI INHALTSVERZEICHNIS C. Grundlagen der Transformation im Frequenzbereich 171 C.1. Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 C.2. Fourier-Transformation (FT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 D. Abschätzung der Gitterlängen 180 E. Randbedingungen 183 F. Tabellen 185 F.1. Auswirkung der Variation verschiedener Parameter auf das Kolmogorov- Energiespektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 F.2. Basisgrößen der Signalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 F.3. RANS Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 F.4. Numerische Untersuchungen Phase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 F.5. Skalierbarkeitsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 ABBILDUNGSVERZEICHNIS VII Abbildungsverzeichnis 2.1. Einordnung Strömungsinstabilitäten, i.A.a. PAMPREEN (1993); CUMPSTY (1989) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Verdichterkennfeld mit Sekundär- und Tertiärcharakteristik i.A.a. TRAU- PEL (1982); PAMPREEN (1993); CUMPSTY (1989) . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Oben: Experimentelles Kreuzleistungsspektrum zweier um 41,4◦ zuein- ander versetzter nabenseitiger Drucksensoren. Unten: Zugehöriger Pha- senverlauf beider Sensoren. Experimentelle Daten basieren auf der Ar- beit von HERMLE (2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4. Kriterien nach VO ET AL. (2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1. Strouhal normierte Kohärenzen zwischen zwei in der Nabe installierten Druckaufnehmern aus Messungen von HERMLE (2014) . . . . . . . . . 20 4.1. Energiespektrum (rot) nach dem Modell von Kolmogorov (4.15) für  = 1, 0 = 1 und η = 0, 0005Pa · s. Zusätzlich ist in grün der Verlauf der Korrekturfunktion f0 sowie in blau der Verlauf der Korrekturfunktion fη dargestellt. Die Reynolds-Zahlen betragen Re = 83994, Re0 = 25198 und Reλ = 409, 87. Darstellung i.A.a. FRÖHLICH (2006). . . . . . . . . . 30 4.2. Verlauf des Verhältnisses (m · π)/(c/2) in Abhängigkeit der turbulen- ten Reynolds-Zahl Re0 und des Anteils aufgelöster isotroper Turbulenz nach dem Modell von POPE (2000). Darstellung in Anlehnung an VAN RENNINGS (2016). Für die Verläufe wurde  = 1m2/s3, 0 = 1m und η = 0, 178Pa · s bis 0, 000001Pa · s gewählt. m entspricht der Länge, bei der im Spektrum das Maximum vorliegt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3. Schematische Darstellung des Anteils aufgelöster Turbulenz in Abhän- gigkeit des jeweiligen Verfahrens. Oben links: RANS, oben rechts: hybri- de Verfahren (DES/DDES), unten links: LES, unten rechts: DNS . . . . 38 VIII ABBILDUNGSVERZEICHNIS 4.4. Links: Statistisch stationärer Mittelwert der Größe φ. Rechts: Statistisch instationärer Mittelwert der Größe φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1. Analytisches Modell zur Analyse von Umfangsmoden in einem Ringgit- terwindkanal. Der Verlauf der 5. Umfangsmode (rot) wird anhand von über den Umfang verteilten Sensoren (grün) detektiert. Links: Zeitpunkt t = 0ms, rechts: Zeitpunkt t = 4ms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2. Zeitlicher Verlauf einer fiktiven Strömungsgröße auf Basis aller Umfangs- messpositionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3. Räumliche Frequenzanalyse mittels FFT und einem Hanning-Window für den vorliegenden Testfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4. Kreuzleistungsspektrum des Beispielfalls für alle Messpositionsabstän- de Δϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5. Modenspektrum m(f,Δϕ) als Konturplot für den vorliegenden Testfall in Abhängigkeit der Frequenz und der Umfangsposition . . . . . . . . . . . 56 5.6. Häufigkeit einzelner Moden als Konturplot in Abhängigkeit der Frequenz und der Modenordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.7. Ergebnis der Frequenz- und Modenanalyse entsprechend der vorge- stellte Methodik, basierend auf unkorrelierten Sensorsignalen. Darge- stellt sind der zeitliche Verlauf aller 72 Messstellen (oben links), das Kreuzleistungsspektrum (oben rechts), der zeitliche Modenverlauf (un- ten links) sowie das Modenspektrum (unten rechts). . . . . . . . . . . . 59 6.1. Skalierbarkeit von FineTM/Turbo am Beispiel einer RANS-Simulation des NASA Rotors 67 mit 150 Millionen Zellen, GROSVENOR ET AL. (2015) . 65 6.2. Links: Zeit in Sekunden je Iteration über der Anzahl der verwendeten Prozessoren für die Kombinationen aus Tabelle 6.1. Rechts: Einfluss der verwendeten Prozessor-Typen der Kategorie avx und avx2. FT SP mit Standard MPI-Option. —, FT SP mit ICC 11 MPI-Option: —, FT DP mit Standard MPI-Option: —, FO SP mit Standard MPI-Option: —, FO DP mit Standard MPI Option: — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1. CAD-Modell des Ringgitterwindkanals am Fachgebiet Strömungsmaschi- nen der Universität Kassel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2. Axiale Positionen der Messebenen ME1 vor und ME2 hinter dem Ver- dichtergitter sowie Lage des Ein- und Austritts. . . . . . . . . . . . . . . 72 ABBILDUNGSVERZEICHNIS IX 7.3. Schematische Darstellung der unterschiedlichen Bereiche innerhalb ei- ner DES-Rechnung, in Anlehnung an SPALART (2001). . . . . . . . . . . 74 7.4. Rechennetz (G4) einer Messgitterschaufel des RGWKs mit Blockstruk- tur sowie Detailansicht der Vorder- und Hinterkante. Um eine bessere Darstellung zu gewährleisten, wurde nur jeder zweite Netzknoten dar- gestellt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.5. Exemplarischer Verlauf einer Totaldruckrandbedingung am Eintritt auf Basis experimenteller Daten (blau) ohne gesonderte Berücksichtigung der wandnahen Bereiche inklusiver der vom Strömungslöser extrapo- lierten Werte (grün) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.6. Totaldruckrandbedingung am Eintritt auf Basis experimenteller Daten (EXP, blau) inklusive modelliertem Randbereich mit Wichtungsparame- ter (Mod1, grün) und ohne (Mod2, rot). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.7. Detailansicht an Nabe (links) und Gehäuse (rechts) bei Verwendung des Wichtungsparameters (grün) und ohne (rot). . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.1. Schematische Darstellung des Ablaufes der Voruntersuchungen. . . . . 88 8.2. Schematische Darstellung der Position der 24 Monitor-Punkte im Be- reich der Schaufelvorderkante. Oben links: Frontansicht. Oben rechts: Draufsicht. Unten: Iso-Ansicht. Zur Differenzierung der radialen Lage, dient die Farbkodierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3. Totaldruckverlustbeiwert cpt über Massenstrom m˙ der stationären RANS- Rechnungen auf vier Gittern (siehe Tabelle F.3) bezüglich der fünf un- tersuchten Betriebspunkte (siehe Tabelle 7.2) sowie zeitgemittelte DES- Resultate hinsichtlich des Betriebspunktes mit einer Inzidenz von i = 12◦. 94 8.4. Stromlinien und Entropieverteilung (oben) sowie Stromlinien und Total- druckverteilung (unten) einer RANS-Simulation auf dem Gitter G1 ent- lang eines Zylinderschnittes bei 20% Kanalhöhe bei einer Inzidenz von i = 0◦ (links) und bei i = 12◦ (rechts). Die Strömungsrichtung ist von links nach rechts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.5. Druckverhältnis π über Massenstrom m˙ der stationären RANS-Rechnungen auf vier Gittern (siehe Tabelle F.3) bezüglich der fünf untersuchten Be- triebspunkte (siehe Tabelle 7.2) sowie zeitgemittelte DES-Resultate hin- sichtlich des Betriebspunktes mit einer Inzidenz von i = 12◦. . . . . . . . 97 X ABBILDUNGSVERZEICHNIS 8.6. Radiale Verläufe von pt,1, Ma1 und α1 an der Messebene ME1 vor dem Messgitter des RGWKs für die Inzidenzen i = 0◦ (oben) und i = 12◦ (unten). RANS-G1 (— +), RANS-G4 (— ×), Experiment (— +×), DES-G1 (— ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.7. Radiale Verläufe von pt,2, Ma2 und α2 an der Messebene ME2 hinter dem Messgitter des RGWK für die Inzidenzen i = 0◦ (oben) und i = 12◦ (unten). RANS-G1 (— +), RANS-G4 (— ×), Experiment (— +×), DES-G1 (— ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.8. Detailansicht des radialen Verlaufes von pt,2 an der Messebene ME1 vor dem Messgitter des RGWKs für eine Inzidenz von i = 12◦. RANS-G1 (—), RANS-G4 (—), Experiment (—.), DES-G1 (—) . . . . . . . . . . . . 101 8.9. Verlauf des maximalen y+-Wertes in Abhängigkeit des Betriebspunktes für vier unterschiedliche räumliche Diskretisierungen. . . . . . . . . . . 102 8.10.Vergleich des zeitlichen Verlaufes der relativen statischen Druckdifferenz des Monitor-Punkte 12 zwischen einer URANS- (grün), DES- (rot) und DDES-Rechnung (blau). Die zweite x-Achse entspricht einer dimensi- onslosen Zeit entsprechend Abschnitt 7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.11.Autospektraldichtefunktion der Fluktuationen des statischen Druckes im Intervall 0, 0030 s < t < 0, 00647 s. Um eine Spektralauflösung von Δf = 10Hz zu gewährleisten, wurde auf die Methode des Zero-Paddings zu- rückgegriffen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.12.Dreidimensionales turbulentes Energiespektrum einer DES (MP 5 bis 16: —), URANS (MP 5 bis 16: —) und DDES (MP 17 bis 32:—) Rech- nung auf dem Netz G1 bei einem Zeitschritt von Δt1. . . . . . . . . . . . 107 8.13.Gittereinfluss in Abhängigkeit der Zeitschritte. Turbulentes kinetisches DES-Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Ka- nalhöhe im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: Δt4, oben rechts: Δt3, unten links: Δt2, unten rechts: Δt1. Anhand der Farbe kann zwi- schen den drei Gittern unterschieden werden. . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.14.Gittereinfluss in Abhängigkeit der Zeitschritte. Turbulentes kinetisches DDES-Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Git- ter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanalhöhe im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: Δt4, oben rechts: Δt3, unten links: Δt2. Anhand der Farbe kann zwischen den drei Gittern unterschieden werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 ABBILDUNGSVERZEICHNIS XI 8.15.Zeitschritteinfluss in Abhängigkeit der Gitter. Turbulentes kinetisches DES- Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanalhö- he im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: G4, oben rechts: G3, unten links: G2, unten rechts: G1. Anhand der Farbe kann zwischen den Zeitschrittweiten unterschieden werden. . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.16.Zeitschritteinfluss in Abhängigkeit der Gitter. Turbulentes kinetisches DDES- Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanalhö- he im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: G4, oben rechts: G3, unten links: G2, unten rechts: G1. Anhand der Farbe kann zwischen den Zeitschrittweiten unterschieden werden. . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.17.Rechennetz G4 mit Eintritts- (blau) und Austrittsebene (rot) sowie Mess- ebenen ME1 (grün) stromauf und ME2 (grau) stromab der Statorkaskade.120 8.18.Lage der virtuellen Sensorpositionen. Links Frontansicht, rechts Drauf- sicht. Der Übersicht halber sind im linken Bild nur 24 der 360 über den Umfang verteilten Sensoren abgebildet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.19.Zeile 1-3: Zeitabhängige statische Druckdifferenzen Δp in [Pa] an axialer Messposition 3 aller 360 virtuellen Messpositionen bei 0 (erste Zeile), 50 (zweite Zeile) und 100% (dritte Zeile) Kanalhöhe einer DES- (links) und URANS-Rechnung (rechts). Vierte Zeile: Statische Druckfluktuation an der Nabe bei den Umfangspositionen ϕ = 10 (rot), 40 (grün) und 70◦ (blau).123 8.20.Kreuzleistungs- (oben) und Phasenspektrum (unten) für das Experiment (schwarz), eine DES- (durchgängige Linien) und URANS-Rechnung (un- terbrochene gepunktete Linien). Die unterschiedlichen Kanalhöhen sind farblich gekennzeichnet, wobei 0% (rot), 50% grün und 100% blau Ka- nalhöhe entspricht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.21.Zeitlicher Verlauf der Modenordnung der DES-Rechnung (links), des Ex- periments (mittig) und einer URANS-Rechnung (rechts). . . . . . . . . . 127 8.22.Auswirkungen von unterschiedlichen Totaldruckrandbedingungen am Ein- tritt (rechts) auf die radialen Verläufe an der Messposition ME1 (links) . 129 8.23.Differenzdruckfluktuationen Δp über den Umfang für drei unterschiedli- che Totaldruckrandbedingungen auf fünf Kanalhöhen. Die jeweilige Ka- nalhöhe kann den Prozentwerten am rechten Bildrand entnommen wer- den. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 XII ABBILDUNGSVERZEICHNIS 8.24.Umfangs- und zeitgemittelte axiale Geschwindigkeitskomponente für die Kanalhöhen 0,1, 1,0, 2,0 und 3,0%. Die unteren vier Diagramme ent- sprechen einer Detailansicht der oberen Abbildungen. MOD1 (—), Basis (—), MOD2 (—). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.25.Detailansicht der zeitgemittelten Strömung für 0,1, 1,0, 2,0 und 3,0% Kanalhöhe. Blaue Bereiche kennzeichnen negative und graue positive cz-Geschwindigkeitskomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.26.Kreuzleistungsspektrum des Experiments (schwarz) sowie der Simula- tionen (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—), 100%(—). Oben: Experiment vs. MOD1. Mitte: Experiment vs. Basis. Unten: Expe- riment vs. MOD2, wobei die rechte Ordinate zu den numerischen Ergeb- nisse gehört. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.27.Phasenspektrum des Experiments (schwarz) sowie der Simulationen (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—), 100%(—). Oben: Experiment vs. MOD1. Mitte: Experiment vs. Basis. Unten: Experiment vs. MOD2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.28.Kreuzleistungsspektrum der Druckfluktuationen. Experimentelle Daten auf Höhe der Nabe für E3 (schwarz) sowie Spektren der Simulationen DESMOD1 (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—) . . . . . 143 8.29.Kreuzleistungsspektrum der Druckfluktuationen. Experimentelle Daten auf Höhe der Nabe für E3 (schwarz) sowie Spektren der Simulationen DESMOD2 (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—) . . . . . 145 8.30.Nabenseitige Druckdifferenzen Δp bezüglich der axialen Ebene E4 für alle 17 Teilungen des Messgitters. Abstand der genutzten virtuellen Sen- soren je Teilung entspricht 3◦. Unten rechts: Schematische Position der genutzten virtuellen Sensorpositionen. Umkreister Sensor für weitere Analysen genutzt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.31.Druckfluktuation an der axialen Messebene E4 auf Höhe der Nabe für die Umfangspositionen ϕ = 0◦ (rot, S16), ϕ = 21◦ (grün, S17) und ϕ = 42◦ (blau, S1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.32.Druckdifferenz Δp auf Höhe der Nabe während der dominanten RI-Frequenz fRI, 2. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz- Fluktuation an der Sensorposition S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 8.33.Druckdifferenzen Δp im Bereich der Vorderkante des Sensors S16 auf Höhe der Nabe sowie Stromlinien. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasen- winkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 . . . 154 ABBILDUNGSVERZEICHNIS XIII 8.34.λ2-Isoflächen (grau, λ2 = 5 · 10−7) und statische Druckdifferenz Δp auf Höhe der Nabe (Konturplot) während der dominanten 130Hz RI-Frequenz an der Umfangsposition des Sensors S16. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.35.Detailansicht: λ2-Isoflächen (grau, λ2 = 5 · 10−7) und statische Druckdif- ferenz Δp auf Höhe der Nabe (Konturplot). . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.36.Wirbelstärke ωr während der dominanten 130Hz RI-Frequenz auf Höhe der Nabe im Bereich der virtuellen Sensoren S16, S17 und S1. Bildun- terschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.37.Wirbelstärke ωt während der dominanten 130Hz RI-Frequenz auf Höhe der Nabe im Bereich der virtuellen Sensoren S16, S17 und S1. Bildun- terschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 B.1. Einfluss der Dissipationsrate  auf das Modellspektrum isotroper Turbu- lenz nach POPE (2000) Gleichung (4.15). Links: Normierte Energiespek- tren; rechts: Kummulative Spektren, normiert mit dem jeweiligen Ge- samtwert. Die gestrichelte Linie entspricht einer Cut-Off Wellenzahl κc, bei der 85% des turbulenten isotropen Energiespektrums erreicht sind. Für alle -Werte gilt: 0 = 1m, η = 0, 0005Pa · s, Re0 = 23198, 42. . . . . 168 B.2. Einfluss der Kolmogorov-Länge η auf das Modellspektrum isotroper Tur- bulenz nach POPE (2000) Gleichung (4.15). Links: Normierte Energie- spektren; rechts: Kummulative Spektren, normiert mit dem jeweiligen Gesamtwert. Die gestrichelte Linie entspricht einer Cut-Off Wellenzahl κc, bei der 85% des turbulenten isotropen Energiespektrums erreicht sind. Für alle η-Werte gilt: 0 = 1m,  = 1m2/s3. Re0(η = 0, 0001Pa·s) = 215443, 47. Re0(η = 0, 001Pa·s) = 10000, Re0(η = 0, 01Pa·s) = 464, 16, Re0(η = 0, 1Pa · s) = 21, 54. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 XIV ABBILDUNGSVERZEICHNIS B.3. Einfluss der charakteristischen Länge energiereicher Wirbel 0 auf das Modellspektrum isotroper Turbulenz nach POPE (2000) Gleichung (4.15). Links: Normierte Energiespektren; rechts: Kummulative Spektren, nor- miert mit dem jeweiligen Gesamtwert. Die gestrichelte Linie entspricht einer Cut-Off Wellenzahl κc bei der 85% des turbulenten isotropen Ener- giespektrums erreicht sind. Für alle 0-Werte gilt: η = 0, 0005Pa · s,  = 1m2/s3. Re0(0 = 0, 01m) = 54, 29. Re0(0 = 0, 1m) = 1169, 61, Re0(0 = 1m) = 25198, 42, Re0(0 = 10m) = 542883, 52 . . . . . . . . . . . . . . . 170 D.1. Verlauf des turbulenten Energiespektrums für die zu untersuchenden Betriebspunkte entsprechend Tabelle 7.2 mit c = 110m/s, ls = 0, 05m und ν = 0, 000016Pa·s. Die gestrichelten Linien entsprechen dem jewei- ligen Anteil aufgelöster turbulenter Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . 181 E.1. Eintrittsrandbedingungen für die Betriebspunkte BP1 bis BP5, wobei die erste Zeile BP1 und die letzte BP5 entspricht. Links ist der Verlauf des Totaldrucks pt und rechts der Verlauf des Zuströmwinkels α dargestellt. Die Extrapolation der Randbereiche hinsichtlich α beginnt bei 10 und 90% Kanalhöhe. Die pt-Verteilung wurde so angepasst, dass der Verlauf aus den Messdaten an der ME1 erfüllt wird. . . . . . . . . . . . . . . . . 184 TABELLENVERZEICHNIS XV Tabellenverzeichnis 6.1. Mittelwert des Effizienzfaktors f für die innerhalb der Studie untersuch- ten Kombinationen. Mittelwertberechnung basiert auf den Ergebnissen im nahezu linearen Bereich, dies bedeutet, dass nur die Ergebnisse bis 24 CPUs berücksichtigt wurden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.1. Daten der Ringgitterbeschaufelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2. Untersuchte Betriebspunkte des RGWKs für Ma = 0, 4 . . . . . . . . . . 73 7.3. Obere Tabelle: Anzahl der verwendeten Punkte zur Diskretisierung in radialer Richtung und im Nabenspalt sowie die gesamte Anzahl der re- sultierenden Zellen. Untere Tabelle: Qualitätskriterien des DES Netzes für eine Teilung des Messgitters. AR = Seitenverhältnis, SN = Ortho- gonalität, ER = Expansionsrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.4. Berechnete Zeitschrittweiten in Abhängigkeit durchschnittlicher Zellgrö- ßen Δ , unterschiedlicher CFL-Zahlen und unterschiedlicher Rechengit- tergrößen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.1. Prozentualer Anteil der Zellen je Gitter, die kleiner einer bestimmten Cut- Off Länge sind sowie mittlere Zellgröße Δm des jeweiligen Netzes . . . 91 8.2. Minimale und maximale dimensionslose Wandabstände in paralleler Rich- tung bezüglich einer Inzidenz von i = 12◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.3. Simulierte Kombinationen aus Zeitschrittweite, Rechengitter sowie Tur- bulenzmodellierungsmethode (DES (x), DDES (o)). . . . . . . . . . . . . 108 8.4. Darstellung der aus der Simulation resultierenden, mittleren CFL-Zahl (CFLSim) für jede untersuchte Kombination aus Gitter und Zeitschritt ent- sprechend Tabelle 8.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 XVI TABELLENVERZEICHNIS 8.5. Übersicht bezüglich der notwendigen Rechenzeiten sowie des notwen- digen Speicherplatzes für eine Rechnung bei Nutzung von 256 CPUs in Abhängigkeit der Methode sowie Gitterauflösung. SP = Speicherplatz, nSub = Anzahl an Sub-Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.6. Übersicht der berechneten Fälle auf dem vollen Gitter. niter entspricht der Anzahl der berechneten Zeitschritte und Δf der Frequenzauflösung. . . 118 8.7. Phasenwinkel Φxy, Modenordnung m und Rotationsgeschwindigkeit ω sowie Umfangsgeschwindigkeit cu dominanter Frequenzen auf Höhe der Nabe für Experiment und Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.8. Qualitative Übersicht der Verfahren DES und URANS . . . . . . . . . . 128 8.9. Mittelwert und Standardabweichung der axialen Geschwindigkeitskom- ponente cz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.10.Dominante Frequenzen aus den Kreuzleistungsspektren sowie die zu- gehörigen Phasenwinkel und die daraus abgeleiteten Charakteristiken. 140 D.1. Einzuhaltende Längenmaßstäbe um einen bestimmten Anteil (1. Spalte) des turbulenten Energiespektrums aufzulösen bezüglich der untersuch- ten Betriebspunkte des RGWKs, siehe Tabelle 7.2. . . . . . . . . . . . . 182 F.1. Einfluss der Variation von η,  und 0 auf die Reynolds-Zahl, die Cut- Off Wellenzahl κc,85 sowie die daraus abgeleitete Cut-Off Länge c,85 bei 85%. Das Verhältnis m/c,85 entspricht der Anzahl an Zellen/Gitterpunkten der Größe c,85 um m in eine Koordinatenrichtung, so dass 85% des isentropen turbulenten Spektrums aufgelöst werden. m entspricht einer charakteristischen Länge, bei welcher das Maximum im Energiespek- trum vorliegt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 F.2. Wichtige Basisgrößen und deren Einheiten bezüglich der Spektralana- lyse in Anlehnung an BENDAT UND PIERSOL (1980) am Beispiel eines zeitlich aufgenommenen Drucksignals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 F.3. Globale Ergebnisse (Massenstrom m˙, Totaldruckbeiwert cpt und stati- sches Druckverhältnis π) der RANS-Simulationen auf vier unterschiedli- chen Netzen bezüglich der experimentell vermessenen Betriebspunkte entsprechend Tabelle 7.2. Der Soll-Wert entspricht dem Experiment, der Ist-Wert dem Ergebnis der stationären RANS-Rechnung und Δ der pro- zentualen Abweichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 TABELLENVERZEICHNIS XVII F.4. Dominante Frequenzen aus dem Autoleistungsspektrum einer DES-Rechnung auf dem Gitter G1 bei einem Zeitschritt Δt1. Umrechnung der ALS-Werte anhand von Gleichung ?? in Amplitudenwerte zu den jeweiligen Fre- quenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 F.5. Untersuchte Kombinationen hinsichtlich der Skalierbarkeitsstudie . . . . 191 XVIII TABELLENVERZEICHNIS Nomenklatur Lateinische Buchstaben Formelzeichen Bedeutung a Koeffizient AR Seitenverhältnis b Ordinatenabschnitt, Koeffizient Ak Amplitude aus FFT c Absolutgeschwindigkeit C Konstante des Energiespektrums CU Konvektionszeit c0 Konstante des Energiespektrums cη Konstante des Energiespektrums cpt Totaldruckverlustbeiwert c Absolutgeschwindigkeit E Energiespektrum nach Kolmogorov ER Expansionsrate e spezifische innere Energie f Frequenz f0 Korrekturfunktion im Energiespektrum fη Korrekturfunktion im Energiespektrum Gxx einseitige Autospektraldichtefunktion Gxy einseitige Kreuzspektraldichtefunktion h Kanalhöhe hi Wärmestrom L charakteristische geometrische Länge  charakteristische Länge c Cut-Off Länge TABELLENVERZEICHNIS XIX 0 charakteristische Länge großer Wirbel m charakteristische maximale Länge s Sehnenlänge t turbulent charakteristische Länge großer Wirbel λ Taylor Länge m˙ Massenstrom m Steigung Ma Machzahl ni Einheitsnormalenrichtung p0 Konstante des Energiespektrums nach Kolmogorov q Wäremequellen r Radius Re Reynolds-Zahl Reλ Taylor Reynolds-Zahl Re0 turbulente Reynolds-Zahl Sxx zweiseitiges Autospektraldichtefunktion Sxy zweiseitige Kreuzspektraldichtefunktion SN Orthogonalität t Zeit T Zeitintervall, Periode v Geschwindigkeit w Wichtungsparameter x, y, z kartesische Koordinaten x+ dimensionsloser Wandabstand in x-Richtung y+ dimensionsloser Wandabstand in y-Richtung z Anzahl der Schaufeln z+ dimensionsloser Wandabstand in z-Richtung X Fourier-Transformierte griechische Buchstaben Formelzeichen Bedeutung α Strömungswinkel β Konstante des Energiespektrums, Nickwinkel XX TABELLENVERZEICHNIS βs Stafflungswinkel γ Kohärenzfunktion γxx Autokorrelationsfunktion γxy Kreuzkorrelationsfunktion δ Grenzschichtdicke Δ Zellgröße, Differenz  Dissipationsrate η Kolmogorov Längenskala κ Wellenzahl κc Cut-Off Wellenzahl λ Wellenlänge ϕ Umfangsposition Φ Phasenwinkel Ψ fiktive Strömungsgr ¨ße π Druckverhältnis τ Zeitskala Indizes und Exponenten sowie Operatoren für eine beliebige Größe φ Formelzeichen Bedeutung ax axial Exp., exp. Experiment g geometrisch i, j, k numerische Indizes Nyq. Nyquist N Nabe Pot. Potenzgesetz ref Referenzwert rel relativ t Totalgröße x x-Richtung, x-Komponente y y-Richtung, y-Komponente z z-Richtung, z-Komponente 1 Eintrittsebene, x-Richtung TABELLENVERZEICHNIS XXI 2 Austrittsebene, y-Richtung 2 z-Richtung η Kolmogorov-Skalen φ Tensor 1. Stufe (Vektor) φ Tensor 2. Stufe (Matrix) φ¯ Reynolds-gemittelte Größe φ arithmetischer Mittelwert φ˜ Favre-gemittelte Größe φ′ Schwankungsanteil einer Reynolds-gemittelten Größe φ′′ Schwankungsanteil einer Favre-gemittelten Größe Abkürzungen Formelzeichen Bedeutung BP Betriebspunkt BFF Blattfolgefrequenz CFD Computational Fluid Dynamics CFL Courant-Friedrichs-Lewy-(Zahl) DES Detached-Eddy Simulation DDES Delayed Detached-Eddy Simulation DFT Diskrete Fourier Transformation DGL Differentialgleichung DP Double Precision DTFT discret time fourier transformation DNS Direkte Numerische Simulation FO FineTM/Open FT FineTM/Turbo, Fourier-Transformation FFT Fast-Fourier-Transformation FTA Fourier-Transformation für Abtastsignale FVV Finite Volumen Verfahren GIS Grid Induced Seperation HKHLR Hessisches Kompetenzzentrum für Hochleistungsrechnen XXII TABELLENVERZEICHNIS HPC High-Performance Computing ITE Institut für Thermische Energietechnik KLS Kreuzleistungsspektrum LES Large-Eddy Simulation ME Messebene MP Monitor-Points PIV Particle Image Velocimetry RANS Reynolds-Averaged-Navier-Stokes URANS Unsteady Reynolds-Averaged-Navier-Stokes RGWK Ringgitterwindkanal RI Rotierende Instabilität, Rotating Instability RS Rotierende Ablösung, Rotating Stall SP Single Precision 11. Einleitung Ein hoher Wirkungsgrad, geringe Kosten sowie ein sicherer Betriebsbereich sind die grundlegenden Ziele, die bei der Entwicklung moderner Turbomaschinen angestrebt werden und in Verbindung mit mechanisch und aerodynamisch hochbelasteten Schau- feln stehen. Dabei ist die Strömung besonders durch dreidimensionale instationäre Vorgänge geprägt, die einerseits aus der Interaktion zwischen zwei relativ zueinander bewegten Schaufelreihen und andererseits aus der Wechselwirkung zwischen Profil- und Seitenwandgrenzschichten sowie der Relativbewegung zwischen Schaufel und Seitenwand resultieren. Diese haben einen entscheidenden Einfluss auf die Stabilität und den Betrieb von Tur- bomaschinen und sind Gegenstand aktueller umfangreicher theoretischer und expe- rimenteller Untersuchungen, (vgl. HERMLE (2014); HERMLE UND LAWERENZ (2014); BESELT ET AL. (2014, 2013); PARDOWITZ ET AL. (2014)). Beispielsweise können sie Schwingungen auslösen, welche von der Schädigung einzelner Komponenten bis hin zum Ausfall der gesamten Maschine führen, BAUMGARTNER ET AL. (1995). Für Turboverdichter wird daher aus Sicherheitsgründen ein großer Abstand zur Stabi- litätsgrenze gefordert, um einer Reduzierung der Pumpgrenzreserve durch Verschie- bung des Arbeitspunktes beim Beschleunigen, durch Verschmutzung oder unerwartete Einlaufstörungen entgegenzuwirken. Gerade dieser derzeit notwendige Abstand bietet ein großes, teilweise ungenutztes Wirkungsgrad-Potential. Bekannte Strömungsphä- nomene, die mit dem Erreichen bzw. Überschreiten der Pumpgrenze in Zusammen- hang stehen, sind die rotierende Ablösung (englisch: rotating stall (RS)) oder das Verdichterpumpen (englisch: surge). Neben diesen Phänomenen, konnte die Existenz eines weiteren instationären Effekts, welcher als rotierende Instabilität (RI) bezeich- net wird (vgl. KAMEIER (1994)), bei stabilem Verdichterbetrieb nachgewiesen werden. 2 1. EINLEITUNG Experimentelle und numerische Untersuchungen der rotierenden Instabilität konnten diese als Ursache für einen erhöhten Lärmpegel (KAMEIER UND NEISE (1997); KA- MEIER (1994)) und Schaufelschwingungen (BAUMGARTNER ET AL. (1995)) identifizie- ren. Ebenso stellt VO (2010) einen Zusammenhang zwischen der RI und RS her, so dass RI als Vorbote der RS betrachtet werden kann. Aktuelle Untersuchungen von BE- SELT (2015) und VAN RENNINGS (2016) konnten den Spaltwirbel als ursprünglich not- wendiges Kriterium für das Auftreten der rotierenden Instabilität ausschließen, indem Konfigurationen ohne Spalt untersucht wurden. Sie vermuten daher eine nabensei- tige Ablösung stromauf der Vorderkante in Kombination mit Scherschichtinstabilitä- ten als Ursache. Auch in der Arbeit von HERMLE (2014) konnte eine nabenseitige Ablösung stromauf der Vorderkante gezeigt werden, was die Hypothese untermau- ert. Zur Steigerung des Einsatzbereichs moderner Turboverdichter scheint daher ein tiefe- res Verständnis der instationären Strömungsphänomene bereits im stabilen Verdich- terbetrieb sowie beim Übergang in den instabilen Bereich, der durch das Auftreten von rotierenden Strömungsinstabilitäten bis hin zu Pumpzyklen geprägt ist, sinnvoll zu sein. Bei genauerer Kenntnis der ursächlichen Mechanismen kann zum einen das Erschei- nen vorausgesagt und zum anderen können Maßnahmen eingeleitet werden, um dem Pumpen zu begegnen. Um das Wissen über die Entwicklung und Entstehung solcher Phänomene zu erwei- tern, sollen in dieser Arbeit umfangreiche dreidimensionale instationäre Simulationen eines Verdichterleitrads durchgeführt werden. Hierbei handelt es sich um ein statio- näres Gitter, das Bestandteil des am Fachgebiet installierten Ringgitterwindkanals ist. Der Verzicht auf rotierende Bauteile ermöglicht die grundlegende Untersuchung insta- tionärer Effekte ohne Wechselwirkung mit bewegten Strukturen. 32. Stand der Forschung 2.1. Strömungsphänomene in Verdichtern Im Folgenden wird eine Übersicht bezüglich der bekanntesten Instabilitätsphänomene (Rotierende Ablösung, Verdichterpumpen und Rotierende Instabilität) gegeben. Der Fokus in diesem Abschnitt liegt dabei auf dem Phänomen der Rotierenden Instabilität. Zur Einordnung der genannten Effekte sind in Abbildung 2.1 die bekanntesten selbster- regten instationären Strömungsphänomene dargestellt. Die Rotierende Instabilität wird hierbei als mehrzellige Rotierende Ablösung mit zeitlich veränderlicher Charakteristik bezeichnet. Bei Turboverdichtern gibt ein Verdichterkennfeld Aufschluss über den massenstrom- und drehzahlabhängigen Druckaufbau und Wirkungsgrad (siehe Abbildung 2.2). Der technisch zur Verfügung stehende Arbeitsbereich ist dabei an aerodynamische und strukturmechanische Grenzen geknüpft. Dabei handelt es sich um die sogenannte Sperrgrenze, die Pumpgrenze (obere Grenze) und die Drehzahlgrenze. Während es sich bei den ersten beiden um Grenzen der Aerodynamik handelt, steht die letzt ge- nannte im Zusammenhang mit der mechanischen Belastung infolge der Fliehkraft. Aus- gehend von einem stabilen Betriebspunkt (Punkt A in Abbildung 2.2) führt eine Erhö- hung des Massenstroms zu einer Reduzierung des Druckverhältnisses bis die Schluck- grenze erreicht wird (Punkt A1). In diesem Punkt ist eine weitere Erhöhung des Durch- satzes nicht möglich, da im engsten Querschnitt der Maschine die Schallgeschwindig- keit erreicht wird. Eine Reduzierung des Massenstroms (ausgehend von Punkt A) führt zu einer Erhöhung des Druckverhältnisses (Punkt A2). Hierbei nimmt die Axialkom- ponente der Geschwindigkeit ab und führt somit zu einer größeren Fehlanströmung der Schaufeln, wodurch diese aerodynamisch stärker belastet werden. Beim Erreichen 4 2. STAND DER FORSCHUNG RI Instationäre Strömungsphänomene fremderregt selbsterregt abgelöste Strömung Flutter akustische Resonanz Modalwellen induzierte Ablösung Ablösung Ablösung Ablösung Spike induzierte mehrzellige einzellige rotierende rotierende stabile Konfiguration instabile KonfigurationVerdichter- pumpen milde surge modified surge deep surge Abb. 2.1.: Einordnung Strömungsinstabilitäten, i.A.a. PAMPREEN (1993); CUMPSTY (1989) bzw. Überschreiten der Stabilitätsgrenze (Punkt A3) kann die Strömung infolge kleins- ter Störungen teilweise nicht mehr der Schaufelkontur folgen und löst an einzelnen Profilen ab. Abhängig vom druckseitigen Luftvolumen, Drehzahl und Verdichtergeo- metrie können dabei Instabilitätsphänomene auftreten, die von Rotierender Ablösung (rotating stall) bis hin zum Verdichterpumpen (surge) reichen. Rotierende Ablösung Bei der Rotierenden Ablösung handelt es sich um ein umlaufendes Phänomen, bei wel- chem es lokal zu saugseitiger Strömungsablösung und dadurch zu einer Versperrung dieser Schaufelkanäle führt, wodurch sich die Strömung auf die noch offenen Pas- sagen verteilt. Aus der Blockage resultieren zwei Effekte. Einerseits bewirkt sie eine 2.1. STRÖMUNGSPHÄNOMENE IN VERDICHTERN 5 D ru ck ve rh äl tn is Massendurchsatz n2 n3 > n2 Pumpgrenze Sperrgrenze A A1 A2 A3A4 A5 A′5 A6 pro gre ss iv ab rup t Sekundär- charakteristik Tertiär- charakteristik Pumpgrenz- abstand unstalledpart spanfull span Abb. 2.2.: Verdichterkennfeld mit Sekundär- und Tertiärcharakteristik i.A.a. TRAUPEL (1982); PAMPREEN (1993); CUMPSTY (1989) druckseitige Anströmung der abgelösten Schaufel, wodurch sich die Strömung wieder anlegt. Andererseits resultiert aus der Versperrung eine erhöhte Inzidenz bezüglich der saugseitig benachbarten Schaufel, so dass es dort zu einer Ablösung der Strö- mung kommt. Dieser Prozess führt zu einer umlaufenden saugseitigen Fortpflanzung des Phänomens und wurde erstmals von EMMONS ET AL. (1955) ausführlich beschrie- ben. Im Verdichterkennfeld werden diese instabilen Strömungszustände durch die quasi- stationäre Sekundär- bzw. Tertiärcharakteristik abgebildet. Der verlustbehaftete Über- gang von Primär- über Sekundär- hin zu Tertiärcharakteristik ist hierbei von verschie- denen Parametern abhängig und kann abrupt (A4 → A′5), progressiv (A4 → A5) oder in einer gemischten Form ablaufen. Entlang der Sekundärcharakteristik, die als Über- gang von Primär- zu Tertiärcharakteristik gesehen werden kann, treten meist mehr- zellige Rotierende Ablösungen auf, die bei Leiträdern in den Nabenschnitten und bei Laufrädern in den Außenschnitten lokalisiert werden können (part span) (vergleiche PAMPREEN (1993)). 6 2. STAND DER FORSCHUNG Verbunden mit dem Erreichen der Tertiärcharakteristik ist die Ausbildung einer über die gesamte radiale Schaufelhöhe Rotierenden Ablösung (full span), die sich in Um- fangsrichtung über mehrere Kanäle erstreckt. Diese Form der Strömungsseparation wird in der Literatur auch als tiefes Abreißen (deep stall) bezeichnet. Während sich das Totaldruckverhältnis im Anfangsstadium der Rotierenden Ablösung entlang der Sekundärcharakteristik nur wenig verringert, ist bei der Ausbildung einer vollständig Rotierenden Ablösung ein signifikanter Totaldruckverlust zu verzeichnen. Die Rückfüh- rung des Verdichters in den stabilen Betriebsbereich auf die Primärcharakteristik ist ohne aktives Eingreifen nicht möglich. Beispielsweise kann dies durch Entdrosseln er- reicht werden. Verglichen mit dem zum Ausgangspunkt A zugehörigen Massenstrom muss hierbei viel stärker entdrosselt werden. Wie in Abbildung 2.2 deutlich wird, wird dieser Prozess durch eine Hysterese beschrieben, deren Größe im Wesentlichen von der Geometrie des Verdichters abhängt. Spikes und Modalwellen In der Literatur sind derzeit zwei Störungen des Strömungsfeldes bekannt, die zur Ro- tierenden Ablösung führen. Dabei handelt es sich um Modalwellen (modal waves) und lokale Ablösezellen (spikes), die von MCDOUGHALL ET AL. (1990) und DAY (1993) ex- perimentell an einem Niedergeschwindigkeitsverdichter und von TRYFONIDIS ET AL. (1995) und WILSON UND FREEMAN (1994) an einem Hochgeschwindigkeitsverdichter nachgewiesen werden konnten. Bei den lokalen Ablösezellen (spikes) handelt es sich um ein Phänomen, das auf ei- ne oder wenige Laufradschaufeln beschränkt und im Blattspitzenbereich lokalisiert ist. Anhand von Hitzdrahtmessungen kann diese Art der Störung, entsprechend ihrer Be- zeichnung, als plötzlich auftretender Peak identifiziert werden, der sich mit etwa 60 bis 80% der Rotordrehzahl in Umfangsrichtung bewegt. Nach nur wenigen Umläu- fen entwickelt sich die lokale Ablösung in eine ausgeprägte Ablösezelle, wobei ihre Umfangskomponente mit zunehmender Zellengröße abnimmt, siehe CAMP UND DAY (1997). Bei der zweiten in der Literatur gut bekannten Störung handelt es sich um wellenförmi- 2.1. STRÖMUNGSPHÄNOMENE IN VERDICHTERN 7 ge Störungen kleiner Amplitude (Modalwellen), welche von MOORE UND GREITZNER (1986) in einer theoretischen Abhandlung vorausgesagt und später durch MCDOUG- HALL ET AL. (1990) und GARNIER ET AL. (1991) experimentell nachgewiesen wurden. Hierbei handelt es sich um Störungen, die sich mit etwa 50% der Umlaufgeschwindig- keit des Rotors in Umfangsrichtung bewegen und deren Wellenlängen dem Umfang oder einem Vielfachen davon entsprechen. Beim Annähern an die Stabilitätsgrenze reißt die Strömung bei vorausgehenden Modalwellen über einem großen Bereich des Verdichters ab. Im Unterschied zu Spikes kann die Entwicklung einer Modalwelle bis hin zur abgelösten Strömung über mehrere hundert Umdrehungen beobachtet werden und ist somit viel langlebiger. CAMP UND DAY (1997) konnten anhand der aerodynamischen Belastung im Zusam- menhang mit dem jeweils vorliegenden Betriebspunkt im Verdichterkennfeld zeigen, welche der beiden Störungen aufritt. Wird der kritische Zuströmwinkel in der Blattspit- zenregion vor dem Erreichen des maximalen Druckaufbaus im Verdichter überschrit- ten, so treten Spikes auf. Bei gleichmäßiger aerodynamischer Belastung wird der kri- tische Anströmwinkel in keiner Verdichterstufe vor Erreichen des Betriebspunktes mit maximalem Druckaufbau überschritten. In diesem Fall können Modalwellen registriert werden. Verdichterpumpen Ein Strömungsabriss über den gesamten Umfang kann bei Überschreitung der Stabi- litätsgrenze zum zweitgenannten Instabilitätsphänomen, dem Verdichterpumpen, füh- ren. Dabei steht der Zusammenbruch der gesamten Strömung in Verbindung mit einer periodischen Oszillation des Massenstroms und des Drucks in axialer Strömungsrich- tung. In Abhängigkeit von vor- und nachgeschalteten Systemkomponenten kann zwi- schen unterschiedlichen Ausprägungen des Pumpens unterschieden werden. Schwä- chere Formen des Pumpens, bei denen positive Massenströme und geringe Schwin- gungsamplituden auftreten, werden als mild oder classic surge bezeichnet. Eine Über- lagerung bzw. Kombination mit Rotierender Ablösung wird durch den Begriff modified surge gekennzeichnet. Unter bestimmten Umständen kann eine besonders intensive und unerwünschte Form des Pumpens, welche als deep surge bezeichnet wird, auftre- 8 2. STAND DER FORSCHUNG ten. Hierbei kommt es zu einer kompletten Umkehrung der Strömung im Verdichter, so dass die komprimierte Luft durch den Verdichtereintritt ausströmt (vergleiche CUMPSTY (1989)) Rotierende Instabilität (RI) Abseits der klassischen Phänomene, wie Rotierende Ablösung und Pumpen, die beim Überschreiten der Stabilitätsgrenze vorliegen, ist die Existenz eines weiteren instatio- nären Effekts bekannt, der bereits im stabilen Verdichterbetrieb (zwischen A2 und A3 in Abbildung 2.2) zu beobachten ist. In der Literatur sind unterschiedliche Bezeichnungen für dieses Phänomen zu finden (fluctuating tip clearance flow, small rotating stall, high frequency stall oder rotating instability). Dabei hat sich in der Vergangenheit insbeson- dere der Begriff Rotierende Instabilität (rotating instability, RI), der maßgeblich durch KAMEIER (1994) und BAUMGARTNER ET AL. (1995) geprägt wurde, durchgesetzt und bezieht sich auf lokale Instabilitäten. Global betrachtet arbeitet der gesamte Verdichter immer noch in einem stabilen Bereich. Gerade die Interpretation, wie der Begriff Insta- bilität zu verstehen sei, hat in der Vergangenheit zu einigen Diskussionen geführt, auf die jedoch nicht weiter eingegangen wird, siehe CUMPSTY (2001); VOGELER ET AL. (2001). Bei RI handelt es sich, ähnlich wie bei der Rotierenden Ablösung, um einen selbstinduzierten, umlaufenden, teilperiodischen Effekt in stark belasteten Verdichter- gittern mit spezieller Drucksignatur, der hauptsächlich im Blattspitzenbereich lokalisiert ist. Der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass der Begriff RI bereits vor 1994 von MONGEAU (1991) und BENT ET AL. (1992) verwendet wurde. Sie untersuchten einen Radialverdichter und konnten ein rotierendes Phänomen mit veränderlicher Zel- lenanzahl nachweisen, dass im Frequenzspektrum große Ähnlichkeit zu der Rotieren- den Instabilität aufweist. Rotierende Instabilität tritt bereits vor Erreichen der Stabilitäts- grenze in Erscheinung und geht somit anderen Instabilitätsphänomen voraus, wobei beispielsweise LIU ET AL. (1996) zeigen, dass RI und Rotierende Ablösung zeitgleich vorliegen können PEITSCH ET AL. (2017) . Im Kreuzleistungsspektrum zweier in Um- fangsrichtung versetzter Sensoren zeigt sich die Rotierende Instabilität als eine breit- bandige Amplitudenerhöhung bei niedrigen Frequenzen, wobei einzelne äquidistante 2.1. STRÖMUNGSPHÄNOMENE IN VERDICHTERN 9 KL S Ph as e Frequenz Δf Abb. 2.3.: Oben: Experimentelles Kreuzleistungsspektrum zweier um 41,4◦ zueinander versetzter nabenseitiger Drucksensoren. Unten: Zugehöriger Phasenverlauf beider Sensoren. Experimentelle Daten basieren auf der Arbeit von HERMLE (2014) Peaks zu identifizieren sind, siehe Abbildung 2.3 oberes Diagramm. Typischerweise liegen die Frequenzen deutlich unterhalb der ersten Blattfolgefrequenz (BFF), sind je- doch keine Harmonischen der Rotorfrequenz. Diesen Peaks können unterschiedliche Umfangsmoden zugeordnet werden, wobei der Abstand zwischen zwei Peaks im Zu- sammenhang mit der Rotation des Phänomens steht, siehe hierzu KAMEIER (1994) und BAUMGARTNER ET AL. (1995). Ein linearer Phasenverlauf im RI-relevanten Fre- quenzbereich deutet ebenfalls darauf hin, dass sich das Phänomen in Umfangsrich- tung bewegt, siehe Abbildung 2.3 unteres Diagramm. Im Absolutsystem betrachtet breitet sich die RI in Umfangsrichtung von Saugseite zur Druckseite der benachbarten Schaufel aus, weist aber einen Schlupf gegenüber einem im Relativsystem befindli- chen Beobachter auf. Mit abnehmendem Massenstrom verschieben sich die dominan- ten Frequenzen sowie die Umfangsmoden zu geringeren Werten, wobei die Amplitu- 10 2. STAND DER FORSCHUNG den der RI-Peaks sowie die Rotationsgeschwindigkeit zunehmen. Ein, den Frequenz- bereich betreffendes, umgekehrtes Verhalten entsteht bei Erhöhung der Mach-Zahl. Die Rotationsgeschwindigkeit bleibt dabei nahezu konstant. Im Gegensatz zu einer Rotierenden Ablösung ist die Druckamplitude der Rotierenden Instabilität zeitlich nicht konstant, so dass ein mit der RI mitbewegter Beobachter eine zeitliche Veränderung im Strömungsfeld wahrnimmt. Bezüglich der räumlichen Lage ist RI tendenziell im Be- reich der Schaufelvorderkante lokalisiert, wobei die Intensität bei Laufrädern ausge- hend vom Gehäuse zur Nabe hin abnimmt. Bei Leiträdern verhält sich dies genau umgekehrt. Ausgehend von der Nabe nimmt die Stärke des Phänomens in Richtung des Gehäuses ab. 2.2. Experimentelle Untersuchungen zur RI Bisher wurde RI an unterschiedlichen Turbomaschinen experimentell beobachtet. KA- MEIER (1994) und KAMEIER UND NEISE (1997) führten Untersuchungen an einem Hochdruck-Axialventilator mit Nachleitrad durch und konnten anhand von im Gehäu- se installierten Drucksensoren in unmittelbarer Nähe des Laufrads im Blattspitzenbe- reich die Rotierende Instabilität nachweisen, wobei die Intensität zur Nabe hin ab- nimmt. Bei großem Radialspalt im leicht angedrosselten Betrieb konnten dominante RI-Frequenzen im Bereich zwischen 160 und 270Hz ermittelt werden. Mittels einer Kreuzkorrelation bestimmten sie Umfangsmoden die zwischen 15 und 33 liegen, wobei die Winkelgeschwindigkeit der RI bezogen auf die des Laufrads zwischen 32 und 52% variiert. Anhand von Hitzdrahtmessungen im Blattspitzenbereich konnten sie zeigen, dass die Rotierende Instabilität in direktem Zusammenhang mit einer Rückströmung durch den Kopfspalt der Strömungsmaschine steht. Bedingt dadurch dickt die saugsei- tige Gehäusegrenzschicht auf, so dass die axiale Komponente der Zuströmung nahezu eliminiert wird. Die Schaufel wird folglich in diesem Bereich hauptsächlich in azimutaler Richtung angeströmt, so dass es im Blattspitzenbereich zu einer lokalen Strömungs- ablösung kommt. Diese bewirkt wiederum eine lokale Reduktion des Druckgradien- ten, wodurch sich die Strömung in diesem Bereich anschließend wieder anlegen kann. Ähnlich einer Kármánschen Wirbelstraße führt dieser Mechanismus zu einer Wirbelab- lösung im Blattspitzenbereich mit den gemessenen charakteristischen RI-Frequenzen. 2.2. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN ZUR RI 11 Eine Verbindung zwischen der RI und dem von KAMEIER (1994) und KAMEIER UND NEISE (1997) untersuchten Blattspitzenwirbellärm besteht darin, dass das Spaltge- räusch genau dann besonders hohe Amplituden erzeugt, wenn die Wellenlänge der RI im Relativsystem genau der Schaufelteilung entspricht. Eine nachfolgende Studie am selben Prüfstand, die die von KAMEIER (1994) beobachtete Rotierende Instabi- lität genauer untersuchte, wurden von LIU ET AL. (1996) durchgeführt. Sie konnten die Ergebnisse von KAMEIER (1994) bestätigen und zeigten, dass die Ordnung der Umfangsmoden, die den Peaks zugeordnet werden können, bei steigender Belastung ab- und die Frequenz mit der die RI rotiert zunimmt. Zusätzlich trat bei sehr niedrigen Massenströmen neben der Rotierenden Instabilität zeitgleich eindeutig identifizierbare Rotierende Ablösung auf. NEUHAUS ET AL. (2003) konnten ebenfalls zeigen, dass ein erhöhter Lärmpegel mit RI einhergeht, wobei sich dieses Phänomen und somit auch der Lärm durch statio- näre bzw. instationäre Einblasung von Luft in den Spalt an der Blattspitze unterdrücken lässt. Charakteristische Druckspektren, die der RI zuzuordnen waren, konnten bei ak- tiver Einblasung nicht mehr detektiert werden. Im Abschlussbericht zum BMBF-Vorhaben zur Verbesserung der Verdichterstabilität weisen KAMEIER UND HAUKAP (2000) darauf hin, dass das Phänomen nicht aus- schließlich auf Verdichter beschränkt ist. Beispielsweise benennen sie die Arbeit von TRUCKENMÜLLER ET AL. (1999) und GABOR (1999). Während TRUCKENMÜLLER ET AL. (1999) an der Endstufe einer Niederdruckdampftur- bine bei Ventilationsbetrieb im Frequenzspektrum Signaturen fand, die auf RI schlie- ßen lassen, wies GABOR (1999), RI an einer Pumpe nach. In Anlehnung daran führten KAMEIER UND HAUKAP (2000) ebenfalls Untersuchungen an einem Pumpenprüfstand durch und konnten ebenfalls zeigen, dass die Kompressibilität nicht zwangsläufig einen Einfluss auf die Entstehung von RI hat. Schaufelschwingungen, die nicht an die Drehzahl gekoppelt sind, konnten BAUMGART- NER ET AL. (1995) an einem zehnstufigen Hochdruckverdichter in der ersten Stufe am Laufrad nachweisen. Dabei zeigte sich, dass die Strukturanregung durch RI indu- ziert wurde. Bei einer Drehzahl von etwa 94%, ausgehend vom Design Point, traten im Druckspektrum der Gehäusesensoren RI-Frequenzen um 3348Hz auf, wobei sich das Phänomen mit 62% der Rotordrehzahl in Rotorumfangsrichtung fortpflanzt. In ra- 12 2. STAND DER FORSCHUNG diale Richtung konnte der Effekt ausgehend vom Gehäuse bis ca. 65% der Kanalhöhe nachgewiesen werden. In den Ergebnissen von MAILACH (2001) und MAILACH ET AL. (2001) wurden experi- mentelle Untersuchungen an einem vierstufigen Niedergeschwindigkeits-Axialverdichter durchgeführt. Dabei konzentrierten sich die Arbeiten auf das Laufrad in der dritten Stufe des Verdichters. Neben an der Gehäusewand und auf den Laufschaufeln in- stallierten piezoresistiven Drucksensoren wurde ein Laser-Doppel-Anemometer zur Messung des Geschwindigkeitsfelds sowie eine Hitzdrahtsonde verwendet. MAILACH (2001) zeigte bei großer Spaltweite (3, 0% und 4, 3%) in einem Betriebspunkt nahe der Stabilitätsgrenze, die von KAMEIER (1994) und BAUMGARTNER ET AL. (1995) gemes- senen typischen RI-Spektren. Unterhalb einer Spaltgröße von 3, 0%, bezogen auf die Sehnenlänge an der Blattspitze, konnte er keine RI nachweisen. Die RI-Frequenzen (135 bis 350Hz) liegen im stationären System bei ca. 25 bis 33% bezogen auf die 1. BFF, wobei die Umlaufgeschwindigkeit der RI etwa 50 bis 60% bezogen auf die Rotorumlaufgeschwindigkeit beträgt. Mit zunehmender Drosselung verschieben sich die dominanten RI-Frequenzen zu niedrigeren Werten bei gleichzeitiger Amplituden- zunahme. Dieses Verhalten wird ebenfalls von KAMEIER UND NEISE (1997) beschrie- ben. Dominante Modenordnungen, die der RI zugeordnet werden können, liegen nach MAILACH (2001) im Bereich von 30, was etwa der halben Laufschaufelzahl (z = 63) ent- spricht. Als wesentliche Ursache benennt er einen großen Radialspalt sowie eine hohe aerodynamische Belastung und die damit verbundene Ausbildung eines ausgeprägten Blattspitzenwirbels. Durch Störungen (Einlaufstörungen, Nachlauf eines Gitters, Un- gleichförmigkeiten, stochastische Prozesse) kommt es zu einer lokalen Verschlechte- rung der Zuströmbedingungen an einer Schaufel. Der dort vorliegende Blattspitzenwir- bel gewinnt so an Intensität und beeinflusst die An- und Umströmung der saugseitig benachbarten Schaufelvorderkante, so dass es dort zu einer periodischen Fluktuation des Entstehungsortes des Blattspitzenwirbels kommt. Durch die Fortpflanzung dieses Effekts entsteht ein umlaufender Effekt. Neben Untersuchungen an Laufrädern ausgeführter Maschinen haben WEIDENFEL- LER (2001) und HERMLE (2014) RI an einer isolierten Verdichter Stator-Kaskade beob- achtet. WEIDENFELLER (2001) konnte an dem im Fachgebiet vorliegenden stationären Axialverdichtergitter zeigen, dass RI auch bei geringer relativer Spaltweite (0, 8% s) im gesamten untersuchten Mach-Zahl Bereich (0, 29 bis 0, 542) bei hoher aerodynami- 2.2. EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN ZUR RI 13 scher Belastung (i = 12◦) zu erkennen ist. Die Umfangsgeschwindigkeit des Phäno- mens beträgt bei mittlerer Kanalhöhe 48% der Umfangskomponente des Zuströmvek- tors (bzw. 38% auf Nabenhöhe). Er vermutet daher, dass ein großer Kopfspalt ein be- günstigendes aber kein notwendiges Kriterium für die Ausbildung von RI ist. Ähnliche Ergebnisse sind in den Arbeiten von HERMLE UND LAWERENZ (2014, 2013); HERMLE (2014) zu finden, die neben Messungen mittels Hitzdrahtsonde und Druck- sensoren zusätzlich ein PIV-System am gleichen Prüfstand nutzten, um die zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeldes während RI darzustellen. Dabei kombinierten sie das PIV-System, dessen Messrate bei 4Hz liegt, in geeigneter Weise mit einem Hitzdrahtanemometer, um hochfrequente Effekte zeitlich korrekt aufzulösen. Entspre- chend den Ergebnissen von WEIDENFELLER (2001) fanden sie bei hoher aerodynami- scher Belastung (i = 12, 3◦) in einem Frequenzbereich zwischen 50 und 250Hz eine breitbandige Amplitudenerhöhung bestehend aus vier äquidistanten Peaks und be- stätigten die von WEIDENFELLER (2001) bestimmte Umfangsgeschwindigkeit der RI. Ergänzend zu den Ergebnissen von WEIDENFELLER (2001) zeigten HERMLE UND LA- WERENZ (2013) in zeitlich aufgelösten Spektrogrammen der instationären Nabendruck- signale, dass RI nicht durchgängig existiert. Zu den Zeitpunkten, in denen RI vorliegt, erstreckt sich das Einflussgebiet der RI ausgehend von der Schaufelvorderkante bis ca. 20% der Sehnenlänge stromab und wandert mit zunehmender Kanalhöhe tendenziell in die Passage. Ab etwa 24% Kanalhöhe ist der Einfluss der Rotierenden Instabilität in den Messungen nicht mehr zu detektieren. In den PIV-Messungen lässt sich eine Be- und Entlastung im Gittereintritt zeigen, wobei sich dieser Wechsel zuerst auf der Druck- und dann auf der Saugseite abzeichnet. In einer experimentellen Arbeit von SCHRAPP ET AL. (2008) beschäftigten sich die Autoren mit der Spaltströmung in Axialverdichtern und konnten sowohl bei einer li- nearen Kaskade als auch am Laufrad eines einstufigen Niedergeschwindigkeitsver- dichters bei hoher aerodynamischer Belastung im stabilen Arbeitsbereich zeigen, dass der Spaltwirbel platzt. Die Spaltweite beider Untersuchungsobjekte beträgt 3% bezo- gen auf die Sehnenlänge. Im Frequenzspektrum instationärer Gehäusedrücke, die im Bereich der geplatzten Wirbeltrajektorie platziert waren, ist eine breitbandige Amplitu- denerhöhung zu erkennen, die u. a. laut KAMEIER UND NEISE (1997), BAUMGARTNER ET AL. (1995) und MAILACH (2001) typisch für die Existenz von Rotierender Instabilität ist. SCHRAPP (2008) vermutet, dass das dominante Spektrum der breitbandigen Am- 14 2. STAND DER FORSCHUNG plitudenerhöhung in Verbindung mit der Rotationsfrequenz des Wirbels steht und sich entsprechend der Wirbeltrajektorie in die gleiche Richtung, von Saug- zu Druckseite, bewegt. Zusätzlich bestimmte er für die Frequenzen der Amplitudenerhöhung anhand einer Kreuzkorrelationsanalyse von über den Umfang verteilten Drucksensoren eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von 43% bezogen auf die Rotordrehzahl in Umfangsrich- tung. Als Erklärung der Ausbreitung in Umfangsrichtung benennt er den in Abhängig- keit der Schaufelbelastung oszillierenden Aufplatzpunkt des Spaltwirbels. Dabei steht das Aufplatzen in Verbindung mit einer Rückströmung, welche einen Teil der Passage blockiert. Ähnlich dem von EMMONS ET AL. (1955) beschriebenen Fortpflanzungsme- chanismus einer Stallzelle, bewegt sich auch diese Störung in Umfangsrichtung von Saug- zu Druckseite über den Umfang. Umfangreiche experimentelle Arbeiten an einem vergleichbaren Ringgitterwindkanal, wie der der Universität Kassel, wurden an der Technischen Universität Berlin durch- geführt. In Arbeiten von BESELT ET AL. (2011, 2012); BESELT UND PEITSCH (2012); BESELT ET AL. (2013) konnte RI mittels PIV-Messungen und nabenbündigen Druck- sensoren für Inzidenzen zwischen 10 und 13◦ in einem Mach-Zahl Bereich von 0,2 bis 0,7 eindeutig nachgewiesen werden, wobei die Fehlanströmung der kritische Pa- rameter für die Initiierung von RI und die Mach-Zahl entscheidend für die charakteris- tischen RI-Größen (Rotationsfrequenz und mittlere dominante Frequenz) ist. Anhand einer Strouhal Normierung konnten BESELT UND PEITSCH (2012), ebenso wie WEI- DENFELLER (2001), MAILACH (2001) und HERMLE (2014) zeigen, dass der Ursprung des Phänomens aerodynamischer Natur ist. Die gemessenen breitbandigen Amplitu- denerhöhungen variieren abhängig von der Mach-Zahl zwischen 150 bis 250Hz für Ma= 0, 2 und 300 bis 600Hz für Ma= 0, 7 und bewegen sich mit etwa 30% bezogen auf die Umfangskomponente der Zuströmung in Umfangsrichtung. Entgegen den bis- herigen Erklärungen zu der Entstehung von RI zeigen BESELT ET AL. (2013) bei ge- schlossenem Nabenspalt die Existenz von RI und widerlegen damit die Annahme von MAILACH (2001), KAMEIER UND NEISE (1997) und SCHRAPP (2008), dass eine Spalt- strömung notwendig für die Entstehung von RI sei. Eine vergleichbare Beobachtung, der jedoch keine besondere Aufmerksamkeit geschenkt wurde, ist in Untersuchungen von KAMEIER (1994) zu finden. Mit Hilfe eines über den Rotorumfang geklebten Plastik- streifens blockierte er die Spaltströmung. Im Frequenzspektrum war erstaunlicherwei- se die für RI charakteristische Drucksignatur im Vergleich zur Referenzkonfiguration deutlich ausgeprägter zu erkennen. 2.3. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUR RI 15 In Untersuchungen von PARDOWITZ ET AL. (2015) an einem Rotor ohne und mit Deck- band bei großem Spalt wurden ähnliche Ergebnisse festgestellt. Anhand von über den Gehäuseumfang verteilten Sensoren im Nah- und Fernfeld, konnte für beide Konfigu- rationen (mit und ohne Deckband) RI-Aktivität deutlich unterhalb der 1. BFF festgestellt werden. Ausbreitungsfähige RI-Moden stehen dabei im Zusammenhang mit einem er- höhten Lärmpegel. Bemerkenswert ist, dass RI bei der Variante mit Deckband bereits bei sehr hohen Massenströmen detektiert wurde. Aus den Ergebnissen schließen PAR- DOWITZ ET AL. (2015), dass der instationäre Blattspitzenwirbel nicht ursächlich für die Existenz von RI ist und bestätigen somit die Erkenntnisse von BESELT ET AL. (2013). In Anlehnung an PARDOWITZ ET AL. (2012) vermuten auch BESELT ET AL. (2013) als Ursache eine über der Zeit stochastisch verteilte Grenzschichtinstabilität unterschied- licher Wellenlängen, welche in Umfangsrichtung rotiert und mit wandnahen Sekun- därströmungen, wie beispielsweise dem Hufeisenwirbel, interagiert. Ergänzend dazu zeigen PARDOWITZ ET AL. (2012) in einer vorangegangenen Studie, dass die einzel- nen RI-Moden, die den Peaks zugeordnet werden können, unabhängig voneinander zu sein scheinen und zudem in der Zeit stochastisch verteilt in Erscheinung treten. An- hand von PIV-Messungen (vergleiche PARDOWITZ ET AL. (2014)) konnte ein, zu Ergeb- nissen von HERMLE UND LAWERENZ (2014) ähnliches, periodisches Verhalten der rela- tiven Geschwindigkeitsvektoren während der RI beobachtet werden. 2.3. Numerische Untersuchungen zur RI In einer Studie von INOUE ET AL. (2004) werden experimentelle Unterschungen an einem einstufigen Niedergeschwindigkeitsverdichter mit Vorleitrad bei hoher aerody- namischer Belastung vorgestellt. Demnach liegt RI bei einer großen Spaltweite (3% s) vor. Als Ursache wird ein Modell vorgestellt, bei welchem ein Spaltwirbelzusammen- bruch (tip-leakage vortex breakdown) sowie eine zweite Wirbelstruktur (Tornado Typ Vortex) interagieren und zu dem besagten Phänomen führen. Stationären und insta- tionären Reynolds-averaged-Navier-Stokes (RANS) Simulationen, die dieses Modell untermauern, wurden von FURUKAWA ET AL. (1999, 2000) durchgeführt. Der eindeu- tige Zusammenhang zwischen den numerischen Ergebnissen und der im Experiment gemessenen RI kann jedoch nicht hergestellt werden. 16 2. STAND DER FORSCHUNG MÄRZ ET AL. (2002) führten numerische Untersuchungen zur Rotierenden Instabilität durch, die experimentell an einem einstufigen Axialventilator beobachtet wurden. Für die instationären Simulationen (unsteady RANS=URANS) wurde der vollständige Ro- tor vernetzt und berechnet. Sie stellten fest, dass die Spaltströmung bei vorliegen von RI nicht in die benachbarte Passage strömt und diese beeinflusst, sondern der benach- barten Druckseite folgt. Ein Vergleich des statischen Drucks am Gehäuse offenbart ein Gebiet niedrigen Drucks, das von Saug- zu Druckseite mit etwa 50% der Rotordrehzahl wandert. Genauere Untersuchungen ergeben, dass durch eine Interaktion aus Spalt- , Rück- und Zuströmung ein Wirbel entsteht, dessen Richtung und Geschwindigkeit mit dem lokalen Druckminimum übereinstimmt. Die Autoren vermuten im instationären Verhalten des Wirbels die Ursache der Rotierenden Instabilität. Zusätzlich bestimmten MÄRZ ET AL. (2002) eine Zellenanzahl die höher liegt als eine Zelle pro zwei Schau- felteilungen. Dies widerspricht den Vermutungen von MAILACH (2001). MÄRZ ET AL. (2002) kommen daher zu dem Schluss, dass die Zellenanzahl vom Verdichterdesign abhängen muss. Instationäre Large Eddy Simulationen (LES) der Frontstufe eines transsonischen Hoch- druckverdichters führten HAH ET AL. (2008, 2010) durch, um transiente Vorgänge na- he der Stabilitätsgrenze im Bereich der Blattspitze genauer analysieren zu können. Anhand eines vollständigen Modells des gesamten Rotors, bestehend aus ca. 36 Mil- lionen Zellen, untersuchten sie zwei experimentell beobachtete Phänomene. Der erste Effekt führt im Frequenzspektrum eines im Gehäuse installierten Drucksensors nahe der Rotorvorderkante bei ca. 80Hz zu der Ausbildung eines dominanten Peaks. Beim Annähern an die Stabilitätsgrenze verschiebt sich diese dominante Frequenz zu leicht höheren Werten. Druckmessungen 15% stromab der Rotorvorderkante wurden von BIELA ET AL. (2008) durchgeführt und zeigen den zweiten Effekt, der ähnlich der RI, zu einer breitbandigen Amplitudenerhöhung bei ca. 40 bis 60% der 1. BFF führt. In der instationären LES-Rechnung sind beide Auffälligkeiten wiederzufinden. Ebenso konn- te in den numerischen Ergebnissen anhand einer FFT des statischen Wanddrucks die für die RI charakteristische breitbandige Amplitudenerhöhung gezeigt werden, wobei dieser Bereich, ähnlich den experimentellen Ergebnissen, zwischen 40 und 60% der BPF liegt. HAH ET AL. (2010) vermuten, dass sich die erste dominante Frequenz aus der Bewe- gung einer Blockage ergibt, die sich über mehrere Passagen erstreckt. Ähnlich den Ergebnissen von MÄRZ ET AL. (2002) benennen HAH ET AL. (2010) eine Druckoszil- 2.3. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUR RI 17 lation infolge des instationär schwingenden Spaltwirbels, welche zu der breitbandigen Amplitudenerhöhung führt. In Arbeiten von VO ET AL. (2008) liegt eine sogenannte Spike-induzierte Ablösung genau dann vor, wenn im Verdichterkennfeld vor dem Erreichen des maximalen Druck- verhältnisses zwei Kriterien erfüllt sind. Diese beiden Kriterien sind in Abbildung 2.4 veranschaulicht. Bei dem ersten Kriterium handelt es sich um eine Rückströmung der Spaltströmung um die Schaufelhinterkante unterhalb der Blattspitze, so dass die Strö- mung auf die Druckseite der saugseitig benachbarten Schaufel trifft. Bei dem zweiten Kriterium handelt es sich um die Verlagerung der Grenzfläche aus Zu- und Spaltströ- mung weiter stromauf, so dass ein Teil der Spaltströmung um die Schaufelvorderkante gelenkt wird. In URANS Simulationen eines isolierten Axialverdichters (E3 Rotor B) vermutet VO (2010) einen Zusammenhang zwischen diesen Kriterien, die zu Spike- induzierter Ablösung und Rotierender Instabilität führen. Demnach liegt RI nur dann vor, wenn das erste Kriterium erfüllt ist. Das oszillierende Verhalten der RI wird durch ein instationäres Verhalten des Auftreffpunktes der Rückströmung auf der Druckseite verursacht. Zusätzlich kann die Rotierende Instabilität als Vorzeichen für die Spike- induzierte Rotierende Ablösung gesehen werden. In einer Arbeit von VAN RENNINGS Zuströmung Zuströmung 1. Kriterium 2. Kriterium Grenzfläche Abb. 2.4.: Kriterien nach VO ET AL. (2008) (2016) wurden umfangreiche und aufwendige instationäre Simulationen eines vollstän- digen Ringgitterwindkanals mittels einer Delayed-Detached-Eddy Simulation durchge- führt und mit experimentellen Ergebnissen hinsichtlich Rotierender Instabilität vergli- 18 2. STAND DER FORSCHUNG chen. Nach VAN RENNINGS (2016) besteht das Rechennetz jeder Passage aus knapp 9 Millionen Zellen, wobei die Länge des Rechengebiets stromauf des Gitters eineinhalb Sehnenlängen und stromab zweieinhalb Sehnenlängen beträgt. Um eine ausreichend feine Zeitschrittweite zu gewährleisten, wird anhand einer Abschätzung der konvek- tiven Ausbreitungsgeschwindigkeit eine Zeitschrittweite von 1 · 10−6 s gewählt, wobei die gesamte simulierte Zeit ungefähr 0, 075 s entspricht. Laut VAN RENNINGS (2016) beläuft sich der Rechenaufwand auf ca. 1785600CPUh (40Tage mit 1860CPUs des HLRN-II in Berlin). Die Übereinstimmung zwischen CFD und Experiment für einen ausgewählten Betriebspunkt (Ma= 0, 4; Re= 300000 und im ≈ 10, 3◦) hinsichtlich einer statistischen Analyse, bei welcher das Kreuzleistungsspektrum, die Kohärenz sowie der Phasengang dargestellt wurden, ist aus qualitativer Sicht gut. Als Ursache für klei- nere Unterschiede zwischen Numerik und Experiment vermuten BESELT ET AL. (2014) leicht unterschiedliche Zuströmbedingungen in den wandnahen Bereichen sowie eine zu geringe Simulationsdauer, so dass Einschwingvorgänge zu Beginn der Simulation einen negativen Einfluss ausüben. Bezüglich eines ausgewählten RI-Frequenzpeaks bei etwa 292Hz ergibt eine Modenanalyse sowohl experimentell als auch numerisch eine Ordnung von vier bis fünf Zellen, die über den Umfang verteilt sind. In einem zweiten Teil der Arbeit gelingt es VAN RENNINGS (2016); VAN RENNINGS ET AL. (2012) charakteristische RI-Spektren anhand eines Modells wiederzugeben, dass auf der Po- tentialtheorie basiert. Demnach wird das breitbandige, kammartige Frequenzspektrum durch in Umfangsrichtung rotierende Wirbelsysteme verursacht, welche sich mit ei- ner Umfangsgeschwindigkeit kleiner der Rotordrehzahl fortpflanzen. Sowohl BESELT (2015) als auch VAN RENNINGS (2016) vermuten Grenzschichtablösungen an der Na- be als Ursache für die in Umfangsrichtung rotierenden Wirbelsysteme. Die Entste- hung der Ablösung ist abhängig von dem Gleichgewicht zwischen dem Impulsstrom der Grenzschicht und dem Druckgradienten in axialer Richtung. Da der Druckgradient bei Statoren an der Nabe, verglichen mit dem am Gehäuse, größer ist, tritt die RI an der Nabe auf. Bei Rotoren verhält sich dies genau umgekehrt. In einer weiteren numerischen Arbeit von PEITSCH ET AL. (2017) wurde das insta- tionäre Strömungsfeld eines einstufigen Niedergeschwindigkeitsverdichters mit einem URANS SST-SAS Ansatz berechnet, wobei insgesamt ca. 3 Millionen Zellen für alle 14 Passagen verwendet wurden. Charakteristische RI-Spektren des Experiments konnten anhand der Numerik abgebildet werden. In Detailuntersuchungen des numerischen Strömungsfeldes konnte gezeigt werden, dass vor Erreichen der Stabilitätsgrenze dis- krete Störungen im Blattspitzenbereich des Rotors der RI zugeordnet werden können, 2.3. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUR RI 19 wobei diese Störungen anhand von umlaufenden Druckminima zu identifizieren sind. Dabei korreliert die Anzahl dieser Störungen mit der Modenordnung der Spektralana- lyse. Die Autoren vermuten, dass sich infolge einer pulsierenden Blockage eine Art Helmholz-Instabilität im Bereich der Vorderkante ausbildet, die verantwortlich für die Ausbildung umlaufender Wirbelstrukturen ist, wobei diese wiederum die charakteristi- chen Druckminima am Gehäuse erzeugen. Dass RI nicht nur ein Phänomen ist, welches bei Verdichtern sondern auch bei Turbi- nen in Erscheinung tritt, konnten ZHANG ET AL. (2013) in ihrer Arbeit zeigen. Für einen Off-Design Arbeitspunkt, bei dem der Rotor im Blattspitzenbereich bereits als Verdich- ter arbeitet, konnte RI experimentell im Druckspektrum gezeigt werden. Basierend auf instationären 3D-RANS Rechnungen zweier Rotorteilungen konnte keine RI gefunden werden. Es wurde vermutet, dass infolge der Begrenzung in Umfangsrichtung die pe- riodischen Ränder die Ausbildung rotierender Druckfelder, die in Zusammenhang mit RI stehen, unterbunden werden. Um den numerischen Aufwand bei der Berücksichti- gung des vollen Umfangs gering zu halten, wurden 2D-URANS Rechnungen bei 10% und 90% Kanalhöhe durchgeführt. Bei 90% Kanalhöhe bildete sich ein rotierendes Druckfeld mit RI-typischen Charakteristiken aus. In der Nähe der Nabe, bei 10% Ka- nalhöhe, blieb die Strömung ohne die Ausbildung einer rotierenden Struktur weiterhin stabil. Ebenso wie die experimentellen Arbeiten an dieser Turbinenstufe, zeigen die nu- merischen Ergebnisse, dass der Rotor im Blattspitzenbereich als Verdichter arbeitet. Hinsichtlich der Ausbildung von RI in Turbinen, wird dieser Punkt von den Autoren als notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium gesehen. Bedingt durch die eben beschriebenen instationären Phänomene (Rotierende Insta- bilität, Rotierende Ablösung und Verdichterpumpen) können einzelne Komponenten stark beansprucht werden, so dass die Lebensdauer der betreffenden Bauteile bzw. der gesamten Maschine herabgesetzt wird. Zudem verursachen diese Phänomene einen nicht zu vernachlässigenden Anstieg des Lärmpegels. Die genauen physikali- schen Ursachen, Mechanismen und Abhängigkeiten, insbesondere die der RI, sind bis heute nicht hinreichend verstanden, so dass eine gezielte Überprüfung solcher Phä- nomene bereits in der frühen Entwicklungsphase eines Turboverdichters schwierig ist. Folglich wären Kenntnisse über ursächliche Mechanismen sowie begünstigende Para- meter oder Einflüsse ein entscheidender Wettbewerbsvorteil für die Turbomaschinen von morgen. 20 3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE 3. Zielsetzung und Vorgehensweise Ziel des Promotionsprojekts ist es, einen Beitrag zur numerischen Berechnung rotie- render Strukturen im Strömungsfeld hochbelasteter axialer Turboverdichter hinsichtlich der Entstehungsmechanismen zu leisten. Dabei liegt der Fokus insbesondere auf dem Phänomen der Rotierenden Instabilität. Aufbauend auf experimentellen Untersuchun- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Ko hä re nz [− ] Strouhal [−] im = 12,3° Mam = 0,20 Mam = 0,30 Mam = 0,35 Mam = 0,40 Mam = 0,45 Mam = 0,50 Strouhal-Zahl [-] i = 12, 3◦ Ko hä re nz [-] Abb. 3.1.: Strouhal normierte Kohärenzen zwischen zwei in der Nabe installierten Druckaufnehmern aus Messungen von HERMLE (2014) gen, die von HERMLE (2014) am Ringgitterwindkanal der Universität Kassel durchge- führt wurden und die Existenz der Rotierenden Instabilität gezeigt haben (siehe Abbil- 21 dung 3.1), werden als konsequenter Schritt zur weiteren Erforschung von selbstindu- zierten Instabilitätsphänomenen dreidimensionale stationäre und instationäre numeri- sche Simulationen des Verdichtergitters angestrebt. Für die geplanten numerischen Arbeiten werden die am Fachgebiet verwendeten CFD- Programme FineTM /Turbo und FineTM/Open genutzt. Zur Berücksichtigung turbulen- ter Strömungen kann innerhalb der CFD-Programme zwischen Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) und einer Detached-Eddy-Simulation (DES, FineTM /Turbo) bzw. Delayed-Detached-Eddy-Simulation (DDES, FineTM/Open) gewählt wer- den. Die Varianten DES und DDES entsprechen einem kombinierten Verfahren aus RANS und Large-Eddy-Simulation (LES), wobei in der Grenzschicht eine RANS-For- mulierung und in der Freiströmung ein der LES-Methode ähnliches Verfahren Ver- wendung findet. Ausgehend von der Literaturrecherche bezüglich numerischer Arbei- ten zu dem Phänomen RI, konnte dieses sowohl durch (U)RANS- als auch durch (D)DES-Rechnungen nachgewiesen werden. Da die numerischen Anforderungen an eine (D)DES-Rechnung deutlich höher sind, verglichen mit denen einer (U)RANS- Simulation, wäre es von Vorteil, (U)RANS-Methoden zu nutzen. Aus diesem Grund wird zunächst der Frage nachgegangen, mit welchen Methoden (URANS/DES/DDES) sich RI abbilden lässt und welche Anforderungen hinsichtlich zeitlicher und räumlicher Auflösung notwendig sind. Um diese Frage zu beantworten, muss infolge der hohen Anforderungen an eine DES- bzw. DDES-Rechnung untersucht werden, welche Rechen- und Zeitschrittweite einzu- halten ist. Die Identifikation einer geeigneten Kombination aus Methode, Rechen- und Zeitschrittweite ist Inhalt des Kapitels 8.1. Insgesamt werden für die Methoden DES und DDES vier Zeitschritte und vier Rechengitter unterschiedlicher Auflösung unter- sucht, wobei zur Reduktion des zeitlichen und numerischen Aufwandes für diesen Teil der Arbeit nur eine Teilung des RGWKs genutzt wird. Mit der identifizierten Kombi- nation aus räumlicher und zeitlicher Auflösung werden anschließend instationäre 3D- Simulationen des vollen Umfangs des RGWKs bei einer Inzidenz von i = 12◦ durch- geführt und mit experimentellen Kulite-Messungen von HERMLE (2014) verglichen. Auf Basis dieses Vergleichs ist es möglich, letztendlich die Fragestellung zu beantworten, mit welcher Methode RI abgebildet werden kann. Anhand der zusätzlichen Randbe- dingungen Speicherplatz und Rechendauer kann dann eine sinnvolle Kombination aus Methode, Rechengitter und Zeitschrittweite benannt werden. 22 3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE Anschließend wird in Kapitel 8.2 mit der als geeignet identifizierten Kombination die am RGWK experimentell beobachtete RI im Detail untersucht. Im Folgenden werden relevanten Fragestellungen und Hypothesen hinsichtlich RI aufgelistet, welche sich aus der Literaturrecherche ergeben, jedoch aufgrund des Umfangs nicht innerhalb dieser Dissertation vollumfänglich beantwortet werden. • Entstehungstheorie Nach VO (2010) tritt RI auf, wenn die Spaltströmung einer Schaufel um die Hin- terkante der saugseitig benachbarten Schaufel in die Kanalpassage transportiert wird und dort auf die Druckseite trifft. Dadurch wird eine Art Blockage erzeugt, die die Spaltströmung in Richtung Vorderkante lenkt. MAILACH (2001) sieht die grundlegende Ursache in einer periodischen Fluk- tuation des Entstehungsortes des Blattspitzenwirbels entlang der Profilsehne. Durch eine hohe aerodynamische Belastung sowie einen großen Radialspalt bil- det sich ein starker Blattspitzenwirbel aus, der in Umfangsrichtung orientiert ist und durch zufällige Störungen (Einlaufstörungen, konstruktive Ungleichförmig- keiten, stochastische Prozesse) weiter stromauf wandert. Infolge dessen wird die saugseitige Passage zunehmend blockiert, so dass Entstehungsort und Intensi- tät des Blattspitzenwirbels beeinflusst werden. SCHRAPP (2008) vermutet den in Abhängigkeit der Schaufelbelastung pulsieren- den Aufplatzpunkt des Spaltwirbels und die daraus resultierende Blockage als Ursache für die Rotierende Instabilität. Die Strömung weicht aufgrund der blo- ckierten Passage in Richtung der saugseitig liegenden Schaufel aus und führt dort zu einer höheren Fehlanströmung. Der Zuströmwinkel der zuvor blockierten Passage verringert sich, wodurch die Schaufel entlastet wird und die Blockage stromab wandert. Gleichzeitig platzt der Spaltwirbel an der saugseitig benachbar- ten Schaufel aufgrund der hohen Belastung auf, so dass entsprechend diesem Mechanismus eine umlaufende Störung entsteht. Neue Untersuchungen von BESELT ET AL. (2013) und PARDOWITZ ET AL. (2014) zeigen bei geschlossenem Radialspalt an einer Axialverdichter Stator-Kaskade RI. Sie vermuten eine stochastisch verteilte Grenzschichtinstabilität unterschied- licher Wellenlängen als Ursache. 23 Allen bisherigen experimentellen Untersuchungen zu RI ist gemein, dass der zeit- liche Verlauf von einem Zustand ohne RI bis zu dessen Auftreten schwer zu un- tersuchen ist, da die Abhängigkeiten weitgehend unklar sind und somit ein ge- eigneter Trigger für die Messungen fehlt. Die Gemeinsamkeit aller Theorien liegt in einem oszillierenden Blockagegebiet in der Passage, so dass die Blockage selber und das dadurch induzierte Gebiet verminderter Axialgeschwindigkeit als mögliche notwendige Kriterien für die Entstehung von RI gesehen werden könn- ten. Der Unterschied aller Entstehungsansätze besteht in der Art und Weise wie, es zu der Ausbildung dieser Blockage kommt. Hypothese 1: Für die Ausbildung der Rotierenden Instabilität ist die Entstehung einer zeitlich veränderlichen Blockage innerhalb der Kanalpassage notwendig. Die Entstehung des Blockagegebiets kann dabei durch die eben genannten (aber auch andere) Mechanismen entstehen. • Zeitlicher Verlauf der Rotierenden Instabilität Eine zeitliche Analyse der Drucksignale in der Arbeit von HERMLE (2014) führt zu dem Ergebnis, dass erhöhte Druckamplituden der einzelnen RI-Moden eher zu- fällig und zeitlich begrenzt in Erscheinung treten. Ein hoher Kohärenzwert der RI- Moden ist somit nicht kontinuierlich vorhanden. Die Darstellung der Phasendiffe- renz zeigt hingegen, dass der Phasenversatz der entsprechenden RI-Frequenzen jedoch nahezu zeitlich kontinuierlich vorhanden ist. Hypothese 2: Dem periodischen Charakter der RI ist eine stochastische Pulsation überlagert, so dass es zu dem beschriebenen Verhalten kommt. Fragestellung 1: Durch welchen physikalischen Vorgang entsteht die stochasti- sche Variation der Druckamplituden? • Einfluss des radialen Kopfspaltes WEIDENFELLER (2001) kam im Vergleich zu Untersuchungen von ULBRICHT (2001) und MAILACH (2001) zu dem Schluss, dass die Existenz der RI nicht an große Schaufelspalte geknüpft ist. KAMEIER (1994) klebte zur Verhinderung der Schau- felspitzenüberströmung ein Plastikband über den Umfang eines Rotors und konn- te deutliche RI-Aktivitäten im Wanddruckspektrum nachweisen. Eine faktische 24 3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE Schließung des Kopfspaltes basierend auf mit Kunststoffstreifen verlängerten Schaufeln führte zum Verschwinden der Rotierenden Instabilität. BESELT ET AL. (2013) konnten RI-Aktivitäten ohne Radialspalt nachweisen und vermuten daher einen untergeordneten Einfluss des Radialspaltes. Fragestellung 2: Ist das Vorhandensein eines Kopfspaltes ein notwendiges Krite- rium für die Existenz der RI? Fragestellung 3: Inwieweit beeinflusst die Größe des Radialspaltes die Ausprä- gung der Rotierenden Instabilität und welche physikalischen Vorgänge liegen da- bei zugrunde? • Anzahl der RI-Moden In den experimentellen Arbeiten von HERMLE (2014) und WEIDENFELLER (2001) konnten RI-Umfangsmoden der Ordnung eins bis vier bestimmt werden. In ähn- lichen experimentellen Untersuchungen an einem Ringgitterwindkanal von PAR- DOWITZ ET AL. (2012) wurden Umfangsmoden bis zur Ordnung 13 detektiert, die in Verbindung mit RI stehen. MAILACH (2001) und KAMEIER (1994) benennen Umfangsmoden, die etwa der Hälfte der Schaufelzahl entsprechen. Bislang gibt es keine Forschungsergebnisse, die eine Aussage zulassen, woran die Anzahl der RI-Moden gekoppelt ist. Fragestellung 4: Woran ist die Anzahl der RI-Moden geknüpft? • Rotationsgeschwindigkeit der RI HERMLE (2014) und WEIDENFELLER (2001) können eine Rotationsgeschwindig- keit der RI bestimmen, die etwa 30 bis 40 % der Umfangskomponente des Zu- strömvektors beträgt. MAILACH ET AL. (2001) gibt hierbei einen Bereich von 50 bis 60 % der Rotorumfangsgeschwindigkeit an. KAMEIER UND NEISE (1997) er- mitteln Umlaufgeschwindigkeiten der RI, die im Intervall zwischen 32 und 50 % liegen. Fragestellung 5: Woran ist die Rotationsgeschwindigkeit des Phänomens RI ge- knüpft? 25 • Frequenzen der RI Typische Frequenzen der Rotierenden Instabilität sind im niederfrequenten Be- reich deutlich unterhalb der 1. BFF vorzufinden. Ebenso herrscht weitgehend Ei- nigkeit bezüglich der Verschiebung zu niedrigeren Frequenzen beim Androsseln sowie einer Verschiebung zu höheren Frequenzen bei steigender Mach-Zahl. HERMLE (2014) und WEIDENFELLER (2001) geben hierzu einen Bereich von 65 bis 270Hz bei Ma = 0, 4 bzw. 50 bis 200Hz bei Ma = 0, 34 und einer Inzidenz von i = 12◦ an. In Untersuchungen von ULBRICHT (2001) wird ein Frequenzbereich von 200 bis 500Hz bei ähnlicher Belastung angegeben. In Untersuchungen an Rotoren liegen die der RI zugeordneten Frequenzbänder zwischen 25 % (MAI- LACH (2001) und 68 % (SCHRAPP ET AL. (2008)) der 1. BFF. WEIDENFELLER (2001) vermutet, dass der relevante Frequenzbereich vom Kopfspalt abhängt. Fragestellung 6: Wovon ist das Frequenzniveau der Rotierenden Instabilität ab- hängig? Fragestellung 7: Kann der Frequenzbereich bei Kenntnis der relevanten Parame- ter vorausgesagt werden? 26 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK 4. Grundlagen der Strömungsmechanik In diesem Kapitel werden zunächst die elementaren Grundgleichungen der numeri- schen Strömungsmechanik für laminare und turbulente Strömungen vorgestellt. Hier- bei handelt es sich um die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie. An- schließend wird in Kapitel 4.2 auf turbulente Strömungen eingegangen und das Mo- dell der Energiekaskaden vorgestellt. Werden alle Raum- und Zeitskalen bis hin zur Kolmogorov-Länge diskretisiert, so handelt es sich um eine direkte numerische Simu- lation (DNS), welche sehr zeit-, leistungs- und rechenintensiv ist. Neben der DNS kön- nen turbulente Strömungen ebenfalls durch eine Large Eddy Simulation (LES) oder die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) berechnet werden. Bei der LES oder Grobstruktursimulation wird die dreidimensionale instationäre Entwicklung großer, energietragender Wirbel aufgelöst. Kleinere dissipative Wirbel werden durch ein Modell berücksichtigt. Da die kleinsten turbulenten Strukturen nicht aufgelöst wer- den müssen, ergibt sich daraus ein bedeutender zeittechnischer Gewinn im Vergleich zu der DNS. Das am häufigsten angewandte numerische Verfahren wird in Abschnitt 4.3.1 beschrieben und basiert auf den Reynolds-gemittelten Navier-Stokes Gleichun- gen, wobei Strömungsgrößen in einen Mittelwert und in einen Fluktuationsanteil zer- legt werden. Bei diesem Ansatz wird das gesamte Turbulenzspektrum durch ein sta- tistisches Modell beschrieben. Folglich werden turbulente Strukturen und Bewegungen nicht aufgelöst. Nur zeitliche Änderungen der mittleren Strömung können anhand einer URANS-Rechnung dargestellt werden. Hierbei kann mit einer gröberen Auflösung ge- arbeitet werden, wodurch sich der numerische Aufwand reduziert. Im Vergleich zu einer LES ergeben sich hierbei deutlich attraktivere Rechenzeiten bei einer ingenieursmäßig vertretbaren Genauigkeit. Zusätzlich wurden weitere Verfahren im Bereich zwischen RANS und LES entwickelt, die die Vorteile beider Methoden zu kombinieren versuchen. Hierbei handelt es sich um die Detached-Eddy-Simulation oder Delayed-Detached- Eddy-Simulation, bei der in den Randbereichen mit einer RANS-Formulierung und in wandfernen Gebieten mit einer LES-Methode gearbeitet wird. Das Unterkapitel 4.3.2 4.1. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN 27 stellt die Grundidee dieses hybriden Verfahrens vor. 4.1. Erhaltungsgleichungen Unter dem Begriff der Erhaltungsgleichungen der Strömungsmechanik wird die mathe- matische Formulierung für Masse (Gleichung (4.1)), Impuls (Gleichung (4.2)) und Ener- gie (Gleichung (4.3)) verstanden. Sie basieren auf einer kontinuumsmechanischen Betrachtungsweise und bilden zusammen mit Stoffgesetzen die Grundlage, um Strö- mungsvorgänge von Fluiden zu beschreiben, FERZIGER UND PERI ´C (2008); LAURIEN UND OERTEL (2009). ∂ρ ∂t + ∂(ρvi) ∂xi = 0 (4.1) ∂(ρvi) ∂t + ∂(ρvivj) ∂xj = ∂Sij ∂xj + ρfi (4.2) ∂(ρe) ∂t + ∂(ρvie) ∂xi = Sij ∂vj ∂xi − ∂hi ∂xi + ρq (4.3) Hierbei entspricht ρ der Dichte, t der Zeit und vi = (u, v, w)T dem Geschwindigkeits- vektor mit den Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. In der Impuls- und Energieerhaltung (Gleichung (4.2) und Gleichung (4.3)) beschreibt Sij die Kom- ponenten des Cauchy’schen Spannungstensors S mit den Schub- (i = j) und den Normalspannungen (i = j). In dieser Form der Darstellung beinhaltet der Spannungs- tensor S den kugelsymmetrischen thermodynamischen Druckanteil. Mit der Definiti- on der materiellen Zeitableitung sowie dem Reynoldschen Transporttheorem und dem Gauß’schen Integralsatz, siehe Anhang A, können die Gleichungen in integraler oder differentieller Form bezüglich eines mitbewegten (Lagrange’sche Betrachtungsweise) oder ortsfesten (Eulersche Betrachtungsweise) Koordinatensystems formuliert wer- den. 28 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK 4.2. Turbulente Strömung Die eben vorgestellten Erhaltungsgleichungen beschreiben das Verhalten eines Flui- des vollständig und sind somit für alle Strömungsformen gültig. In der Literatur werden oft die Begriffe laminar und turbulent zur Kategorisierung von Strömungen genutzt, wo- bei es im Allgemeinen schwer ist Turbulenz konkret zu definieren, da es sich um einen Sammelbegriff für bestimmte Strömungseigenschaften handelt und nicht die Turbu- lenz gibt, FRÖHLICH (2006). In TENNEKES UND LUMLEY (1972) wird beispielsweise eine Strömung als turbulent erachtet, wenn Regellosigkeit, dreidimensionale instatio- näre Wirbelbewegungen, Dissipation und Mehrskaligkeit vorliegen. Anhand dieser Be- grifflichkeiten wird schnell klar, dass es sich um ein sehr komplexes Phänomen handelt. Grundsätzlich hat sich eine Einteilung in laminare und turbulente Strömung anhand der Reynolds-Zahl Re, die dem Verhältnis von Trägheits- zu Reibungskräften entspricht, etabliert. Sie ist definiert als Re = c ν = Trägheitskräfte Reibungskräfte , (4.4) wobei c der Absolutgeschwindigkeit,  einer charakteristischen Länge der Geometrie und ν der kinematischen Viskosität des vorliegenden Fluides entspricht. Für eine Rohr- strömung liegt der kritische Wert bei etwa 2300 TRAUPEL (1982), für eine parallel ange- strömte ebene Platte bei 5 · 105, TRAUPEL (1982). Wird der Einfluss der Trägheitskräfte stärker, so nimmt die Strömung einen turbulenten Charakter an. Die viskosen Effekte spielen dann eine untergeordnete Rolle. In der Realität sind die meisten technisch interessanten Strömungen hochgradig tur- bulent. Das bedeutet, dass die Fluidteilchen einer unregelmäßigen, dreidimensionalen, instationären Bewegung unterliegen und somit ein sehr komplexes Verhalten aufwei- sen. Aufgrund dieser hohen Fluktuationsbewegung kommt es zu einer verstärkten tur- bulenten Diffusion, die von großer Bedeutung für Mischbewegungen und somit für den Verlauf der Strömung ist. Verglichen mit der molekularen Diffusion liegt die einer tur- bulenten Strömung um mehrere Zehnerpotenzen darüber, TENNEKES UND LUMLEY (1972). Die Basis der heutigen Turbulenzforschung wurde maßgeblich von Lewis Fry Richard- son bereits 1922 geschaffen, RICHARDSON (2007). Er stellte das Modell der Energie- 4.2. TURBULENTE STRÖMUNG 29 kaskaden auf, bei dem eine turbulente Strömung aus Wirbeln unterschiedlicher Größen besteht. Große energiereiche Strukturen, mit Längenskalen 0 vergleichbar zu geome- trischen Abmessungen, sind größtenteils durch die Vorgänge in der Hauptströmung beeinflusst und weisen eine anisotrope Struktur auf, POPE (2000). Durch den Zerfall dieser großen Wirbel in kleinere wird die Energie bis zu den kleinsten Skalen hindurch transportiert und dissipiert letztlich in Wärme. Diesen Vorgang beschreibt Richardson in RICHARDSON (2007) lyrisch mit dem folgenden Vers: ”Big whorls have little Whorls, Which feed on their velocity; And little whorls have lesser whorls, And so on to viscosity.” 4.2.1. Kolmogorov Hypothesen Aufbauend auf dem Modell von Richardson hat Kolmogorov die Idee der Energiekas- kaden weiterentwickelt und in Form von drei Hypothesen festgehalten, KOLMOGOROV (1941c,b,a, 1942b,a); POPE (2000). In Abbildung 4.1 ist ein Energiespektrum darge- stellt, das für den Kaskadenprozess typisch ist, bei dem niederfrequente energierei- che Wirbel in kleinere hochfrequente Strukturen zerfallen. Durch diesen chaotischen Zerfallsprozess geht nach KOLMOGOROV (1941c,b,a, 1942b,a) die anisotrope Struktur verloren, wodurch das Verhalten der kleinskaligen Wirbel als isotrop betrachtet werden kann (hypothesis of local isotropy), POPE (2000). Auf der Abzisse in Abbildung 4.1 ist die Wellenzahl κ aufgetragen (siehe Gleichung(4.5)), die sich aus dem Kehrwert der charakterischen Länge l eines Wirbels berechnet. (Als charakteristische Länge eines Wirbels wird oft der Durchmesser betrachtet). κ = 2π  (4.5) Kolmogorov unterscheidet hierbei zwischen einem energetischen Bereich und einem universellen Gleichgewichtsbereich, wobei dieser nochmals in einen Inertial- und in einen Dissipationsbereich eingeteilt werden kann. Diesen Gebieten können jeweils un- terschiedliche charakteristische Größen, Geschwindigkeiten und Zeitskalen zugeord- net werden. Die kleinsten Wirbel sind (bei hinreichend großer Reynolds-Zahl) allein von 30 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK 2π 60 62π 0 2π 60η 2π η 2π t 2π 0 Energetischer Bereich Inertial- bereich Gleichgewichtsbereich (universell) Dissipationsbereich E (κ ) [m 3 /s 2 ] κ [1/m] 100 100 10−2 10−4 10−6 10−8 10−10 10410310210110−1 E ∼ κ −5/3 E f0 fη Abb. 4.1.: Energiespektrum (rot) nach dem Modell von Kolmogorov (4.15) für  = 1, 0 = 1 und η = 0, 0005Pa · s. Zusätzlich ist in grün der Verlauf der Korrek- turfunktion f0 sowie in blau der Verlauf der Korrekturfunktion fη dargestellt. Die Reynolds-Zahlen betragen Re = 83994, Re0 = 25198 und Reλ = 409, 87. Darstellung i.A.a. FRÖHLICH (2006). der Dissipationsrate  und der kinematischen Viskosität ν abhängig und werden durch die folgenden Größen (Gleichung (4.7) bis Gleichung (4.8)) beschrieben, POPE (2000). Dabei entsprechen η, cη und τη der Länge, Geschwindigkeit und dem Zeitmaßstab der kleinsten Skalen. η = (ν2  )1/4 (4.6) cη = (ν) 1/4 (4.7) τη = (ν  )1/2 (4.8) 4.2. TURBULENTE STRÖMUNG 31 Dies wird in Kolmogorovs ersten Ähnlichkeitshypothese beschrieben (first similarity hypothesis). Die Reynolds-Zahl, die mit den charakteristischen Größen der kleinsten Skalen gebildet wird, beträgt 1. Somit wird deutlich, dass Zähigkeitseinflüsse in dem Dissipationsbereich dominieren und einen wesentlichen Einfluss haben, POPE (2000). Große energiereiche Strukturen liegen nach POPE (2000) in einem Bereich zwischen 2π 60 < κ < 6 2π 0 (4.9) und sind dementsprechend für den Hauptanteil des Energiespektrums verantwortlich. Hierbei entspricht 0 der charakteristischen Länge großer energiereicher Wirbel, wel- che vergleichbar mit einem sogenanntem integralen Längenmaß 0 ≈ L11 ist, siehe POPE (2000). (Dieses Längemaß wird nach POPE (2000) aus einer Autokorrelation der Geschwindigkeit an unterschiedlichen Positionen gewonnen und geht ursprüng- lich auf Taylor (1953) und van Kármán and Howarth (1938) zurück. POPE (2000) schätzt diesen Wert anhand der geometrischen Dimension des Problemgebietes mit L11 ≈ 0, 5L ab, wobei L eine charakteristische Größe des Problemgebietes ist). Die diesem Bereich zuzuordnende Reynolds-Zahl Ret bzw. Re0 kann anhand der Bezie- hung Ret = k1/2t ν ; Re0 = u′0 ν mit Ret ≈ Re0 3 (4.10) bestimmt werden. Dabei handelt es sich bei t um ein turbulentes Längenmaß, das nach POPE (2000) für große Reynolds-Zahlen (Re > 105) über die Beziehung 0 ≈ L11 ≈ 0.43t mit den zuvor erwähnten Längen in Zusammenhang steht. u′ entspricht dem Fluktuationsanteil der Geschwindigkeiten und kann nach POPE (2000) im Mittel durch u′ ≈ 0, 2u abgeschätzt werden. Demnach ist u′ in etwa eine Größenordnung ge- ringer verglichen mit der Absolutgeschwindigkeit der Freiströmung u. In Abbildung 4.1 kann anhand der x-Achse die jeweilige Einordnung dieser Längen (0, t, η) nachvoll- zogen werden. Sowohl bei Ret als auch Re0 handelt es sich um turbulente Reynolds- Zahlen, die dem Produktionsbereich zuzuordnen sind und sich nur hinsichtlich des Faktors 1/3 unterscheiden. Eine wichtige Beobachtung zwischen den kleinsten und größten Skalen ist, dass die kleinsten Skalen mit zunehmender Reynolds-Zahl kleiner werden. Dies folgt nach PO- PE (2000) und FRÖHLICH (2006) aus der Grundvoraussetzung der Kolmogorov’schen Theorie, dass sich Produktion und Dissipation von turbulenter Energie gerade im Gleich- gewicht ( ∼ u30/0) befinden. Nach POPE (2000) kann daraus folgender Zusammen- 32 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK hang für das Verhältnis der Kolmogorov-Länge bezogen auf die Länge der energierei- chen Wirbel angegeben werden: η 0 = Re −3/4 0 . (4.11) Die zweite Ähnlichkeitshypothese Kolmogorovs (second similary hypothesis) beschreibt die Abhängigkeit für Skalen größer als η, aber kleiner als 0. Diese Strukturen sind (bei hinreichend großen Reynolds-Zahlen) in dem sogenannten Trägheits- oder Inertialbe- reich alleine von der Dissipationsrate  und nicht mehr von der kinematischen Viskosität abhängig. Nach POPE (2000) liegt dieser Bereich in dem Intervall 6 2π 0 < κ < 1 60 2π η . (4.12) Für dieses Gebiet lässt sich ebenfalls eine charakteristische Länge (Taylor-Länge) λ definieren, wobei diese mit Hilfe der turbulenten kinetischen Energie k, der kinemati- schen Viskosität ν und der Dissipationsrate  berechnet werden kann: λ = 10νk  1/2 . (4.13) Die mit der Taylor-Länge gebildete Reynolds-Zahl steht mit der turbulenten Reynolds- Zahl und der Reynolds-Zahl der Freiströmung über die Beziehung Reλ = √ 2Re = √ 20/3Re0 (4.14) in Zusammenhang und kann anhand dieser Größen abgeschätzt werden. 4.2.2. Kolmogorov Energiespektrum Das auf diesen Ähnlichkeitshypothesen basierende räumliche Energiespektrum homo- gener isotroper Turbulenz E(κ) wurde bereits in Abbildung 4.1 gezeigt. Es ist von der Wellenzahl κ abhängig und besitzt die folgende Form: E(κ) = C2/3κ−5/3f0(κ, 0)fη(κ, η) f0(κ0) = ( κ0 ((κ0)2 + c0)1/2 )5/3+p0 fη(κη) = e −β (( (κη)4+c4η )1/4 −cη ) (4.15) 4.2. TURBULENTE STRÖMUNG 33 mit den Koeffizienten C = 1, 5 ; p0 = 2 ; cη = 0, 4 ; β = 5, 2 ; c0 = 6, 78. Anhand der Gleichung (4.15) und Abbildung 4.1 ist zu erkennen, dass für große κ- Werte die Funktion f0 gegen den Wert 1 strebt und somit hauptsächlich für kleine κ-Werte von Bedeutung ist. Folglich entspricht f0 einer Korrekturfunktion für den ener- getischen Bereich. Umgekehrt fällt der Einfluss von fη für große Wellenzahlen mehr ins Gewicht, so dass diese Funktion als eine Korrektur für den Dissipationsbereich ge- sehen werden kann. In dem Inertialbereich (6 2π 0,430 < κ < 1 60 2π η ) hängt das Spektrum hauptsächlich von κ und  ab und folgt der Beziehung: E(κ) = C2/3κ−5/3. (4.16) Die Kolmogorov-Konstante C beträgt ≈ 1,5 und wurde anhand von Experimenten und numerischen Simulationen ermittelt, POPE (2000). Anhand eines Energiespektrums, wie es in Abbildung 4.1 dargestellt ist, kann mit Hilfe der Wellenzahl κ die räumliche Diskretisierung in Abhängigkeit des gewählten nume- rischen Verfahrens abgeschätzt werden. Nach POPE (2000) sollte für eine DES oder LES die Cut-Off-Wellenzahl κc so gewählt werden, dass 80 bis 90% des Energiespek- trums aufgelöst werden. Aus dem Kehrwert der Cut-Off-Wellenzahl kann anschließend die Cut-Off-Länge c = 2π/κc ermittelt werden. Um lc auf einem Rechengitter aufzu- lösen, lautet daher die Forderung bezüglich der Gitterweite Δ nach dem Sampling- Theorem HOFFMANN (2005) Δ ≤ lc 2 = π κc . (4.17) Allgemein ist das Spektrum nach Gleichung 4.15 von der Kolmogorov-Länge η, der Dissipationsrate  sowie der charakteristischen Länge energietragender Wirbel 0 ab- hängig. Eine Untersuchung dieser Abhängigkeiten auf das Energiespektrum ist im An- hang, B, zu finden. Ein zentrales Ergebnis ist, dass die Cut-Off-Länge c mit der der turbulenten Reynolds-Zahl Re0 skaliert. (Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass an- stelle der turbulenten Reynolds-Zahl auch andere Reynolds-Zahl Definitionen verwen- det werden können. Hierzu zählen beispielweise die Reynolds-Zahl der Freiströmung (Re) oder eine turbulente Reynolds-Zahl (Reλ), welche mit der sogenannten Taylor- Länge λ gebildet wird, POPE (2000).) An der Grundsätzlichen Aussage ändert sich jedoch bei Nutzung dieser Reynolds-Zahlen nichts. 34 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK Entsprechend der dargestellten Untersuchung besteht ein Zusammenhang zwischen der Cut-Off-Länge und der turbulenten Reynolds-Zahl, welcher in Abbildung 4.2 darge- stellt ist. Auf der x-Achse ist die turbulente Reynolds-Zahl Re0 und auf der y-Achse das Verhältnis m/c · 2π aufgetragen. Die eingetragenen Verläufe resultieren aus dem Mo- dell (4.15) nach POPE (2000) und veranschaulichen die notwendige Anzahl an Zellen in Abhängigkeit des Anteils aufgelöster Turbulenz. Exemplarisch sind vier Verläufe (für 75%, 85%, 95% und 100% aufgelöster isotroper Turbulenz) dargestellt. Der jeweilige Wert auf der y-Achse gibt an, wie viele Zellen der Größe c/2 benötigt werden, um die Länge m ·π so zu diskretisieren, dass der entsprechende Anteil des Energiespektrums wiedergegeben wird. Dabei entspricht m der Länge, bei der im Energiespektrum ein Maximum vorliegt und wird hier genutzt, um das Einzugsgebiet der Turbulenz abzuste- cken. Beispielsweise ergibt sich für Re0 = 105 bei 75% aufgelöster isotroper Turbulenz m/c · 2π ≈ 53. Das bedeutet, um 75% des Energiespektrums aufzulösen,muss das Gebiet (m ·π)3 mit 533 = 148877 Zellen der Größe c,75/2 diskretisiert werden. Bei 85% muss die Anzahl der Zellen in eine Richtung (ca. 106) ungefähr verdoppelt werden, wodurch sich die Anzahl im Raum um den Faktor 8 vergrößert. Diese Werte stehen im Einklang mit der Empfehlung von SPALART (2001), wenn die Abmessung der Fokus- Region nur 3m anstelle von (m · π)3 beträgt. Für 85% aufgelöste Turbulenz wird ein Richtwert von 323 Zellen angegeben. Wie in Abbildung 4.2 zu erkennen ist, nimmt das Verhältnis m/c · 2π sowohl mit der Reynolds-Zahl als auch mit dem Anteil aufgelöster isotroper Turbulenz zu. Interessant ist, dass bezüglich der Verläufe, bei denen weniger als 100% des Spektrums aufgelöst werden, ab einer Reynolds-Zahl von ca. 105 eine Sättigung erreicht wird. Ab dieser Reynolds-Zahl ist nach dem Pope’schen Modell eine weitere Netzverfeinerung nicht sinnvoll. Werden alle Skalen bis hin zur Kolmogorov- Länge diskretisiert (c = η), so handelt es sich um eine direkte numerische Simulati- on, siehe Abbildung 4.2 (DNS 100%). Wie zu erkennen ist, steigt der Verlauf in dem doppelt-logarithmischen Diagramm linear mit der Reynolds-Zahl an, ohne dass eine Sättigungsgrenze erreicht wird. POPE (2000) bestimmt, in Anlehnung an die Bezie- hung (4.11), die notwendige Anzahl an Gitterpunkten N , den numerischen Aufwand M sowie die notwendige Rechenzeit td für eine DNS und kommt zu den Abschätzungen 4.2. TURBULENTE STRÖMUNG 35  m / c ·2 π Re0 LES 75% LES 85% LES 95% DNS 100% 100 102 102 103 104 104 105 106 106 107 Abb. 4.2.: Verlauf des Verhältnisses (m · π)/(c/2) in Abhängigkeit der turbulenten Reynolds-Zahl Re0 und des Anteils aufgelöster isotroper Turbulenz nach dem Modell von POPE (2000). Darstellung in Anlehnung an VAN RENNINGS (2016). Für die Verläufe wurde  = 1m2/s3, 0 = 1m und η = 0, 178Pa · s bis 0, 000001Pa · s gewählt. m entspricht der Länge, bei der im Spektrum das Maximum vorliegt. (4.18) bis (4.21). N3 ∼ 1, 60 η = 1, 6Re 3/4 0 (4.18) M ≈ 9, 2Re3/2λ (4.19) N3M ∼ 160Re30 (4.20) td ∼ (Re0 800 )3 (4.21) Zu berücksichtigen ist hierbei, dass der Zeitschritt an den Gitterabstand angepasst werden muss, so dass die Bedingung CFL ≤ 1 erfüllt wird. Für die Abschätzung des zeitlichen Aufwandes hat POPE (2000) eine Rechenleistung von 1 GigaFLOPS an- genommen. Nach dem heutigen Stand liegt die Rechenleistung bei 200 bis 600 Giga- 36 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK FLOPS, so dass die Berechnung bezüglich der Simulationsdauer mit dem Faktor 1/200 bzw. 1/600 multipliziert werden muss. Für die in dieser Arbeit relevanten Reynolds-Zahl Bereiche ergibt sich dennoch eine Dauer von mehreren Jahrzehnten, so dass eine DNS auch in ferner Zukunft nur für einfache Strömungsformen bei mäßigen Reynolds- Zahlen sinnvoll ist. In FREDERICH (2010) wurde eine ähnliche Herangehensweise vorgestellt, bei welcher das Modellspektrum genutzt wird, um ebenfalls eine Grenzlänge des Rechengitters im relevanten LES-Bereich zu berechnen. Demnach gibt der Autor einen Längenmaßstab der Größe c ≈ 0, 0012m als mindest einzuhaltende Gitterlänge an, um zu garantie- ren, dass turbulente energetische Strukturen aufgelöst werden. Aus der Arbeit geht nicht genau hervor, welchem Anteil aufgelöster Turbulenz die angegebene Gitterlän- ge entspricht. Allerdings heißt es in FREDERICH (2010), dass der Grenzwert sich na- he dem Dissipationsbereich befindet, so dass es sich wahrscheinlich um einen Anteil aufgelöster Turbulenz der Größenordnung 85 bis 90% handelt. Wird das in dieser Ar- beit vorgestellte Modellspektrum nach Kolmogorov genutzt, um für den gleichen Fall aus FREDERICH (2010) eine Grenzgitterlänge zu berechnen, so liegt dieser Wert bei 0,00129 m für 85% bzw. bei 0,0078 m für 90% aufgelöste Turbulenz und stimmt mit dem von FREDERICH (2010) angegebenen Wert (c = 0, 0012m) sehr gut überein. Folglich kann die genutzte Vorgehensweise auf Basis des Modellspektrums verwendet werden, um eine Cut-Off Länge zu berechnen oder um den Anteil aufgelöster Turbulenz eines Rechengitters abzuschätzen. Anmerkungen bezüglich des Energiespektrums Das im vorherigen Kapitel vorgestellte Modellspektrum ist nur dann gültig, wenn die An- nahmen, die getroffen wurden, erfüllt sind. Dabei handelt es sich um eine ausreichend hohe Reynolds-Zahl, statistische Stationarität sowie Isotropie. Während die meisten technisch relevanten Strömungen hinreichend hohe Reynolds-Zahlen aufweisen, ist die Bedingung der Isotropie in reiner Form oft nicht gegeben. Nach FRÖHLICH (2006) ist der Fall der isentropen Turbulenz am ehesten im Inneren der Strömung vorzufin- den. Insbesondere in Wandnähe nimmt die Anisotropie großer und mittlerer Skalen zu. Feine Skalen in diesem Bereich sind jedoch deutlich isotroper. 4.2. TURBULENTE STRÖMUNG 37 Die dritte Annahme, statistische Stationarität, bezieht sich auf den Energietransfer von großen zu kleineren Skalen. Dieser ist nur im Sinne des statistischen Mittels gültig und kann nicht auf lokale und momentane Situationen übertragen werden. Aus ZHOU (1993) ist bekannt, dass zeitweiser lokaler Energietransfer von kleinen zu großen Ska- len möglich ist (Backscatter ). Durch Berücksichtigung einer längeren Zeit sowie meh- rerer Punkte wird dies in den meisten Fällen jedoch kompensiert, so dass im Mittel große turbulente Strukturen zu kleineren zerfallen. Mögliche Diskrepanzen zwischen dem Modellspektrum und einem aus Numerik oder Experiment berechnetem Spektrum lassen sich in den meisten Fällen anhand der letz- ten beiden Aspekte erklären oder sind auf Modellierungsfehler zurückzuführen. 4.2.3. Taylor-Hypothese Nach TAYLOR (1938) besteht ein Zusammenhang zwischen räumlichen und zeitlichen Geschwindigkeitsfluktuationen, wenn der Fluktuationsanteil klein verglichen mit der entsprechenden Transportgeschwindigkeit der Wirbel ist. Unter dieser Voraussetzung kann die Turbulenz für einen kurzen Moment als eingefroren bezeichnet werden, wes- halb diese nach TAYLOR (1938) benannte Hypothese auch als frozen turbulence hy- pothesis bezeichnet wird. Folglich sind zeitliche Fluktuationen, die mit einer Sonde an einem Punkt gemessen werden, identisch zu den örtlichen Fluktuationen zu einem be- stimmten Zeitpunkt, FRÖHLICH (2006). Demnach besteht die Möglichkeit, die Spektren in Abhängigkeit der Wellenzahl κ oder der Frequenz f darzustellen, wobei beide durch den Zusammenhang (4.22) miteinan- der verbunden sind. v¯ ist in diesem Fall eine entsprechende Transportgeschwindigkeit der jeweiligen Wirbel. κ = 2π v¯ f (4.22) Allerdings ist die Ermittlung der entsprechenden Transportgeschwindigkeiten nicht ganz trivial (siehe DEL ALAMO UND JIMENEZ (2009); MOIN (2009); DAVOUST UND JACQUIN (2011)), weshalb in dieser Arbeit auf die Darstellung des turbulenten Energiespektrums in Abhängigkeit der Frequenz zurückgegriffen wird. Um aus Frequenzspektren eine Wellenzahl zu bestimmen, wird, wie in TOWNSEND (1980), die mittlere Strömungsge- schwindigkeit als Transportgeschwindigkeit genutzt. Es sei darauf hingewiesen, dass 38 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK dies insbesondere in Wandnähe zu großen Abweichungen führt und dort nicht zu emp- fehlen ist. 4.3. Turbulenzmodellierung Wie bereits zu Beginn des Kapitels 4 erwähnt, bietet es sich an, anstelle einer DNS gerade den kleinskaligen, universellen Gleichgewichtsbereich (siehe Abbildung 4.1) durch Modelle zu beschreiben und nur einen gewissen Anteil räumlich und zeitlich aufzulösen. Dies führt auf die Methoden der Large-Eddy-Simulation und der hybriden Verfahren, siehe Abbildung 4.3. Ein populärer Vertreter der hybriden Verfahren ist die Detached-Eddy-Simulation, die in dieser Arbeit hauptsächlich genutzt wird und auf de- ren Konzept in Abschnitt 4.3.2 kurz eingegangen wird. Sowohl bei LES als auch bei E (κ ) E (κ ) E (κ ) E (κ ) κ κκ κ aufgelöst aufgelöst aufgelöstmodelliert modelliert modelliert Abb. 4.3.: Schematische Darstellung des Anteils aufgelöster Turbulenz in Abhängigkeit des jeweiligen Verfahrens. Oben links: RANS, oben rechts: hybride Verfah- ren (DES/DDES), unten links: LES, unten rechts: DNS 4.3. TURBULENZMODELLIERUNG 39 hybriden Verfahren wird die dreidimensionale instationäre Entwicklung großer, ener- gietragender Wirbel aufgelöst. Kleinere dissipative Wirbel werden durch ein Modell berücksichtigt, woraus sich eine deutliche Reduktion des numerischen Aufwandes so- wie der Simulationsdauer im Vergleich zu einer DNS erzielen lässt. Dieser Aspekt wird anhand Abbildung 4.2, besonders bei hohen Reynolds-Zahlen, verdeutlicht. Während der numerische Aufwand mit der Potenz 3/4 skaliert, ist für die übrigen Verläufe, die nur einen gewissen Anteil des Spektrums auflösen, ab Re0 ≈ 105 eine Sättigung er- reicht. Wird das gesamte turbulente kinetische Energiespektrum durch entsprechende Glei- chungen modelliert, so gelangt man zu den RANS-Verfahren, welche auf einer statisti- schen Beschreibung der Strömung basieren und somit nicht in der Lage sind,Turbulenz exakt abzubilden. Nur der Einfluss der Turbulenz auf das mittlere Strömungsfeld und somit auf die Strömungsgrößen wird durch Turbulenzmodelle berücksichtigt. Daher sind die in einer zeitabhängigen RANS-Rechnung (URANS) zu erkennenden Verände- rungen der Strömungsgrößen Variationen des mittleren Strömungsfeldes und nicht zu verwechseln mit turbulenten Bewegungen SAGAUT ET AL. (2006). 4.3.1. Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen Details einer Strömung sind in den meisten Fällen nicht von Interesse, sondern charak- teristische Mittelwerte bzw. der Einfluss der Fluktuationsanteile auf diesen Mittelwert. Folglich kann eine Strömungsgröße in einen konstanten Anteil und in einen zeitlichen Schwankungsanteil aufgeteilt werden. Dieser Ansatz geht auf Reynolds (1895) zurück, welcher gleichzeitig der Namensgeber der daraus resultierenden Gleichungen ist. Es gibt zwei Arten der Turbulenz zwischen denen unterschieden wird. Entweder ist der Mittelwert statistisch stationär oder statistisch instationär, siehe Abbildung 4.4. Für den ersten Fall erhalten wir für eine betrachtete Strömungsgröße: φ(x, y, z, t) = φ¯(x, y, z) + φ′(x, y, z, t). (4.23) Hierbei setzt sich der Momentanwert φ(x, y, z, t) aus dem zeitunabhängigen Mittelwert φ¯(x, y, z) und dem besagten Schwankungsanteil u(x, y, z, t) zusammen. Der Mittelwert an einem festen Ort für eine (im Mittel) stationäre Strömung lässt sich aus einer Zeit- 40 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK φ t φ t Abb. 4.4.: Links: Statistisch stationärer Mittelwert der Größe φ. Rechts: Statistisch in- stationärer Mittelwert der Größe φ. mittelung gewinnen: φ¯(x, y, z) = 1 T T∫ 0 φ(x, y, z, t) dt. (4.24) Für eine (im Mittel) instationäre Strömung bedient man sich der Ensemblermittelung. Hierbei hängt der Mittelwert einer Größe φ ebenfalls von der Zeit ab. φ(x, y, z, t) = lim N→∞ ( 1 N N∑ i=1 φ(i)(xi, yi, zi, t) ) (4.25) Eine Strömungsgröße φ wird n-mal an einem Ort x ermittelt und durch N dividiert. Die drei Geschwindigkeitskomponenten u, v, w, die Temperatur T und die innere Ener- gie e werden nach der Favre-Mittelung gemittelt. Hierbei werden zunächst die dichte- gemittelten Größen u˜ = ρ · u ρ¯ , v˜ = ρ · v ρ¯ , w˜ = ρ · w ρ¯ , T˜ = ρ · T ρ¯ , e˜ = ρ · e ρ¯ (4.26) eingeführt. Die Produkte mit dem Überstrich, z.B. ρ · u, lassen sich gemäß Gleichung (4.24) bzw. nach Gleichung (4.25) bestimmen. Der Druck p und die Dichte ρ werden hierbei nicht dichtegemittelt. Nach dem Reynold’schen Ansatz ergeben sich die unbe- 4.3. TURBULENZMODELLIERUNG 41 kannten Größen zu: ρ = ρ¯+ ρ′ , p = p¯+ p′ u = u˜+ u′′ , v = v˜ + v′′ , w = w˜ + w′′ T = T˜ + T ′′ , e = e˜+ e′′ (4.27) Wird der Ansatz nach Gleichung (4.23) auf die Größen in den Erhaltungsgleichun- gen angewandt, so ergeben sich nach LAURIEN UND OERTEL (2009) die Reynolds- gemittelten Erhaltungsgleichungen. Durch die Mittelung entstehen turbulente Zusatz- terme (−ρv′′i v′′j ) in den Erhaltungsgleichungen. Diese unbekannten Terme werden als Reynoldsspannungen bezeichnet. Hierbei handelt es sich um einen symmetrischen Tensor mit sechs neuen Unbekannten. Die Anzahl der unbekannten Größen in den Erhaltungsgleichungen ist größer als die Anzahl der Gleichungen. Es kommt daher zu einem Schließungsproblem. Um die Gleichungen dennoch lösen zu können, wer- den zusätzliche Informationen benötigt. Die Bestimmung der Reynoldsspannungen muss einerseits das Gleichungssystem schließen und andererseits die Physik der Strömung so gut wie möglich wiedergeben. Hierfür werden Turbulenzmodelle verwen- det. URANS Das Ergebnis einer RANS-Rechnung ist ein mittleres Strömungsfeld, bei welchem das gesamte Turbulenzspektrum durch Modelle beschrieben wird. Aufgrund eines zeitab- hängigen Terms in den RANS-Gleichungen ist es jedoch möglich, instationäre Simula- tionen durchzuführen, sofern das Mittlungsintervall groß im Vergleich zum turbulenten Zeitmaßstab ist, siehe RUNG (2000). Kann dies gewähr- leistet werden, wird innerhalb einer URANS-Simulation eine Strömungsgröße durch einen Mittelwert, einen aufgelösten großskaligen und einen modellierten kleinskali- gen Fluktuationsanteil dargestellt. Problematisch wird es, wenn das Mittlungsintervall von ähnlicher Größenordnung ist verglichen mit dem turbulenten Zeitmaßstab. Die ge- nutzten statistischen Turbulenzmodelle basieren auf statistisch stationären Strömun- gen. Kommt es zu einer Überlappung der Zeitskalen, so kann diese Trennung nicht mehr gewährleistet werden und es kommt hinsichtlich der Turbulenzmodellierung zu Konflikten. KNACKE (2015) weist darauf hin, dass dies, insbesondere bei abgelösten Strömungen, kaum zu gewährleisten ist, da sich Frequenzen turbulenter Bewegungen 42 4. GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK naturgemäß mit der instationären Grundströmung überlagern, siehe Ka´rma´nsche Wir- belstraße. 4.3.2. Detached-Eddy-Simulation (DES) Die folgenden Ausführungen und Erklärungen der DES-Methode basieren hauptsäch- lich auf FRÖHLICH (2006) und SPALART (2001). Bei einer DES-Methode handelt es sich um ein von SPALART ET AL. (1997) entwickeltes hybrides Verfahren, welches im wandnahen Bereich eine RANS-Formulierung und in wandfernen Gebieten einen LES- Ansatz nutzt. Folglich sieht das Konzept der DES vor, die wandnahe Schicht mit den anliegenden Wirbel statistisch zu modellieren, während abgelöste Wirbel (detached) in wandfernen Gebieten räumlich und zeitlich direkt aufgelöst werden. Die DES-Version, welche in der genutzten Software FineTM/Turbo implementiert ist, basiert auf dem sta- tistischen Spalart-Allmaras (SA) Turbulenzmodell SPALART UND ALLMARAS (1992). Hierbei wird die Gesamtheit der Turbulenz durch einen Wirbelviskositätsterm, der in die Impulsgleichung einfließt, repräsentiert. Als Längenmaß wird innerhalb dieses Mo- dells der Wandabstand d verwendet. Um eine von der Gitterauflösung abhängige Turbulenzmodellierung im Inneren der Strömung zu erreichen, schlägt SPALART ET AL. (1997) vor, das Längenmaß d im De- struktionsterm des SA-Modells durch ein Maß für die Gitterweite Δ multipliziert mit ei- ner Konstanten CDES auszutauschen. In Wandnähe soll jedoch weiterhin mit der phy- sikalischen Länge des Wandabstandes d gerechnet werden. Hieraus ergibt sich die folgende Vorschrift: d˜ = min(d, CDESΔ) , Δ = max(Δx,Δy,Δz). (4.28) Der neue Wandabstand des Turbulenzmodells d˜ entspricht in Wandnähe (d < ΔCDES) dem ursprünglichen Wandabstand d und in allen anderen Bereichen (d > ΔCDES) dem gitterabhängigen Produkt ΔCDES. Die Konstante CDES wurde durch Kalibrierung mittels isotroper Turbulenz bestimmt und beträgt 0,65, NUMECATM (2014). FRÖHLICH (2006) weist darauf hin, dass dieses Modell gewisse Ähnlichkeit zu einem Zweischichten-Turbulenzmodell besitzt. Der Unterschied liegt jedoch darin, dass bei einer DES kein Sprung in der Gitterschrittweite vorliegt. Der Übergang erfolgt kontinu- ierlich. 43 5. Grundlagen der Signalanalyse Im folgenden Abschnitt werden die relevanten Grundlagen der Signalanalyse eindi- mensionaler Signale, basierend auf den Werken von MEYER (2006), HOFFMANN (2014) und BENDAT UND PIERSOL (1980), zusammengefasst. Eindimensional meint hierbei die Abhängigkeit der Funktion nur von der Zeit t. Allgemein kann die Analyse eines Si- gnals im Zeit- aber auch im Frequenzbereich stattfinden. Eine Überführung der Mess- daten in den Frequenzbereich hat sich in der Praxis als nützlich erwiesen, um Cha- rakteristiken der Signalverläufe zu identifizieren. Die Grundlagen der Spektralanalyse basieren auf der Fourier-Reihe, welche nach Jean Baptiste Joseph Fourier benannt wurde, der sich bereits Anfang des 18. Jahrhunderts mit dieser Thematik beschäftigte. Er behauptete, dass sich periodische Funktionen durch Überlagerung harmonischer Schwingungen rekonstruieren lassen. Mit Hilfe der Fourier-Reihe ist es möglich, für ein zeitkontinuierliches periodisches Si- gnal eine spektrale Amplitudenverteilung zu generieren. Nichtperiodische (aperiodi- sche) Signale können nicht durch die Fourier-Reihe beschrieben werden. Jedoch ist es möglich durch einen Kunstgriff die Fourier-Reihe in ein Integral zu transformieren, das eine Vorschrift liefert, um aperiodische zeitkontinuierliche Signale in den Frequenz- bereich zu überführen. Diese Vorschrift wird Fourier-Transformation genannt. Messtechnisch oder numerisch erfasste Signale entsprechen einer Reihe diskreter Werte zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Die Berücksichtigung dieser Tatsache führt bezüglich aperiodischer Signale bei unendlich vielen Abtastwerten zu der Fourier- Transformation für Abtastsignale (FTA). Oft ist auch die Bezeichnung Discrete Time Fourier transformation (DTFT) in der Literatur zu finden. Letztlich kann, meist aufgrund von Hardware-Limitationen, jedoch nur eine begrenzte Anzahl an Werten erfasst wer- den, so dass sich hieraus die diskrete Fourier Transformation (DFT) ableitet. Sie ent- spricht der Transformationsvorschrift periodischer, zeitdiskreter Signale. 44 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE 5.1. Signalanalyse im Zeitbereich Im Zeitbereich werden häufig die Auto- und Kreuzkorrelationsfunktion zur Beschrei- bung und Charakterisierung von Leistungssignalen genutzt. Dabei ist die Autokorrela- tionsfunktion wie folgt definiert: γxx = lim T→∞ Rxx(τ) = lim T→∞ 1 2T ∫ T −T x(t)x(t+ τ) dt. (5.1) Hierbei wird das Signal x(t) mit sich selbst verglichen, wobei der Parameter τ beide Funktionen gegeneinander verschiebt. Für den Grenzwert T → ∞ entspricht die Funk- tion Rxx(τ) der korrekten Autokorrelationsfunktion, siehe HOFFMANN (2011). Gleichung (5.1) ist der Faltung x(t) ∗ x(t) = 1 T ∫ T 0 x(τ)x(t− τ) dtau ähnlich, darf aber nicht mit ihr verwechselt werden. Der Unterschied liegt in dem Vor- zeichen der Verschiebung τ . Bei der nachfolgenden Berechnung des Kreuzleistungs- dichtespektrums, ist dies von Bedeutung. Die Kreuzkorrelationsfunktion berechnet sich nach γxy = lim T→∞ Rxy(τ) = lim T→∞ 1 2T ∫ T −T x(t)y(t+ τ) dt. (5.2) Auch hier entspricht Rxy(τ) erst bei der Grenzwertbetrachtung der korrekten Kreuz- korrelationsfunktion. In Abhängigkeit des Parameters τ , der beide Funktionen gegen- einander verschiebt, nimmt das Produkt aus x und y ein Maximum an, wenn beide Funktionen die größtmögliche Übereinstimmung aufweisen. Folglich kann mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion, die Ausbreitungsrichtung und -geschwindigkeit eines Si- gnals untersucht werden. 5.2. Signalanalyse im Frequenzbereich Analog zur Signaluntersuchung im Zeitbereich mittels Autokorrelations- bzw. Kreuz- korrelationsfunktion besteht die Möglichkeit, die Fourier-Transformierte beider Korrela- tionsfunktionen im Frequenzbereich zu betrachten. Im Ergebnis ergibt sich daraus eine 5.2. SIGNALANALYSE IM FREQUENZBEREICH 45 auf die Frequenz bezogene Leistung, die gemäß Tabelle F.2 die Dimension Leistung·Zeit hat. Basierend auf Gleichung (5.1) und (5.2) ergeben sich unter Zuhilfenahme der kon- tinuierlichen Fourier-Transformation für die Grenzwertbetrachtung T → ∞ die zwei- seitige Auto- (5.3) und die zweiseitige Kreuzspektraldichtefunktion (5.4), HOFFMANN (2011); BENDAT UND PIERSOL (1980). Im Anhang C sind die Grundlagen der Trans- formation in den Frequenzbereich in Abhängigkeit der Signaleigenschaften kontinuiert- lich/diskret und periodisch/aperiodisch bereitgestellt. Sxx(ω) = lim T→∞ ∫ T −T Rxx(τ)e −jωτ dτ = ∫ ∞ −∞ γxx(τ)e −jωτ dτ (5.3) Sxy(ω) = lim T→∞ ∫ T −T Rxy(τ)e −jωτ dτ = ∫ ∞ −∞ γxy(τ)e −jωτ dτ (5.4) Neben der zweiseitigen Formulierung, welche auch für negative Frequenzen definiert ist, ist es in der Praxis üblich, mit dem einseitigen Spektrum zu arbeiten, das wie folgt definiert ist: Gxx = 2Sxx = 2 ∫ ∞ −∞ γxx(τ)e −jωt dτ = 2 T |X(ω)|2, (5.5) Gxy = 2Sxy = 2 ∫ ∞ −∞ γxy(τ)e −jωt dτ = 2 T X∗(ω)Y (ω), (5.6) wobei X∗(ω) dem konjugiert Komplexen der Fourier-Transformierten entspricht. Für die Gleichung (5.3) bzw. (5.5) existieren verschiedene Bezeichnungen. So sind häufig in der Literatur verwendete Begriffe: Autospektraldichtefunktion (eng.: autospectral densi- ty function), Autospektrum (eng.: autospectrum), Leistungsdichtespektrum (LDS) oder Autoleistungsspektrum (eng.: power spectral density (PSD)). Analog dazu werden die Gleichungen (5.4) bzw. (5.6) Kreuzspektraldichte(funktion), Kreuz(leistungs)spektrum oder auch Leistungsdichtespektrum genannt. Im weiteren Verlauf der Arbeit werden ausschließlich die Begriffe Auto- und Kreuzleistungsspek- trum verwendet, um Verwirrungen zu vermeiden. Anhand der Kreuzleistungsspektren können Signalanteile identifiziert werden, die in beiden Funktionen enthalten sind. Zu- dem lässt sich die Stärke dieser Korrelation durch die sogenannte Kohärenz quantifi- zieren. Der Zusammenhang zwischen der Autokorrelationsfunktion und dem Autoleistungs- spektrum wird als Wiener-Khintchine-Theorem bezeichnet. Für ein besseres Verständ- nis werden die wesentlichen Rechenschritte am Beispiel der Kreuzkorrelationsfunktion 46 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE aufgezeigt. In der Realität liegen Messreihen vor, die zeitlich begrenzt sind und folglich nur einem Auschnitt entsprechen. Je länger die Messdauer ist, desto größer ist die Übereinstimmung zwischen Rxy(τ) und γxy(τ). Demnach liefert eine endliche Mess- dauer nur eine Schätzung des Kreuzleistungsspektrums lim T→∞ Rxy(τ) = lim T→∞ 1 2T ∫ T −T x(t)y(t+ τ) dt = γxy(τ) Sxy(ω) ∼= ∫ T −T Rxy(τ)e −jωτ dτ Sxy(ω) ∼= ∫ T −T 1 2T ∫ T −T x(t)y(t+ τ) dt e−jωτ dτ. Durch das Vertauschen der Reihenfolge der Integration und Nutzung der Beziehung∫ T −T y(t+ τ) dτ = Y (ω) · ejωt folgt für Sxy(ω) Sxy(ω) ∼= 1 2T ∫ T −T x(t) ∫ T −T y(t+ τ) e−jωτ dτ︸ ︷︷ ︸ Y (ω)·ejωt dt Sxy(ω) ∼= 1 2T ∫ T −T x(t)Y (ω) · ejωt dt Sxy(ω) ∼= 1 2T Y (ω) ∫ T −T x(t) · ejωt dt︸ ︷︷ ︸ X∗(t) Sxy(ω) ∼= 1 2T X∗(ω)Y (ω) Gxy(ω) ∼= 1 T X∗(ω)Y (ω). Da die Kreuzkorrelationsfunktion über zwei Perioden definiert ist, wird durch 2T di- vidiert. Bei BENDAT UND PIERSOL (1980) wird beispielsweise nur über eine Periode integriert, so dass mit dem Faktor 1/T multipliziert wird. In der Praxis wird häufig die Darstellung Gxy = |Gxy(ω)|e−jΦyy(ω) (5.7) 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 47 mit |Gxy(ω)| = √ Re[Gxy(ω)]2 + Im[Gxy(ω)]2 Φxy = arctan Im[Gxy(ω)] Re[Gxy(ω)] (5.8) verwendet. Das Betragsspektrum liefert Informationen bezüglich Frequenzkomponen- ten, die in beiden Signalen vorhanden sind. Auf Basis des Phasenspektrums kann die Ausbreitungsrichtung dominanter Frequenzen benannt werden. Die Kohärenzfunk- tion γ2 = |Gxy(ω)|2 Gxx(ω)Gyy(ω) (5.9) liefert zusätzlich ein Maß, das angibt, wie sehr sich die Signale ähneln, wobei das Maximum der Kohärenz bei 1 liegt. In diesem Fall sind die Signale vollkommen iden- tisch. 5.3. Methode zur Frequenz- und Modenanalyse rotieren- der Phänomene im Strömungsfeld Im folgenden Abschnitt wird auf Basis der eben gezeigten Signalanalysetechniken eine Methodik vorgestellt, mit deren Hilfe Charakteristiken der Rotierenden Instabilität be- stimmt werden können. Allgemein ist die Rotierende Instabilität, wie bereits erwähnt, ein in Umfangsrichtung rotierendes, pulsierendes, teilperiodisches Phänomen, bei wel- chem jeder Frequenzpeak der breitbandigen Amplitudenerhöhung in einem Druck- oder Geschwindigkeitsspektrum einer Umfangsmode zugeordnet werden kann. An- ders gesagt, besteht die RI aus einer Überlagerung mehrerer Umfangsmoden, wel- che jeweils durch eine Modenordnung, eine Rotationsfrequenz und eine Pulsationsfre- quenz definiert ist. Um ein solches Phänomen zu detektieren und zu untersuchen, ist eine Auswerte- methodik notwendig, die folgendes leistet bzw. berücksichtigt: • Identifikation dominanter Frequenzen 48 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE • Umlaufrichtung und -frequenz • Pulsationsfrequenz • Modenordnung der dominanten Frequenzpeaks • zeitlicher Verlauf der Moden • räumliche Lage der Moden Anhand eines analytischen Modells wird die Methodik vorgestellt und validiert. 5.3.1. Modell Das analytische Modell basiert auf der Vorstellung eines Ringgitters, in welchem eine Umfangsmode rotiert und pulsiert, wobei zur Messung dieser Mode eine bestimmte Anzahl an Sensoren verwendet wird, siehe Abbildung 5.1. Der Radius, auf dem die Sensoren liegen, entspricht 1m. Die eingezeichneten Kreise, welche die Umfangsmo- de einschließen, entsprechen der maximalen Amplitude (0, 2m) und dienen als Hilfs- linien. In Abbildung 5.1 entspricht das linke Bild dem Zustand zum Zeitpunkt t = 0 s und das rechte Bild zeigt den Zustand zum Zeitpunkt t = 4ms. Die Umfangsmode ent- spricht einer fiktiven Strömungsgröße, welche durch drei Parameter (Modenordnung, Rotations- und Pulsationsfrequenz) definiert ist. 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 49 Mit Hilfe der Zusammenhänge: Ψx(t, ϕ) = Ψ(t, ϕ) · sin(ϕ) (5.10) Ψy(t, ϕ) = Ψ(t, ϕ) · cos(ϕ) (5.11) kann eine solche Umfangsmode in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Ψ(t, ϕ) entspricht dabei dem Wert der Strömungsgröße, der von der Um- t = 0ms r = 1m t = 4ms r = 1m Abb. 5.1.: Analytisches Modell zur Analyse von Umfangsmoden in einem Ringgitter- windkanal. Der Verlauf der 5. Umfangsmode (rot) wird anhand von über den Umfang verteilten Sensoren (grün) detektiert. Links: Zeitpunkt t = 0ms, rechts: Zeitpunkt t = 4ms. fangsposition ϕ und der Zeit t abhängen kann, wobei ϕ im Intervall 0 bis 2π liegt und t ≥ 0 gilt. Zusätzlich sei erwähnt, dass in Ψ(t, ϕ) die drei Parameter (m, fRot und fPuls) enthalten sind, so dass sich folgender Ausdruck für den Radius aufstellen lässt: Ψ(t, ϕ) = Ψ0 +ΔΨ · cos ( 2 · π · t · fPuls ) · sin (m · (ϕ− 2 · π · t · fRot)). (5.12) Gleichung (5.12) kann unter Berücksichtigung der Beziehungen sin(ϕ) = cos(ϕ− π 2 ) cos(ϕ) = eiϕ + e−iϕ 2 (5.13) 50 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE auch in eine komplexe Form überführt werden, wobei der Realteil der komplexen Glei- chung (5.14) der Ausgangsform (Gleichung (5.12)) entspricht. Ψ(t, ϕ) = XΨRe { ei(2π·tfPuls+mϕ−2π·tfRot·m− π 2 ) } (5.14) Dabei wird XΨ als die komplexe Amplitude bezeichnet. Gleichung (5.14) entspricht der komplexen Darstellung einer in positiver (Umfangs-)Richtung laufenden Welle mit dem Zusatz einer Pulsation, welcher durch den Term 2πtfpuls in Gleichung (5.14) berücksich- tigt wird, vergleiche LERCH ET AL. (2009). Befindet sich an einer Umfangsposition ϕS1 ein virtueller Sensor ϕS1, so wird der durch den Sensor registrierte Verlauf durch die Gleichung: f(t, ϕS1) = √ Ψx(t, ϕS1)2 +Ψy(t, ϕS1)2 (5.15) beschrieben. Für die hier durchgeführten Untersuchungen an dem analytischen Modell werden 72 äquidistant über den Umfang verteilte Sensoren genutzt, wobei die Mess- rate dieser Sensoren 500 Hz und die Simulationszeit 4 s beträgt. 5.3.2. Methodik Auf Basis der zeitlichen Messwerte der über den Umfang verteilten Sensoren findet eine Auswertung und Analyse im Zeit- und Frequenzbereich statt, um die oben aufge- listeten Charakteristiken rotierender und pulsierender Umfangsmoden zu bestimmen. Insgesamt wird auf vier Ergebnisdarstellungen eingegangen, anhand welcher sich alle wesentlichen Charakteristiken bestimmen lassen. Als Beispiel dient hier ein Fall mit zwei Umfangsmoden, wobei die erste Mode die Ordnung m1 = 5 besitzt, mit 3Hz ro- tiert und mit 2Hz pulsiert. Die zweite Umfangsmode besitzt die Ordnung m2 = 2, rotiert mit 6 Hz und pulsiert mit 4 Hz. Zeitlicher Verlauf Auf Basis aller Sensordaten ist es möglich, den zeitlichen Verlauf einer Strömungsgrö- ße über den Umfang darzustellen, siehe Abbildung 5.2. Dabei entspricht die Abszisse 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 51 der Zeit, die Ordinate der Umfangsposition im Bogenmaß und die Farbcodierung der Amplitude. Diese Art der Darstellung eignet sich, um einen ersten Eindruck von dem t1 t2 t3 t4 0 2 4 6 0,10 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 ϕ [ra d ] t [ms] Am pl .[ m ] Abb. 5.2.: Zeitlicher Verlauf einer fiktiven Strömungsgröße auf Basis aller Umfangs- messpositionen. Strömungsfeld zu bekommen. Sind, wie hier dargestellt, umlaufende, wellenförmige Strukturen erkennbar, können die Modenordnung, die Rotationsrichtung sowie die Fre- quenz abgeschätzt werden. Zur Bestimmung der Modenordnung wird zu einem festen Zeitpunkt die Anzahl der Wellenberge oder -täler gezählt. In diesem Beispiel sind zum Zeitpunkt t1 fünf Wellentäler und zum Zeitpunkt t4 zwei Wellentäler vorhanden. Somit könnte eine Umfangsmode 5. und 2. Ordnung vorliegen. Diese Art der Bestimmung der Modenordnung ist nicht exakt und dient an dieser Stelle nur dazu, um einen ers- ten Eindruck von dem Strömungsfeld zu erhalten. Die Rotationsrichtungen sowie die -frequenzen können anhand des Verlaufs eines Wellenberges oder -tals mit positivem Zeitfortschritt bestimmt werden. Somit breiten sich beide Umfangsmoden in positiver Richtung aus und damit entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Ausbreitungsfrequenzen 52 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE werden anhand der verstrichenen Zeit und des Abstandes in Umfangsrichtung, welcher innerhalb dieses Zeitintervalls vorliegt, berechnet. In Abbildung 5.2 wandert ein Wellen- berg innerhalb des Zeitintervalls Δt1 = t2− t1 in Umfangsrichtung um ca. 85◦=(0, 472π) sowie im Zeitintervall Δt2 = t4 − t3 um ca. 105◦=(0, 583π). Mit Hilfe der Beziehung in Gleichung (5.16) f = 1 T = ω 2π = Δϕ 2πΔt (5.16) können die Rotationsfrequenzen berechnet werden. Das Ergebnis ist hierbei stark da- von abhängig, wie genau sich die Werte für t1 und t2 sowie für t3 und t4 ablesen lassen. In diesem Beispiel entspricht Δt1 = 0, 07 s und Δt2 = 0.05 s. Daraus ergeben sich die Rotationsfrequenzen frot,1 ≈ 3, 37Hz und frot,2 = 5, 83Hz. Ergänzend kann anhand der Darstellung in Abbildung 5.1 aufgrund der wellenförmigen Struktur auf eine pulsierende Umfangsmode geschlossen werden. Zeitlicher Verlauf der Umfangsmoden Um den zeitlichen Verlauf von Umfangsmoden zu erhalten, wird eine räumliche Fre- quenzanalyse auf Basis einer FFT durchgeführt. Dabei werden zu jedem Zeitschritt die Messwerte aller Sensoren zusammen betrachtet. Dies bedeutet, dass nicht die Zeit die abhängige Größe ist, sondern der Ort. Das Ergebnis ist also keine Frequenz, son- dern eine räumliche Wellenzahl κ, welche auch als Quotient aus Anzahl der Segmente mit einer Wellenlänge λ verstanden werden kann. Anders gesagt, gibt die Wellenzahl an, welche Moden auf der Länge des Umfanges vorhanden sind. Für das vorliegende Beispiel ist das Ergebnis einer räumlichen FFT in Kombination mit einem Hanning- Window als Fensterfunktion in Abbildung 5.3 dargestellt. Die x-Achse entspricht der Zeit, die y-Achse der Mode und die jeweilige Amplitude ist als Farbcode dargestellt. Wie in Abbildung 5.3 zu erkennen ist, liegt nach dieser Untersuchung eine Umfangsmode m1 = 2. und m2 = 5. Ordnung vor, wobei die zugehörige Amplitude 0, 2m beträgt und somit ebenfalls der Vorgabe entspricht. Die Anzahl der darstellbaren Moden ist nach dem Nyquist-Theorem auf die Hälfte der verwendeten Messstellen (36) in Umfangs- richtung beschränkt. Anhand der in Zeitrichtung unterbrochenen Linien der 2. und 5. Umfangsmode lässt sich die Vermutung einer pulsierenden Umfangsmode bestätigen. Die Pulsationsdauer entspricht für die 2. Umfangsmode fpuls,m1 = 2Hz und hinsichtlich der 5. Umfangsmode frot,m2 = 4Hz 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 53 0 0 5 10 15 20 25 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,00 0,10 0,20 m [− ] t [ms] Am pl .[ m ] Abb. 5.3.: Räumliche Frequenzanalyse mittels FFT und einem Hanning-Window für den vorliegenden Testfall Kreuzleistungsspektrum (KLS) Das einseitige Kreuzleistungsspektrum nach Gleichung (5.7) wird zur Bestimmung do- minanter Frequenzen genutzt. Um zusätzlich eine Information über die Umfangsposi- tion dieser dominanten Frequenzen zu erhalten, wird eine Messposition als Referenz- punkt gewählt, während die zweite Messposition variabel ist. In Gleichung (5.17) KLS(f,Δϕ) = n∑ i=2 Gxy(f)  1 T X∗ref(f)Xi(f) (5.17) ist dies formelmäßig dargestellt. Basierend auf n Messpositionen (n = 72) werden Kreuzleistungsspektren bezüglich einer Referenzposition (Index: Ref) berechnet und in der Matrix KLS(f,Δϕ) gespeichert. Ergänzend sei erwähnt, dass zur Berechnung die- ser Spektren ebenfalls ein Hanning-Window genutzt wurde. Als Ergebnis liegen dann 54 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE Leistungsspektren für unterschiedliche Messstellenabstände Δϕ vor. Dies ist in Abbil- dung 5.4 ebenfalls anhand eines Konturplots visualisiert. Hierbei entspricht die x-Achse der Frequenz, die y-Achse dem Abstand zweier Messstellen und die Leistungsdichte der farblichen Kodierung. Deutlich zu erkennen sind vier dominante Frequenzen bei 8, 0 0 120 240 360 5 10 15 20 25 30 0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 Δ ϕ [◦ ] f [Hz] KL S [m 2 /H z] Abb. 5.4.: Kreuzleistungsspektrum des Beispielfalls für alle Messpositionsabstände Δϕ. 13, 16 und 17Hz, welche über den gesamten Umfang vorliegen. Die Ergebnisse der räumlichen und zeitlichen Frequenzanalyse lassen sich nicht ohne Weiteres mit diesen Ergebnissen kombinieren. Um eine Aussage treffen zu können, welche Umfangsmo- de welcher Frequenz zuzuordnen ist, wird der Phasenwinkel des Kreuzleistungsspek- trums herangezogen. 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 55 Modenspektrum Aus dem Kreuzleistungsspektrum lässt sich das Phasenspektrum anhand der Glei- chung (5.8) berechnen. Mit Hilfe der zusätzlichen Information des Abstandes zweier Sensoren Δϕ und dem eben berechneten Phasenwinkel Φxy(f) ist es möglich, das Mo- denspektrum zu bestimmen, indem Gleichung (5.18) genutzt wird m(f,Δϕ) = Φxy(f) Δϕ . (5.18) Dies geschieht für jede Sensorkombination aus einem Referenzsensor und allen übri- gen n Messpositionen, so dass sich die Matrix m(f,Δϕ) ergibt, siehe Abbildung 5.5. Hierbei muss jedoch beachtet werden, dass in Abhängigkeit des Abstandes der ver- wendeten Sensoren Δϕ nur Moden bis zu der Ordnung: ±m = 360 ◦ Δϕ · 1 2 (Nyquist-Theorem) (5.19) aufgelöst werden können. Liegen zwei Sensoren beispielsweise 1◦ auseinander, so können Moden bis maximal zur Ordnung ±180 aufgelöst werden. In Abbildung 5.5 entspricht die x-Achse der Frequenz, die y-Achse der Umfangsposition und die Mo- denordnung ist farblich gekennzeichnet. Bezüglich der vier dominanten Frequenzen liegen Moden = 0 vor, wobei die Frequenzen 8Hz und 16Hz für kleine Sensorab- stände der ersten Mode (m1 = 2) und die Frequenzen 3Hz und 17Hz der zweiten Mode (m2 = 5) zuzuordnen sind. Anhand dieser Darstellung ist es nun möglich, do- minante Frequenzen den entsprechenden Moden zuzuordnen. Der Übergang zu ne- gativen Modenordnungen bezüglich aller vier dominanter Frequenzen kann für jede Mode anhand der Gleichung (5.19) bestimmt werden, indem Δϕ und m vertauscht werden Δϕ = 360◦ 2 ·m. Für die erste Mode mit der Ordnung m1 = 2 ergibt sich somit ein erster Vorzeichen- wechsel bei Δϕ = 90◦ und hinsichtlich der zweiten Mode bei Δϕ = 36◦. Um eine andere Darstellung zu ermöglichen, wird die Matrix m(f,Δϕ) unter Beach- tung des Nyquist-Kriteriums neu sortiert. Hierzu werden alle Frequenzen und Senso- rabstände durchlaufen, wobei zunächst die Frequenz festgehalten und der Sensorab- stand variiert wird. Im Endeffekt wird geprüft, welche Moden sich in Abhängigkeit des Sensorabstandes darstellen lassen und welche tatsächlich vorliegen. Beispielsweise 56 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE 0 0 120 240 360 5 10 15 20 25 30 6 4 2 0 -2 -4 Δ ϕ [◦ ] f [Hz] Am pl .[ m ] Abb. 5.5.: Modenspektrum m(f,Δϕ) als Konturplot für den vorliegenden Testfall in Ab- hängigkeit der Frequenz und der Umfangsposition lässt sich eine Mode 5. Ordnung bis zu einem Sensorabstand von 36◦ darstellen. Läge bis zu diesem Sensorabstand ausschließlich eine Mode 5. Ordnung vor, so entsprä- che dies einer Häufigkeit von 1. Das Resultat dieser Neusortierung entspricht einer Art Häufigkeit, welche in Abbildung 5.6 dargestellt ist. Hierbei entspricht die x-Achse ebenfalls der Frequenz, die y-Achse der Modenord- nung und die Häufigkeit kann anhand der Farbe unterschieden werden. Anhand dieser Abbildung ist es nun möglich, die dominanten Frequenzen den einzelnen Moden zuzu- ordnen. Inhaltlich ist diese Darstellung natürlich der vorherigen (Abbildung 5.5) ähnlich. Jedoch besitzt diese Variante den Vorteil, dass sie um den Anteil bereinigt wurde, wel- cher das Nyquist-Theorem nicht erfüllt. 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 57 0 5 10 15 20 25 30 -8 -4 0 4 8 -0,2 0,2 0,6 1,0 H äu fig ke it[ −] m [-] f [Hz] Abb. 5.6.: Häufigkeit einzelner Moden als Konturplot in Abhängigkeit der Frequenz und der Modenordnung Berechnung der Rotationsfrequenz Ohne eine Pulsation (bzw. Schwebung) wäre nur eine Frequenz im Spektrum entspre- chend Gleichung (5.20) zu erkennen. f = m · frot (5.20) Dabei entspricht die zu messende Frequenz dem Produkt aus der jeweiligen Mode und der Rotationsfrequenz. Wird m in Gleichung (5.20) durch Gleichung (5.18) ersetzt und nach frot umgestellt, so ergibt sich die Beziehung (5.21), wobei Ω der Kreisfrequenz entspricht. frot = f ·Δϕ Φxy = Ω 2π (5.21) 58 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE Diese Gleichung ist identisch zu der von WEIDENFELLER (2001) verwendeten Variante zur Berechnung der Rotationsfrequenz. Dieser Ausdruck berücksichtigt jedoch nicht den Fall, dass eine Pulsation bzw. Schwebung vorliegen kann. Infolge der Pulsation bzw. Schwebung kommt es zu einer Verschiebung der gemessenen Frequenz in posi- tive und negative Richtung, so dass im Spektrum anstelle einer, zwei Frequenzen einer Mode zugeordnet werden können. Die resultierenden Frequenzen ergeben sich nach Gleichung (5.22). f1 = m · frot + fpuls f2 = m · frot − fpuls (5.22) Zur Berechnung der Rotationsfrequenz im Falle einer Pulsation bzw. Schwebung wird Gleichung (5.23) genutzt. frot = f1 + f2 2 ·m frot = f1 + f2 2 · Φxy Δϕ = (f1 + f2) Δϕ 2 · Φxy (5.23) Gleichung (5.23) entspricht somit einer Erweiterung der Beziehung (5.22). Wie zu er- kennen ist, ergibt sich für die erste Mode m1 = 2 mit den Frequenzen f1 = 8Hz und f2 = 16Hz eine Rotationsfrequenz von frot = 6Hz. Hinsichtlich der zweiten Mode ergibt sich eine Rotationsfrequenz von frot = 3Hz. Dies entspricht exakt den vorgegebenen Werten. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass auf Basis einer räumlichen Fourier- Transformation sowie einer Kreuzleistungsspektralanalyse die vorgegebenen Umfangs- moden hinsichtlich ihrer charakteristischen Größen (Modenordnung, Rotations- und Pulsationsfrequenz) korrekt bestimmt werden können. Somit eignet sich die vorgestell- te Methodik zur Untersuchung der RI. 5.3.3. Testfall - Signalrauschen Die eben vorgestellte Methodik wird im Folgenden anhand eines Testfalles geprüft, bei welchem alle Sensordaten Zufallszahlen entsprechen. Es soll so sichergestellt werden, dass keine Scheineffekte, welche durch die Methode selber produziert werden, vorlie- gen. Bei völlig unkorrelierten Signalverläufen ist zu erwarten, dass keine dominanten 5.3. METHODE ZUR FREQUENZ- UND MODENANALYSE ROTIERENDER PHÄNOMENE IM STRÖMUNGSFELD 59 0 0 120 240 360 0,5 1,0 1,0 0,8 0,0 Am pl .[ m ] Δ ϕ [ra d] t [ms] 0 0 120 240 360 10 20 30 0,000 0,008 0,016 KL S [m 2 / H z ] Δ ϕ [◦ ] f [Hz] 5 10 15 20 25 0 0 0,5 1,0 0,00 0,10 0,20 Am pl .[ m ] m [-] t [ms] 0 10 20 30 -8 -4 0 4 8 -1,0 0,0 1,0 H äu fig ke it[ − ] m [-] f [Hz] Abb. 5.7.: Ergebnis der Frequenz- und Modenanalyse entsprechend der vorgestellte Methodik, basierend auf unkorrelierten Sensorsignalen. Dargestellt sind der zeitliche Verlauf aller 72 Messstellen (oben links), das Kreuzleistungsspek- trum (oben rechts), der zeitliche Modenverlauf (unten links) sowie das Mo- denspektrum (unten rechts). Frequenzen und Moden in den Ergebnissen erkennbar sind. Die Resultate dieses Test- falles sind in Abbildung 5.7 dargestellt. Oben links ist der zeitliche Verlauf aller verwendeten Sensoren als Konturplot darge- stellt. Entsprechend der Vorgabe unkorrelierter Zufallszahlen als Sensordaten ist kein umlaufendes Phänomen zu erkennen, sondern, wie zu erwarten, ein Signalrauschen. Ebenso lassen sich weder im Kreuzleistungsspektrum (oben rechts in Abbildung 5.7) noch im Verlauf der zeitlichen Modenordnung (unten links) irgendwelche Auffälligkeiten oder Charakteristiken erkennbar. Gleiches gilt für das Modenspektrum (unten rechts). Somit lässt sich zusammenfassend konstatieren, dass die vorgestellte und geteste- 60 5. GRUNDLAGEN DER SIGNALANALYSE te Methodik geeignet ist, eine Frequenz- und Modenanalyse auf Basis von über den Umfang verteilten Sensoren durchzuführen. 61 6. Verwendete Software und Hardware Im folgenden Kapitel wird in kurzen Zügen auf die verwendete Soft- und Hardware ein- gegangen. Bei der Software handelt es sich um ein kommerzielles CFD-Programm der Firma NUMECA. Hinsichtlich der Hardware wird der Hochleistungsrechner der Tech- nischen Universität (TU) Darmstadt genutzt. Neben einer Beschreibung der an der TU Darmstadt vorhandenen computertechnischen Infrastruktur wird insbesondere auf die Skalierbarkeit der verwendeten CFD-Software eingegangen. 6.1. Software Für die numerischen Berechnungen werden zwei CFD-Programme der Firma Nume- ca verwendet. Einerseits wird das speziell für Turbomaschinen geeignete Programm FineTM/Turbo und andererseits das Programm FineTM/Open genutzt. Bei letzterem han- delt es sich im Gegensatz zu FineTM/Turbo um ein Verfahren das zur Lösung der approximierten Differentialgleichungen auf einen unstrukturierten Solver zurückgreift (NUMECATM (2005b)). Der Grund für die Nutzung von FineTM/Open in dieser Ar- beit liegt darin, dass in diesem Modul eine Delayed-Detached-Eddy-Simulation Me- thode implementiert ist. In FineTM/Turbo kann nur auf eine Detached-Eddy-Simulation zurückgegriffen werden. Der Unterschied beider Methoden wurde bereits in Kapitel 4.3.2 erläutert. Sowohl bei FineTM/Turbo als auch bei FineTM/Open werden die zeitabhängigen Navier- Stokes-Gleichungen durch eine Zellmittelpunkt basierte Finite-Volumen-Methode dis- kretisiert, wobei die konvektiven Flüsse über die Zellwände mit Hilfe eines Upwind- Verfahrens und die diffusiven Flüsse anhand eines zentralen Differenzverfahren be- rechnet werden. Die künstliche Dissipation zur Stabilisierung des numerischen Ver- 62 6. VERWENDETE SOFTWARE UND HARDWARE fahrens der konvektiven Fluss-Approximation, kann nach NUMECATM (2011) mit ei- nem zentralen Differenzenverfahren oder einem Upwind-Schema modelliert werden. Innerhalb dieser Arbeit wurde die von NUMECATM (2011) empfohlene zentrale Vari- ante nach JAMESON ET AL. (1981) gewählt, da diese insbesondere bei höheren Strö- mungsgeschwindigkeiten sehr robust ist. Hierbei kann durch Modifizierung zweier Va- riablen (VIS2 und VIS4) Einfluss auf die Stärke der künstlichen Dissipation genommen werden. Bei Verwendung einer DES oder DDES Methode müssen diese, die künstli- che Dissipation beeinflussenden, Variablen deutlich herabgesetzt werden (Faktor 5 bis 10)). Bezüglich der Zeitdiskretisierung wird auf die Dual Timestepping Methode zurück- gegriffen (JAMESON (1991)). Hierbei handelt es sich um ein implizites Verfahren, bei welchem die Erhaltungsgleichungen durch Hinzufügen von Zeitableitungen nach ei- ner Pseudo-Zeit τ ergänzt werden, so dass für jeden Zeitschritt Δt ein stationäres Problem hinsichtlich der Pseudo Zeit τ zu lösen ist, siehe NUMECATM (2011). So- mit verschiebt sich die Aufgabe für einen Zeitschritt Δt hin zu der Berechnung einer pseudo-stationären Lösung hinsichtlich der Zeit τ bis ein Konvergenzkriterium erreicht ist oder eine bestimmte Anzahl an inneren Iterationen durchlaufen wurde. Für alle in- stationären Simulationen in dieser Arbeit wurde die Anzahl der inneren Iterationen, in Anlehnung an die Empfehlung von NUMECATM (2011, 2015), auf 100 gesetzt und das Konvergenzkriterium so gewählt, dass die maximale Anzahl an inneren Iterationen immer durchlaufen wird. Die Transformation des instationären Problems in eine Aneinanderreihung von statio- nären Schritten ermöglicht die für stationäre Fälle vorhandenen Beschleunigungstech- niken wie lokale Zeitschrittweite, Residuenglättung und Mehrgittertechnik zu verwen- den. Hinsichtlich der lokalen Zeitschrittweitensteuerung wird individuell für jede Zelle in Abhängigkeit einer definierten CFL-Zahl, die bei der verwendeten Software zwischen 1 und 2 liegen sollte (NUMECATM (2011)), ein lokaler Zeitschritt berechnet. Dieser nimmt für größere Zellen zu und bei kleineren Zellen ab. Dabei wird davon ausgegan- gen, dass sich Störungen mit der Geschwindigkeit c+a fortpflanzen können, wobei a der Schallgeschwindigkeit entspricht. Ein weiterer Vorteil, der sich aus der Nutzung einer lokalen Zeitschrittweite ergibt, liegt in der numerischen Stabilität, so dass der zu wäh- lende physikalische Zeitschritt Δt in Abhängigkeit der Physik des Strömungsproblems gewählt werden kann und nicht der CFL-Bedingung des numerischen Verfahrens un- terliegt. 6.2. HARDWARE 63 Das Prinzip der Mehrgitterverfahren basiert auf der Eigenschaft, dass gerade solche Fehleranteile effizient eliminiert werden, deren Wellenlängen der Netzweite entspre- chen. Niederfrequente Fehlerkomponenten werden durch einen Iterationsprozess auf ein gröberes Netz übertragen (Restriktion). Hierdurch sehen diese Fehleranteile relativ zur Gitterweite nun hochfrequenter aus. Zusätzlich wird durch das gröbere Gitter der zeitliche Rechenaufwand minimiert. Dadurch wird eine effizientere Reduktion dieser Fehler im Vergleich zu dem feinen Gitter erzielt. Anschließend wird die Lösung des Grobgitters auf das feine Gitter interpoliert (Prolongation). Die auf dem Feingitter vor- liegende Lösung wird dann um den Anteil der Grobgitterlösung korrigiert. Durch die Verlagerung der niederfrequenten Anteile auf gröbere Gitter wird die Konvergenzbe- schleunigung erreicht. 6.2. Hardware Bezüglich der genutzen Hardware konnte der Lichtenberg-Hochleistungsrechner der Technischen Universität Darmstadt genutzt werden, der Teil des Hessischen Kom- petenzzentrums für Hochleistungsrechnung (HKHLR) ist. Hierbei handelt es sich um einen Zusammenschluss von fünf hessischen Universitäten, um Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler bei der computergestützen Berechnung komplexer Fragestellun- gen zu unterstützen und bezüglich einer effizienten und nachhaltigen Nutzung eines Hochleistungsrechner-Systems zu beraten. Neben der Technischen Universität Darm- stadt gehören dem HKHLR die Goethe-Universität Frankfurt, die Justus-Liebig Univer- sität Gießen, die Universität Kassel sowie der Philipps-Universität in Marburg an. Der Lichtenberg-Cluster der Technischen Universität Darmstadt ist, verglichen mit den vier anderen Standorten, ein Cluster, welcher durch umfangreiche Investitionen zu ei- ner tragenden Säule des HKHLRs geworden ist. Dem Nutzer stehen knapp 30000 Pro- zessoren zur Verfügung, welche eine theoretische Rechenleistung von fast 1 PFLOP/s ermöglichen. (Zum Vergleich: Ein herkömmlicher morderner Computer mit einem Intel- i-Core Prozessor und Sandy Bridge schafft ca. 100 GFLOP/S = 0,0001 PFLOP/s). Ins- gesamt sind die knapp 30000 Prozessoren des Lichtenberg-Clusters in zwei Phasen (Phase I und Phase II) unterteilt. Innerhalb dieser beiden Bereiche sind eine bestimmte Anzahl an CPUs zu Einheiten (sogenannten Inseln) zusammengefasst, wobei pro Insel 64 6. VERWENDETE SOFTWARE UND HARDWARE maximale 2592 CPUs installiert sind. Innerhalb einer Insel sind ist die Kummunikation zwischen einzelnen CPUs deutlich schneller verglichen mit einer inselübergreifenden Kommunikation. Daher ist es ratsam, wenn möglich, immer CPUs innerhalb einer In- selgruppe zu nutzen. 6.3. Skalierbarkeit Die in dieser Arbeit genutzten CFD-Löser EURANUS (FineTM/Turbo) und HEXSTREAM (FineTM/Open) bieten die Möglichkeit der Parallelisierung von Rechnungen mit bis zu mehreren tausend Prozessoren, wobei die Kommunikation dabei mittels MPI sicher- gestellt wird (NUMECATM (2005a,b)). Beispielsweise konnte eine DNS Simulation in FineTM/Open eines akademischen Testfalls mit 32000 Prozessoren an einem Tag be- rechnet werden, wobei die Anzahl der Punkte ca. 3 Milliarden betrug, siehe NUMECATM (2013). Dies entspricht einem Verhältnis von knapp 100000 Zellen pro Rechenkern. Ein anderes Beispiel findet sich in GROSVENOR ET AL. (2015). Dabei wurden hochauflö- sende Simulationen des NASA Rotors 67 am Oak Ridge National Laboratory durch- geführt, wobei die Anzahl verwendeter Rechenkerne des Titan Cray XK6 Supercom- puters zwischen 512 und 4096 lag. Entsprechend Abbildung 6.1 verdoppelt sich bis zu einer Anzahl von 2000 Prozessoren die Rechengeschwindigkeit. Bezogen auf die Anzahl der Gitterpunkte für diesen Fall (150 Millionen) ergibt sich für ca. 2000 Rechen- kerne ein Verhältnis von 75000 Zellen pro CPU. Um diese Resultate und Ergebnisse zu untersuchen, wird in einer kleinen Studie die Skalierbarkeit auf dem Lichtenberg-Cluster untersucht, wobei es sich hierbei um DES- bzw. DDES-Rechnungen einer Teilung des RGWKs handelt. Um den numerischen und zeitlichen Aufwand gering zu halten, wird auf das gröbste Netz (G4 mit ca. 1,14 Mil- lionen Zellen) zurückgegriffen. Insgesamt werden 20 Iterationen mit 100 Subiterationen bei einem Zeitschritt Δt4 = 2 · 10−5 s durchgeführt. Um die Rechendauer nicht durch weitere Einflüsse, wie beispielsweise das Speichern einer Zwischenlösung, zu verfäl- schen, wird während den Iterationen keine Ausgabe generiert. Neben der Anzahl der genutzten CPUs, wird der Einfluss des Solvers (FT = FineTM/Turbo, FO = FineTM/Open), die Genauigkeit des Solvers (SP = single, DP = double precision), eine alternative MPI- Option (default = Portland OpenMPI, new = ICC 11 IntelMPI) sowie der Prozessor-Typ untersucht. Die folgenden in Tabelle 6.1 aufgelisteten Kombinationen werden in Ab- 6.3. SKALIERBARKEIT 65 Prozessoren [-] R ec he ng es ch wi nd ig ke it[ -] 104 104 103 103 102 102 Linear FineTM/Turbo Abb. 6.1.: Skalierbarkeit von FineTM/Turbo am Beispiel einer RANS-Simulation des NA- SA Rotors 67 mit 150 Millionen Zellen, GROSVENOR ET AL. (2015) 66 6. VERWENDETE SOFTWARE UND HARDWARE hängigkeit der Anzahl an Prozessoren hinsichtlich der Rechengeschwindigkeit und - effizienz ausgewertet, wobei die Anzahl verwendeter Prozessoren zwischen 8 und 64 liegt. Eine komplette Tabelle inklusive aller Kombinationen sowie die erzielten Rechen- Fall Löser Genauigkeit MPI f [-] f ∗ [-] 1.1 FT SP new 1,12 2,02 1.2 FT SP default 1,59 2,86 1.3 FT DP default 2,97 5,35 2.1 FO SP default 5,96 10,44 2.2 FO DP default 6,49 11,67 Tab. 6.1.: Mittelwert des Effizienzfaktors f für die innerhalb der Studie untersuchten Kombinationen. Mittelwertberechnung basiert auf den Ergebnissen im na- hezu linearen Bereich, dies bedeutet, dass nur die Ergebnisse bis 24 CPUs berücksichtigt wurden. dauern und daraus abgeleiteten Ergebnisgrößen kann dem Anhang F.5 entnommen werden. Wesentliche Ergebnisse sind in Abbildung 6.2 visualisiert, wobei in beiden Dia- grammen die Zeit pro Iteration (Δtiter.,n) über der Anzahl der Prozessoren (nCPUs) aufge- tragen ist. Im linken Diagramm wurden alle Simulationen mit dem gleichen Prozessor- Typ (avx2) durchgeführt, so dass anhand dieser Abbildung der Einfluss der Genauig- keit, des Lösers selbst und der MPI-Option bewertet werden kann. Bei Δtiter.,n handelt es sich um eine normierte Zeitangabe, wobei der erzielte Wert für den Fall FT SP mit ICC 11 MPI-Option auf acht Prozessoren als Referenzwert gewählt wurde. Die ab- soluten Zeiten pro Iteration können im Anhang der Tabelle F.5 entnommen werden. Zusätzlich zu den Diagrammen ist in Tabelle 6.1 in der fünften Spalte ein mittlerer Effi- zienzfaktor f angegeben, der sich anhand von Gleichung F.2 berechnen lässt und im Wesentlichen eine Aussage zulässt wie lange ein Prozessor für 1000 Iterationen auf einem Netz der Größe von 1 Millionen Zellen benötigt. Je kleiner der Wert, desto effi- zienter und schneller ist die Simulation. Die Aussagekraft dieses Faktors ist identisch zu der Zeit pro Iteration. Der Vorteil dieser Größe liegt jedoch darin, dass hinsichtlich zukünftiger Simulationen mit Hilfe des f -Faktor der numerische Aufwand sowie die tat- sächliche Simulationszeit berechnet werden kann. Basierend auf dem linken Diagramm in Abbildung 6.2 ist eine lineare Abnahme so- wohl für eine FineTM/Turbo als auch für eine FineTM/Open Simulation zu erkennen. Bezüglich einer Simulation mit FineTM/Turbo liefert die Variante mit der MPI-Option 6.3. SKALIERBARKEIT 67 FT-SP-Open-MPI FT-SP-ICC---MPI FT-DP-Open-MPI FO-SP-Open-MPI FO-DP-Open-MPI Linear nCPUs [-] Δ t i te r., n [s] 8 16 32 64 101 100 10−1 FT-SP-ICC---MPI-avx2 FT-SP-ICC---MPI-avx0 Linear nCPUs [-] 8 16 32 64 Abb. 6.2.: Links: Zeit in Sekunden je Iteration über der Anzahl der verwendeten Prozes- soren für die Kombinationen aus Tabelle 6.1. Rechts: Einfluss der verwen- deten Prozessor-Typen der Kategorie avx und avx2. FT SP mit Standard MPI-Option. —, FT SP mit ICC 11 MPI-Option: —, FT DP mit Standard MPI- Option: —, FO SP mit Standard MPI-Option: —, FO DP mit Standard MPI Option: — ICC 11 Intel MPI und einfacher Genauigkeit das beste Resultat (grüne Kurve). Wird die Standardeinstellung hinsichtlich der MPI-Option genutzt, so sind Geschwindigkeitsein- bußen in der Größenordnung von mindestens 40% zu verzeichnen, (siehe roter Verlauf in Abbildung 6.2 im Bereich acht bis sechzehn CPUs). Eine weitere Verschlechterung der Rechengeschwindigkeit resultiert aus der Verwendung einer doppelten Genauig- keit (blaue Kurve im linken Diagramm in Abbildung 6.2). Im Intervall bis 20 CPUs erhöht sich die Zeit pro Iteration ungefähr um den Faktor 2, 5. Bei Verwendung von mehr als 20CPUs liegt dieser Faktor bei über 5 (siehe 48 und 64,CPUs). Wird mit dem Modul FineTM/Open gerechnet, so benötigen die Rechnungen allgemein länger verglichen mit FineTM/Turbo, wobei der Unterschied zwischen FO SP und FO DP sehr gering ausfällt und im Mittel bei ca. 15% liegt. Bis zu einer Anzahl von 20 Prozesso- ren beträgt der zeitliche Mehraufwand einer Simulation mit FineTM/Open bei einfacher Genauigkeit durchschnittlich 360% und bei doppelter Genauigkeit 218% bezogen auf das jeweilige Pendant in FineTM/Turbo. Hinsichtlich der besten FineTM/Turbo Variante (SP, ICC 11 MPI-Option, linkes Diagramm grüner Verlauf) liegt der Faktor für FO SP bei 5, 18 und bei FO DP bei 5, 79. 68 6. VERWENDETE SOFTWARE UND HARDWARE Der Einfluss unterschiedlicher Prozessor-Typen wurde ebenfalls untersucht und ist im rechten Diagramm in Abbildung 6.2 dargestellt. Die durchschnittliche Zeitreduktion pro Iteration liegt bei etwa 16, 5%, wenn Prozessoren des Typs avx2 genutzt werden. Als Fazit dieser Studie kann festgehalten werden, dass bezüglich einer Simulation mit FineTM/Turbo, sofern möglich, auf doppelte Genauigkeit verzichtet und mit der MPI- Option (ICC 11) gerechnet werden sollte. Ebenso ist innerhalb einer DDES-Rechnung in FineTM/Open die einfache Genauigkeit zu bevorzugen. Auf diese Weise kann bei beiden Lösern (FineTM/Turbo und FineTM/Open) eine fast lineare Skalierbarkeit bis 24 Prozessoren sichergestellt werden, siehe linkes Diagramm in Abbildung 6.2. Übertra- gen auf das Verhältnis aus Zellen pro Prozessor bedeutet dies, dass die Anzahl der Prozessoren so gewählt werden sollte, dass ein Wert von 50000 nicht unterschritten wird. Der Vollständigkeit halber wird auf drei weitere wichtige Aspekte, die die Zeit pro Itera- tion erhöhen, hingewiesen: 1) Zeit zur Initialisierung einer Rechnung, 2) Erhöhung der Rechenzeit durch längere Kommunikation, wenn mehrere Rech- enknoten genutzt werden, 3) zusätzliche Zeit infolge der Generierung von Zwischenergebnissen nach einer definierten Anzahl an Iterationen Bezüglich der ersten beiden Punkte ist, basierend auf persönlichen Erfahrungen, mit einer Erhöhung der Rechenzeit von ca. 80% zu kalkulieren. Dies führt auf die in Ta- belle 6.1 in der sechsten Spalte dargestellten f ∗-Faktoren. Eine weitere Erhöhung der Zeit pro Iteration und somit auch des f ∗-Faktors wird durch die Speicherung von Zwi- schenergebnissen bewirkt. Dabei ist die Häufigkeit der Zwischenspeicherung sowie die Größe des Rechennetzes entscheidend. Für ein Netz bestehend aus 20 Millionen Zellen, bei welchem alle zwei Iterationen eine Ausgabe erzeugt wird, liegt der Zuwachs bei nochmals ≈ 40%. 69 7. Modellierung und Netzgenerierung 7.1. Ringgitterwindkanal Die numerischen Untersuchungen in dieser Arbeit konzentrieren sich auf die statio- näre und instationäre dreidimensionale Simulation eines aerodynamisch hochbelaste- ten Verdichterleitrads, dass Bestandteil eines Ringgitterwindkanals ist, siehe Abbildung 7.1. Dieser Ringgitterwindkanal ist am Fachgebiet Strömungsmaschinen der Universi- tät Kassel installiert und wurde von WEIDENFELLER (2001); HERMLE (2014) bezüglich unterschiedlicher Mach-Zahlen und Inzidenzen umfangreich mittels stationärer und in- stationärer Messtechnik vermessen. Im Grunde besteht der in Abbildung 7.1 darge- Position 1 Position 2 Position 3 Abb. 7.1.: CAD-Modell des Ringgitterwindkanals am Fachgebiet Strömungsmaschinen der Universität Kassel. 70 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Sehnenlänge s 50mm Metallwinkel im Gittereintritt αg,1 43◦ Metallwinkel im Gitteraustritt αg,2 21◦ Staffelungswinkel βs 26◦ Schaufelanzahl z 17 Verhältnis Höhe zu Sehnenlänge h/s 1, 1 Relative Teilung bei 50% Kanalhöhe t/s 1, 01 Verhältnis Radialspalt zu Sehnenlänge s/s 0, 008 Tab. 7.1.: Daten der Ringgitterbeschaufelung stellte Versuchsträger aus drei elementaren Bereichen. Zunächst wird die zuströmende Luft an der Position 1 durch einen Drallerzeuger in Rotation versetzt. Dieser Draller- zeuger besteht aus zwei dicht hintereinander liegenden Gittern. Bei dem ersten Gitter handelt es sich um ein fest mit der Nabe und dem Gehäuse verankertem stationären Beschleunigungsgitter bestehend aus 15 Schaufeln, das eine Umlenkung von 55◦ be- wirkt. Stromab folgen 15 variable Klappen basierend auf einer NACA 0020-Profilierung, wodurch der Strömungswinkel nochmal um ±20◦ variiert werden kann. Das im Fokus dieser Arbeit stehende Messgitter befindet sich ca. 580mm stromab des Drallerzeugers und kann in Abbildung 7.1 anhand der Position 2 identifiziert werden. Hierbei handelt es sich um 17 prismatische CDA-Profile (Controlled Diffusion Airfoils), welche am Gehäuse befestigt sind und einen nabenseitigen Spalt der Größe 0, 4mm aufweisen. Diese Schaufeln basieren auf einer skalierten Version, welche von GALLUS UND MERTENS (1995) untersucht wurden. Tabelle 7.1 können weitere geometrische Größen des Gitters entnommen werden. Weiter stromab des Messgitters befinden sich an Position 3 sechs Stützrippen, welche ebenfalls auf einer NACA 0020-Profilierung basieren und zusammen mit dem Beschleunigungsgitter zur Lagerung der Nabe im Prüfstand dienen. Weitere technische und geometrische Details bezüglich des Draller- zeugers sowie der gesamten Versuchsanlage können den Arbeiten von WEIDENFEL- LER (2001); WEIDENFELLER UND LAWERENZ (2004) entnommen werden. Mit Hilfe des RGWKs ist es möglich, Strömungseffekte am Leitrad ohne den Ein- fluss von davor- oder dahinterliegenden Schaufelreihen zu untersuchen. Im Gegen- satz zu einem realen Axialverdichter fehlt die Schleppwirkung infolge einer rotieren- 7.1. RINGGITTERWINDKANAL 71 den Nabe. Nach Untersuchungen von CHEN (1991) ist dieser Effekt vernachlässigbar, wenn die Geschwindigkeit der Nabe um mindestens eine Größenordnung geringer ist, verglichen mit der Spaltströmung, vergleiche HERMLE (2014). Zur Überprüfung, ob dies zutrifft, kann das Chen-Kriterium, siehe Gleichung (7.1), herangezogen wer- den. CChen = s  √ Re ≥ 2, 3 (7.1) Angewandt auf die hier untersuchten Betriebspunkte (siehe 7.2) ergibt sich mit der Sehnenlänge s = 50mm und der Spaltweite s = 0, 4mm des RGKWs ein Wert von: CChen,RGWK = 5, 27. (7.2) Folglich ist das Kriterium 7.1 erfüllt und der Einfluss der Schleppwirkung von unterge- ordneter Bedeutung. Im Zusammenhang mit dem in dieser Arbeit untersuchten Phä- nomen lässt sich somit festhalten, dass der Einfluss der Schleppwirkung von unterge- ordneter Bedeutung hinsichtlich der Ausbildung der RI ist. 7.1.1. Messpositionen In diesem Abschnitt soll kurz auf die Lage der 5-Loch-Sonden Messpositionen, wie sie bei HERMLE (2014) zu finden sind, eingegangen werden, da die an diesen Stellen aufgenommenen Messdaten einerseits als Randbedingungen und andererseits zur Va- lidierung der numerischen Simulationen genutzt werden. In Abbildung 7.2 ist eine Teilung des zu berechnenden Messgitters des RGWKs, die axiale Position des In- und Austritts sowie die axiale Position der Messebenen vor (ME1) und hinter (ME2) dem Axialverdichtergitter dargestellt. Die Messebene ME1 be- findet sich ca. 17, 5mm stromauf der Vorderkante und die Ebene ME2 20mm stromab der Hinterkante, vergleiche HERMLE (2014). Um Rückwirkungen der Rechengebiets- grenzen auf das Strömungsfeld zu vermeiden, müssen die Grenzen in ausreichen- dem Abstand zu dem Messgitter platziert werden. Dies gilt insbesonder in der Ab- strömung aufgrund von stromab transportierten Sekundärströmungen. Daher beträgt der Abstand zwischen dem Inlet und der Vorderkante eine Sehnenlänge und stromab zwischen der Hinterkante und dem Austritt zwei Sehnenlängen. Experimentelle Mess- daten, welche an den Ebenen ME1 und ME2 von HERMLE (2014) gemessen wurden, 72 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Outlet Eintritt ME1 ME2 0mm 35mm 115, 4mm 195, 7mm Abb. 7.2.: Axiale Positionen der Messebenen ME1 vor und ME2 hinter dem Verdich- tergitter sowie Lage des Ein- und Austritts. werden als Randbedingungen am Ein- und Austritt genutzt. Dabei muss beachtet wer- den, dass Ein- und Austrittsebene aus dem eben genannten Grund nicht identisch zu den Ebenen ME1 und ME2 sind, siehe Abbildung 7.2. Daher sei an dieser Stelle dar- auf hingewiesen, dass die Vorgabe von Messwerte der Ebenen ME1 und ME2 am Ein- und Austritt zu kleineren Abweichungen führte, so dass eine Adaption der Rand- bedingungen am Austritt notwendig war. Dieser Aspekt wird in Abschnitt 7.4 nochmals aufgegriffen und detaillierter vorgestellt. 7.1.2. Datenbasis und Betriebspunkte Als Datenbasis dienen, wie bereits erwähnt, die experimentellen Untersuchungen von HERMLE (2014). Dieser hat neben 5-Loch-Sonden Messungen in der Zu- und Abströ- mung für unterschiedliche Inzidenzen und Mach-Zahlen, instationäre Druckmessun- gen mit in der Nabe installierten Sensoren sowie PIV-Messungen in Kombination mit einer Hitzdrahtsonde durchgeführt. HERMLE (2014) konnte zeigen, dass das im Fo- kus dieser Arbeit stehende Phänomen, bei einer Mach-Zahl von 0, 4 bei hohen In- zidenzen besonders gut in den Daten zu erkennen ist. Daher werden die in Tabelle 7.2. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG 73 Name BP1 BP2 BP3 BP4 BP5 Inzidenz i 0◦ 6◦ 8◦ 10◦ 12◦ Re 435473 439580 440262 443816 449292 Re0 130642 131874 132079 133145 135788 Tab. 7.2.: Untersuchte Betriebspunkte des RGWKs für Ma = 0, 4 7.2 aufgelisteten Betriebspunkte bei einer Mach-Zahl von 0, 4 für die numerischen Be- rechnungen genutzt. Die mit der axialen Sehnenlänge ax. = s · cos(βs) und mittleren Strömungsgeschwindigkeit gebildete Reynolds-Zahl Re liegt bezüglich aller Inziden- zen zwischen 435000 und 450000. Anhand der Beziehung (4.14) kann mit Hilfe der Reynolds-Zahl der Freiströmung eine turbulente Reynolds-Zahl abgeschätzt werden. Diese Größe wird im nachfolgenden Abschnitt hinsichtlich der Netzgenerierung heran- gezogen. 7.2. Räumliche Diskretisierung Die Generierung der Rechennetze erfolgt in AutogridTM (INTERNATIONAL (2014)). Ba- sierend auf einem Blade-to-Blade (B2B) Netz sowie der Angabe einer radialen und axialen Knotenverteilung wird ein blockstrukturiertes Netz erzeugt. Die Anforderun- gen an das Rechennetz sind abhängig von dem gewählten numerischen Verfahren (RANS, DES/DDES, LES vs. DNS) und der Art der Wandbehandlung. In dieser Ar- beit werden hauptsächlich DES/DDES Rechnung durchgeführt. (U)RANS Simulatio- nen dienen in erster Linie als Startlösung für die DES Rechnungen. Aus diesem Grund erfolgt die Gittergenerierung entsprechend den Anforderungen an eine DES. Darüber hinaus können Netze, die einer DES/DDES genügen, problemlos für (U)RANS Simu- lation genutzt werden, da die Netzanforderungen für eine (U)RANS Rechnung deutlich geringer sind im Vergleich zu denen einer DES/DDES. Bevor im Folgenden die in die- ser Arbeit verwendeten Netze vorgestellt werden, sollen einige grundsätzliche Aspekte hinsichtlich der Netzgenerierung für DES/DDES Rechnungen rekapituliert werden. Da- bei wird hauptsächlich auf Empfehlungen, Erfahrungen und Richtlinien von SPALART (2001) und FRÖHLICH (2006) zurückgegriffen. Wie bereits in Abschnitt 4.3.2 beschrie- ben, werden bei einer DES anliegende turbulente Strukturen in Wandnähe statistisch 74 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Euler Region Fokus Region Departure Region RANS Region Abb. 7.3.: Schematische Darstellung der unterschiedlichen Bereiche innerhalb einer DES-Rechnung, in Anlehnung an SPALART (2001). modelliert und abgelöste Wirbel im Inneren der Strömung räumlich und zeitlich diskreti- siert. In Anlehnung an SPALART (2001) kann innerhalb einer DES ein Strömungsgebiet in vier unterschiedliche Zonen oder Bereiche eingeteilt werden, für die teilweise unter- schiedliche Netzanforderungen maßgeblich sind. In Abbildung 7.3 sind diese Bereiche am Beispiel eines Schaufelprofilschnittes des Messgitters bei hoher Inzidenz schematisch dargestellt. Für die die Schaufel umgeben- de RANS Region sollte y+ < 2 sowie eine durchschnittliche Expansionsrate ER < 1, 25 gelten, siehe SPALART (2001). In der Fokus Region muss neben einer ähnlichen Ex- pansionsrate zusätzlich sichergestellt werden, dass durch die Wahl der mittleren Zell- größe die turbulenten Strukturen räumlich hinreichend aufgelöst werden. In Abhän- gigkeit der Reynolds-Zahl kann nach dem Modell von POPE (2000) eine mittlere Zell- größe in der Fokus Region abgeschätzt werden. Gemäß Abbildung 4.2 ist für eine DES-Rechnung ab einer turbulenten Reynolds-Zahl von 105 keine nennenswerte Re- Abhängigkeit zu verzeichnen. Da für alle Betriebspunkte entsprechend Tabelle 7.2 die turbulenten Reynolds-Zahlen ähnlich und größer 105 sind, gilt in diesem Fall, um bei- spielsweise 80% der turbulenten kinetischen Energie aufzulösen, eine mittlere einzu- 7.2. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG 75 haltende Zellgröße von Δm = 7, 5 · 10−3m. Um 90% des Spektrums wiederzugeben verringert sich Δm auf 3, 0 · 10−4m. Hierbei sei erwähnt, dass die Abschätzung der einzuhaltenden Zellgrößen darauf basiert, dass eine Cut-Off Länge durch 2π dividiert wird. Im Anhang D wird auf die Vorgehensweise zur Berechnung einer Abschätzung bezüglich einer einzuhaltenden mittleren Zellgröße in Abhängigkeit des Anteils aufzu- lösender Turbulenz nochmal detaillierter eingegangen. Nach den Empfehlungen des Software-Herstellers (NUMECATM (2015)) wird bezüg- lich der mindestens einzuhaltenden Auflösung ein Richtwert von Δ ≤ 0, 05D empfoh- len. Dabei entspricht D allgemein dem Durchmesser eines Wirbelkörpers oder eines Nachlaufs, NUMECATM (2005b). Wird D mit 100 bis 50% der Sehnenlänge abge- schätzt, so ergibt sich eine einzuhaltende Zellgröße von Δ ≈ 2, 5 bis 1, 25 · 10−3m. Folglich liegt dieser Wert verglichen mit den nach dem Kolmogorov-Spektrum abge- schätzten Werten, siehe Anhang D, in einem Bereich, bei welchem weniger als 70% des Spektrums abgebildet werden. Daher sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass die Angaben mit Vorsicht zu nutzen sind und stark von der Wahl des charakteris- tischen Durchmessers abhängen. Der als Departure Region bezeichnete Bereich stellt ein Bindeglied zwischen der Fo- kus und der Euler Region da und soll einen gemäßigten Übergang zwischen diesen beiden Gebieten ermöglichen. Bereiche in denen keine Wände vorhanden sind und in denen Turbulenz eine untergeordnete Rolle spielt, werden als Euler Region zusam- mengefasst, wobei die Anforderungen in diesen Bereichen natürlich deutlich geringer sind, verglichen mit denen in der Fokus Region, siehe SPALART (2001). Allgemein ist die Bereitstellung eines adäquaten DES-Netzes eine herausfordernde und nicht triviale Aufgabe. Nach SPALART (2001) existieren einige fragwürdige Ergeb- nisse, die auf eine falsche Wahl des Rechennetzes zurückzuführen sind. Insbesondere verweist SPALART (2001) auf die Gefahr einer zu feinen parallelen Wandauflösung in Umfangsrichtung (x+) und in axialer Richtung (z+). Infolge dessen wird anstelle der RANS Formulierung in diesen Bereichen der LES-Ansatz genutzt, wodurch die Visko- sität herabgesetzt wird und beispielsweise gitterinduzierte Strömungsablösungen (grid induced seperation =GIS) entstehen können. Bezüglich x+, y+ und z+ existieren un- terschiedliche Richtwerte, vergleiche FRÖHLICH (2006). Allen Angaben ist jedoch ge- mein, dass y+ mindestens kleiner gleich 2 gelten muss und das bezüglich der unte- ren Grenze der Parameter x+ und z+ deutlich höhere Werte einzuhalten sind. Nach 76 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG NUMECATM (2015) werden die folgenden Empfehlungen bezüglich dieser Größen gegeben: x+ ≈ 15 ∼ 40, (7.3) y+ ≈ 1 ∼ 2, (7.4) z+ ≈ 50 ∼ 150. (7.5) In neueren und überarbeiteten Versionen des DES Ansatzes wird eine zusätzliche Funktion genutzt, die diesem Nachteil entgegenwirkt. Diese Methode nennt sich Delayed- Detached-Eddy-Simulation. 7.2.1. Vernetzung des Ringgitterwindkanals (1 Teilung) Insgesamt werden in dieser Arbeit vier Netze einer Teilung erstellt und hinsichtlich der Eignung für eine DES-Rechnung untersucht, bevor in Kapitel 8.2 die eigentlichen numerischen Untersuchungen vorgestellt werden. In Abbildung 7.4 ist das Netz einer Teilung sowie eine Detailansicht der Vorder- und Hinterkante schematisch dargestellt. Das visualisierte Gitter entspricht der gröbsten Variante und soll an dieser Stelle nur einen grundsätzlichen Eindruck der Netzstruktur geben. Wie bereits zuvor erwähnt, befindet sich der Einströmbereich eine Sehnenlänge stromauf der Vorderkante und der Ausströmbereich zwei Sehnenlängen stromab der Hinterkante. Alle generierten Netze einer Teilung bestehen aus 9 strukturierten Blöcken, wobei ein O-Netz (Block ➄) um das Profil und vier das O-Netz umgebende H-Netze (Blöcke ➁, ➃, ➅, ➆) genutzt werden. Die Struktur des Rechennetzes im Radialspalt (Block ➇, ➈) kann ebenfalls der Abbildung 7.4 entnommen werden. Die Gesamtanzahl der Zellen kann der oberen Tabelle 7.3 der vierte Zeile entnommen werden. Insgesamt beste- hen die resultierenden Netze einer Teilung aus 1, 15 Mio. (G4), 1, 87 Mio. (G3), 4, 29 Mio. (G2) und 9, 20 Mio (G1) Zellen. Eine auf die Genauigkeit stark einflussnehmende Größe ist die Anzahl der verwendeten Knoten zur Diskretisierung der radialen Rich- tung sowie die Anzahl der Knoten im Nabenspalt. Diese Werte sind in der oberen Tabelle 7.3 in der ersten und zweiten Zeile aufgelistet. Der Wandabstand ywall wurde jeweils so gewählt, dass einerseits die nachfolgend dargestellten Netzqualitätskriterien gute Ergebnisse liefern und andererseits y+ < 2 gewährleistet wird, siehe Abschnitt 8.1. Darüber hinaus sind Tabelle 7.3 durchschnittliche sowie maximale und minima- 7.2. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG 77 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇➈ Abb. 7.4.: Rechennetz (G4) einer Messgitterschaufel des RGWKs mit Blockstruktur so- wie Detailansicht der Vorder- und Hinterkante. Um eine bessere Darstellung zu gewährleisten, wurde nur jeder zweite Netzknoten dargestellt. le Werte üblicher Qualitätskriterien zu entnehmen. Entsprechend den Anforderungen in der Fokus Region weisen die Netze G1, G2 und G3 eine durchschnittliche Expan- sionsrate kleiner 1, 25 auf. Bezüglich des vierten Gitters (G4) liegt dieser Wert etwas oberhalb von 1, 25. Die durchschnittlichen, maximalen und minimalen Werte der Or- thogonalität sowie des Seitenverhältnisses aller vier Gitter weisen allgemein und im Vergeleich zueinander sehr gute Werte auf. Die in Tabelle 7.3 aufgelisteten maxima- len y+-Werte basieren auf stationären Simulationen, welche in Kapitel 8.1.3 vorgestellt werden. 7.2.2. Vernetzung des Ringgitterwindkanals (17 Teilungen) Neben Simulationen, bei denen eine Teilung des Messgitters berücksichtigt wird, wer- den auch Rechnungen auf dem vollen Umfang durchgeführt. Hierzu wird das jeweilige 78 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Diskretisierung - 1. Teilung Netz G1 G2 G3 G4 nradial [−] 141 109 81 61 ngap [−] 41 33 25 21 ywall [m] 0,0005 0,0007 0,0009 0,0012 ncells [−] 9 208 320 4 291 392 1 874 176 1 146 432 Netzqualität - 1. Teilung Netz G1 G2 G3 G4 Max.AR [−] 2618,10 2239,30 2217,20 1992,50 ∅AR [−] 286,22 250,14 254,09 230,65 Min.SN [◦] 40,31 36,90 32,07 29,88 ∅SN [◦] 83,14 83,84 83,39 83,06 Max.ER [−] 2.13 1,69 1,96 2,96 ∅ER [−] 1,18 1,17 1,24 1,37 Tab. 7.3.: Obere Tabelle: Anzahl der verwendeten Punkte zur Diskretisierung in radia- ler Richtung und im Nabenspalt sowie die gesamte Anzahl der resultierenden Zellen. Untere Tabelle: Qualitätskriterien des DES Netzes für eine Teilung des Messgitters. AR = Seitenverhältnis, SN = Orthogonalität, ER = Expan- sionsrate. Netz entsprechend der Anzahl an Passagen in Umfangsrichtung vervielfältigt. Die Qua- litätskriterien des vollen Umfangs gegenüber dem Rechennetz einer Teilung ändern sich dabei nur unwesentlich, so dass die für eine Teilung getroffenen Aussagen hin- sichtlich der Gitterqualität problemlos auf das Rechengitter des vollen Umfangs über- tragen werden können. 7.3. Zeitliche Diskretisierung Die Wahl eines Zeitschrittes innerhalb einer instationären Simulation unterliegt unter- schiedlichen Einflussfaktoren. Zu beachten sind die folgenden zwei Aspekte. 7.3. ZEITLICHE DISKRETISIERUNG 79 Der Zeitschritt muss so gewählt werden, dass das zu untersuchende instationäre Phä- nomen hinreichend genau aufgelöst wird. Dies ist gewährleistet, wenn der Zeitschritt einer Abtastrate entspricht, die mindestens doppelt so groß ist, wie die Frequenz des zu untersuchenden Phänomens. Aus Untersuchungen von HERMLE (2014) und WEI- DENFELLER (2001) geht hervor, dass RI-relevante Frequenzen bis ca. 500Hz vorliegen. Daraus ergibt sich eine Abtastrate von mindestens 1000Hz bzw. ein Zeitschritt von 1 · 10−3 s, wobei dieser Wert zum Zweck einer besseren Auflösung um den Faktor 25 redu- ziert wird. Folglich ergibt sich hieraus ein einzuhaltender Zeitschritt von ΔtRI = 4 · 10−5 s. (7.6) Durch die Nutzung der Dualen-Zeitschrittweite als zeitliche Diskretisierung liegt kei- ne numerische Restriktion hinsichtlich des zu wählenden physikalischen Zeitschrit- tes vor. Allerdings sollte vermieden werden, dass Strömungsgrößen infolge von zu groß gewählten Zeitschritten über mehrere Zellen hinweg transportiert werden und somit zu verfälschten Ergebnissen führen. Aus diesem Grund erfolgt in Anlehnung an das CFL-Kriterium eine Abschätzung des Zeitschrittes hinsichtlich der Gitterauf- lösung. Für die Schätzung der Zeitschrittweiten wird der folgende Zusammenhang ge- nutzt CFL = cmax ·ΔtCFL Δ ΔtCFL = Δ cmax CFL, (7.7) wobei cmax der maximalen Zuströmgeschwindigkeit am Eintritt entspricht und für den untersuchten Betriebspunkt (Ma = 0, 4) ungefähr ≈ 140m/s beträgt. Um sinnvolle Werte für Δ zu bestimmen, werden durchschnittliche Zellgrößen der verwendeten Net- ze genutzt, wobei die wandnahen Bereiche für diese Abschätzung nicht berücksichtigt werden. Zur Berechnung eines Zeitschrittes nach Gleichung (7.7) wird nun noch eine CFL-Zahl benötigt. Wie erwähnt liegt keine numerische Restriktion aus Stabilitäts- gründen bezüglich der Wahl einer CFL-Zahl vor. Da der Einfluss auf die Simulationen für CFL > 1 nicht voraus gesagt werden kann, aber wenn möglich mit größeren Zeit- schritten gerechnet wird, werden zur Quantifizierung des Einflusses drei unterschied- liche CFL-Zahlen herangezogen. Die sich daraus ergebenden Zeitschrittweiten sind in Tabelle 7.4 aufgelistet, wobei die Zeitschritte in Spalte drei für CFL = 1, in Spalte vier für CFL = 2 und in Spalte fünf für CFL = 3 berechnet wurden. Die resultieren- den Zeitschrittweiten liegen nach Tabelle 7.4 zwischen ca. 20 · 10−6 s für G4 bei einer 80 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Netz Δ [m] ΔtCFL=1 [s] ΔtCFL=2 [s] ΔtCFL=3 [s] G4 0,00081 5, 8 · 10−6 11, 5 · 10−6 17, 2 · 10−6 G3 0,00069 4, 9 · 10−6 9, 8 · 10−6 14, 7 · 10−6 G2 0,00052 3, 7 · 10−6 7, 5 · 10−6 11, 2 · 10−6 G1 0,00040 2, 9 · 10−6 5, 7 · 10−6 8, 6 · 10−6 Tab. 7.4.: Berechnete Zeitschrittweiten in Abhängigkeit durchschnittlicher Zellgrößen Δ , unterschiedlicher CFL-Zahlen und unterschiedlicher Rechengittergrößen. CFL-Zahl von 4 und 3 · 10−6 s bezüglich des Netzes G1 bei einer CFL-Zahl von 1. Verglichen mit ΔtRI (Gleichung (7.6)) sind diese Zeitschritte ein bis zwei Größenord- nungen kleiner und somit bestimmend für die Wahl des einzuhaltenden Zeitschrittes. An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass es sich bei diesen Werten um Schätzun- gen handelt, welche darauf basieren, dass mit der maximalen Zuströmgeschwindigkeit kalkuliert wurde. Folglich ist zu erwarten, dass die eigentlichen Zeitschrittweiten zur Erfüllung einer CFL-Zahl größer sind. Basierend auf der Zeitschritt-Schätzung in Tabelle 7.4 werden innerhalb von Vorunter- suchungen (Kapitel 8.1) vier Zeitschrittweiten hinsichtlich des Einflusses auf die Strö- mungssimulation näher beleuchtet. Bei den untersuchten Zeitschrittweiten handelt es sich, in Anlehnung an den minimalen (2, 9 · 10−6 s) und maximalen (17, 2 · 10−6 s) Wert in Tabelle 7.4, um die Folgenden: Δt1 = 2, 5 · 10−6 s ; Δt∗1 = 7, 79 · 10−3 (7.8) Δt2 = 5, 0 · 10−6 s ; Δt∗2 = 1, 56 · 10−2 (7.9) Δt3 = 10, 0 · 10−6 s ; Δt∗3 = 3, 12 · 10−2 (7.10) Δt4 = 20, 0 · 10−6 s ; Δt∗4 = 6, 23 · 10−2. (7.11) Hierbei entspricht Δt∗ einer dimensionslosen Zeit, wobei sich diese aus dem Quoti- enten des realen Zeitschrittes (Δt) und einer Konvektionszeit CU berechnet. CU ent- spricht hier der Zeit, die ein Partikel der Geschwindigkeit c = 140m/s benötigt, um eine Strecke der Länge s,ax = s · cos(βs) zu bewältigen. 7.4. RANDBEDINGUNGEN 81 7.4. Randbedingungen Für die stationären und instationären numerischen Simulationen werden am Ein- und Austritt Randbedingungen benötigt, die den Strömungszustand definieren. Klassischer- weise werden am Eintritt ein Totaldruck pt, eine Totaltemperatur Tt sowie ein Strö- mungswinkel α und am Austritt ein statischer Druck p vorgegeben. Bei den in dieser Arbeit durchgeführten Simulationen basieren die Randbedingungen auf experimentel- len Messdaten von HERMLE (2014), welche mittels einer 5-Loch-Sonde in der Zu- und Abströmung sowie mit Hilfe eines Temperatursensors stromauf des RGWKs aufge- nommen wurden. Bei den Größen Totaldruck und Strömungswinkel handelt es sich um radiale Profile zwischen 10 und 90% Kanalhöhe. Die Totaltemperatur am Eintritt so- wie der statische Druck am Austritt werden als skalare Größen vorgegeben, wobei der statische Druck einem mittleren Wert bei 50% Kanalhöhe entspricht. Die Wahl eines radialen statischen Druckverlaufs am Austritt hat sich als nicht zweckmäßig herausge- stellt, da insbesondere bei höheren Inzidenzen ein leicht fluktuierender Massenstrom vorliegt, welcher durch eine starre Randbedingung über die gesamte Kanalhöhe, in Form einer radialen statischen Druckverteilung, unterbunden wird und somit nicht phy- sikalisch ist. Voruntersuchungen haben gezeigt, dass bei Verwendung von radialen Profilen am Ein- tritt auf Basis von Messdaten ohne weitere Beachtung der wandnahen Bereiche eben- falls unphysikalische Ergebnisse entstehen können. Dies liegt darin begründet, dass die Messdaten nur im Bereich 10 bis 90% Kanalhöhe vorliegen. Der Strömungslöser benötigt jedoch Randbedingungen, welche sich über die gesamte Kanalhöhe erstre- cken. Die fehlenden Werte zwischen 0 und 10% bzw. zwischen 90 und 100% Kanalhö- he werden dann entsprechend dem Verlauf in Abbildung 7.5 durch die CFD-Software automatisch extrapoliert. In dem Diagramm in Abbildung 7.5 ist der Totaldruck in der Zuströmung zum Messgitter an der Ebene ME1 über der relativen Kanalhöhe exem- plarisch dargestellt. Wie zu erkennen ist werden die äußersten Messwerte in Richtung Nabe bzw. Gehäuse als konstant angenommen (grüne Teilkurven). Hierdurch werden bereits am Eintritt an Nabe und Gehäuse enorm hohe Schubspannungen induziert, die, insbesondere im Nabenbereich, zu einer zusätzlichen Vergrößerung der Grenz- schicht führen. Um dies zu vermeiden, wird der wandnahe Bereich mit Hilfe des 1/n-Potenzgesetzes 82 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Exp. Ext. 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 96000 10000 104000 108000 pt[Pa] (r − r N ) h [-] Abb. 7.5.: Exemplarischer Verlauf einer Totaldruckrandbedingung am Eintritt auf Basis experimenteller Daten (blau) ohne gesonderte Berücksichtigung der wand- nahen Bereiche inklusiver der vom Strömungslöser extrapolierten Werte (grün) modelliert. Ein Wichtungsparameter w(y) gewährleistet, dass der Übergang zwischen den Messwerten an der Nabe bzw. an dem Gehäuse und dem 1/n-Potenzgesetz mög- lichst knickfrei verläuft. Demnach muss der Wichtungsparameter derart sein, dass der an der Nabe bzw. an dem Gehäuse dem Potenzgesetz und für 10 bzw. 90% Kanalhöhe dem jeweiligen Messwert entspricht. Die resultierende Beziehung zur Modellierung der Randbereiche gleicht folglich einer Überlagerung. An dieser Stelle sei erwähnt, dass es hierbei in erster Linie darum geht auf elementare Weise Randbedingungen bereit- zustellen, die physikalisch plausibel und mit der Numerik verträglich sind. Es ergibt sich der folgende Zusammenhang c(yrel) = w(y) · cPot.(yrel) + (1− w(yrel))cExp.(yrel) (7.12) wobei yrel = r − rN h und w(yrel) = δref − yrel δref für 0 < yrel < 0, 1 gilt. Hierbei entspricht c(y) der neuen Geschwindigkeit, cPot.(y) der Geschwindigkeit nach dem 1/n-Potenzgesetz, cExp.(y) der extrapolierten Geschwindigkeit auf Basis der 7.4. RANDBEDINGUNGEN 83 letzten beiden Messwerte, rN dem Nabenradius und h der Kanalhöhe. Die jeweilige relative Kanalhöhe wird mit yrel und die des ersten bzw. letzten Messwertes mit δref bezeichnet. Das Potenzgesetz lautet nach MERKER UND BAUMGARTEN (2000) wie folgt cPot.(yrel) = cref · ( yrel δref )1/n (7.13) und geht ursprünglich auf von VON KÁRMÁN (1930) und BLASIUS (1912) zurück. Der Parameter n ist in Abhängigkeit der Reynolds-Zahl zu wählen, und liegt nach MER- KER UND BAUMGARTEN (2000) zwischen 7 und 9 für die untersuchten Betriebspunkte (Ma = 0, 4, Re ≈ 400000). Auf Basis der letzten beiden bzw. ersten beiden Messwerte kann eine lineare Funktion erstellt werden cExp. = m · yrel + b (7.14) m = ci − ci−1 yrel,i − yrel,i−1 (7.15) b = ci −m · yi, (7.16) wobei m der Steigung und b dem Ordinatenabschnitt entspricht. Das Ergebnis der Grenzschichtmodellierung ist in Abbildung 7.6 dargestellt. Zu erkennen sind in blau die Messpunkte sowie die modellierten Verläufe an Nabe und Gehäuse. Die rote Kur- ven entspricht der Variante ohne, und die grünen Kurven mit Wichtungsfunktion. In den Detailansichten 7.7 wird der Einfluss des Wichtungsparameters nochmals deut- licher veranschaulicht. Insbesondere am Gehäuse, siehe Abbildung 7.7 rechts, ist der Übergang zwischen Potenzgesetz und Messwerten bei Verwendung von w(yrel) organischer im Vergleich zu der Variante ohne Wichtungsparameter (roter Verlauf). Ein ähnliches Verhalten lässt sich an der Nabe feststellen, siehe Abbildung 7.7 links. Auch hier wirkt der grüne Verlauf glatter. Durch die Verwendung eines Potenzgeset- zes in Kombination mit einem Wichtungsparameter lassen sich physikalisch sinnvolle Eintritts-Randbedingungen generieren, die keine unnatürlich großen Schubspannun- gen induzieren und somit zu keiner zusätzlichen Aufdickung der Grenzschicht führen. Ein weiterer Punkt der bei der Vorgabe von den Eintritts-Randbedingungen berück- sichtigt werden muss, ergibt sich aus der Lage des Eintritts verglichen mit der Position der Messung in der Zuströmung zu dem Messgitter. Entsprechend Abbildung 7.2 liegt die Messebene ME1 35mm stromab des Eintritts, so dass die an der Messebene ME1 gemessenen radialen Verläufe nicht ohne weiteres am Eintritt als Randbedingung vor- gegeben werden können. Um dies zu berücksichtigen wurde der Totaldruckverlauf in 84 7. MODELLIERUNG UND NETZGENERIERUNG Exp. Mod1 Mod2 pt[Pa] 96000 100000 104000 108000 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0, 0 (r − r N ) h [-] Abb. 7.6.: Totaldruckrandbedingung am Eintritt auf Basis experimenteller Daten (EXP, blau) inklusive modelliertem Randbereich mit Wichtungsparameter (Mod1, grün) und ohne (Mod2, rot). Exp. Mod1 Mod2 94000 96000 98000 100000 0, 15 0, 10 0, 05 0, 00 pt [Pa] ( r − r N ) h [− ] Exp. Mod1 Mod2 102000 104000 106000 108000 0, 85 0, 90 0, 95 1, 00 pt [Pa] ( r − r N ) h [− ] Abb. 7.7.: Detailansicht an Nabe (links) und Gehäuse (rechts) bei Verwendung des Wichtungsparameters (grün) und ohne (rot). 7.4. RANDBEDINGUNGEN 85 einem iterativen Prozess mit einer Funktion korrigiert, so dass der Totaldruckverlauf der Simulation an der ME1 sehr gut mit den experimentellen Daten übereinstimmt. Das Kapitel 8.2.2 beschäftigt sich mit diesem Aspekt im Detail und untersucht den Einfluss dieser Adaption für den Betriebspunkt BP5 mit einer Inzidenz von i = 12◦. Die nach dieser Art korrigierten Eintritts-Randbedingungen aller fünf Betriebspunkte (siehe Tabelle 7.2) sind im Anhang E dargestellt. Wie bereits zu Beginn des Kapitels 3 erwähnt, kann innerhalb der verwendeten CFD- Software zur Berücksichtigung turbulenter Strömungen zwischen einer RANS und DES bzw. DDES Formulierung gewählt werden. Sowohl die DES- als auch die DDES-Me- thode sind in der vorliegenden Software so formuliert, dass sie auf das Eingleichungs- Turbulenzmodell nach Spalart-Allmaras (SA) SPALART UND ALLMARAS (1992) zurück- greifen, um die Turbulenz in dem wandnahen Bereich zu modellieren. Folglich wird für die (U)RANS Rechnung aus Gründen der besseren Vergleichbarkeit ebenfalls das SA- Turbulenzmodell genutzt. Bei der Nutzung des SA-Modells wird am Eintritt ein Wert für die turbulente kinematische Viskosität νt als Eingabe benötigt. Dieser ist am Eintritt deutlich gering als in der Hauptströmung und liegt im Bereich zwischen 1 < νt ν < 5 (7.17) laut NUMECATM (2011). Die kinematische Viskosität kann dabei mit Hilfe des Suther- land’s Gesetzes (siehe Gleichung (7.18)) und der Dichte ρ berechnet werden. Be- züglich aller in dieser Arbeit untersuchten Betriebspunkte liegt die Totaltemperatur zwischen 288 und 294K. Daraus ergibt sich eine dynamische Viskosität von μ = 1, 82 · 10−5kg/(ms). μ = μref ( Tt Tref )3/2 Tref + S Tt + S S = 110, 4K μref = 1, 76 · 10−5 kg/(ms) Tref = 273, 15K (7.18) Unter Berücksichtigung der Dichte, welche zwischen 1, 14 und 1, 17 kg/m3 liegt, beträgt die kinematische Viskosität ν = 1, 55 · 10−5 bis ν = 1, 6 · 10−5m2/s. Dementsprechend wird als turbulente kinematische Viskosität der 1 bis 5-fache Wert der kinematischen Viskosität am Eintritt als Randbedingung vorgegeben. 86 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN 8. Numerische Untersuchungen Nachdem in den vorherigen Kapitel die notwendigen theoretischen Grundlagen be- reitgestellt wurden, werden im folgenden Kapitel, basierend auf Voruntersuchungen, instationäre Simulationen des gesamten Messgitters durchgeführt und hinsichtlich ro- tierender Strukturen im Strömungsfeld untersucht. 8.1. Voruntersuchungen Das primäre Ziel der Voruntersuchungen besteht darin eine Kombination aus Turbu- lenzmodellierungsmethode (URANS, DES, DDES), Rechengitter sowie Zeitschritt zu identifizieren, mit der sich RI abbilden lässt. Nach aktuellem Kenntnisstand steht die RI im Zusammenhang mit Scherschichtinstabilitäten und daraus entstehenden Wirbel- systemen, welche in Umfangsrichtung transportiert werden, HERMLE (2014); BESELT (2015). Eine Simulation sollte daher in der Lage sein solche komplexe Phänomene möglichst genau abzubilden. Mit Hilfe des Kolmogorov-Energiespektrums, siehe Ab- schnitt 4.2.1, ist dies möglich, da dieses im Zusammenhang mit dem Anteil aufgelöster Turbulenz steht. Daher wird das turbulente kinetische Energiespektrum nach Kolmogo- rov innerhalb des Identifikationsprozesses als Bewertungsinstrument herangezogen. Die Vorgehensweise der Voruntersuchungen ist anhand der Abbildung 8.1 schema- tisch visualisiert und kann in vier Phasen unterteilt werden, wobei der Inhalt dieser Phasen im Folgenden kurz erläutert wird. Innerhalb der Voruntersuchungen wird je- weils nur eine Teilung des Messgitters berücksichtigt um den numerischen Aufwand so gering wie möglich zu halten. 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 87 Theoretische Rechengitteruntersuchung: Entsprechend der schematischen Darstellung in Abbildung 8.1 bezieht sich der ers- te Punkt auf eine theoretische Gitteruntersuchung hinsichtlich einzuhaltender Cut-Off Längen, um einen bestimmten Anteil des Spektrums wiederzugeben. Diese Untersu- chung ist der Vollständigkeit halber hier aufgelistet, wurde aber bereits im Abschnitt 7.2.1 diskutiert. Im Ergebnis weisen alle Netze im Mittel eine Zellgröße auf, die es ermöglicht mindestens 80% des turbulenten kinetischen Energiespektrums wiederzu- geben. Gültigkeit des numerischen Modells: Ein Vergleich der stationären RANS Rechnungen bezüglich aller in Tabelle 7.2 auf- geführten Betriebspunkte soll die grundsätzliche Eignung des CFD-Verfahrens zeigen und einen ersten Eindruck vermitteln, inwieweit sich die vier zur Verfügung stehenden Rechennetze qualitativ und quantitativ unterscheiden. Dabei werden die Daten aus den Simulationen mit experimentellen Messergebnissen in der Zu- und Abströmung des Messgitters an den Messpositionen ME1 und ME2 (siehe Abbildung 7.2) verglichen. Da das dieser Arbeit zugrundeliegende Phänomen bei hohen Inzidenzen in Erschei- nung tritt, wird sich im weiteren Verlauf der Voruntersuchungen hauptsächlich auf den Betriebspunkt BP5 mit einer Inzidenz von i = 12◦ gestützt. Einfluss der Turbulenzmodellierung: Auf Basis eines Vergleichs der turbulenten Energiespektren zwischen einer URANS, DES- und DDES-Rechnung sowie des analytischen Kolmogorov-Spektrums sollen die grundsätzlichen Verfahrensunterschiede verdeutlicht und die Nutzung einer DES- bzw. DDES-Methode motiviert werden. Hierbei werden zeitliche und spektrale Verläufe des statischen Druckes und der Geschwindigkeit im Bereich der Vorderkante genutzt. Zeitschritt- und Rechengittereinfluss: Basierend auf instationären DES- und DDES-Rechnungen des Betriebspunktes BP5 auf allen Gittern wird eine Methode, ein Netz und ein Zeitschritt identifiziert, die ei- ner geeigneten Kombination entsprechen, um Untersuchungen hinsichtlich rotierender Strukturen auf einem vollvernetzten Gitter durchzuführen. Der Identifikationsprozess basiert dabei auf einer spektralen Untersuchung der Strömungsgrößen sowie auf ei- nem Vergleich mit experimentellen Daten. 88 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Fi ne Tu rb o Fi ne Tu rb o Fi ne O pe n Datenbasis 17 Teilungen 1 Teilung RANS (stationär) URANS DES DDES Methodew Gitterw Δtw 1. Theoretische Gitteruntersuchung 2. Validierung anhand experimenteller Daten 3. Methodeneinfluss 4. Zeitschritt- und Rechengittereinfluss 5. Ressourcenanalyse (Rechenzeit/Speicherplatz) G1 G1G1 G1 G2G2 G2 G3G3 G3 G4G4 G4 Δt1 Δt1Δt1 Δt2Δt2 Δt3Δt3 Δt4Δt4 BP1 BP2 BP3 BP4 BP5 Abb. 8.1.: Schematische Darstellung des Ablaufes der Voruntersuchungen. Ressourcenanalyse: Im letzten Schritt der Voruntersuchungen werden sinnvolle Kombinationen aus Me- thode, Rechengitter und Zeitschritt hinsichtlich der Ressourcen Speicherplatz, Re- chendauer und vorhandener Lizenzen analysiert. Basierend auf diesen Ergebnissen wird anschließend das volle Messgitter vernetzt, berechnet und hinsichtlich rotierender Strukturen untersucht. 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 89 8.1.1. Auswertepositionen Neben den bereits bekannten Messebenen ME1 und ME2 vor und hinter der Mess- gitterschaufel, welche bereits in Kapitel 7.1.1 vorgestellt wurden, werden innerhalb der Voruntersuchungen weitere Positionen herangezogen. Die Auswertung und der Ver- gleich der instationären Simulationen basieren auf zeitlichen Verläufen der absoluten Geschwindigkeitskomponenten und des statischen Druckes, welche durch das Set- zen von Monitor-Punkte instantan während einer Simulation aufgezeichnet werden. Insgesamt werden bezüglich der instationären Simulationen jeweils 4 Monitor-Punkte auf sechs radialen Höhen genutzt. Die Positionen sind in Abbildung 8.2 exemplarisch dargestellt. Wie zu erkennen ist befinden sich alle Monitor-Punkte im Bereich der Schaufelvorderkante, da die RI in diesem Bereich am deutlichsten in Erscheindung tritt, HERMLE (2014). 8.1.2. Theoretische Gitteruntersuchung Wie bereits zuvor erwähnt, können anhand des Pope‘schen Modells (Gleichung (4.15)) für die zu untersuchenden Betriebspunkte charakteristische Längen (Cut-Off Längen), in Abhängigkeit des aufzulösenden Anteiles des turbulenten Energiespektrums, be- stimmt werden. Die genaue Berechnung, Vorgehensweise sowie die eigentlichen Cut- Off Längen können im Anhang D.1 eingesehen werden. Im Ergebnis resultieren für die im Fokus dieser Arbeit stehenden Betriebspunkte die folgenden Cut-Off Längen, siehe Gleichung (8.2), wobei der Index darauf hinweist, dass es sich um eine Cut-Off Grö- ße (c) handelt, bei welcher ein bestimmter prozentualer Anteil des turbulenten Ener- giespektrums abgebildet wird. Eine 80 im Index bedeutet beispielsweise, dass 80% des Spektrums aufgelöst werden, wenn alle Zellen des Netzes dieser Länge entspre- 90 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Abb. 8.2.: Schematische Darstellung der Position der 24 Monitor-Punkte im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: Frontansicht. Oben rechts: Draufsicht. Unten: Iso-Ansicht. Zur Differenzierung der radialen Lage, dient die Farbko- dierung. chen. c,70 = 13, 2 · 10−4m c,75 = 10, 2 · 10−4m c,80 = 7, 5 · 10−4m c,85 = 5, 1 · 10−4m (8.1) c,90 = 3, 0 · 10−4m (8.2) 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 91 Anzumerken ist, dass die berechneten Cut-Off Längen (Gleichung (8.2)), nicht c,Nyq =  2 = π κ (8.3) , sondern c =  2π = 1 κ (8.4) entsprechen. Die erste Variante (Gleichung (8.3)) entspricht dem Nyquist-Kriterium, nach welchem die Gitterlängen kleiner gleich der Hälfte der aufzulösenden charakte- ristischen Länge  entsprechen müssen. Um eine bessere Auflösung zu gewährleisten, wird in dieser Arbeit die zweite Variante (Gleichung (8.4)) genutzt, so dass eine charak- teristische Länge durch 2π-Punkte diskretisiert wird. Folglich entspricht die Einhaltung der hier verwendeten Cut-Off Längen einem strengeren Kriterium. VAN RENNINGS (2016) gibt für die Vernetzung einer sehr ähnlichen Geometrie bei an- nähernd gleicher Mach- und Reynolds-Zahl eine Zellweite von 5 · 10−4m an, um 80% des turbulenten Energiespektrums abzubilden. Verglichen mit den hier berechneten Längen (siehe Gleichung (8.2)), liegen diese auf einem vergleichbaren Niveau. Netz < c,70% < c,75% < c,80% < c,85% Δmm G1 100,00 99,71 96,69 66,05 3, 57 · 10−4 G2 100,00 95,76 73,75 56,85 4, 64 · 10−4 G3 100,00 76,86 63,87 49,48 6, 14 · 10−4 G4 95,90 76,55 60,57 47,73 7, 32 · 10−4 Tab. 8.1.: Prozentualer Anteil der Zellen je Gitter, die kleiner einer bestimmten Cut-Off Länge sind sowie mittlere Zellgröße Δm des jeweiligen Netzes Die erstellten Gitter lassen sich hinsichtlich dieser charakteristischen Längen untersu- chen, wobei in Anlehnung an SPALART (2001) ca. 80% des Spektrums wiedergege- ben werden sollten. Dies bedeutet, dass der Abstand der Netzknoten zueinander eine Länge von ca. 7, 5 · 10−4m nicht überschreiten sollte. Für alle vier Rechengitter kann Tabelle 8.1 der prozentuale Anteil der Zellen entnommen werden, die das Kriterium er- füllen kleiner gleich einer charakteristischen Länge zu sein. Zusätzlich ist in der fünften Spalte der Tabelle 8.1 die mittlere Zellgröße Δm eingetragen. Das Gitter G1 erfüllt die Anforderungen nach SPALART (2001) und ist geeignet um 80% 92 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN des turbulenten Energiespektrums abzubilden. Fast alle Zellen (96, 69%) sind kleiner als die Cut-Off Länge c,80. Hinsichtlich des Rechennetzes G2, erfüllen gut 70% der Zellen das Kriterium < c,80. Die Gitter G3 und G4, sind wie zu erwarten, theoretisch in der Lage ca. 70 bis 75% des turbulenten Spektrums wiederzugeben und somit von geringerer Qualität verglichen mit den Gittern G1 und G2. Es kann festgehalten wer- den, dass es sich bezüglich der zwei feinsten Gittern, G1 und G2, um qualitativ sehr hochwertige Netze handelt, welche den Empfehlungen von SPALART (2001) entspre- chen. Hinsichtlich der Rechengitter G3 und G4 sind diese, vor dem Hintergrund der sehr streng berechneten Cut-Off Längen, als hinreichend einzustufen. Ergänzend sei an dieser Stelle erwähnt, dass es sich hierbei um integrale Kenngrößen der Rechengitter handelt. Relevante Bereiche, wie etwa das Gebiet um die Schaufel- vorderkante sowie der Nabenspalt werden gleichermaßen wie weniger wichtige Zonen, wie beispielsweise das Gebiet nahe dem Austritt, berücksichtigt. Die Berechnung der prozentualen Anteile, der mittleren Zellgrößen, das Modellspektrum nach Pope und die daraus abgeleiteten Cut-Off Längen unterliegen gewissen Vereinfachungen, so dass die hier dargestellten Ergebnisse der theoretischen Gitteruntersuchung als Tendenzen zu verstehen sind und zusammen mit den Ergebnissen stationären und instationären Simulationen gesamtheitlich betrachtet werden müssen. 8.1.3. Gültigkeit des numerischen Modells Wie bereits im Kapitel 7.4 erwähnt, werden für alle Rechnungen am Eintritt der Total- druck und der Zuströmwinkel als radiale Profile sowie die Totaltemperatur und die tur- bulente kinematische Viskosität als skalare Größe vorgegeben. Die globalen Resultate der stationären RANS-Simulationen sind in Abbildung 8.3 anhand von drei Diagram- men visualisiert, wobei die zugrundeliegenden Werte in der Tabelle F.3 eingesehen werden können. Insgesamt wurden stationäre Rechnungen bezüglich aller fünf Be- triebspunkte (vergleiche Tabelle 7.2) durchgeführt, wobei sich diese nur hinsichtlich der Inzidenz unterscheiden. In den Abbildungen 8.3 und 8.5 sind der Totaldruckverlustbeiwert cpt sowie das sta- tische Druckverhältnis π über dem Massenstrom aufgetragen. Je Betriebspunkt sind fünf Symbole zu erkennen, wobei es sich dabei um den jeweiligen experimentellen 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 93 Messwert und die zugehörigen Ergebnisse der vier untersuchten Gitter handelt. Hin- sichtlich der höchsten Inzidenz sind zusätzlich zu den Ergebnissen der stationären RANS-Rechnungen, zeitgemittelte DES-Resultate eingetragen. Während der Massenstrom direkt als Ergebnis nach einer RANS-Rechnung vorliegt, werden der cpt- und der π-Wert anhand von gemittelten radialen Verläufen an den Mes- sebenen ME1 und ME2 nach Gleichung (8.5) und (8.6) berechnet. Für die Berechnung der gemittelten radialen Verläufe wurden, entsprechend den experimentellen Daten, nur die Werte der RANS-Rechnung zwischen 10 und 90% Kanalhöhe berücksichtigt. (Im Experiment wurde die 5-Loch-Sonde nicht weiter als 10% der Kanalhöhe an Nabe und Gehäuse traversiert. Dies entspricht einem Abstand von 5, 5mm.) π = pME1 pME2 (8.5) cpt = pt,ME1 − pt,ME2 pt,ME1 − pME1 (8.6) Während der Messfehler der Massenstrommessung mit ±2, 5% angegeben wird, gilt Folgendes hinsichtlich der 5-Loch-Sondenmessung. Der Messfehler des Druckaufneh- mers, an welchen die 5-Loch-Sonde gekoppelt ist, besitzt eine Messungenauigkeit von 0, 05% bezogen auf den maximalen Messbereich, ca. ±340mbar gegenüber dem Um- gebungsdruck. Somit liegt die absolute Messungenauigkeit bei ±17, 24Pa. Wird dies bei der Bildung des experimentellen cpt-Wertes berücksichtigt, so resultiert eine Tole- ranzband von ca. ±1% bezogen auf den maximalen Messbereich (340mbar) bei jedem Betriebspunkt, vergleiche HERMLE (2014). Totaldruckverlustbeiwert Bezüglich des Totaldruckverlustbeiwertes cpt 8.6, welcher in Abbildung 8.3 dargestellt ist, weisen die Ergebnisse, verglichen mit den Massenstromdaten, eine gute Überein- stimmung auf. Auch hierbei liegen die numerisch ermittelten Werte sehr dicht an den experimentellen Daten. Allerdings lässt sich der Trend erkennen, dass mit zunehmen- der Inzidenz die Abweichung auf allen Netzen größer wird. Während die Abweichung gegenüber dem Experiment bei einer Inzidenz von i = 0◦ auf allen Netzen kleiner 1% ist, liegt die relative Differenz des Totaldruckverlustbeiwertes bei einer Inzidenz 94 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN EXP RANS-G1 RANS-G2 RANS-G3 RANS-G4 DES-G1 DES-G2 DES-G3 DES-G4 m˙ [kg/s] cp t [− ] 5, 24, 84, 44, 0 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0, 0 BP1 BP2 BP3 BP4 BP5 Abb. 8.3.: Totaldruckverlustbeiwert cpt über Massenstrom m˙ der stationären RANS- Rechnungen auf vier Gittern (siehe Tabelle F.3) bezüglich der fünf untersuch- ten Betriebspunkte (siehe Tabelle 7.2) sowie zeitgemittelte DES-Resultate hinsichtlich des Betriebspunktes mit einer Inzidenz von i = 12◦. von i = 12◦ zwischen 6, 65 und 3, 71%. Hinsichtlich der Massenstromgenauigkeit liegen fast alle numerischen RANS-Ergebnisse innerhalb der angegebenen Messtoleranz von ±2, 5% bezogen auf das Experiment. Einzige Ausnahme bilden die Ergebnisse, wel- che mit dem gröbsten Gitter G4 hinsichtlich der Betriebspunkte i = 6◦ und 10◦ erzielt wurden. Die zusätzlich eingetragenen gemittelten DES-Resultate für den am höchsten belas- teten Betriebspunkt liegen im Vergleich zur RANS-Rechnungen auf einem ähnlichen Niveau. Allerdings wird in allen DES-Rechnungen ein geringerer Massenstrom vorher- gesagt. Dies lässt sich durch die geringere numerische Viskosität begründen, die dafür sorgt, dass abgelöste Wirbel nicht sofort dissipiert werden und länger im Strömungs- 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 95 feld existieren. Diese stellen ihrerseits einen Verlust dar, welcher sich unter anderem in einer Reduktion des Massenstroms widerspiegelt. Der Totaldruckverlustbeiwert liegt im Abb. 8.4.: Stromlinien und Entropieverteilung (oben) sowie Stromlinien und Totaldruck- verteilung (unten) einer RANS-Simulation auf dem Gitter G1 entlang eines Zylinderschnittes bei 20% Kanalhöhe bei einer Inzidenz von i = 0◦ (links) und bei i = 12◦ (rechts). Die Strömungsrichtung ist von links nach rechts. Auslegungspunkt bei etwa 6 bis 7% und steigt mit zunehmender Belastung zunächst linear an, wobei ab einer Inzidenz von i = 10◦ eine abrupte Erhöhung von 16 auf 34% festzustellen ist. Für den bereits im Auslegungspunkt vorliegenden hohen Totaldruck- verlustbeiwert ist ein (Hub-)Corner-Stall verantwortlich, welcher in der Nähe der Nabe zu hohen Verlustbeiwerten führt und von WEIDENFELLER (2001) untersucht und be- schrieben wurde. Nach WEIDENFELLER (2001) liegt das Maximum des Totaldruckver- lustbeiwertes bei über 0, 3 für den Auslegungspunkt und ist bei ca. 20% Kanalhöhe zu finden. Der (Hub-)Corner-Stall und dessen Einfluss wird ebenfalls durch die stationären RANS Simulationen wiedergegeben. Dies ist in der Abbildung 8.4 zu erkennen. Darge- stellt sind Stromlinien und die Entropieverteilung (Abbildung 8.4 oben) sowie Stromlini- 96 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN en und die Totaldruckverteilung (Abbildung 8.4 unten) entlang eines Zylinderschnittes bei 20% Kanalhöhe für den Auslegungspunkt sowie für i = 12◦. Gut zu erkennen ist das Gebiet, welches dem Corner-Stall zugeordnet werden kann. Dieses beginnt im Auslegungspunkt saugseitig bei ca. 50% der Sehnenlänge und ist einerseits mit einem geringeren Totaldruck sowie mit einer erhöhten Entropie verbunden und kann zudem durch das Stromlinienwirbelpaar in Abbildung 8.4 auf der linken Seite identifiziert wer- den. Bei hoher Belastung (Abbildung 8.4 rechte Darstellungen) verlagert sich dieser Sekundärströmungseffekt weiter stromauf und beginnt saugseitig bereits kurz nach der Vorderkante. Das betroffene Gebiet ist im Vergleich zum Auslegungspunkt deutlich größer und reicht in Umfangsrichtung fast über die komplette Passage. Durch diesen Effekt resultieren die im Diagramm 8.3 dargestellten hohen Totaldruckverlustbeiwer- te. Druckverhältnis Das statische Druckverhältnis errechnet sich, wie bereits anhand von Gleichung (8.5) dargestellt, aus dem umfangsgemittelten statischen Druck an der Messebene ME1 zur Messebene ME2. Die Ergebnisse aus den Experimenten und aus den Simulatio- nen sind in Abbildung 8.5 aufgetragen. Die x-Achse entspricht wieder dem Massen- strom und die y-Achse dem statischen Druckverhältnis π. Wie zu erkennen ist variiert das Druckverhältnis mit zunehmender Inzidenz nur sehr gering, so dass unter Be- rücksichtigung der Messtoleranzen ein nur geringer Trend abzulesen ist. Ebenso wie bei dem Totaldruckverlustbeiwert gelten hierbei die selben Toleranzgrenzen mit ca. ±1%. Die numerischen Ergebnisse liegen fast immer innerhalb der Messtoleranzen und sind daher ebenfalls als sehr gut zu bewerten. Einzige Ausnahme ist das Ergebnis auf dem gröbsten Netz G4 bei einer Inzidenz von i = 0◦ und 6◦. Dort wird der numerisch er- mittelte π-Wert um 1, 5% gegenüber dem Experiment überschätzt. Des Weiteren kann festgehalten werden, dass die Resultate der Simulation immer oberhalb der experi- mentellen Mittelwerte, aber noch innerhalb der Messtoleranz, liegen. Diese Verschie- bung zu höheren Mittelwerten lässt sich einerseits auf die Verwendung extrapolierter Randbedingung zur Wand hin und evtl. Reibungs- und Verlusteinflüsse zurückführen, die in der Numerik nicht hinreichend genau wiedergegeben werden. Andererseits sind 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 97 4 5 EXP RANS-G1 RANS-G2 RANS-G3 RANS-G4 DES-G1 DES-G2 DES-G3 DES-G4 m˙ [kg/s] π [− ] 5, 54, 53, 5 0, 99 1, 01 1, 03 1, 05 Abb. 8.5.: Druckverhältnis π über Massenstrom m˙ der stationären RANS-Rechnungen auf vier Gittern (siehe Tabelle F.3) bezüglich der fünf untersuchten Betrieb- spunkte (siehe Tabelle 7.2) sowie zeitgemittelte DES-Resultate hinsichtlich des Betriebspunktes mit einer Inzidenz von i = 12◦. die genutzen experimentellen Messdaten im Abströmbereich sehr nah am Gitteraustritt gemessen worden, so dass die dortigen Instationaritäten Messungen erschwert ha- ben. Hinsichtlich der gemittelten DES-Rechnungen lässt sich ein ähnliches Verhalten, ver- glichen mit dem Totaldruckbeiwert, erkennen. Die Differenz zwischen Experiment und DES-Rechnung ist allgemein sehr gering. Mit zunehmender Gitterauflösung nimmt die Differenz ab, wobei auch hierbei eine geringere Massenstromvorhersage aus oben ge- nannten Gründen zu beobachten ist. 98 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Radiale Verläufe In den Diagrammen in den Abbildungen 8.6 und 8.7 sind die radialen Verläufe des To- taldruckes, der Mach-Zahl sowie des Strömungswinkels an der Messebene ME1 und ME2 für die Betriebspunkte BP1 (obere Diagramme) und BP5 (untere Diagramme). Dabei sind die radialen Verläufe der RANS-Rechnungen auf dem gröbsten (G4) und feinsten Netz (G1) bezüglich beider Betriebspunkte aufgetragen. Die zeitgemittelten DES-Ergebnisse basieren auf dem feinsten Netz und sind für den innerhalb dieser Ar- beit relevanten Betriebspunkt mit einer Inzidenz von i = 12◦ dargestellt. Anhand der Verläufe der stationären RANS-Rechnungen sowie der zeitgemittelten DES-Rechnung lässt sich eine gute Übereinstimmung zwischen Numerik und Experiment sowohl für ME1 als auch für ME2 ablesen. Allgemein kann festgestellt werden, dass die Ergeb- nisse an der Messebene hinter dem Gitter (Abbildung 8.7) größere Abweichungen ge- genüber der Messposition vor dem Gitter aufweisen. Dies zeigt sich insbesondere ab 50% Kanalhöhe in Richtung Nabe bei der höheren Inzidenz im Abströmwinkel α2 (Ab- bildung 8.7 unten links). Wie bereits erwähnt, befindet sich an dieser Stelle ein (Hub- )Corner-Stall, welcher die Messung mittels 5-Loch-Sonde erschwert und teilweise zu unphysikalischen Ergebnissen führt (HERMLE (2014)). Der positive Einfluss einer höheren räumlichen Auflösung lässt sich insbesondere an den wandnahen Bereichen sowie anhand des Abströmwinkels bei einer Inzidenz von i = 0◦ feststellen. Obwohl der Unterschied zwischen dem gröbsten und feinsten Netz fast 8 Millionen Zellen beträgt, kann festgehalten werden, dass das gröbste Netz quali- tativ sehr gute Ergebnisse liefert. Im Abschnitt 7.4 wurde auf eine Korrektur der Einlass- Randbedingungen hingewiesen, um sicherzustellen, dass die Verläufe der Simulation an der ME1 den experimentell gemessenen Profilen entsprechen. Für eine Inzidenz von i = 0◦ gleichen die radialen Profile (Abbildung 8.6, oben) stromauf der Vorder- kante nahezu exakt den Werten des Experiments. Für den zweiten dargestellten Be- triebspunkt mit einer Inzidenz von i = 12◦ (Abbildung 8.6 unten) sehen die Verläufe im oberen Bereich ebenfalls sehr gut aus. Ab 30% Kanalhöhe bis hin zur Nabe sind größere Differenzen vorhanden. Insbesondere das Niveau des Totaldruckverlaufs der Simulationen ist deutlich geringer. In Abbildung 8.8 ist dieser Bereich im Detail dar- gestellt. Die Differenzen zwischen Numerik und Experiment liegen bei bis zu 2000Pa, wobei die größte Abweichung bei der zeitgemittelten DES-Rechnung festgestellt wer- den kann. Insgesamt liegt der Totaldruck in diesem Bereich unterhalb des statischen Druckes an der Austrittsebene, wodurch ein entgegen der Strömungsrichtung gerich- 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 99 (r − r N ) h [− ] pt,1 [Pa] 1, 0 0, 6 0, 2 90k 100k 110k Ma1 [−] 0, 1 0, 3 0, 5 α1 [◦] −30−40−50 (r − r N ) h [− ] pt,1 [Pa] 1, 0 0, 6 0, 2 90k 100k 110k Ma1 [−] 0, 1 0, 3 0, 5 α1 [◦] −50−70−90 Abb. 8.6.: Radiale Verläufe von pt,1, Ma1 und α1 an der Messebene ME1 vor dem Messgitter des RGWKs für die Inzidenzen i = 0◦ (oben) und i = 12◦ (un- ten). RANS-G1 (— +), RANS-G4 (— ×), Experiment (— +×), DES-G1 (— ) 100 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN (r − r N ) h [− ] pt,2 [Pa] 1, 0 0, 6 0, 2 90k 100k 110k Ma2 [−] 0, 1 0, 3 0, 5 α2 [◦] −30 −20 −10 (r − r N ) h [− ] pt,2 [Pa] 1, 0 0, 6 0, 2 90k 100k 110k Ma2 [−] 0, 1 0, 3 0, 5 α2 [◦] −50 −30 −10 Abb. 8.7.: Radiale Verläufe von pt,2, Ma2 und α2 an der Messebene ME2 hinter dem Messgitter des RGWK für die Inzidenzen i = 0◦ (oben) und i = 12◦ (unten). RANS-G1 (— +), RANS-G4 (— ×), Experiment (— +×), DES-G1 (— ) 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 101 (r − r N ) h [− ] pt,2 [Pa] 0, 3 0, 2 0, 1 0, 0 90k 100k 110k Abb. 8.8.: Detailansicht des radialen Verlaufes von pt,2 an der Messebene ME1 vor dem Messgitter des RGWKs für eine Inzidenz von i = 12◦. RANS-G1 (—), RANS-G4 (—), Experiment (—.), DES-G1 (—) 102 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN teter Gradient entsteht. Eine genauere Darstellung dieses Sachverhaltes mit anschlie- ßender Untersuchung wird in Kapitel 8.2.2 vorgestellt. Dimensionslose Wandabstände x+, y+ und z+ Ergänzend zu den eben gezeigten globalen Daten im Vergleich zu den experimen- tellen Messgrößen wird im Folgenden der Verlauf des y+-Wertes in Abhängigkeit der Inzidenz für alle genutzten Netze dargestellt. Wie aus dem Diagramm in Abbildung 8.9 0 RANS-G4 RANS-G3 RANS-G2 RANS-G1 Inzidenz i[◦] y + [− ] 0, 6 1, 0 1, 4 1, 8 2 4 6 8 10 12 Abb. 8.9.: Verlauf des maximalen y+-Wertes in Abhängigkeit des Betriebspunktes für vier unterschiedliche räumliche Diskretisierungen. hervorgeht, verlaufen die y+-Werte aller vier Gitter nahezu parallel zueinander, liegen deutlich unterhalb eines Wertes von zwei und besitzen ein Maximum bei einem Be- triebspunkt mit einer Inzidenz von i = 6◦. Somit kann festgehalten werden, das alle Gitter einen sehr guten y+-Wert aufweisen und ebenfalls den Anforderungen diesbe- züglich an eine DES-Rechnung erfüllen, siehe Kapitel 7.2. Bezüglich der RI-relevanten 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 103 Netz x+min x+max z+min z+max G1 10 454 21 668 G2 10 564 20 871 G3 25 720 40 1127 G4 30 801 40 1257 Tab. 8.2.: Minimale und maximale dimensionslose Wandabstände in paralleler Rich- tung bezüglich einer Inzidenz von i = 12◦. Inzidenz (i = 12◦) sind in Tabelle 8.2 die ungefähren Bereiche der wandparallelen Ab- stände aller vier Gitter aufgetragen. Eine Bewertung dieser Größen ist im Allgemeinen schwer, da die Empfehlungen in der Literatur auseinander gehen, siehe FRÖHLICH (2006). Daher haben die Werte an dieser Stelle einen rein informativen Charakter. Es sollte jedoch vermieden werden, dass durch eine zu feine wandparallele Diskretisie- rung fälschlicherweise mit DES anstelle von RANS in diesem Bereich gerechnet wird und so grid induced seperation = GIS entstehen kann. Da die dimensionslosen Werte in x- und z-Richtung für alle Netze deutlich größer sind verglichen mit den y+-Werten, ist das besagte GIS-Risiko sehr gering. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die verwendete Software eine ho- he Güte hinsichtlich der Wiedergabe der gemessenen Betriebspunkte besitzt und so- wohl globale Daten als auch radiale Verläufe qualitativ und quantitativ sehr gut repro- duziert werden könnten. Ein positiver Einfluss einer feineren räumlichen Auflösung ist anhand der Gegenüberstellung ebenfalls tendenziell feststellbar, wobei das gröbste Netz ebenfalls gute Ergebnisse liefert. 8.1.4. Einfluss der Turbulenzmodellierung Im folgenden Abschnitt werden eine URANS-, DES- und DDES-Rechnung auf dem feinsten Gitter (G1) für die kleinste Zeitschrittweite (Δt1 = 2, 5 · 10−6 s) für den Be- triebspunkt BP5 mit einer Inzidenz von i = 12◦ vorgestellt und miteinander verglichen. Dabei erfolgt der Vergleich auf Basis der zeitlichen Druck- und Geschwindigkeitsfluk- tuationen im Bereich der Schaufelvorderkante. In Abbildung 8.10 sind die relativen 104 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN statischen Druckdifferenzen Δprel des Monitor-Punkte 4 einer URANS- (grüne Kur- ve), DES- (rote Kurve) und DDES-Rechnung (blaue Kurve) einander gegenüberge- stellt. Δprel = p− pref pref mit pref = 101325Pa (8.7) Dabei berechnet sich die dargestellte Größe aus Abbildung 8.10 nach Gleichung (8.7), wobei der genutzte Referenzwert pref einem Umgebungsdruck von 101325Pa entspricht. Insgesamt beträgt die dargestellte Simulationsdauer 0, 00647 s. Deutlich zu erkennen 0.000 Zeit t [s] Δ p p re f. dim. Zeit Δt∗ [-] DDES DES URANS 18, 6915, 5812, 469, 3456, 2303, 115 0, 080 0, 075 0, 070 0, 065 0, 060 0, 055 0, 0060, 0050, 0040, 0030, 0030, 001 Abb. 8.10.: Vergleich des zeitlichen Verlaufes der relativen statischen Druckdifferenz des Monitor-Punkte 12 zwischen einer URANS- (grün), DES- (rot) und DDES-Rechnung (blau). Die zweite x-Achse entspricht einer dimensionslo- sen Zeit entsprechend Abschnitt 7.3. ist der unterschiedliche Verlauf zwischen URANS und DES/ DDES. Die relative statische Druckdifferenz der URANS-Rechnung ist bis zu dem Zeit- punkt t = 0, 003 s nahezu identisch und beginnt erst ab diesem Zeitpunkt gleichmäßig zu fluktuieren. Die Amplitude der Fluktuation ist sehr gering und beträgt weniger als 0, 5% des Referenzwertes. Im Gegensatz dazu ist bezüglich des blauen und roten Ver- 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 105 DDES DES URANS EXP f [Hz] G x x [P a 2 / H z ] 10+2 10+3 10+4 10−15 10−10 10−05 10+00 Abb. 8.11.: Autospektraldichtefunktion der Fluktuationen des statischen Druckes im In- tervall 0, 0030 s < t < 0, 00647 s. Um eine Spektralauflösung von Δf = 10Hz zu gewährleisten, wurde auf die Methode des Zero-Paddings zurück- gegriffen. laufes eine transiente Einschwing- bzw. Anlaufphase zu erkennen, welche sich von t = 0 s bis 0, 0030 s erstreckt. Diese Zeitspanne entspricht in etwa 6 CU . Dabei ent- spricht eine CU der Zeit, die ein Partikel benötigt um die axiale Sehnenlänge zurück- zulegen, (siehe Abschnitt 7.3). Im Anschluss daran beginnt der eigentliche Verlauf, wel- cher Fluktuationsanteile unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden aufweist, wobei die größten Amplitudenwerte ungefähr ±1% des Referenzwertes (≈ ±1000Pa) betra- gen. Zur weiteren Untersuchung der Verläufe wird eine Frequenzanalyse im Intervall 0, 0030 s < t < 0, 00647 s durchgeführt. Das Resultat einer spektralen Analyse der Fluktuationsanteile des statischen Druckes (Abbildung 8.10) ist in Abbildung 8.11 dargestellt, wobei sowohl die Frequenz als auch die Amplitudenwerte logarithmisch aufgetragen sind. Zusätzlich ist auf Basis der expe- rimentellen nabenseitigen Drucksignale von HERMLE (2014) das Spektrum dargestellt. 106 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Der RI-relevante Bereich ist grau hinterlegt. Deutlich zu erkennen sind die Unterschiede zwischen URANS und den hybriden Ver- fahren. Sowohl die Amplituden als auch der generelle Verlauf der URANS-Rechnung weisen signifikante Unterschiede auf. Die DES- und DDES-Rechnungen entsprechen in guter Näherung dem experimentellen Verlauf, wobei ab ca. 1500Hz beide hybriden Verfahren eine stärkere Fluktuationen vorhersagen. Ein ähnliches Ergebnis ergibt sich bei Betrachtung des mittleren ALS der Geschwindig- keitsfluktuationen in alle drei Koordinatenrichtungen (k = x, y, z). Wie bereits im Unter- kapitel 4.2.2 erwähnt wurde, stehen die Geschwindigkeitsfluktualtionen in Zusammen- hang mit dem turbulenten kinetischen Energiespektrum, welches durch die Vorschrift (8.8) berechnet werden kann. Dabei kann, wie bereits in Abschnitt 4.2.3 erwähnt, unter Annahme der Taylor-Hypothese die Wellenzahl bei Kenntnis einer mittleren Transport- geschwindigkeit v¯ in eine Frequenz überführt werden und umgekehrt. E(κ)vx · v¯x 2π = ALSvx(f) = 1 n n∑ i=1 Gxx,i,vx, E(κ)vy · v¯y 2π = ALSvy(f) = 1 n n∑ i=1 Gxx,i,vy , E(κ)vz · v¯z 2π = ALSvz(f) = 1 n n∑ i=1 Gxx,i,vz , E(κ) = ( E(κ)2vx + E(κ) 2 vy + E(κ) 2 vz )1/2 (8.8) In Abbildung 8.12 sind gemittelte turbulente Energiespektren basierend auf allen drei Geschwindigkeitsfluktuationen bezüglich der Methoden URANS, DES und DDES dar- gestellt, wobei für die Berechnung der numerischen Spektren Monitor-Punkte im Be- reich der Vorderkante zwischen 5 bis 30% Kanalhöhe genutzt wurden (siehe Kapitel 8.2). Ergänzend dazu sind ein experimentelles Spektrum basierend auf Hitzdrahtmes- sungen bei 5% Kanalhöhe von SCHIFFER (2017), eine −5/3-Gerade sowie der re- levante RI-Frequenzbereich (grau) dargestellt. Aufgrund der limitierten Abtastrate im Experiment beträgt die maximal darstellbare Frequenz 4800Hz. Der Verlauf des expe- rimentellen Spektrums weist bis zu dieser maximalen Frequenz eine konstante Stei- gung von ungefähr −5/3 auf. Ab einer Frequenz von ca. 2500Hz nimmt der Betrag der Steigung des experimentellen Verlaufes zu, so dass dies den Übergang zum Dissipa- tionsbereich kennzeichnet. 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 107 f [Hz] E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 10+0410+0310+02 10+02 10−02 10−06 10−10 10−14 Abb. 8.12.: Dreidimensionales turbulentes Energiespektrum einer DES (MP 5 bis 16: —), URANS (MP 5 bis 16: —) und DDES (MP 17 bis 32:—) Rechnung auf dem Netz G1 bei einem Zeitschritt von Δt1. Der Unterschied zwischen den hybriden Verfahren (DES/DDES) und einer URANS-Rechnung ist deutlich zu erkennen. Das Spektrum der URANS-Rechnung zeigt bereits bei kleinen Frequenzen (ab 1000Hz) einen starken Abfall und weist eine schlechte Übereinstimmung mit dem experimentellen Verlauf auf. Bedingt durch eine reduzierte numerische Diffusion bleiben Wirbelsysteme und -strukturen in einer DES- bzw. DDES-Rechnung länger erhalten und durchleben entsprechend der Modellvor- stellung nach RICHARDSON (2007) einen Kaskadenprozess, bei welchem sie in immer kleinere Wirbel-Systeme zerfallen, so dass ein typischer Verlauf mit einer Steigung von −5/3 erkennbar ist. Ein Vergleich der hybriden Verfahren mit dem experimentel- len Spektrum zeigt eine gute bis sehr gute Übereinstimmung bis zu einer Frequenz von 4800Hz. Insbesondere weist das Spektrum einer DDES-Rechnung gegenüber der DES-Variante qualitativ leichte Vorzüge auf. Folglich kann geschlussfolgert werden, 108 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN dass eine Simulation als qualitativ gut einzuordnen ist, wenn dieser Bereich in ausrei- chender Qualität abgebildet wird, da der Prozess des Energietransfers von großen zu kleineren Skalen entsprechend der Modellvorstellung nach RICHARDSON (2007) ver- läuft. Anhand der statischen Druck- und insbesondere Geschwindigkeitsfluktuationen wurde deutlich, dass bei Nutzung einer URANS-Rechnung, infolge hoher numerischer Diffusi- on und Dispersion, Fluktuationsanteile stark reduziert werden. Da das im Fokus dieser Arbeit stehende Phänomen (RI) jedoch in Zusammenhang mit einer komplexen Strö- mungsform steht, ist eine DES bzw. DDES-Rechnung zu bevorzugen. 8.1.5. Einfluss der Zeitschritt- und Netzweite Nachdem im vorherigen Kapitel eine DES- bzw. DDES-Methode motiviert wurde, wird in diesem Teil der Einfluss der unterschiedlichen Zeitschrittweiten und Gitterauflösun- gen hinsichtlich dieser beiden Turbulenzmodellierungsmethoden untersucht. Hierfür werden einerseits globale CFL-Zahlen als auch Energiespektren im Bereich der Schau- felvorderkante genutzt. Zur Bewertung der Energiespektren wird das bereits aus dem vorherigen Abschnitt vorgestellte experimentelle Spektrum auf Basis von Hitzdraht- messungen von HERMLE (2014) genutzt. Insgesamt wurden die in Tabelle 8.3 auf- gelisteten DES/DDES-Rechnungen durchgeführt, wobei die Anzahl der Iterationen so gewählt wurde, dass mindestens eine Simulationszeit von t = 0, 008 s erreicht wird. Der kleinste simulierte Zeitschritt je Rechennetz in Tabelle 8.3 ergibt sich aus der theoreti- schen Forderung CFL ≈ 1, vergleiche NUMECATM (2005a). Netz Δt1 Δt2 Δt3 Δt4 G1 x x o x o x o G2 x o x o x o G3 x o x o x o G4 x o x o x o Tab. 8.3.: Simulierte Kombinationen aus Zeitschrittweite, Rechengitter sowie Turbu- lenzmodellierungsmethode (DES (x), DDES (o)). 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 109 CFL-Zahl Die Ergebnisse der DES-Rechnung sind in Tabelle 8.4 eingetragen, wobei CFLSim ei- ner mittleren, aus der jeweiligen Simulation resultierenden CFL-Zahl entspricht. Eine zusätzliche Auswertung der DDES-Rechnungen ist nicht notwendig, da diese denen der DES sehr ähnlich sind und somit keine weiteren Informationen liefern. Hinsicht- Netz Δt1 Δt2 Δt3 Δt4 G1 0, 41 0, 81 1, 58 3, 34 G2 - 0, 77 1, 55 3, 17 G3 - 0, 56 1, 42 2, 56 G4 - 0, 64 1, 31 2, 97 Tab. 8.4.: Darstellung der aus der Simulation resultierenden, mittleren CFL-Zahl (CFLSim) für jede untersuchte Kombination aus Gitter und Zeitschritt ent- sprechend Tabelle 8.3. lich der Erfüllung des Kriteriums CFL ≈ 1 würde nach dieser globalen Untersuchung bezüglich aller Netze ein Zeitschritt zwischen Δt2 und Δt3 vertretbar sein, wobei Δt2 tendenziell bei den feineren beiden Netzen und Δt3 bei den gröberen beiden Gittern zu wählen wäre. An dieser Stelle wird darauf hingewiesen, dass innerhalb des numerischen Verfah- rens eine Dual Timestepping Methode verwendet wird, siehe Kapitel 6.1. Diese Me- thode nutzt eine lokale Zeitschrittweite für jede Zelle. Die Berechnung der lokalen Zeitschrittweite basiert auf der Annahme, dass sich Störungen mit der Geschwindig- keit c + a fortbewegen, wobei c der Stömungs- und a der Schallgeschwindigkeit ent- spricht. Kolmogorov-Spektrum Zur weiteren Untersuchung des Einflusses der Zeitschrittweite sowie des Gitterein- flusses werden kinetische turbulente Energiespektren, welche auf Geschwindigkeits- fluktuationen basieren, herangezogen und mit experimentellen Spektren von SCHIF- 110 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN FER (2017) verglichen. Zur Berechnung der numerischen Spektren werden ebenfalls Monitor-Punkte im Bereich der Vorderkante zwischen 5 und 30% Kanalhöhe genutzt, siehe Abbildung 8.1.1. In den Abbildungen 8.13 und 8.14 sind die aus den Geschwindigkeitsfluktuationen berechneten Energiespektren einander und den experimentellen Daten gegenüber- gestellt. Zusätzlich ist in allen Abbildungen der RI-relevante Frequenzbereich grau EXP G1 G2 G3 G4 E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 10−02 10−06 10−10 10−14 EXP G1 G2 G3 G4 E ∼ κ−5/3 EXP G1 G2 G3 G4 f [Hz] E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 10+0410+0310+02 10−02 10−06 10−10 10−14 EXP G1 f [Hz] E ∼ κ−5/3 10+0410+0310+02 Abb. 8.13.: Gittereinfluss in Abhängigkeit der Zeitschritte. Turbulentes kinetisches DES-Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanalhöhe im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: Δt4, oben rechts: Δt3, un- ten links: Δt2, unten rechts: Δt1. Anhand der Farbe kann zwischen den drei Gittern unterschieden werden. hinterlegt. Zunächst lässt sich feststellen, dass die DES- und DDES-Ergebnisse im 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 111 Bereich bis 4800Hz hinsichtlich aller Gitterauflösungen und Zeitschrittweiten gut bis sehr gut mit dem experimentellen Verlauf übereinstimmen. Festzuhalten ist, dass die DDES-Spektren, insbesondere für die gröberen Rechennetze, verglichen mit den DES- Verläufen die experimentellen Daten tendenziell besser wiedergeben. Dieser Unter- schied hebt sich jedoch bei einer Reduzierung des Zeitschrittes sowie Erhöhung der Zellenanzahl auf. Hinsichtlich des Gitters G1 bei einer Zeitschrittweite von Δt2 sind fast keine Unterschiede mehr zu erkennen. Innerhalb der DDES-Rechnungen sticht besonders der Verlauf auf dem feinsten Gitter bei einer Zeitschrittweite von Δt3 positiv heraus, so dass im Bereich zwischen 1000 und 3000Hz der experimentelle Verlauf sehr gut abgebildet wird. Eine weitere Reduktion des Zeitschrittes resultiert in einem leicht nach rechts verschobenen Spektrum, welches, verglichen mit den experimentellen Da- ten, die turbulenten kinetischen Fluktuationen leicht überschätzt. Hinsichtlich beider Simulationsmethoden lässt sich mit zunehmender Gitterfeinheit und abnehmender Zeitschrittweite eine Verschiebung des Übergangsbreiches zwischen der −5/3 Geraden und dem Dissipationsbereich nach rechts, hin zu höheren Frequen- zen feststellen. Dies bedeutet, dass mit einem feineren Gitter und einem feinen Zeit- schritt höherfrequente Fluktuationsanteile besser detektiert werden können. Auffällig ist, dass der Gittereinfluss bezüglich beider Methoden von geringerer Bedeutung ist, verglichen mit dem Einfluss der Zeitschrittweite. Dies wird anhand der beiden Abbil- dungen 8.13 und 8.14 deutlich, wenn jede Abbildung separat für sich betrachtet wird. Insbesondere bezüglich der DDES-Rechnungen ist dieser Einfluss deutlich geringer ausgeprägt verglichen mit den DES-Rechnungen, da die Linien viel dichter beieinan- der liegen. Der Einfluss auf das turbulente kinetische Energiespektrum bei Reduktion des Zeitschrittes ist ausgeprägter und ist in den Abbildungen 8.15 und 8.16 nochmals detailliert dargestellt. Zu erkennen ist die Auswirkung einer Zeitschrittweitenreduktion für jedes der vier verwendeten Gitter bezüglich beider Simulationsmethoden. So ver- längert sich beispielsweise der -5/3 Bereich einer DES-Rechnung auf dem Gitter G3 bei Halbierung des Zeitschrittes von Δt4 auf Δt3 für Frequenzen größer als 3000Hz (siehe Abbildung 8.15 oberes rechtes Bild). Der Übergang zum Dissipationsbereich findet daher bei höheren Frequenzen statt. Der Verlauf hinsichtlich kleinerer Frequen- zen bleibt identisch. Eine wiederholte Reduktion des Zeitschrittes resultiert ebenfalls in einer marginalen Verlängerung der -5/3 Geraden und einem verzögerten Beginn des Dissipationsbereiches. Bei Betrachtung der DDES-Ergebnisse bezüglich des gleichen Falles (G3, Δt3) ergibt sich eine äquivalente Aussage mit dem Unterschied, dass der -5/3 Bereich qualitativ höherwertiger erscheint (siehe Abbildung 8.16 oben rechts). Ein 112 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN EXP G1 G2 G3 G4 E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 10−02 10−06 10−10 10−14 EXP G1 G2 G3 G4 f [Hz] E ∼ κ−5/3 10+0410+0310+02 EXP G1 G2 G3 G4 f [Hz] E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 10+0410+0310+02 10−02 10−06 10−10 10−14 Abb. 8.14.: Gittereinfluss in Abhängigkeit der Zeitschritte. Turbulentes kinetisches DDES-Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanal- höhe im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: Δt4, oben rechts: Δt3, unten links: Δt2. Anhand der Farbe kann zwischen den drei Gittern unterschieden werden. ähnliches Bild ergibt sich hinsichtlich der übrigen drei Gitter G1, G2 und G4 für bei- de Methoden. Eine Ausnahme ist in Abbildung 8.15 oben links zu erkennen. Hierbei liegt das Spektrum des feinsten dargestellten Zeitschrittes nahezu exakt auf dem des gröbsten Zeitschrittes. Dies liegt darin begründet, dass die Simulation mit Δt2 auf die- sem Gitter nicht stabil ist und am Eintritt des Problemgebietes unphysikalische Effekte unbekannter Ursache auftraten. Eine Erhöhung eines die numerische Dissipation be- einflussenden Parameters (VIS2) von 0, 1 auf 0, 15 konnte die Rechnung stabilisieren. Dadurch werden Wirbelstrukturen stärker unterdrückt, so dass das Spektrum in den 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 113 EXP E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 10−02 10−06 10−10 10−14 EXP E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 f [Hz] EXP E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 10+0410+0310+02 10−02 10−06 10−10 10−14 f [Hz] EXP E ∼ κ−5/3 Δt1 Δt2 Δt3 Δt4 10+0410+0310+02 Abb. 8.15.: Zeitschritteinfluss in Abhängigkeit der Gitter. Turbulentes kinetisches DES- Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeit- schritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanalhöhe im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: G4, oben rechts: G3, unten links: G2, unten rechts: G1. Anhand der Farbe kann zwischen den Zeit- schrittweiten unterschieden werden. Amplitudenwerten gedämpft wird. Alle dargestellten Spektren erfüllen annähernd die Bedingung CFL ≈ 1. Um zu untersuchen welchen Einfluss eine weitere Zeitschrittre- duktion hat, wird für das feinste Netz eine DES-Rechnung hinsichtlich des Zeitschrittes Δt1 durchgeführt. Das Resultat ist in Abbildung 8.15 im unteren rechten Diagramm dargestellt. Im Ergebnis liegt ein minimaler Zugewinn bei Frequenzen größer 10000Hz vor, so dass ein Zeitschritt der Größe Δt2 hinsichtlich des Gitters G1 als ausreichend betrachtet wird. Dies wird zusätzlich durch die mittlere CFL-Zahl, welche bereits in Ab- schnitt 8.1.5 vorgestellt wurde, bestätigt. Bei einem Zeitschritt von Δt2 liegt die mittlere 114 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN EXP E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 10−02 10−06 10−10 10−14 EXP E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 f [Hz] EXP E (κ ) ·v¯ /2 π [m 2 /s ] E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 10+0410+0310+02 10−02 10−06 10−10 10−14 f [Hz] EXP E ∼ κ−5/3 Δt2 Δt3 Δt4 10+0410+0310+02 Abb. 8.16.: Zeitschritteinfluss in Abhängigkeit der Gitter. Turbulentes kinetisches DDES-Energiespektrum der unterschiedlichen Kombinationen aus Gitter und Zeitschritt bezüglich der Monitor-Punkte zwischen 5 und 30% Kanalhö- he im Bereich der Schaufelvorderkante. Oben links: G4, oben rechts: G3, unten links: G2, unten rechts: G1. Anhand der Farbe kann zwischen den Zeitschrittweiten unterschieden werden. CFL-Zahl bei 0, 81 und bezüglich der feinsten Zeitschrittweite bei 0, 41. Zusätzliche DES- und DDES-Rechnungen hinsichtlich des Zeitschrittes Δt1 sind nicht notwendig. Wenn, wie eben gezeigt, eine Rechnung auf dem feinsten Gitter mit Δt1 zu keiner nennenswerten Änderung führt, so wird sich auf den gröberen Rechengittern ebenfalls keine Änderung ergeben. Als Resultat kann festgehalten werden, dass ein Zeitschritt der Größe Δt2 für die Git- ter G1, G2 und G3 und für das Gitter G4 ein Zeitschritt der Größe Δt3 unabhängig 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 115 von den Methoden zu empfehlen ist. Hinsichtlich einer geeigneten Methodenwahl lie- fern beide Varianten gute bis sehr gute Ergebnisse. Im RI-relevanten Frequenzbereich sind keine signifikanten Unterschiede festzustellen. Eine DDES-Methode liefert insbe- sondere bei Verwendung der gröberen Gitter für Frequenzen größer 1000Hz höher- wertige Resultate verglichen mit den DES-Spektren. Dieser Unterschied reduziert sich jedoch deutlich, bei Erhöhung der Anzahl an Zellen und Verringerung der Zeitschritt- weite. 8.1.6. Ressourcenkalkulation Bevor eine Wahl aus Methode, Gitter und Zeitschritt getroffen werden kann, muss zu- nächst abgeschätzt werden welche Ressourcen bereitzustellen sind. Hierbei handelt es sich um die Zeit für die Simulation, das Postprocessing sowie der notwendige Spei- cherplatz, um die Ergebnisgrößen zu sichern. Um das im Fokus dieser Arbeit stehende Phänomen in einem Spektrum darstellen zu können, ist eine Frequenzauflösung von mindestens 5Hz zu gewährleisten. Dies bedeutet, dass bei einer Zeitschrittweite von Δt3 = 1 · 10−5 s, 20000, Zeitschritte und für Δt2 = 5 · 10−6 s, 40000 zu simulieren sind. Dabei muss beachtet werden, dass laut NUMECATM (2014) pro Zeitschritt 100 Subiterationen für eine DES bzw. DDES durchgeführt werden müssen. Somit erhöht sich die Anzahl an Iterationen um den Fak- tor 100. Die maximale Anzahl parallel verfügbarer CPUs innerhalb dieser Arbeit liegt bei 256. Zur Berechnung der Rechenzeiten wird auf den in der Skalierbarkeitsstudie eingeführten f -Faktor zurückgegriffen, wobei dieser mit 1, 5 multipliziert wird, um die folgende drei Aspekte zu berücksichtigen: • Wartungsarbeiten am Cluster • Wartezeit, bis die geforderten Ressourcen zur Verfügung stehen • Leistungsfluktuation am Cluster Der f -Faktor gibt an, welche Anzahl an Stunden benötigt werden, um auf einem Re- chengitter bestehend aus 1 Millionen Zellen, 1000 Iterationen durchzuführen, wenn mit 116 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Methode Netz nZellen [−] Δt tsim [d] SP [TB] nSub [−] DES G1 148,89 Δt2 203,22 199,62 102 G2 68,66 Δt2 94,99 93,31 48 G3 33,20 Δt2 45,93 45,12 23 G4 19,50 Δt3 26,98 26,50 7 DDES G1 148,89 Δt2 2343,93 199,62 586 G2 68,66 Δt2 1095,61 93,31 274 G3 33,20 Δt2 529,77 45,12 133 G4 19,50 Δt3 155,58 26,50 39 Tab. 8.5.: Übersicht bezüglich der notwendigen Rechenzeiten sowie des notwendigen Speicherplatzes für eine Rechnung bei Nutzung von 256 CPUs in Abhängig- keit der Methode sowie Gitterauflösung. SP = Speicherplatz, nSub = Anzahl an Sub-Rechnungen nur einer CPU gerechnet wird. Für eine DES-Rechnung beträgt dieser 2, 83h · 1, 5 ≈ 4, 25h und für eine DDES-Rechnung 16, 34h ·1, 5 ≈ 24, 51h. Die Anzahl an durchzufüh- renden Rechnungen auf dem vollen Gitter beträgt in Anlehnung an Kapitel 8.2 vier. Die resultierenden Zeiten für eine Simulation in Abhängigkeit der Methode und des Gitters sind in Tabelle 8.5 in der fünften Spalte eingetragen. Hierbei sei erwähnt, dass es sich um die theoretische abgeschätzte Rechenzeit in Tagen handelt, welche notwendig wä- re. Bereits aus dieser Darstellung geht eindeutig hervor, dass eine DDES-Rechnung bzw. eine Simulationsstudie mittels DDES nicht in einem zeitlich sinnvollen Rahmen liegt. Eine Simulation auf dem gröbsten Gitter würde beispielsweise 155, 58Tage bei Nutzung von 256 CPUs in Anspruch nehmen. Um die angestrebten vier Berechnungen durchzuführen, würden 622, 32Tage reine Rechenzeit notwendig sein. Im Vergleich da- zu, sind die Rechenzeiten einer DES-Methode, infolge des kleineren f -Faktors, deut- lich geringer. So liegt der Zeitaufwand einer DES-Rechnung auf dem gröbsten Gitter bei etwas weniger als 27 Tagen bzw. hinsichtlich der angestrebten vier Simulationen bei 108 Tagen. Mit feiner werdendem Rechengitter, vergrößern sich ebenfalls die Si- mulationszeiten, so dass insbesondere die Gitter G1 und G2 in keinem sinnvollen zeit- lichen Rahmen liegen. Bezüglich der DES-Rechnungen scheiden Simulationen auf den Gittern G1, G2 und 8.1. VORUNTERSUCHUNGEN 117 G3 aufgrund von nicht realisierbarer Rechenzeiten aus. Damit verbleibt unter den ge- gebenen Rahmenbedingungen eine DES-Rechnung auf dem Gitter G4 mit einer Zeit- schrittweite von Δt3 = 1 · 10−5 s dar als Variante. 118 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN 8.2. Untersuchung des RGWKs hinsichtlich RI Das folgende Kapitel gliedert sich in drei Teile, wobei insgesamt vier Rechnungen auf dem vollen Gitter mit der aus den Voruntersuchungen als geeignet ermittelten Zeit- und Gitterweite durchgeführt werden. In den Voruntersuchungen konnte gezeigt werden, dass eine URANS-Methode nicht in der Lage ist, das Kolmogorov-Energiespektrum in ausreichender Qualität abzubilden. Dies bedeutet, dass feinskalige Fluktuationen, durch eine URANS-Rechnung nicht ausreichend erfasst werden. Bei RI handelt es sich, nach aktuellem Kenntnisstand, um ein Phänomen, dass mit solchen Fluktuationen in Zusammenhang gebracht wer- den kann. Folglich lautet die Hypothese, dass ein Verfahren, welches das Kolmogorov- Spektrum nicht hinreichend gut abbilden kann, ebenfalls nicht in der Lage ist RI wie- derzugeben. Um dies zu prüfen, wird im ersten Abschnitt dieses Kapitels 8.2.1 dieser Hypothese nachgegangen und ergänzend zu den Voruntersuchungen der Methoden- einfluss im Hinblick auf die Wiedergabequalität von RI untersucht. Das Kapitel 8.2.2 stellt den zweiten Teil dar, in dem der Einfluss unterschiedlicher Totaldruckrandbedingungen im nabennahen Bereich im Fokus steht. Kleine Verände- rungen dieser Größe am Eintritt des Berechnungsgebietes haben einen signifikan- ten Einfluss auf die Ausbildung von RI im Vorderkantenbereich. Insgesamt werden drei Rechnungen mit unterschiedlichen Totaldruckrandbedingungen durchgeführt und hinsichtlich rotierender Strukturen mit RI-ähnlichen Charakteristiken ausgewertet. In Fall niter Δf [Hz] pt-RB DESBasis 21410 4,67 Basis DESMOD1 25364 3,94 MOD1 DESMOD2 21800 4,59 MOD2 URANSMOD1 23284 4,29 MOD1 Tab. 8.6.: Übersicht der berechneten Fälle auf dem vollen Gitter. niter entspricht der Anzahl der berechneten Zeitschritte und Δf der Frequenzauflösung. Tabelle 8.6 sind die durchgeführten Rechnungen aufgelistet, welche innerhalb die- ses Kapitels genutzt werden. Die Anzahl der durchgeführten Zeitschritte sowie die sich daraus abzuleitende Frequenzauflösung sind ebenfalls der Tabelle zu entneh- 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 119 men. In der letzten Spalte ist die verwendete Totaldruckrandbedingung am Eintritt ver- merkt. 120 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Rechengitter und Auswertepositionen Im Kapitel 8.1 konnte anhand eines Identifikationsprozesses das Rechengitter G4 und eine Zeitschrittweite von Δt3 = 1 ·10−5 s als eine geeignete Kombination bestimmt wer- den. Basierend auf dieser Kombination wird das Strömungsfeld des kompletten Mess- gitters für den Betriebspunkt BP5 (Ma = 0, 4, i = 12◦) berechnet und hinsichtlich des Phänomens RI untersucht. Das hierfür verwendete Rechennetz des vollen Statorgit- ME2 ME1Eintritt Austritt Abb. 8.17.: Rechennetz G4 mit Eintritts- (blau) und Austrittsebene (rot) sowie Mess- ebenen ME1 (grün) stromauf und ME2 (grau) stromab der Statorkaskade. ters ist in Abbildung 8.17 dargestellt, wobei dieses auf dem Gitter einer Teilung basiert 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 121 und in Umfangsrichtung entsprechend der Anzahl an Teilungen vervielfältigt wurde. Die Anzahl der Zellen beträgt knapp 20 Millionen. Die entsprechenden Qualitätskrite- rien wurden bereits in Abschnitt 7.2.1 für eine Teilung des Messgitters vorgestellt und gelten ebenfalls für das volle Gitter. Um das Strömungsfeld untersuchen zu können, werden insgesamt 28 800 Auswertpositionen verwendet, wobei sich diese aus 360 über den Umfang verteilte Positionen auf acht radialen und zehn axialen Positionen zusam- mensetzen. Anhand der 360 virtuellen Sensorpositionen, welche äquidistant verteilt sind, können auf Basis einer räumlichen Frequenzuntersuchung Umfangsmoden, ent- sprechend dem Nyquist-Kriterium, bis zu einer Ordnung von 180 aufgelöst werden. In Abbildung 8.18 sind im linken Bild beispielhaft 24 der 360 über den Umfang verteil- zx y z 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ϕ ϕ Abb. 8.18.: Lage der virtuellen Sensorpositionen. Links Frontansicht, rechts Draufsicht. Der Übersicht halber sind im linken Bild nur 24 der 360 über den Umfang verteilten Sensoren abgebildet. ten virtuellen Sensoren dargestellt. Entsprechend der Darstellung befindet sich der 1. virtuelle Sensor an der Position x = 0m und y = 0, 11m, wobei entgegen dem Uhrzei- gersinn in positiver Richtung gezählt wird. Rechts daneben ist die Lage der 10 axialen Positionen visualisiert, wobei die axiale Position 3 mit der Messposition der nabensei- tigen experimentellen Druckmessungen von HERMLE (2014) übereinstimmt. In Anleh- nung an 8.1.6 wird eine Auflösung von 5Hz für alle Simulationen angestrebt, um die RI am RGWK für den vorliegenden Betriebspunkt anhand einer spektralen Untersuchung nachzuweisen. 122 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN 8.2.1. Nachweis der RI und Methodeneinfluss Im Folgenden werden die Rechnungen DESMOD1 und URANSMOD1 aus Tabelle 8.6 ge- nutzt, um die eingangs gestellte Hypothese zu prüfen. Die zusätzliche Motivation dieser Untersuchung basiert auf einer Veröffentlichung von ZHANG ET AL. (2013). In dieser wird das Strömungsfeld einer Dampfturbinenstufe, welche experimentell RI-Aktivität zeigt, mit URANS berechnet. In den Ergebnissen einer 2D-URANS Rechnung werden RI-ähnliche Charakteristiken detektiert, wobei deutliche Unterschiede zum Experiment vorliegen. Die Resultate einer 3D-URANS Rechnung bestätigen keine RI, was laut den Autoren auf das limitierte Berechnungsgebiet in Umfangsrichtung zurückzuführen sei. Um diesen Aspekt ergänzend zu den Voruntersuchungen nochmal im Detail zu be- leuchten, wird das Strömungsfeld im Bereich der Schaufelvorderkante in der unteren Kanalhälfte genauer untersucht. Hierzu wird auf die Daten der virtuellen über den Umfang verteilten Sensoren zurückgegriffen. Die Auswirkung der unterschiedlichen Methoden auf das Strömungsfeld kann anhand der Abbildung 8.19 gezeigt werden, wobei die Diagramme der linken Spalte einer DES- und die der rechten Spalte ei- ner URANS-Rechnung zuzuordnen sind. In den ersten drei Zeilen sind zeitabhängi- ge Druckfluktuationen für drei Kanalhöhen (0, 50 und 100%) basierend auf 360 über den Umfang verteilte virtuelle Sensorpositionen an der axialen Messstelle 3 darge- stellt, welche 29mm stromauf der Vorderkante lokalisiert sind. Dabei entspricht die x-Achse der Zeit, die y-Achse der Umfangsposition und die Amplitude der Druckfluk- tuation ist farblich gekennzeichnet, wobei sich diese Größe nach Gleichung (8.9) be- rechnet. Δp(ϕ, t) = p(ϕ, t)− p¯, mit p¯ = 1 360 1 tmax 360∑ j=1 tmax∑ i=0 p(ϕj, ti) (8.9) Ergänzend zu den Konturplots sind in der letzten Zeile in der gleichen Abbildung die na- benseitigen Druckfluktuationen für drei ausgewählte Umfangspositionen (0, 40 und 70◦) gezeigt. Die dargestellten Verläufe für ϕ = 40◦ und ϕ = 70◦ sind, aus Gründen der bes- seren Darstellbarkeit, um 2000 und 4000Pa gegenüber dem roten Verlauf verschoben. Das gezeigte Zeitintervall aller Darstellungen entspricht nur einem Ausschnitt der ge- samten Simulationszeit. Der Unterschied zwischen einer URANS- und DES-Rechnung wird insbesondere an der Nabe deutlich. Für beide Varianten sind für diese Kanal- höhe in positiver Richtung, also von Saug- zu Druckseite, umlaufende Druckfelder zu erkennen. Im Gegensatz zu einer DES-Rechnung sind die umlaufenden Linien einer 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 123 ϕ [◦ ] DES 0 90 180 270 360 Δ p [Pa ] URANS 1500 500 -500 -1500 ϕ [◦ ] 0 90 180 270 360 Δ p [Pa ] 1500 500 -500 -1500 ϕ [◦ ] 0 90 180 270 360 Δ p [Pa ] 1500 500 -500 -1500 t [s] Δ p [Pa ] 0,005 0,015 0,025 0,035 2000 4000 6000 0 t [s] 0,005 0,015 0,025 0,035 Abb. 8.19.: Zeile 1-3: Zeitabhängige statische Druckdifferenzen Δp in [Pa] an axialer Messposition 3 aller 360 virtuellen Messpositionen bei 0 (erste Zeile), 50 (zweite Zeile) und 100% (dritte Zeile) Kanalhöhe einer DES- (links) und URANS-Rechnung (rechts). Vierte Zeile: Statische Druckfluktuation an der Nabe bei den Umfangspositionen ϕ = 10 (rot), 40 (grün) und 70◦ (blau). URANS-Rechnung deutlich ausgeprägter und über dem ganzen Umfang vorhanden. Die Steigung aller umlaufenden Linien einer URANS-Rechnung sind weitestgehend konstant, was darauf hindeutet, dass die gezeigten Druckfelder mit der gleichen Fre- quenz bzw. Umlaufgeschwindigkeit umlaufen. Diese Schlussfolgerung wird anhand der untersten rechten Darstellung in Abbildung 8.19 bestätigt. Die einzelnen Druckfluktua- tionsverläufe können in guter Näherung durch nur eine Frequenz abgebildet werden. Hinsichtlich der DES-Rechnung sind die in positiver Richtung umlaufenden Druckfluk- tuationen diffuser und das gesamte Bild wirkt unruhiger. 124 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Die umlaufenden Linien sind teilweise unterbrochen und nicht über den gesamten Um- fang vorhanden. Zudem lassen sich mehrere Linien unterschiedlicher Steigung identi- fizieren. Ein Vergleich der nabenseitigen Druckfluktuationen für drei ausgewählte Um- fangspositionen (vierte Zeile in Abbildung 8.19) verdeutlicht den Charakter einer DES. Die Druckfluktuationen weisen mehrere Frequenzen unterschiedlicher Amplituden auf verglichen mit den Verläufen einer URANS-Rechnung. Für die beiden weiteren Kanalhöhen 50 und 100% (zweite und dritte Zeile in Abbil- dung 8.19), sind horizontale Linien erkennbar, die das gesamte Druckfeld überlagern und das Resultat der stromab liegenden Statorschaufeln sind. Um bewerten zu kön- nen, ob eine DES- oder URANS-Methode die experimentellen Ergebnisse wiederge- ben kann, wird eine Frequenzanalyse der zeitabhängigen Druckfluktuationen für alle drei Kanalhöhen durchgeführt und mit dem Experiment verglichen. Dabei wird auf die in Kapitel 5.3 vorgestellten Analysemethoden zurückgegriffen. Der Abstand der Sen- soren zur Berechnung der Kreuzspektraldichtefunktion beträgt im Experiment und in den Simulationen (DES und URANS) 21◦, wobei die numerischen Spektren auf einer Mittelung über dem gesamten Umfang basieren. Dabei wird für jedes virtuelle Sensor- paar mit einem Abstand von 21◦ ein Kreuzleistungsspektrum berechnet, aufsummiert und durch die Anzahl an Sensorpaaren dividiert. Da es sich bei RI um ein Phänomen handelt, welches über dem gesamten Umfang verteilt ist, ist diese Vorgehensweise ge- rechtfertigt. Für die Berechnung der KLS wurde ein Hanning-Window in Kombination mit Zero-Padding genutzt. In Abbildung 8.20 sind die Ergebnisse dieser Spektraluntersuchung dargestellt. Die Frequenz ist im Kreuzleistungsspektrum (oben) und im Phasenspektrum (unten) ent- lang der x-Achse aufgetragen, wobei die Frequenzauflösung 3, 94Hz für die DES-, 4, 29Hz für die URANS-Rechnung und 1, 17Hz für das Experiment beträgt. In der obe- ren Darstellung bezieht sich die linke y-Achse auf die Daten der DES-Rechnung sowie auf die des Experiments. Amplitudenwerte des URANS-Kreuzleistungsspektrums kön- nen auf der rechten y-Achse abgelesen werden. Dominante RI-Frequenzen aus dem Experiment sind grau hinterlegt. In dem Spektrum einer DES-Rechnung können zwei kammartige Bereiche mit jeweils drei und vier Peaks identifiziert werden. Der erste Bereich liegt zwischen 0 und 90Hz und der zweite zwischen 140 und 250Hz. Verglichen mit dem Experiment liegen die dominanten Frequenzen der DES-Rechnung in einem ähnlichen Bereich, wobei die 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 125 KL S [Pa 2 /H z] 00 200 400 600 5000 10000 15000 20000 25000 Φ [◦ ] f [Hz] -200-200 -100-100 00 100100 200200 0 200 400 Abb. 8.20.: Kreuzleistungs- (oben) und Phasenspektrum (unten) für das Experiment (schwarz), eine DES- (durchgängige Linien) und URANS-Rechnung (unter- brochene gepunktete Linien). Die unterschiedlichen Kanalhöhen sind farb- lich gekennzeichnet, wobei 0% (rot), 50% grün und 100% blau Kanalhöhe entspricht. im Experiment beobachtete zweite RI-Frequenz bei 118Hz nicht durch die Simulati- on abgebildet werden kann. Die Beträge des Kreuzleistungsspektrums stimmen all- gemein sehr gut mit denen des Experiments überein. Das Spektrum einer URANS- Rechnung zeigt vier nahezu äquidistante Peaks bei ca. 230, 254, 275 und 299Hz und 126 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN liegen rechts neben dem charakteristischen RI-Frequenzbereich. Zudem liegen die Werte des Kreuzleistungsspektrums um das 10- bis 40-fache höher verglichen mit den Werten des Experiments. Die Überschätzung der Amplitudenwerte auf Basis ei- ner URANS-Rechnung ist auch aus anderen Arbeiten bekannt, vergleiche PEITSCH ET AL. (2017). Dominante Frequenzen aus dem Experiment und der Numerik kön- nen der Tabelle 8.7 entnommen werden. In beiden Simulationen ist eine Abnahme der Kreuzleistungsspektren mit zunehmender Kanalhöhe zu verzeichnen. Dieses RI- typische Verhalten deutet darauf hin, dass die ursächlichen Mechanismen, welche zu den beobachteten Peaks führen, im Bereich der Nabe lokalisiert sind. In der unteren Methode f [Hz] Φxy [◦] m [-] ω [rad/s] cu [m/s] EXP 55,16 25,16 1,18 291,76 32,09 120,80 44,34 2,09 362,56 39,88 174,89 69,20 3,26 337,92 37,17 234,12 89,17 4,25 352,35 38,75 DES 136,10 70,45 3,35 332,63 36,59 152,20 81,12 3,86 288,88 31,78 177,60 105,10 5,00 237,40 26,11 205,20 117,20 5,58 254,44 27,99 226,63 148,60 7,08 200,67 22,07 URANS 230,32 147,15 7,00 206,52 22,71 254,15 168,09 8,00 199,50 21,89 275,21 -170,16 8,10 213,41 23,47 299,99 -149,63 -7,13 264,54 29,10 Tab. 8.7.: Phasenwinkel Φxy, Modenordnung m und Rotationsgeschwindigkeit ω sowie Umfangsgeschwindigkeit cu dominanter Frequenzen auf Höhe der Nabe für Experiment und Numerik Darstellung in Abbildung 8.20 ist der Phasenwinkel aufgetragen. Zunächst lässt sich für das Experiment und beide Simulationen ein linearer Phasenverlauf bis zu einer Frequenz von ca. 250Hz erkennen. Dies ist in Übereinstimmung mit den Schlussfol- gerungen aus Abbildung 8.19 und impliziert eine Fortpflanzungsrichtung von Saug- zu Druckseite. Im RI-relevanten Frequenzbereich (0 bis 250Hz) wird in den Simulationen, verglichen mit dem Experiment, ein höherer Phasengang vorausgesagt. Mit Hilfe des Phasenganges und des Sensorabstandes ist es möglich, die Modenordnung m sowie die Rotationsgeschwindigkeit ω zu berechnen, wobei die Berechnungsvorschrift bereits 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 127 im Abschnitt 5.3.2 vorgestellt wurde. Entsprechend den dominanten Frequenzen aus Abbildung 8.20 sind die zugehörige Modenordnung, Rotationsgeschwindigkeit sowie zusätzlich die Umfangsgeschwindigkeit cu in Tabelle 8.7 eingetragen. Dabei berechnet sich cu aus ω multipliziert mit dem entsprechenden Radius. Bedingt durch den höhe- ren Phasenwinkel in den Spektren einer DES und URANS ergeben sich, verglichen mit dem Experiment, höhere Modenordnungen. Die Modenordnungen einer URANS liegen zwischen 7 und 8 und die einer DES-Rechnung zwischen 3 und 7. Somit liegen diese eher im Bereich der experimentellen Daten. Auch die Rotationsgeschwindigkeiten der dominanten Frequenzen einer DES-Rechnung weisen eine bessere Übereinstimmung mit dem Experiment auf. Ergänzend dazu ist es möglich, auf Basis der 360 über den Umfang verteilten virtu- ellen Sensoren den zeitlichen Verlauf der Modenordnung, entsprechend der in Ab- schnitt 5.3.2 beschriebenen Methodik, abzubilden. Dies wurde für beide Simulatio- nen durchgeführt und ist in Abbildung 8.21 dargestellt. In der Mitte dieser Abbildung ist der Modenverlauf des Experiments zu erkennen, wobei die maximale Modenord- nung mmax,EXP = 180◦/21, 18◦ = 8, 5 beträgt. In beiden Simulationen ist die Anzahl der t [s] m [− ] 0,005 0,015 0,025 0,035 0 5 10 15 20 y t [s] 0,005 0,015 0,025 0,035 t [s] 0,005 0,015 0,025 0,035 Amplitude [Pa] 0 200 400 600 800 Abb. 8.21.: Zeitlicher Verlauf der Modenordnung der DES-Rechnung (links), des Expe- riments (mittig) und einer URANS-Rechnung (rechts). Schaufeln als horizontale Linie bei einer Mode von 17 gut zu erkennen. Ebenso wie im Phasen- und Kreuzleistungsspektrum ist auch hierbei ein deutlicher Unterschied zwi- schen URANS und DES festzustellen. So sind innerhalb einer DES-Rechnung erhöhte Modenwerte im Bereich 0 < m < 10 vorzufinden, während eine URANS-Rechnung ein nahezu konstantes Modenband bei ca. m = 7 aufweist. Sowohl bei der DES- als auch 128 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN bei der URANS-Rechnung ist die Potentialwirkung der stromaufliegenden 17 Stator- schaufeln in dieser Darstllung zu erkennen. Abschließend gibt Tabelle 8.8 einen qualitativen Überblick bezüglich beider Simula- tionsmethoden. Die vorliegenden numerischen Untersuchungen zeigen, dass ein ro- tierendes Strömungsphänomen im Bereich der Vorderkante mit RI-ähnlichen Charak- teristiken anhand einer DES-Rechnung simuliert werden kann. In den Ergebnissen einer URANS-Rechnung lässt sich ebenfalls ein rotierendes Phänomen finden, jedoch mit anderen Charakteristiken. Ähnlich zu der Arbeit von ZHANG ET AL. (2013), liegen die dominanten Frequenzen einer URANS bei deutlich höheren Werten und besitzen im Kreuzleistungsspektrum signifikant höhere Amplitudenwerte. Die Modenordnungen und Rotationsgeschwindigkeiten weichen, verglichen mit einer DES-Rechnung, ten- denziell stärker von dem Experiment ab. Folglich konnte anhand dieser Gegenüberstel- lung, ergänzend zu den Voruntersuchungen, gezeigt werden, dass eine DES-Methode hinsichtlich der Simulation der RI zu bevorzugen ist. An dieser Stelle wird darauf hinge- Methode DES URANS Umlaufendes Phänomen ++ ++ Breitbandige Amplitudenerhöhung + o Abnahme Richtung Gehäuse ++ ++ RI-Frequenzbereich 65Hz< f < 240Hz + o Amplitudenwerte KLS ++ - Modenordnung o - Rotationsgeschwindigkeit + o Tab. 8.8.: Qualitative Übersicht der Verfahren DES und URANS wiesen, dass die tendenziell schlechteren URANS-Resultate durch die Nutzung eines höherwertigen Turbulenzmodelles verbessert werden können. Ein Beispiel hierfür ist eine URANS-Rechnung in Kombination mit einem SST-SAS Turbulenzmodell, welches von PEITSCH ET AL. (2017) verwendet wurde. Dabei konnten sehr gute Übereinstim- mungen hinsichtlich der Rotierenden Instabilität zwischen Experiment und Rechnung gezeigt werden. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 129 8.2.2. Einfluss der Eintrittsrandbedingung Es hat sich herausgestellt, dass die Entstehung eines rotierenden Phänomens im Bereich der Vorderkante des Messgitters, also genau dort wo RI zu erwarten ist, sehr sensitiv bezüglich der Totaldruckvorgabe am Eintritt ist. Im Folgenden wird die- ser Punkt anhand von drei DES-Simulationen mit unterschiedlichen pt-Verläufen unter- sucht. Dabei handelt es sich um die bereits aus dem vorherigen Abschnitt bekannten 96k 100k 104k 108k 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0, 0 (r − r N ) h [− ] pt [Pa] EXP MOD1 Basis1 MOD2 96k 100k 104k 108k pt [Pa] EXP MOD1 Basis1 MOD2 Abb. 8.22.: Auswirkungen von unterschiedlichen Totaldruckrandbedingungen am Ein- tritt (rechts) auf die radialen Verläufe an der Messposition ME1 (links) DESMOD1- Rechnungen sowie die Konfiguration mit einem geringeren (DESBasis) und höheren (DESMOD2) Totaldruckniveau im nabennahen Bereich, siehe Abbildung 8.22 linkes Diagramm. Die Auswirkung dieser drei unterschiedlichen Randbedingungen an der Messebene ME1 ist in der gleichen Abbildung im rechten Diagramm dargestellt. Die Verwendung der experimentellen Messwerte an ME1 als Randbedingung am Ein- tritt (Basis-Variante) resultiert, verglichen mit dem Experiment, an ME1 in geringeren Totaldruckwerten im Bereich von 0 bis 30% Kanalhöhe. Dies liegt darin begründet, dass die Eintrittsebene stromauf der Messebene ME1 liegt. Eine Korrektur der Randbedin- gungen am Eintritt, so dass die Messergebnisse an der Ebene ME1 erfüllt werden, entspricht der MOD1-Variante und liefert eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Ex- periment. Um zu prüfen, welchen Einfluss ein deutlich höherer nabennaher Totaldruck hat, wurde die in Abbildung 8.22 mit MOD2 gekennzeichnete Randbedingung genutzt. Diese entspricht ausgehend vom Gehäuse bis zu einer Kanalhöhe von 30% den ex- perimentellen Daten an ME1. Der Bereich zwischen Nabe und 30% Kanalhöhe wurde 130 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN mit Hilfe des Potenzgesetzes modelliert. Untersuchung im Zeitbereich Abb. 8.23.: Differenzdruckfluktuationen Δp über den Umfang für drei unterschiedliche Totaldruckrandbedingungen auf fünf Kanalhöhen. Die jeweilige Kanalhöhe kann den Prozentwerten am rechten Bildrand entnommen werden. In Abbildung 8.23 kann die Auswirkung dieser unterschiedlichen Totaldruckrandbedin- gungen beobachtet werden. Dargestellt ist die Druckdifferenz Δp entsprechend Glei- 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 131 chung (8.7), wobei die Ergebnisse ebenfalls auf 360 über den Umfang verteilten Sen- soren an der axialen Messposition 3 basieren. Um eine Information des Druckfeldes in radialer Richtung zu erhalten, sind die Ergebnisse für fünf verschiedene Kanalhöhen dargestellt. Die Auswirkung unterschiedlicher Totaldruckrandbedingungen ist an der Nabe sehr gut erkennbar (siehe Abbildung 8.23 erste Zeile). So ist für die Basis-Variante nahezu kein in positiver Richtung umlaufendes Druckmuster zu detektieren. Eine Verwendung der Totaldruckrandbedingung entsprechend MOD1 und MOD2 führt, wie zu erkennen ist, zu der Ausbildung einer rotierenden Druckstruktur, wobei diese für die Variante MOD2 deutlicher ausgeprägt ist. Das rotierende Druckmuster ist für diese Variante über der gesamten Kanalhöhe erkennbar. Ein gleiches Bild ergibt sich für die MOD1-Rechnung, bei der die umlaufende Struk- tur jedoch subtiler ist. In allen Simulationen ist ab 50% Kanalhöhe die Überlagerung von 17 horizontaler Linien wieder gut zu erkennen, welche, in Zusammenhang mit den stromab liegenden Statorschaufeln stehen. Offensichtlich unterbindet ein leicht redu- zierter nabennaher Totaldruck die Ausbildung eines in positiver Richtung umlaufenden Phänomens. Weitergehende Analysen haben ergeben, dass sich im nabennahen Bereich der Vor- derkante ein Rückströmungsgebiet ausbildet. Die Intensität und räumliche Ausdeh- nung dieses Gebiets ist dabei sehr sensitiv gegenüber der verwendeten Totaldruck- randbedingung. So führt ein niedriger Totaldruck im nabennahen Bereich an der Vor- derkante zu einer Intensivierung und zu einem Anwachsen dieser Blockage. In Abbil- dung 8.24 ist dies anhand der zeit- und umfangsgemittelten cz-Geschwindigkeitskom- ponente für vier unterschiedliche Kanalhöhen dargestellt. Für die Zeitmittelung wurden insgesamt 500 Zeitschritte verwendet. Die Position der Vorder- und Hinterkante des Messgitters ist als senkrechte graue Li- nie eingezeichnet. Um einen Eindruck der Volatilität von cz zu bekommen, ist zusätzlich die Standardabweichung σ als Farbband um den jeweiligen Verlauf aufgetragen. Auf- fällig ist, dass die zeit- und umfangsgemittelte cz-Komponente der Simulationen MOD1 und MOD2 im Bereich der Vorderkante bei einer Kanalhöhe von 0, 1 und 1, 0% negativ ist, während die axiale Geschwindigkeitskomponente in der Basis-Rechnung für alle dargestellten Kanalhöhen einen negativen Wert aufweist. Unter Berücksichtigung der 132 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Standardabweichung liegt bezüglich der Simulationen MOD1 und MOD2 nur für 0, 1% Kanalhöhe eine Rückströmung vor. Bei 1, 0% Kanalhöhe ist dies nicht mehr der Fall, da das Band der Standardabweichung in diesen beiden Simulationen oberhalb 0m/s- Linie liegt bzw. diese tangiert. Zusätzlich sind in Tabelle 8.9 für alle vier Kanalhöhen der Mittelwert sowie die Standardabweichung der drei Simulationen an der Vorderkan- te aufgelistet. Wie bereits erwähnt, ist innerhalb der Basis- und MOD1-Rechnung für 0, 1% c z [m / s] z [m] 0, 04−0, 04 70 50 30 10 −10 1, 0% z [m] 0, 04−0, 04 2, 0% z [m] 0, 04−0, 04 3, 0% z [m] 0, 04−0, 04 c z [m / s] c z [m / s] z [m] 0, 04 0, 00 20 10 −10 0 z [m] 0, 04 0, 00 z [m] 0, 04 0, 00 z [m] 0, 04 0, 00 Abb. 8.24.: Umfangs- und zeitgemittelte axiale Geschwindigkeitskomponente für die Kanalhöhen 0,1, 1,0, 2,0 und 3,0%. Die unteren vier Diagramme entspre- chen einer Detailansicht der oberen Abbildungen. MOD1 (—), Basis (—), MOD2 (—). alle dargestellten Kanalhöhen eine Rückströmung im Bereich der Vorderkante vorzu- finden. Auch unter Berücksichtigung der Standardabweichung lässt sich bis zu 3, 0% 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 133 Kanalhöhe keine positive axiale Geschwindigkeit in diesem Bereich feststellen. Im Ge- gensatz zu den Simulationen MOD1 und MOD2 ist die Standardabweichung der Basis- Variante, insbesondere für die Kanalhöhen 1, 0, 2, 0 und 3, 0%, deutlich geringer, so dass die Fluktuation der Strömung niedriger ausfällt. Allerdings kann anhand dieser Darstellung keine Aussage über die Fluktuationen in den einzelnen Passagen getrof- fen werden, da es sich um gemittelte Daten handelt. Eine weitere Auffälligkeit, die sich aus dieser Untersuchung ergibt, betrifft die axiale Ausdehnung des Rückströmungs- gebietes an der Vorderkante. Für den Fall einer Basis-Rechnung ist dieses Gebiet deutlich größer und reicht, verglichen mit den beiden anderen Simulationen, weiter stromauf. Ein detaillierterer Blick in das zeitgemittelte Strömungsfeld der nabennahen Sim. 0, 1% 1, 0% 2, 0% 3, 0% ø σ ø σ ø σ ø σ MOD1 -6,40 5,73 -4,54 4,27 4.14 2,93 11,48 1,45 Basis -3,37 0,778 -8,11 0,66 -4,24 0,57 -0,75 0,93 MOD2 -5,07 0,22 2,23 4,78 16,66 3,42 26,93 1,92 Tab. 8.9.: Mittelwert und Standardabweichung der axialen Geschwindigkeitskompo- nente cz cz-Geschwindigkeitskomponente ist in Abbildung 8.25 dargestellt. Zu erkennen sind Profilschnitte auf den gleichen vier Kanalhöhen, wobei die blau gekennzeichneten Be- reiche einer negativen axialen Geschwindigkeit und die grauen einer positiven entspre- chen. Zusätzlich zu den eben gezeigten zeit- und umfangsgemittelten Diagrammen, kann anhand dieser Darstellung gezeigt werden, welche Bereiche von der Rückströ- mung betroffen sind und inwieweit sich die drei Simulationen diesbezüglich unterschei- den. Wie bereits aus den zeit- und umfangsgemittelten Verläufen deutlich wurde, sind die größten Unterschiede im Bereich der Vorderkante auf den Kanalhöhen 0, 1 und 1, 0% zu finden. Für die Basis-Simulation bildet sich im Bereich der Vorderkante auf 0, 1 und 1, 0% ein geschlossener Rückströmungsring aus, der sich über den ganzen Umfang erstreckt. Die axiale Ausdehnung dieses Rückströmungsgebietes beträgt ca. 30% der axialen Sehnenlänge der Messgitterschaufeln und beginnt weiter stromauf der Vorder- kante. Durch diese Blockage wird auf diesen beiden Kanalhöhen die Zuströmung in Umfangsrichtung umgelenkt und es bildet sich eine durchgängige Staulinie aus. Auch 134 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN an dieser Stelle sei erwähnt, dass es möglich ist, dass einzelne Passagen für ausge- wählte Zeitpunkte nicht blockiert sind und sich kein geschlossener Rückströmungsring ausbildet. Unter Berücksichtigung der Mittelwerte und der zugehörigen Standardab- weichung für die Basis-Rechnung auf den Kanalhöhen 0, 1 und 1% (siehe Tabelle 8.9) scheint dies jedoch nicht wahrscheinlich. Bereits auf 2, 0% Kanalhöhe ist diese Blockage deutlich reduziert und es ist kein Blocka- gering mehr zu erkennen. Die Interaktionslinie aus Zu- und Rückströmung liegt hierbei weiter stromauf auf Höhe der Vorderkante. Die Stromlinien deuten jedoch weiter dar- auf hin, dass im Mittel kein Fluid in die Passagen eintritt. Erst ab 3, 0% Kanalhöhe sind einzelne Stromlinien zu identifizieren, welche in die Passage eintreten. Auch der Mittel- wert und die Standardabweichung weisen darauf hin, dass es hier zu einer Fluktuation um 0m/s kommt, so dass ein pulsierender Blockagemechanismus vorliegt. Hinsichtlich der Simulationen MOD1 und MOD2 ist die axiale Ausdehnung des Blockagerings für 0, 1% Kanalhöhe deutlich reduziert, so dass sich die Staulinie weiter stromab in Rich- tung Vorderkante verschoben hat und kein geschlossener Ring mehr für die Simulation MOD2 beobachtet werden kann. Des Weiteren liegt die Staulinie hierbei sogar auf Hö- he der Vorderkante, während dies erst für 1, 0% Kanalhöhe in der MOD1-Rechnung der Fall ist. Auch die statistischen Ergebnisse aus Tabelle 8.9 spiegeln dies wieder und lassen den Schluss zu, dass für eine MOD1-Rechnung ab 1, 0% Kanalhöhe und für eine MOD2 Rechnung bereits ab 0, 1% Kanalhöhe ein pulsierender Blockagemecha- nismus vorliegt. Basierend auf den Ergebnissen der axialen Geschwindigkeitskomponente sowie den Druckfluktuationen aus Abbildung 8.23 steht ein positiv umlaufendes Druckmuster of- fensichtlich in Zusammenhang mit der nabennahen Lage der Interaktionszone aus Zu- und Rückströmung sowie deren Intensität. Wenn dieser Wechselwirkungsbereich auf Höhe der Vorderkante bei einer Kanalhöhe von maximal 1, 0% vorzufinden ist und einen Mittelwert um 0m/s aufweist, so dass eine Pulsation aus Zu- und Rückströmung begünstigt wird, bildet sich ein in positive Richtung umlaufendes Phänomen aus, an- derenfalls wird es unterbunden. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 135 Ba si s 0,1% 1,0% 2,0% 3,0% M O D 1 M O D 2 Abb. 8.25.: Detailansicht der zeitgemittelten Strömung für 0,1, 1,0, 2,0 und 3,0% Ka- nalhöhe. Blaue Bereiche kennzeichnen negative und graue positive cz- Geschwindigkeitskomponenten. 136 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Untersuchung im Frequenzbereich Die Ergebnisse einer spektralen Untersuchung dieser drei Fälle sind in den Abbildun- gen 8.26 und 8.27 dargestellt. Die Grafiken der ersten Abbildung stellen die nume- rischen Kreuzleistungsspektren der Druckfluktuation Δp dem experimentellen gegen- über. Der zugehörige Phasengang ist in der nachfolgenden Abbildung 8.26 visualisiert. Dabei wurden jeweils alle 360 über den Umfang verteilten Messpositionen an der axia- len Ebene 3 (vergleiche Abbildung 8.18) auf unterschiedlichen Kanalhöhen (0, 10, 20, 30, 50, 70, 90 und 100%) genutzt. Für die Berechnung des KLS sowie des Phasenwin- kels wird die gleiche Methodik verwendet, die bereits in Abschnitt 8.2.1 erläutert wurde. Im obersten Diagramm in Abbildung 8.26 ist das KLS der DESMOD1-Rechnung (farbig) dem Experiment (schwarz) gegenübergestellt. Hierbei ist im RI-relevanten Bereich na- hezu keine nennenswerte Aktivität im numerischen Spektrum festzustellen. Anhand der Farbe können die Spektren den unterschiedlichen Kanalhöhen zugeordnet wer- den, wobei alle sehr dicht beieinander liegen und keine RI-typische Abnahme hin zum Gehäuse zu erkennen ist. Links neben der niedrigsten RI-Frequenz (65Hz) sind in den numerischen Spektren zwei Peaks zu erkennen, welche bei 17 und 40Hz liegen, wo- bei die 17Hz der Schaufelzahl des Messgitters zugeordnet werden können. Bei 40Hz ist im zugehörigen Phasenspektrum ein negativer Wertebereich zu erkennen, so dass es sich hierbei um eine negative Ausbreitungsrichtung handelt und die auf Basis der zeitlichen Untersuchung (vergleiche Abbildung 8.23) angestellte Vermutung einer Um- kehrung der Rotationsrichtung bestätigt werden kann. Die Ausprägung dieses 40Hz Peaks ist an der Nabe deutlich höher verglichen mit dem Gehäuse, so dass davon ausgegangen werden kann, dass die ursächlichen Mechanismen an der Nabe entste- hen. Das Kreuzleistungsspektrum einer DESBasis-Simulation besitzt im hinteren RI-relevanten Frequenzbereich eine leichte Amplitudenerhöhung mit einzelnen Peaks, welche der ty- pischen kammartigen RI-Signatur stark ähnelt. Die Amplitudenwerte der Peaks der nu- merischen Spektren sind auf einem vergleichbaren Niveau verglichen mit dem Experi- ment, allerdings befinden sich diese bei geringfügig höheren Frequenzen. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 137 KL S [Pa 2 /H z] 0 200 400 600 KL S [Pa 2 /H z] 0 200 400 600 KL S [Pa 2 /H z] f [Hz] 0 100 200 300 400 500 0 200 400 600 2500 5000 7500 10000 0 Abb. 8.26.: Kreuzleistungsspektrum des Experiments (schwarz) sowie der Simula- tionen (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—), 100%(—). Oben: Experiment vs. MOD1. Mitte: Experiment vs. Basis. Unten: Experi- ment vs. MOD2, wobei die rechte Ordinate zu den numerischen Ergebnisse gehört. 138 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Anhand der farblichen Kennzeichnung kann festgestellt werden, dass die Amplituden im Spektrum mit zunehmender Kanalhöhe abnehmen. Folglich sind die Ursachen die- ser Peaks im Bereich der Nabe lokalisiert. In Summe lassen sich vier dominante Peaks im numerischen Spektrum identifizieren, die in Tabelle 8.10 eingetragen sind. Im Pha- senspektrum (Abbildung 8.27, mittleres Diagramm) liegt, entsprechend dem Experi- ment, im Frequenzbereich der Peaks ein linearer Anstieg vor, der leicht oberhalb des experimentellen Verlaufes liegt. Mit Hilfe der aus Abschnitt 5.3.2 vorgestellten Metho- dik können die Modenordnung (siehe Gleichung (5.18)) sowie die Rotationsfrequenz (siehe Gleichung (5.21)) bestimmt werden, die ebenfalls in Tabelle 8.10 zu finden sind. Aufgrund des leicht erhöhten Phasenverlaufes der numerischen Spektren ergeben sich Modenordnungen der DESBasis-Variante, die bei höheren Werten liegen, verglichen mit denen des Experiments. Bezüglich der Rotationsgeschwindigkeit dieser Moden liegen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in positiver Richtung vor, welche geringer sind, vergli- chen mit denen des Experiments. In dem Kreuzleistungsspektren der dritten Variante (DESMOD2) ist ebenfalls eine breit- bandige Amplitudenerhöhung mit einzelnen Peaks zu erkennen, wobei diese, vergli- chen mit der DESBasis-Rechnung, tendenziell weiter nach links zu niedrigeren Frequen- zen verschoben sind und somit besser mit dem Experiment übereinstimmen. Allerdings sind die Amplitudenwerte um das 10- bis 15-fache höher verglichen mit denen des Experiments. Für diesen Fall sind die Amplitudenwerte der Simulation der rechten y- Achse und die des Experiments der linken y-Achse zu entnehmen. Ein Vergleich der Phasenverläufe der DESMOD2-Rechnung mit dem Experiment zeigt im gesamten unteren Frequenzbereich (0 bis 300Hz) einen linear ansteigenden Ver- lauf, wobei die numerischen Spektren auch für diesen Fall leicht oberhalb des Expe- riments liegen. Im Quervergleich mit der (DESBasis)-Rechnung ist der Phasenverlauf der (DESMOD2)-Rechnung als qualitativ höherwertiger einzuordnen. Dies spiegelt sich ebenfalls in den RI-Charakteristiken wie Modenordnung und Rotationsgeschwindigkeit wider, siehe Tabelle 8.10. Eine mögliche Erklärung für die tendenziell besseren Resul- tate der Rechnung DESMOD2 liegt in der Druckdifferenz zwischen Totaldruck am Eintritt und statischem Druck am Austritt. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 139 ϕ [◦ ] 0 100 200 -100 -200 ϕ [◦ ] 0 100 200 -100 -200 ϕ [◦ ] f [Hz] 0 100 200 -100 -200 0 100 200 300 400 500 Abb. 8.27.: Phasenspektrum des Experiments (schwarz) sowie der Simulationen (far- big). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—), 100%(—). Oben: Ex- periment vs. MOD1. Mitte: Experiment vs. Basis. Unten: Experiment vs. MOD2. 140 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Nach Messungen von HERMLE UND LAWERENZ (2013) in der Abströmung liegt der sta- tische Druck an der Nabe bei geringeren Werten verglichen mit den Ergebnissen der Numerik, so dass bei gleichem Totaldruck in der Zuströmung zum Messgitter im Expe- riment eine stärkere treibende Kraft vorliegt, verglichen mit der Basis-Rechnung. Um die gleiche Druckdifferenz sicherzustellen kann der Totaldruck erhöht werden, so dass sich die tendenziell besseren Ergebnisse der DESMOD2-Rechnung erklären lassen. Als Fazit dieser Untersuchungen im Zeit- und Frequenzbereich lässt sich festhalten, dass ein geringer nabenseitiger Totaldruck zu einer Zunahme der Rückströmung im Bereich der Vorderkante auf Höhe der Nabe führt, welche über den gesamten Umfang induziert wird, so dass sich deutlich stromauf der Vorderkante eine Staulinie bildet und ein in positiver Richtung umlaufendes Phänomen unterbunden wird. Dabei haben wei- terführende Untersuchungen gezeigt, dass es sich bei dieser Rückströmung um eine permanente Blockage handelt. Anhand spektraler Untersuchungen konnten keine RI- typischen Spektren gefunden werden. Die Nutzung einer Totaldruckrandbedingung, die Sim. f [Hz] Φxy [◦] m [-] ω [rad/s] cu [m/s] EXP 55,16 25,16 1,18 291,76 32,09 120,80 44,34 2,09 362,56 39,88 174,89 69,20 3,26 337,92 37,17 Basis 163,58 95,11 4,32 237,74 26,15 177,67 103,37 4,47 237,58 26,13 205,89 121,80 5,54 233,66 25,70 225,63 157,33 7,15 198,23 21,80 MOD2 115,78 59,44 2,83 259,20 28,51 131,58 61,99 2,95 282,49 31,07 157,89 81,75 3,89 257,04 28,27 210,92 122,92 5,85 227,93 25,07 Tab. 8.10.: Dominante Frequenzen aus den Kreuzleistungsspektren sowie die zugehö- rigen Phasenwinkel und die daraus abgeleiteten Charakteristiken. das Messergebnis an der Messebene ME1 erfüllt (Basis) sowie eine Randbedingung mit einem leicht höheren Totaldruck im nabennahen Bereich führt zu einer in positiver Richtung umlaufenden Drucksignatur. Dabei bewirkt eine Zunahme des nabennahen Totaldruckes eine Reduktion der Größe und Intensität des Rückströmgebietes. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 141 Infolge dessen liegt die Interaktionszone aus Zu- und Rückströmung, welche der Stau- line entspricht, auf Höhe der Vorderkante. Ein permanent vorliegender Blockagering für eine Kanalhöhe von 0, 1% konnte in diesen beiden Simulationen nicht beobachtet werden. Die spektrale Untersuchung der Druckfluktuationen zeigte RI-änliche Signa- turen in beiden Simulationen. Zusammenfassend lässt sich anhand der Ergebnisse schlussfolgern, dass entscheidend für die Entstehung eines rotierenden Phänomens mit RI-ähnlichen Charakteristiken das Vorhandensein eines Blockagemechanismus im Seitenwandbereich ist. Dabei bildet die Blockage mit der Zuströmung eine Ablöselinie auf Höhe der Vorderkante, die mit den dortigen Sekundärstrukturen (Hufeisenwirbel, Spaltwirbel) wechselwirkt. Liegt eine sehr ausgeprägte Rückströmung vor, verlagert sich der Wechselwirkungsbereich weiter stromauf, gewinnt an Intensität und es sind keine RI-typischen Charakteristiken zu erkennen. 142 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN 8.2.3. Detailuntersuchung der Rotierenden Instabilität Aus den vorausgegangenen Untersuchungen geht hervor, dass RI anhand der Simu- lationen DESMOD1 und DESMOD2 gut wiedergegeben werden kann. Daher werden die- se beiden Rechnungen im Folgenden im Detail analysiert. Zunächst werden weitere Frequenzspektren an unterschiedlichen axialen Ebenen ausgewertet. Anschließend daran wird versucht dreidimensionale Wirbelsysteme in Zusammenhang mit charakte- ristischen RI-Frequenzen zu bringen. In den Abbildungen 8.28 und 8.29 sind für diese beiden DES-Rechnungen, ergän- zend zum Abschnitt 8.2.2, Spektren an weiteren neun axialen Ebenen (E1 bis E10) dargestellt. Wie aus dem vorherigen Abschnitt hervor geht, ist RI nur bis ca. 50% Ka- nalhöhe im Spektrum zu detektieren. Daher werden in den Abbildungen 8.28 und 8.29 nur die radialen Positionen bis 50% Kanalhöhe berücksichtigt. Aus den Spektren in Abbildung 8.28 geht hervor, dass mit zunehmenden Abstand stromauf und stromab des Messgitters die Fluktuationsbewegungen abnehmen, wobei die höchste Aktivität im RI-relevanten Bereich für die Ebenen E4 bis E6 zu verzeichnen ist. Das bereits aus dem vorherigen Abschnitt bekannte Spektrum an der Ebene E3 ist in abgeschwächter Form für die Ebene E1 und E2 vorzufinden und ähnelt diesem hinsichtlich Struktur und radialer Reihenfolge. Es sind zwei breitbandige Amplitudenerhöhungen mit einzelnen Peaks für die Frequenzbereiche 10 bis 55Hz und 120 bis 250Hz vorzufinden, wobei das lokale Maximum für die Ebenen E1 bis E3 im zweiten Bereich bei ca. 170Hz liegt. Eine RI-typische Abnahme der Amplitudenwerte mit zunehmender Kanalhöhe ist nur für den zweiten Frequenzbereich (120 bis 250Hz) in den Ebenen E1 bis E3 eindeutig festzustellen. Hinsichtlich der Ebene E4 ist ebenfalls ein, verglichen mit E3, ähnlicher Verlauf festzustellen, wobei die Amplitudenwerte in den beiden genannten Frequenz- bereichen verglichen mit denen der Ebene E3 erhöht sind und keine Abnahme der Spektren mit zunehmender Kanalhöhe zu verzeichnen ist. Im zweiten Frequenzbereich (120 bis 250Hz) der Ebene E4 entsprechen die Kreuzleistungswerte beispielsweise auf 50% Kanalhöhe denen bei 0% Kanalhöhe. Hinsichtlich der Ebenen E5 bis E7 ist eine Abnahme der Amplitudenwerte im zwei- ten Frequenzbereich (120 bis 250Hz) und eine Zunahme im ersten Frequenzbereich (10 bis 55Hz) festzustellen. In weiter stromab liegenden Ebenen (E8 bis E10) sind alle Amplitudenwerte im RI-relevanten Bereich deutlich reduziert und es ist keine breitban- dige Amplitudenerhöhung erkennbar. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 143 CP SD [Pa 2 /H z] 0 200 400 600 E1 E2 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 CP SD [Pa 2 /H z] 0 200 400 600 E3 E4 E5 E6 CP SD [Pa 2 /H z] f [Hz] 100 300 0 200 400 600 E7 f [Hz] 100 300 E8 f [Hz] 100 300 E9 f [Hz] 100 300 E10 Abb. 8.28.: Kreuzleistungsspektrum der Druckfluktuationen. Experimentelle Daten auf Höhe der Nabe für E3 (schwarz) sowie Spektren der Simulationen DESMOD1 (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—) Unter Berücksichtigung der Erkenntnisse aus dem vorherigen Abschnitt kann festge- 144 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN halten werden, dass der zweite Frequenzbereich (120 bis 250Hz) für die Ebenen E1 bis E4 einer RI-Signatur stark ähnelt. Die Tatsache, dass die Intensität des Spektrums für die axiale Position E4 an der Nabe am höchsten ist, lässt darauf schließen, dass dort der Ursprung des Phänomens liegt. Die Auswirkung stromauf ist noch bis ca. 30mm vor der Vorderkante zu messen. Stromab der Ebene E4 lässt sich zwar für das Frequenz- band 120 bis 250Hz noch Aktivität im Spektrum erkennen, jedoch ist kein RI-typisches Verhalten zu finden. Bemerkenswert ist die Intensivierung der Amplitudenwerte im ers- ten Frequenzbereich (10 bis 50Hz) beginnend ab E4. Diese Fluktuationen scheinen ihren Ursprung in der Nähe der axialen Position E6 zu besitzen, wobei für alle dar- gestellten radialen Höhen ein ähnliches Amplitudenniveau zu verzeichnen ist. Folglich liegt eine großräumige Fluktuation vor, welche den Bereich zwischen Nabe bis mindes- tens 50% Kanalhöhe gleichermaßen erfasst. Ab der Ebene E8 sind im Spektrum keine dominanten Frequenzen mehr vorhanden. In Abbildung 8.29 sind die Ergebnisse einer spektralen Untersuchung der Simulati- on DESMOD2 dargestellt. Zu beachten ist, dass die rechte y-Achse zu den numerischen Spektren und die linke zu dem experimentellen Spektrum gehört. Wie aus dem vorheri- gen Abschnitt bekannt ist, liegt in der Ebene E3 eine breitbandige Amplitudenerhöhung mit diskreten Peaks (ca. 130, 180, 210Hz) im Bereich 50 bis 250Hz vor. Dabei kann ein RI-typisches Verhalten in radialer Richtung festgestellt werden. Die Kreuzleistungs- werte an der Nabe sind höher und nehmen zum Gehäuse hin ab. Dieses Verhalten ist sowohl stromauf für die Ebenen E1 und E2 als auch für die Ebene E4 festzustellen, wobei bei Betrachtung der Spektren der Ebenen E1 bis E4 zu erkennen ist, dass das Maximum dieser breitbandigen Amplitudenerhöhung bei allen axialen Positionen an der Nabe bei einer Frequenz von ca. 130Hz zu finden ist. Ebenfalls ist eine Zunahme dieser maximalen Frequenz in Abhängigkeit der axialen Position zu erkennen, wobei das Maximum bei E4 erreicht wird. Folglich kann gefolgert werden, dass der Ursprung der RI-ähnlichen Strukturen in der Nähe der Ebene E4 im Nabenbereich vorzufinden ist. Dies ist in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen von HERMLE UND LAWERENZ (2013). Eine Abnahme der RI-Aktivität ist für alle nachfolgenden Ebe- nen zu verzeichnen, wobei ab der Ebene E8 nahezu kein nennenswerter Beitrag im Spektrum zu verzeichnen ist. Aufgrund der Tatsache, dass beide Simulationen ähnliche Ergebnisse und Schluss- folgerungen liefern, jedoch die charakteristische kammartige, breitbandige Amplitu- denerhöhung sowie der Phasenverlauf der Simulation DESMOD2 qualitativ besser ist, 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 145 CP SD [Pa 2 /H z] 0 200 400 600 E1 E2 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 CP SD [Pa 2 /H z] 0 200 400 600 E3 E4 E5 5000 10000 15000 0 E6 CP SD [Pa 2 /H z] f [Hz] 100 300 0 200 400 600 E7 f [Hz] 100 300 E8 f [Hz] 100 300 E9 f [Hz] 100 300 5000 10000 15000 0 E10 Abb. 8.29.: Kreuzleistungsspektrum der Druckfluktuationen. Experimentelle Daten auf Höhe der Nabe für E3 (schwarz) sowie Spektren der Simulationen DESMOD2 (farbig). 0%(—), 10%(—), 20%(—), 30%(—), 50%(—) wird im Folgenden nur die Simulation DESMOD2 weiter untersucht. Ziel ist es Wirbel- systeme und -strukturen im Bereich der Vorderkante (Ebene E4) in Zusammenhang 146 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN mit den RI-typischen Peaks der breitbandigen Amplitudenerhöhung zu bringen und der Frage nachzugehen, welche Strukturen für diese spektrale Signatur verantwortlich sind. In den gemittelten Kreuzleistungsspektren der DESMOD2-Rechnung können drei wesentliche Frequenzen innerhalb der breitbandigen Amplitudenerhöhung detektiert werden. Hierbei handelt es sich um die Frequenzen fRI,1 ≈ 130Hz, fRI,2 ≈ 150Hz und fRI,3 ≈ 210Hz, wobei die Amplitude des Kreuzleistungsspektrums bei 130Hz am aus- geprägtesten gegenüber den anderen ist. Entsprechend der spektralen Untersuchungen werden die Druckfluktuationen durch diese drei dominanten Frequenzen der breitbandigen Amplitudenerhöhung fRI,1, fRI,2 und fRI,3 maßgeblich bestimmt. Folglich ist zu erwarten, dass im zeitlichen Verlauf der nabenseitigen Druckfluktuationen auf Höhe der axialen Position E4 diese domi- nanten Frequenzen zu identifizieren sind. Die mittleren Kreuzleistungsspektren in Ab- bildung 8.29 basieren auf Sensorpaaren, welche einen Abstand in Umfangsrichtung von 21◦ aufweisen. Um die dominanten RI-Frequenzen nun in den zeitlichen Verläu- fen zu detektieren, bietet es sich an die Umfangspositionspaare zu betrachten, bei welchen die Druckamplituden am größten sind. Hierfür kann Abbildung 8.30 heran- gezogen werden. In dieser Darstellung sind für alle 17 Teilungen des Messgitters die Druckfluktuationen in Umfangsrichtung im Abstand von Δϕ = 3◦ für einen kleinen Zeit- bereich dargestellt. Es ist klar zu erkennen, dass die Druckfluktuationen oberhalb der Saugseite nahe der Vorderkante (roter Verlauf) immer die dominantesten sind. Daher wird diese Sensorposition für ausgewählte Teilungen (eingekreiste Sensorposition in Abbildung 8.30 unten rechts) im Folgenden genauer betrachtet. Des Weiteren wird sich hauptsächlich auf die RI-Frequenz von 130Hz konzentriert, da diese nach der spektralen Untersuchung am dominantesten ist. 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 147 Δ p [Pa ] T1 6000 3000 -3000 -6000 -9000 0 T2 T3 T4 T5 Δ p [Pa ] T6 6000 3000 -3000 -6000 -9000 0 T7 T8 T9 T10 Δ p [Pa ] T11 6000 3000 -3000 -6000 -9000 0 T12 t[s] T13 0,195 0,200 t[s] T14 0,195 0,200 t[s] T15 0,195 0,200 t[s] Δ p [Pa ] T16 0,195 0,200 6000 3000 -3000 -6000 -9000 0 t[s] T17 0,195 0,200 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 Abb. 8.30.: Nabenseitige Druckdifferenzen Δp bezüglich der axialen Ebene E4 für alle 17 Teilungen des Messgitters. Abstand der genutzten virtuellen Sensoren je Teilung entspricht 3◦. Unten rechts: Schematische Position der genutz- ten virtuellen Sensorpositionen. Umkreister Sensor für weitere Analysen genutzt. 148 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN In Abbildung 8.31 ist ein vergrößerter Ausschnitt der Druckfluktuation an der einge- kreisten Sensorposition der Ebene E4 (siehe Abbildung 8.30) für drei nebeneinan- derliegende Teilungen (16 (rot), 17 (grün) und 1 (blau)) dargestellt, wobei die Sen- soren im weiteren Verlauf mit S16, S17 und S1 bezeichnet werden. Zusätzlich sind in schwarz Schwingungen eingetragen, die einer Frequenz von 130Hz entsprechen und jeweils nur phasenweise gegeneinander verschoben sind. Dabei ist zu erken- nen, dass alle drei Druckfluktuationen abschnittsweise in etwa dieser 130Hz entspre- chen und somit der dominantesten RI-Frequenz zuzuordnen sind. Eine Ausbreitung dieser Schwingung ist ausgehend von Teilung 16 in positive Umfangsrichtung festzu- stellen. Aus dem zeitlichen Versatz der Sinusverläufe, lässt sich ebenfalls eine Aus- breitungsgeschwindigkeit mit Hilfe der bereits aus Abschnitt 5.3.2 bekannten Bezie- hung ω = Δϕ Δt bestimmen. Hiernach ergibt sich eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit der 130Hz Schwin- gung von ca. 250 bis 280 rad/s. Dies korreliert mit dem Ergebnis aus Abschnitt 8.2.2 (vergleiche Tabelle 8.10). Auffällig ist, dass der horizontale Abstand der Verläufe der t [s] Δ p [Pa ] 0,190 0,195 0,200 0,205 6000 3000 -3000 -6000 0 S16 S17 S1 Abb. 8.31.: Druckfluktuation an der axialen Messebene E4 auf Höhe der Nabe für die Umfangspositionen ϕ = 0◦ (rot, S16), ϕ = 21◦ (grün, S17) und ϕ = 42◦ (blau, S1). Sensoren S16 und S17 zu Beginn (0, 190 bis 0, 195 s) der schwarz eingezeichneten Schwingungen geringer ist verglichen mit dem Abstand der Sensoren S17 zu S1. Dies 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 149 bedeutet, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit zwischen den Teilungen geringfügig unterschiedlich ist. Für einen genaueren und detaillierteren Einblick ist die statische Druckdifferenz in Ab- bildung 8.32 auf Höhe der Nabe für die Sensorpositionen S16, S17 und S1 als Konturplot dargestellt. Der Verlauf der Druckdifferenz aus Abbildung 8.31 kann visuell anhand der Konturplots bestätigt werden. Auffällig ist, dass sich zum Zeitpunkt t = 0, 19504 s un- terhalb des Sensors S16 in der Passage ein Minimum der Druckdifferenz Δp ausbildet, welches stromab transportiert wird und zunächst an Intensität gewinnt (t = 0, 19552 s). Bei genauerer Betrachtung ist zu erkennen, dass zwei Druckminima in diesem Bereich, DT15,1 und DT15,2, vorhanden sind (t = 0, 19528 s), welche miteinander interagieren und teilweise agglomerieren. Im weiteren Verlauf (t = 0, 19576 s) formiert sich auf Höhe der Hinterkante ein drittes Druckminimum (DT15,3). Für die nachfolgenden vier Zeitpunkte (t = 0, 19600 s bis t = 0, 19672 s) wird dieses neue Druckminimum D15,3 weiter stromab transportiert und verliert an Intensität. Die Druckminima DT15,1 und DT15,2 nehmen eben- falls an Intensität ab. Dieses Verhalten der Druckdifferenzen pflanzt sich in Umfangs- richtung fort, so dass im Zeitintervall t = 0, 19528 s bis t = 0, 19720 s die nachfolgende Passage mit dem Sensor S16 und für das Zeitintervall t = 0, 19648 s bis t = 0, 19840 s die Passage mit dem Sensor S1 betroffen ist. Dabei kann ergänzend beobachtet werden, dass für t = 0, 19528 s das Druckminimum DT16,1 an der Vorderkante des Schaufelprofils entspringt und in die Passage hinein- transportiert wird. Das Druckminimum DT16,2 gewinnt erst für t = 0, 19624 s deutlich an Intensität, wobei dieses im hinteren Teil der Schaufel nahe der Saugseite in Er- scheinung tritt. Ob diese zwei Druckminima mit Wirbelstrukturen in Verbindung ste- hen, kann alleine anhand dieser Darstellung nicht beantwortet werden. Zwar liegt bei einem Wirbel ein Druckminimum in unmittelbarer Nähe vor, jedoch gilt nicht der Um- kehrschluss, dass ein Druckminimum zwangsläufig in Verbindung mit einem Wirbel- system steht. 150 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN S1 S16 S17 0, 19432 s / 84, 240◦ 0, 19456 s / 96, 41◦ 0, 19480 s / 107, 64◦ 0, 19504 s / 118, 87◦ DT15,1 DT15,2 DT16,1 0, 19528 s / 130, 10◦ 0, 19552 s / 141, 34◦ D15,3 0, 19576 s / 152, 57◦ 0, 19600 s / 163, 80◦ 0, 19624 s / 175, 03◦ 0, 19648 s / 186, 26◦ 0, 19672 s / 197, 50◦ 0, 19696 s / 208, 73◦ 0, 19720 s / 219, 96◦ 0, 19744 s / 231, 19◦ 0, 19768 s / 242, 42◦ 0, 19792 s / 253, 66◦ 0, 19816 s / 264, 89◦ 0, 19840 s / 276, 12◦ 0, 19864 s / 287, 35◦ 0, 19888 s / 298, 58◦ -4000 -1000 0 2000 4000 6000Δp [Pa] Abb. 8.32.: Druckdifferenz Δp auf Höhe der Nabe während der dominanten RI- Frequenz fRI, 2. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 151 In Abbildung 8.33 ist für das Zeitintervall (t = 0, 19528 bis 0, 19720 s) eine Detailan- sicht des Strömungsfeldes für die Passage mit dem Sensor S16 dargestellt. Hierbei sind ergänzend zu den Druckdifferenzen nabennahe Stromlinien eingetragen. Anhand dieser Darstellung ist zu erkennen, dass das der Vorderkante entspringende Druckmi- nimum DT16,1 mit einer Sekundärströmung in Zusammenhang steht und das Druckmi- nimum DT16,2 das Resultat der Spaltströmung ist. Bereits zum Zeitpunkt t = 0, 19528 s ist ersichtlich, dass die Spaltströmung weit stromauf gerückt ist und sich unmittelbar stromab der Vorderkante befindet. Anhand der Stromlinienbilder zum nächsten Zeit- punkt t = 0, 19552 s hat es den Anschein, dass der aus der Spaltströmung resultieren- de Spaltwirbel aufplatzt, so dass sich zum Zeitpunkt t = 0, 19576 s ein Wirbelsystem mit senkrecht auf der Nabe stehender Wirbelachse ergibt. Zu den Zeiten t = 0, 19648 s und t = 0, 19672 s ist sehr gut zu erkennen, dass das Druckminimum DT16,1 und die da- mit verbundene Sekundärströmung nahezu die gesamte Passage im hinteren Bereich ausfüllt. Dadurch wird einerseits die Spaltströmung wieder intensiviert, so dass sich das beobachtete zweite dominante Druckminimum DT16,2 ausbilden kann. Andererseits wird die Zuströmung durch die Blockage stärker in Umfangsrichtung gelenkt, so dass die saugseitig benachbarte Passage mit einer höheren Inzidenz angeströmt wird und sich dieser Mechanismus in Umfangsrichtung fortsetzt. Es wird vermutet, dass das RI-Wirbelsystem in Zusammenhang mit dem saugseiti- gen Ast des Hufeisenwirbels und dem Aufplatzen des weit zur Vorderkante gerückten Spaltwirbel steht. Durch das Aufplatzen der Spaltströmung wird ein Teil des Hufeisen- wirbels abgetrennt. Zusätzlich ist in den Stromlinienbildern bereits zu den Zeitpunkten t = 0, 19552 s und t = 0, 19576 s zu erkennen, wie die Zuströmung durch das Aufplat- zen stark in Umfangsrichtung abgelenkt wird. Der abgetrennte Teil des Hufeisenwirbels trifft, wie in Abbildung 8.33 für den zweiten dargestellten Zeitpunkt zu erkennen ist auf die Passagenquerströmung. Dadurch bedingt erfährt der abgetrennte Teil des saug- seitigen Astes des Hufeisenwirbels ein Moment, das diese Sekundärstruktur auf eine leicht gekrümmte Bahn zwingt. 152 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN Aus der Kinematik der Schwenkbewegung gilt der Zusammenhang M = ωs × L, (8.10) wobei M das Moment, L der Drehimpuls des saugseitigen Astes des Hufeisenwirbels mit senkrecht zu M stehender Achse und ωs die Schwenkbewegung ist. Demnach erfährt die Rotationsachse des saugseitigen Astes des Hufeisenwirbels ein Moment durch die Passagenquerströmung, so dass eine Schwenkbewegung ωs resultiert und die tangentiale Achse des Hufeisenwirbels sich radial ausrichtet und die Formation der Stromlinien in Abbildung 8.32 zum Zeitpunkt t = 0, 19576 s erklärt. In Abbildung 8.34 ist eine dreidimensionale Ansicht der Teilung T16 mit dem virtuellen Sensor S16 gezeigt. Auf Höhe der Nabe ist die aus Abbildung 8.32 bereits bekannte Druckdifferenz Δp dargestellt. Ergänzend wurden Wirbelstrukturen mit Hilfe des λ2- Kriteriums (hier: λ2=-5 · 10−7) als graue Isoflächen kenntlich gemacht. Bei λ2 handelt es sich um eine Größe zur visuellen Darstellung von wirbelbehafteten Gebieten. Sie berechnet sich aus dem zweiten Eigenwert des Tensors: M = √ S2 +Ω2, (8.11) wobei S dem Scherraten- und Ω dem Wirbelraten-Tensor entspricht und nur negative Werte herangezogen werden. Positive Werte sind an dieser Stelle ohne Bedeutung. Zunächst fällt in Abbildung 8.34 für den ersten dargestellten Zeitschritt eine henkel- förmige Wirbelfläche in der Passage rechts neben dem Sensor S16 auf. Diese Struktur ist sehr dominant und an der Nabe mit einem Minimum der Druckdifferenz Δp ver- bunden. Aus Abbildung 8.32 ist bekannt, dass es sich hierbei um das Druckminimum DT15,1 handelt. Das Druckminimum DT15,2 ist durch eine λ2 Isofläche verdeckt. Bei ge- nauer Betrachtung ist jedoch ein Wirbelschlauch zu erkennen, welcher das Resultat der Spaltströmung zu sein scheint und mit den Schlussfolgerungen aus Abbildung 8.33 übereinstimmt. Im weiteren Verlauf (t = 0, 19552 s bis 0, 19648 s) ist in Abbildung 8.34 zu erkennen, dass rechts neben der Position des Sensors S16 an der Vorderkante der zugehörigen Schaufel sich kleine Wirbelsysteme bilden, ablösen und sowohl in Umfangsrichtung als auch in die Passage hinein transportiert werden. Zu dem Zeit- punkt t = 0, 19600 s ist zu erkennen, dass sich aus einem dieser Systeme eine aus- geprägte henkelförmige Wirbelstruktur formiert, welche in Zusammenhang mit dem aus Abbildung 8.33 bekannten Druckminimum steht. Eine sehr ähnliche henkelförmi- ge Struktur konnte von PEITSCH ET AL. (2017) in den Simulationen eines einstufi- 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 153 gen Niedergeschwindigkeit-Axialverdichters im Blattspitzenbereich des Rotors gefun- den werden. In einer Veröffentlichung von PULLAN ET AL. (2015) konnte ebenfalls eine solche Struktur im Blattspitzenbereich eines Rotors gefunden und in Zusammenhang mit Spike-induced Stall gebracht werden. Ein Eindruck von der Komplexität kann anhand einer Detaildarstellung der Vorderkan- te für das Zeitintervall t = 0, 19552 s bis 0, 1960 s gewonnen werden, siehe Abbildung 8.35. 154 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN S16 0, 19528 s / 130, 10◦ 0, 19552 s / 141, 34◦ 0, 19576 s / 152, 57◦ P S H 0, 19600 s / 163, 80◦ D2 DT16,2 0, 19624 s / 175, 03◦ 0, 19648 s / 186, 26◦ 0, 19672 s / 197, 50◦ 0, 19696 s / 208, 73◦ 0, 19720 s / 219, 96◦ -4000 -1000 0 2000 4000 6000Δp [Pa] Abb. 8.33.: Druckdifferenzen Δp im Bereich der Vorderkante des Sensors S16 auf Hö- he der Nabe sowie Stromlinien. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 155 0, 19528 s / 130, 10◦ 0, 19552 s / 141, 34◦ 0, 19576 s / 152, 57◦ 0, 19600 s / 163, 80◦ 0, 19624 s / 175, 03◦ 0, 19648 s / 186, 26◦ 0, 19672 s / 197, 50◦ 0, 19696 s / 208, 73◦ 0, 19720 s / 219, 96◦ -4000 -1000 0 2000 4000 6000Δp [Pa] Abb. 8.34.: λ2-Isoflächen (grau, λ2 = 5·10−7) und statische Druckdifferenz Δp auf Höhe der Nabe (Konturplot) während der dominanten 130Hz RI-Frequenz an der Umfangsposition des Sensors S16. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwin- kel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensorposition S1 Zu erkennen sind die druckseitigen Äste des Hufeisenwirbels am Sensor S16 (HW16,D) und am Sensor S17 (HW17,D), ein möglicherweise abgetrennter Teil des Hufeisenwirbels (WS2) sowie der Spaltwirbel an der Vorderkante (SW). Ergänzend kann ein weiteres Wirbelsystem (WS1) mit gebogener Achse identifiziert werden, welches radial auf der Nabe zu stehen scheint und zwischen dem Spaltwirbel und der Schaufel seinen Ur- sprung hat. Das andere Ende dieser Struktur steht senkrecht auf der Saugseite der Schaufel. Für den nachfolgenden Zeitpunkt scheint der Wirbel WS2 mit dem druckseiti- gen Ast des linken benachbarten Hufeisenwirbels (HW17,D) zu interagieren. Es hat den Anschein, als würde sich ebenfalls ein neues Wirbelsystem (WS3) aus dem drucksei- tigen Ast des Hufeisenwirbels HW17,D ergeben und mit WS2 wechselwirken, so dass 156 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN sich daraus das System WS4 zum Zeitpunkt t = 0, 19576 s formiert. Interessant ist, dass der henkelartige Wirbel WS1 offensichtlich mit dem Spaltwirbel SW zusammenzufallen scheint und dem Aufplatzort des Spaltwirbels entsprechen könnte. Sowohl dieses als auch das System WS4 sind in Abbildung 8.34 zu erkennen (ers- te Zeile, rechts). Aus dem Wirbelsystem WS4 entwickelt sich die bereits beschriebene dominante Wirbelstruktur. Das andere Wirbelsystem ist in den nachfolgenden Zeit- schritten (t = 0, 19600 s bis 0, 19672 s) nur noch schwer zu verfolgen und scheint eine untergeordnete Rolle bezüglich der 130Hz RI-Frequenz zu spielen. Ein weiterer Hin- SW HW17,D HW16,D WS1 WS2 S16 0, 19528 s / 130, 10◦ WS2WS3 WS1 SW HW17,D H W 1 6 ,D S16 0, 19552 s / 141, 34◦ WS1 SW H W 1 6 ,D HW17,D S16 WS4 0, 19576 s / 152, 57◦ -4000 -1000 0 2000 4000 6000Δp [Pa] Abb. 8.35.: Detailansicht: λ2-Isoflächen (grau, λ2 = 5 · 10−7) und statische Druckdiffe- renz Δp auf Höhe der Nabe (Konturplot). weis für das Kippen und Aufrichten des abgetrennten Teiles des saugseitigen Astes des Hufeisenwirbels WS2 aus Abbildung 8.35 kann anhand der radialen und tangen- tialen Wirbelstärke (ωr und ωt) geliefert werden. Beide Größen sind für ein längeres Zeitintervall in den Abbildungen 8.36 und 8.37 als Konturplot auf Höhe der Nabe dar- gestellt. Für die relevanten Zeitpunkte (t = 0, 195480 s bis 0, 19576) hinsichtlich des Sensors S16 kann den Abbildungen entnommen werden, dass die tangentiale Wirbel- stärke ωt an der Position S16 ab- und die radiale Wirbelstärke ωr zunimmt. Für die nachfolgenden Zeitschritte ist zu erkennen, wie ein Gebiet betragsmäßig großer radia- ler Wirbelstärke in die Passage hineinwandert und dementsprechend mit der anhand des λ2-Kriteriums visualisierten Isofläche in Abbildung 8.34 korreliert. Erstaunlich ist, dass im Zeitraum t = 0, 19624 s bis 0, 19696 s die tangentiale Wirbel- stärke in Umfangsrichtung von Sensor S16 hin zur saugseitig benachbarten Vorder- kante deutlich an Intensität gewinnt. Dies spricht dafür, dass infolge der Blockage in der Passage des 16, der saugseitige Ast des Hufeisenwirbels durch die höhere Inzidenz und den fehlenden Einfluss der Passagenquerströmung (vergleiche Abbil- dung 8.33 t = 0, 19624 s) den nabenparallelen Charakter beibehält und somit keine 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 157 Schwenkbewegung erfährt. Folglich wird dieser zur Vorderkante der saugseitig be- nachbarten Schaufel transportiert. Dort interagiert dieser mit dem Hufeisenwirbel und initiiert den gleichen Prozess wie eben beschrieben (siehe Abbildungen 8.36 und 8.37 t = 0, 19696 s bis 0, 19786 s). Zu erkennen ist wieder ein Gebiet erhöhter radialer Wir- belstärke, welches der Vorderkante entspringt und schräg in die Passage hinein trans- portiert wird. Im Gegensatz zu der vorherigen Passage ist die Wirbelstruktur in diesem Fall geringer ausgeprägt. Ebenfalls ist das bereits aus Kapitel 8.2.2 bekannte umlaufende Verhalten der RI sehr gut anhand der tangentialen und radialen Wirbelstärke zu erkennen. In Kapitel 8.2.2 konnte die RI im zeitlichen Verlauf von nabenseitigen Druckfluktuationen an der Vor- derkante als ein umlaufendes, zeitweise existentes Druckminimum bzw. -maximum mit einer diffusen Ausdehnung in Umfangsrichtung identifiziert werden. Weiter festzuhal- ten bleibt, dass es sich um einen stabilen Betriebspunkt handelt. Aus der Rotierenden Instabilität entwickelt sich keine Stall-Zelle. Ebenso ist die Physik hinter der Rotieren- den Instabilität, wie eben gezeigt wurde, eine andere verglichen mit einer Rotierenden Ablösung. 158 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN S1 S16 S17 0, 19432 s / 84, 24◦ 0, 19456 s / 96, 41◦ 0, 19480 s / 107, 64◦ 0, 19504 s / 118, 87◦ 0, 19528 s / 130, 10◦ 0, 19552 s / 141, 34◦ 0, 19576 s / 152, 57◦ 0, 19600 s / 163, 80◦ 0, 19624 s / 175, 03◦ 0, 19648 s / 186, 26◦ 0, 19672 s / 197, 50◦ 0, 19696 s / 208, 73◦ 0, 19720 s / 219, 96◦ 0, 19744 s / 230, 46◦ 0, 19768 s / 241, 69◦ 0, 19792 s / 252, 92◦ 0, 19816 s / 264, 15◦ 0, 19840 s / 275, 38◦ 0, 19864 s / 286, 61◦ 0, 19888 s / 297, 84◦ −4000 0 4000 ωr [1/s] Abb. 8.36.: Wirbelstärke ωr während der dominanten 130Hz RI-Frequenz auf Höhe der Nabe im Bereich der virtuellen Sensoren S16, S17 und S1. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensor- position S1 8.2. UNTERSUCHUNG DES RGWKS HINSICHTLICH RI 159 In diesem Abschnitt konnte mit Hilfe einer spektralen Untersuchung gezeigt werden, dass im Bereich der Vorderkante auf Höhe der Nabe das charakteristische RI-Spektrum am deutlichsten in Erscheinung tritt. Als besonders dominant konnte eine 130Hz Schwin- gung identifiziert werden, welche in Zusammenhang mit einem Wirbelsystem steht, das im Bereich der Vorderkante an der Nabe seinen Ursprung zu haben scheint. Anhand der statischen Druckdifferenz Δp und Stromlinienbildern konnte gezeigt werden, dass die Entstehung dieses Wirbelsystems in Zusammenhang mit einer komplexen Wech- selwirkung aus Zu-, Rück-, Quer- und Spaltströmung steht. Dabei ist zu beobachten, dass das der RI zuzuordnende Wirbelsystem erst ab ca. 1/3 der Teilung unmittelbar stromab der Vorderkante entsteht und anhand von Stromlinien zu erkennen ist. Dabei ist unklar, ob es sich hierbei um das Kippen des saugseitigen Astes des Hufeisen- wirbels handelt oder andererseits das Resultat des weit zur Vorderkante gerückten Spaltwirbels ist, welcher aufplatzt und die Ausbildung eines dominanten RI-Wirbels begünstigt. Im dreidimensionalen Strömungsfeld besitzt dieses Wirbelsystem eine henkelförmige Gestalt, wobei ein Ende senkrecht auf der Nabe und das andere senkrecht auf der Saugseite der Schaufel steht. Dieses Wirbelsystem steht dabei in Verbindung mit ei- nem ausgeprägten Druckminimum auf Höhe der Nabe, welches die Passage blockiert und die Zuströmung weiter in Umfangsrichtung umlenkt. Dadurch erfährt die saugseitig benachbarte Schaufel eine erhöhte Inzidenz, so dass es zu dem bekannten Fortpflan- zungsmuster kommt. Ursächliche Vorgänge und Wirbelstrukturen wurden im Bereich der Vorderkante gefunden, wobei die Strömung hochgradig turbulent ist und eine kom- plexe Struktur besitzt. Es wird vermutet, dass der Hufeisenwirbel eine wichtige Rolle bei der Formation dieser die RI bestimmenden Druckfluktuationen besitzt. Im Gegensatz zu Schlussfolgerungen von PULLAN ET AL. (2015) entwickelt sich aus dieser Störung keine Stall-Zelle. Die charakteristischen RI-Wirbelstrukturen bleiben für das gesamte simulierte Zeitintervall (0, 25764 s) unverändert und pflanzen sich, wie zuvor beschrie- ben, in Umfangsrichtung fort. 160 8. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN S1 S16 S17 0, 19432 s / 84, 24◦ 0, 19456 s / 96, 41◦ 0, 19480 s / 107, 64◦ 0, 19504 s / 118, 87◦ 0, 19528 s / 130, 10◦ 0, 19552 s / 141, 34◦ 0, 19576 s / 152, 57◦ 0, 19600 s / 163, 80◦ 0, 19624 s / 175, 03◦ 0, 19648 s / 186, 26◦ 0, 19672 s / 197, 50◦ 0, 19696 s / 208, 73◦ 0, 19720 s, 219, 96◦ 0, 19744 s / 230, 46◦ 0, 19768 s / 241, 69◦ 0, 19792 s / 252, 92◦ 0, 19816 s / 264, 15◦ 0, 19840 s / 275, 38◦ 0, 19864 s / 286, 61◦ 0, 19888 s / 297, 84◦ −3 · 106 −1 · 106 1 · 106 ωt [1/s] Abb. 8.37.: Wirbelstärke ωt während der dominanten 130Hz RI-Frequenz auf Höhe der Nabe im Bereich der virtuellen Sensoren S16, S17 und S1. Bildunterschrift: Zeitpunkt, Phasenwinkel bezüglich der 130Hz-Fluktuation an der Sensor- position S1 161 9. Zusammenfassung Das Ziel dieser Arbeit bestand darin, das Phänomen der Rotierenden Instabilität, wel- ches experimentell an dem Ringgitterwindkanal der Universität Kassel bestätigt wurde, mit Hilfe numerischer Simulation abzubilden und weiter zu untersuchen. Da die zu er- wartenden Berechnungen sehr umfangreich waren, wurden alle Simulationen auf dem Lichtenberg-Cluster der Technischen Universität Darmstadt durchgeführt. Die Arbeit gliedert sich grob gesehen in zwei Teile, wobei sich der erste Abschnitt mit Voruntersuchungen und der zweite mit Detailuntersuchungen hinsichtlich der RI selbst beschäftigt. Das Ziel der Voruntersuchung bestand darin eine geeignete Kombination aus Rechengitter, Zeitschritt und Methode (URANS, DES, DDES) zu identifizieren, mit der es möglich ist RI abzubilden. Insgesamt wurden vier Rechengitter, vier Zeitschritte und drei Methoden miteinander verglichen und experimentellen Daten gegenüberge- stellt. Bezüglich der numerischen Methoden handelt es sich um eine DES-, DDES- und URANS-Variante, wobei die DES- und DDES-Methode in der verwendeten Soft- ware nur in Kombination mit einem Spalart-Allmaras Turbulenzmodell zur Verfügung standen. Aus diesem Grund wurde hinsichtlich der URANS-Methode ebenfalls nur mit diesem Turbulenzmodell gerechnet. Um den numerischen Aufwand zu reduzieren wur- de nur eine Teilung des Ringgitterwindkanals für die Voruntersuchungen berücksich- tigt. Eine Kombination aus Methode, Rechengitter und Zeitschritt wurde hinsichtlich der Wiedergabe von RI als geeignet bewertet, wenn ca. 80% des turbulenten kinetischen Energiespektrums damit abgebildet werden konnte. Hinsichtlich der Ressourcen Re- chenzeit und Speicherplatz, konnte ein Netz bestehend aus ca. 20 Millionen Zellen für den gesamten Ringgitterwindkanal, ein Zeitschritt der Größe Δt = 1 · 10−5 s sowie eine DES-Methode als geeignete Kombination identifiziert werden. Der zweite Teil, welcher sich mit Detailuntersuchungen befasst, besteht im Wesent- lichen aus drei Kapiteln, wobei sich das erste Kapitel mit der Wiedergabe der RI auf 162 9. ZUSAMMENFASSUNG Basis der identifizierten Kombination befasst. Dabei konnte gezeigt werden, dass die Ergebnisse der DES-Rechnung gut mit denen des Experiments übereinstimmen. Im Kreuzspektrum konnte eine breitbandige Amplitudenerhöhung im RI-relevanten Fre- quenzbereich (55 bis 240 Hz) mit in Gehäuserichtung abnehmender Intensität gefun- den werden. Die Ausbreitungsrichtung stimmt ebenfalls mit dem Experiment überein, wobei jedoch der Frequenzbereich der Amplitudenerhöhung der numerischen Simu- lation tendenziell zu etwas höheren Frequenzen verschoben ist. Hinsichtlich der Cha- rakteristiken Modenordnung und Rotationsgeschwindigkeit sind leichte Abweichungen bezüglich des Experiments zu verzeichnen. Während HERMLE (2014) Ordnungen zwi- schen 1 bis 3 und Rotationsgeschwindigkeiten von ca. 37 m/s angibt, liegen die Mo- denordnung der Simulation zwischen 3 bis 7 bei Rotationsgeschwindigkeiten von 22 bis 36 m/s. Allerdings ist anzumerken, dass der dominanteste Peak im numerischen Spektrum bei ca. 130 Hz zu finden ist, mit einer Modenordnung von ca. 3 und einer Rotationsgeschwindigkeit von 36 m/s. Folglich ist dieser Peak der breitbandigen Ampli- tudenerhöhung in sehr guter Übereinstimmung mit dem Experiment. Ergänzend wurde im ersten Kapitel der Detailuntersuchungen der den Voruntersu- chungen zugrundeliegenden Hypothese (, eine Kombination ist geeignet, wenn 80% des Energiespektrums wiedergegeben werden können,) nachgegangen. Die Hypothe- se basiert auf der Vorstellung, dass RI mit feinskaligen Fluktuationen im Zusammen- hang steht, welche durch eine URANS-Methode nicht in ausreichender Art und Weise abgebildet werden können. Um dies zu überprüfen wurde je eine Simulation des ge- samten Ringgitterwindkanals mit der Methode DES und URANS durchgeführt, wobei der verwendete Zeitschritt sowie das Rechengitter, der geeigneten Kombination aus den Voruntersuchungen entsprachen. Anhand dieses Vergleichs konnte gezeigt wer- den, dass eine DES-Methode hinsichtlich der Wiedergabe von RI zu bevorzugen ist. Im Zeitbereich ließen sich weitere deutliche Unterschiede zwischen den Methoden vor- finden. So sind für eine URANS-Rechnung im Bereich der Vorderkante auf Höhe der Nabe im zeitlichen Verlauf des statischen Drucks klare abzugrenzende Druckminima bzw. -maxima zu finden, welche über den gesamten Umfang existieren. In den Ergeb- nissen der DES-Rechnung sind diese umlaufenden Druckminima bzw. -maxima diffu- ser, variieren in ihrer Ausbreitung in Umfangsrichtung und sind nicht über den gesam- ten Umfang existent. Dies entspricht eher dem Charakter der Rotierenden Instabilität. In numerischen Untersuchungen von PEITSCH ET AL. (2017) konnte eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Simulation und Experiment mit einer URANS-Methode in Kombination mit einem SST-SAS Turbulenzmodell gezeigt werden. 163 Im zweiten Teil der Detailuntersuchungen stand der Einfluss geringfügig unterschied- licher Totaldruckrandbedingungen am Eintritt hinsichtlich der Ausbildung rotierender Strukturen mit RI-ähnlichem Charakter im Fokus. Hierfür wurden ergänzend zwei wei- tere DES-Rechnungen mit leicht verändertem Totaldruckverlauf im nabennahen Be- reich am Einfluss durchgeführt. Das Ergebnis dieser Untersuchung war, dass entschei- dend für die Entstehung eines rotierenden Phänomens mit RI-ähnlichem Charakter das Vorhandensein eines Blockagemechanismus im Seitenwandbereich ist, so dass die Zuströmung in Wechselwirkung mit der Blockage eine Ablöselinie auf Höhe der Vorderkante bildet. Liegt eine sehr ausgeprägte Rückströmung vor, so verschiebt sich dieser Wechselwirkungsbereich weiter stromauf und es ist keine RI mehr zu erkennen. Im letzten Kapitel der Detailuntersuchungen wurde die RI genauer untersucht. Hierzu wurde ein virtuelles Sensorfeld bestehend aus 28 000 Messpunkten verwendet, wel- ches im Strömungsfeld um die Schaufeln platziert wurde. Auf Basis einer spektralen Auswertung dieser numerischen Daten, konnte gezeigt werden, dass die RI am deut- lichsten im Bereich der Vorderkante auf Höhe der Nabe in Erscheinung tritt und bestä- tigt damit auch das Experiment. Im Druckspektrum konnten einige dominante Peaks identifiziert werden, wobei eine 130 Hz Schwingung besonders hohe Amplitudenwerte aufweist. Weitere Untersuchungen anhand statischer Druckdifferenzen, nabennahen Stromlinien sowie des λ2-Kriteriums, haben ergeben, dass diese 130 Hz Schwingung im Druckspektrum mit einem dominanten henkelförmigen Wirbelsystem in Verbindung gebracht werden kann, welches eine senkrecht zur Nabe und zur Saugseite stehen- de Achse zu besitzen scheint. Dieses Wirbelsystem hat seinen Ursprung an der Vor- derkante auf Höhe der Nabe, interagiert mit anderen Sekundärströmungen wie dem druckseitigen Hufeisenwirbelast des benachbarten Schaufelprofils und der Passagen- querströmung. Dabei wird dieser Wirbel in die Passage hineintransportiert, gewinnt an Intensität und blockiert im Nabenbereich die gesamte Passage, so dass es zu einer erhöhten Inzidenz an der saugseitig benachbarten Schaufelvorderkannt kommt. Infol- ge dessen ist eine Fortpflanzung in positive Umfangsrichtung festzustellen, wobei sich der blockierte Bereich im weiteren Verlauf wieder entspannt und normal durchströmt wird. 164 ANHANG Anhang 165 A. Erhaltungsgleichungen Mit der Definition der materiellen Zeitableitung Dφ Dt = ∂φ ∂t + vi ∂φ ∂xi︸ ︷︷ ︸ ∇φ· v , (A.1) dem Reynoldschen Transporttheorem: D Dt ∫∫∫ V φdV = ∫∫∫ V ∂φ ∂t dV + ∫∫ A φvi · nidA (A.2) und dem Gaußschen Integralsatz∫∫ A φvinidA = ∫∫∫ V ∂(φvi) ∂xi︸ ︷︷ ︸ ∇·(φ v) dV (A.3) können die Erhaltungsgleichungen ineinander überführt werden. Das Reynoldssche Transporttheorem schafft einen Zusammenhang zwischen bewegtem und ruhendem Koordinatensystem, wobei in Gleichung (A.2) A die Oberfläche des Volumens V dar- stellt. Durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes und der Identität div(φv) = (gradφ) · v + φdivv kann die Gleichung (A.2) auch in der folgenden Form ausgedrückt werden: ∫∫∫ V ( Dφ Dt + φ ∂vi ∂xi dV ) = ∫∫∫ V ( ∂φ ∂t + ∂(φvi) ∂xi ) dV (A.4) In der Festkörpermechanik werden die Bilanzen für Geometrien aufgestellt, die ein- deutig identifizierbar sind. Die jeweilige Geometrie bzw. die die Geometrie beschrei- benden Teilchen liegen dabei im Fokus. Daher werden die Grundgleichungen in der Lagrangschen Betrachtungsweise als teilchenfestes Koordinatensystem beschrieben. In der Strömungsmechanik ist nicht der Verlauf einzelner Teilchen von Bedeutung, 166 A. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN sondern die Strömungsgrößen an einem bestimmten Ort. Diese Art der Formulie- rung ist mit dem Namen Euler verbunden und wird daher Eulersche Betrachtungs- weise genannt. Zusätzlich sei erwähnt, dass im Zusammenhang mit der Kontinuums- theorie der diskrete, molekulare Charakter eines Körpers oder eines Fluides ignoriert wird. 167 B. Untersuchung des Kolmogorov Energiespektrums In den Abbildung B.1, B.2 und B.3 sind die Abhängigkeiten bezüglich der drei Größen (, η und 0) anhand des normierten (links) und des kummulativen (rechts) Spektrums isotroper Turbulenz dargestellt. Dabei wird das kummulative Spektrum genutzt, um ei- ne Cut-Off Wellenzahl κc in Abhängigkeit des aufzulösenden Anteils an isotroper Turbu- lenz zu bestimmen, wobei dieser Wert in Anlehnung an die später genutzte numerische Methode (DES) 85% beträgt, POPE (2000). Zu beachten ist, dass die Wellenzahl mit der Kolmogorov-Länge normiert wurde, so dass dies zur Berechnung der eigentlichen Cut-Off Wellenzahl κ bzw. der Cut-Off Länge c berücksichtigt werden muss. Charakte- ristische Werte bezüglich der im Folgenden dargestellten Variationen sind im Anhang in Tabelle F.1 zu finden. Aus Abbildung B.1 wird deutlich, dass eine Variation der Dissi- pationsrate  keinen Einfluss auf das normierte Spektrum und auf die Cut-Off Wellen- zahl κc,85 hat. Wird in Gleichung (4.10) die Beziehung (4.7) und k = (0)2/3 eingesetzt, so wird ersichtlich, dass die turbulente Reynolds-Zahl nur von η und 0 abhängt. Da diese Werte im vorliegenden Fall konstant gehalten wurden, ergibt sich bei Variation des -Wertes keine Änderung der Reynolds-Zahl, siehe hierzu Tabelle F.1 Zeile fünf bis acht. Dies steht im Einklang mit, FRÖHLICH (2006); KNACKE (2015); POPE (2000). In einem nicht normierten Energiespektrum ist die Variation der Dissipationsrate mit einer Verschiebung der Verläufe in y−, nicht aber in x-Richtung verbunden. Die Cut- Off-Wellenzahl κc,85 bleibt daher auch in diesem Fall unverändert und führt zu keiner anderen Aussage. Demnach hat die Dissipationsrate  in dem Pope’schen Modell kei- nen Einfluss auf die Cut-Off Wellenzahl κc, wohl aber auf das Niveau des gesamten Verlaufes. Die Auswirkung abnehmender η-Werte resultiert entsprechend den Dia- grammen in Abbildung B.2 in einer Verschiebung der Verläufe nach links, hin zu größe- ren Längenmaßstäben. Dies steht gleichzeitig im Zusammenhang mit einer Zunahme der Reynolds-Zahlen. Ebenso resultiert aus dieser Verschiebung eine Abnahme des 168 B. UNTERSUCHUNG DES KOLMOGOROVENERGIESPEKTRUMS  = 0, 01  = 1  = 100  = 1000 106 104 102 100 100 10−2 10−2 10−4 E (κ ) − 1 / 4 ν − 5 / 4 κη  = 0, 01  = 1  = 100  = 1000 10010−210−4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E (κ ) r e l. κη Abb. B.1.: Einfluss der Dissipationsrate  auf das Modellspektrum isotroper Turbu- lenz nach POPE (2000) Gleichung (4.15). Links: Normierte Energiespektren; rechts: Kummulative Spektren, normiert mit dem jeweiligen Gesamtwert. Die gestrichelte Linie entspricht einer Cut-Off Wellenzahl κc, bei der 85% des turbulenten isotropen Energiespektrums erreicht sind. Für alle -Werte gilt: 0 = 1m, η = 0, 0005Pa · s, Re0 = 23198, 42. Produktes aus Cut-Off Wellenzahl κc,85 und η (gestrichelte Linie). Eine Abnahme des Produktes κc,85η bedeutet in diesem Fall eine Zunahme der Cut-Off-Wellenzahl κc,85, siehe Tabelle F.1 Zeile eins bis vier. Während diese für η = 0, 1Pa·s bei κc,85 = 5, 1 [1/m] liegt, vergrößert sich der Wert für η = 0, 0001Pa·s auf κc,85 = 54, 1 [1/m]. Das Ergebnis unterschiedlicher charakteristischer turbulenter Längen 0 ist in den Gra- fiken in Abbildung B.3 dargestellt. Hier wurden für  = 1m2/s3 und η = 0, 0005Pa · s die Auswirkung vier unterschiedlicher 0-Werte untersucht. Bei einer Variation der charak- teristischen Länge 0 führt eine Erhöhung dieses Wertes zu einer höheren Reynolds- Zahl. Da in diesem Fall bereits bei kleinen Wellenzahlen (also bei großen Längen- maßstäben) die energiereichen Strukturen vorliegen, liegt auch in diesem Bereich der Großteil des Energiespektrums. Folglich wird bereits bei sehr geringen Wellenzahlen ein Großteil des Energiespektrums aufgelöst. Eine Abnahme der charakteristischen Länge 0 führt zum Gegenteil. Mit abnehmender Länge 0 verschiebt sich das Produkt κc,85 · η (gestrichelte Linie) zu größeren Werten und zu einer größeren Cut-Off Wellen- zahl κc,85. Aus der Variation der drei Einflussgrößen , η und 0 wurde ersichtlich, dass die Wahl 169 η = 0, 0001 η = 0, 001 η = 0, 01 η = 0, 1 Re0 ≈ 10 1 Re0 ≈ 10 2 Re0 ≈ 10 4 Re0 ≈ 10 5 106 104 102 100 100 10−2 10−2 10−4 E (κ ) − 1 / 4 ν − 5 / 4 κη η = 0, 0001 η = 0, 001 η = 0, 01 η = 0, 1 10010−210−4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E (κ ) r e l. κη Abb. B.2.: Einfluss der Kolmogorov-Länge η auf das Modellspektrum isotroper Turbu- lenz nach POPE (2000) Gleichung (4.15). Links: Normierte Energiespek- tren; rechts: Kummulative Spektren, normiert mit dem jeweiligen Gesamt- wert. Die gestrichelte Linie entspricht einer Cut-Off Wellenzahl κc, bei der 85% des turbulenten isotropen Energiespektrums erreicht sind. Für alle η- Werte gilt: 0 = 1m,  = 1m2/s3. Re0(η = 0, 0001Pa · s) = 215443, 47. Re0(η = 0, 001Pa · s) = 10000, Re0(η = 0, 01Pa · s) = 464, 16, Re0(η = 0, 1Pa · s) = 21, 54. von η und 0 einen Einfluss auf den Verlauf des Spektrums hat und die Reynolds-Zahl definiert. Die Wahl von  ist bei Verwendung eines normierten Spektrums von unterge- ordneter Bedeutung. 170 B. UNTERSUCHUNG DES KOLMOGOROVENERGIESPEKTRUMS 0 = 0, 01 0 = 0, 1 0 = 1, 0 0 = 10 106 104 102 100 100 10−2 10−2 10−4 E (κ ) − 1 / 4 ν − 5 / 4 κη [Pa·s/m] 0 = 0, 01 0 = 0, 1 0 = 1, 0 0 = 10 10010−210−4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E (κ ) r e l. κη [Pa·s/m] Abb. B.3.: Einfluss der charakteristischen Länge energiereicher Wirbel 0 auf das Mo- dellspektrum isotroper Turbulenz nach POPE (2000) Gleichung (4.15). Links: Normierte Energiespektren; rechts: Kummulative Spektren, normiert mit dem jeweiligen Gesamtwert. Die gestrichelte Linie entspricht einer Cut-Off Wellenzahl κc bei der 85% des turbulenten isotropen Energiespektrums er- reicht sind. Für alle 0-Werte gilt: η = 0, 0005Pa · s,  = 1m2/s3. Re0(0 = 0, 01m) = 54, 29. Re0(0 = 0, 1m) = 1169, 61, Re0(0 = 1m) = 25198, 42, Re0(0 = 10m) = 542883, 52 171 C. Grundlagen der Transformation im Frequenzbereich Ähnlich zu der Auto- und Kreuzkorrelation im Zeitbereich existiert im Frequenzbereich das Auto- und Kreuzleistungsspektrum. Im Vorfeld werden jedoch zunächst die Grund- lagen der Transformation in den Frequenzbereich in Abhängigkeit der Signaleigen- schaften kontinuiertlich/diskret und periodisch/aperiodisch bereitgestellt. C.1. Fourier-Reihe Mit Hilfe der Fourier-Reihe ist es möglich, ein periodisches zeitkontinuierliches Signal durch eine Reihenentwicklung zu approximieren, wobei die Länge der Reihe beliebig sein kann. Die Anzahl der notwendigen Glieder ist von den Eigenschaften der zu appro- ximierenden Funktion x(t) abhängig. Zwei Darstellungsvarianten, die oft Anwendung finden, werden vorgestellt. Bei der reellen Fourier-Reihe werden Sinus- und Cosinus- Funktionen als sogenannte Ersatzfunktionen genutzt. Die komplexe Darstellung ergibt sich aus der Eulerschen-Formel für komplexe Zahlen. Reelle Darstellung Mit Hilfe der klassischen Fourier-Reihe lässt sich ein periodisches zeitkontinuierliches Signal durch eine Superposition aus Sinus- und Cosinus-Schwingungen bei diskreten 172 C. GRUNDLAGEN DER TRANSFORMATION IM FREQUENZBEREICH Frequenzen darstellen. x(t) = a0 + ∞∑ n=1 (ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t)) mit : ω0 = 2π T = 2π f0 (C.1) In Gleichung (C.1) beschreibt a0 den Gleichanteil des Signals x(t). Die Fourier-Koeffizienten ak und bk können anhand der Gleichungen: ak = 2 T ∫ T 0 x(t) cos(kω0t) dt (C.2) bk = 2 T ∫ T 0 x(t) sin(kω0t) dt (C.3) berechnet werden. Neben der reellen Fourier-Reihe werden häufig zwei weitere Darstellungsvarianten ge- nutzt. Gleichung (C.1) lässt sich unter Nutzung eines Additionstheorems in eine Form überführen, in der nur Cosinus-Glieder enthalten sind. x(t) = C + ∞∑ k=1 Ck cos(kω0 t+ Φk), (C.4) wobei C0 = a0, Ck = √ a2k + b 2 k, Φk = arctan(− bk ak ). (C.5) Komplexe Darstellung Eine weitere alternative Darstellung der Gleichung (C.1) kann mit Hilfe der Definition der komplexen Zahlen formuliert werden. Hierzu wird die reelle Reihe unter Verwen- dung der Eulerschen-Formel ejkω0t = cos(kω0t) + j sin(kω0t) (C.6) C.1. FOURIER-REIHE 173 genutzt. Demnach ergeben sich für die trigonometrischen Funktionen folgende Aus- drücke: cos(kω0t) = 1 2 (ejkω0t + e−jkω0t), sin(kω0t) = 1 2 (ejkω0t − e−jkω0t). (C.7) Werden diese Ausdrücke in Gleichung (C.1) eingesetzt und berücksichtigt, dass j2 = −1 gilt, folgt: x(t) = a0 + ∞∑ k=1 ( ak 1 2 (ejkω0t + e−jkω0t) + bk 1 2 (ejkω0t − e−jkω0t) ) x(t) = a0 + ∞∑ k=1 ( ( ak 2 + j j bk 2j )ejkω0t + ( ak 2 − j j bk 2j )e−jkω0t ) x(t) = a0 + ∞∑ k=1 ( ak − jbk 2 ejkω0t + ak + jbk 2 e−jkω0t ) (C.8) (Anmerkung: Die in rot markierten Terme j j entsprechen einer Multiplikation mit 1 und verändern so den Wert der Gleichung nicht). Mit den Abkürzungen: A0 = a0 Ak = ak − jbk 2 A−k = ak + jbk 2 (C.9) folgt für die komplexe Form der Fourier-Reihe der Ausdruck x(t) = ∞∑ k=−∞ Ak e jkω0t. (C.10) Die Fourier-Koeffizienten der komplexen Form lassen sich mit der Beziehung Ak = 1 T ∫ T 0 x(t)e−jkω0t dt −∞ ≤ k ≤ ∞ (C.11) bestimmen. Nach dieser Darstellung wird das Signal x(t) durch eine Überlagerung komplexer Fourier-Koeffizienten beschrieben, wobei formal auch negative Frequenzen zulässig sind. Da im eigentlichen Sinn keine negativen Frequenzen existieren, werden, 174 C. GRUNDLAGEN DER TRANSFORMATION IM FREQUENZBEREICH wie später gezeigt wird, nur die Frequenzen betrachtet, für die ωk ≥ 0 gilt. Der zugehö- rige Beitrag zu einem Frequenzanteil setzt sich dann aus den beiden Termen (Ak und A−k) zusammen. Die Darstellung der Fourier-Koeffizienten bezüglich einzelner Frequenzen wird als Spek- trum bezeichnet. Während die Sinus- und Cosinus-Darstellung der Fourier-Reihe nur reelle Koeffizienten liefert und somit ein reellwertiges Spektrum, existiert bei der kom- plexen Darstellung auch ein konjugiert komplexes Spektrum. Allgemein gilt jedoch, dass das Spektrum beider Varianten ein Linienspektrum ist mit dem Frequenzabstand Δf = 1 T . Die numerische Auswertung des Integrals in Gleichung (C.11) ergibt Ak = Δt T N−1∑ n=0 x[nΔt]e−j2πknΔt/T = 1 N N−1∑ n=0 x[nΔt]e−j2πkn/N , (C.12) wobei Δt = 1/fs dem Kehrwert der Messrate fs und N der Anzahl an Messwerten ent- spricht. Der Quotient Δt/T ergibt gerade den Faktor 1/N . Die zu den Zeitpunkten nΔt abgetastete Funktion x(t) zerfällt in eine Summe aus diskreten Abtastwerten, welche mit x[nΔt] beschrieben wird. C.2. Fourier-Transformation (FT) Die Fourier-Reihe ist streng genommen nur für periodische Signale definiert und somit nicht unmittelbar auf aperiodische Signale anzuwenden. Hierzu gehören impulsartige Signale, die zeitlich begrenzt sind oder schnell den Funktionswert Null annehmen. Um dennoch mit der Fourier-Reihe operieren zu können, wird angenommen, dass die Peri- odendauer T des aperiodischen Signals gegen unendlich strebt. Dies ist dann zulässig, falls das Integral ∫ ∞ −∞ | x(t) | dt < ∞ (C.13) existiert. Ausgehend von Gleichung (C.10) und (C.11) ergibt sich mit T → ∞ folgende Gleichung lim T→∞ (An · T ) = X(ω) = ∫ ∞ −∞ x(t)e−jωt dt. (C.14) C.2. FOURIER-TRANSFORMATION (FT) 175 Bei dem Grenzübergang (T → ∞ gilt lim T→∞ 2π T = ω0 = 0) ist das Spektrum nun nicht mehr für einzelne Frequenzkomponenten nω0 definiert, sondern es entsteht ein konti- nuierliches Spektrum, da der Abstand zwischen nω0 und (n + 1)ω0 infinitesimal klein wird. X(ω) ist die Fourier-Transformierte von x(t). Die inverse Transformationsvorschrift lautet: x(t) = 1 2π ∫ ∞ −∞ X(ω)ejω dω. (C.15) Für ein aperiodisches zeitkontinuierliches Signal x(t) stellt die Gleichung (C.14) eine Transformationsvorschrift dar, um das Signal aus dem Zeitbereich in den Bildbereich zu überführen. Da es sich bei der Fourier-Transformierten nach Gleichung (C.14) um eine komplex- wertige Funktion handelt, besteht diese aus einem Real- und Imaginärteil. In der Praxis hat sich die Darstellung des Betrags- und Phasenspektrums als gängige Variante er- wiesen. Das Betragsspektrum ergibt sich aus der Summation der Quadrate des Real- und Imaginärteils und anschließendem Radizieren. |X(ω)|= √ Re[X(ω)]2 + Im[X(ω)]2 (C.16) Der zugehörige Phasenverlauf berechnet sich gemäß der Beziehung: Φ(X(ω)) = ⎧⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ arctan Im[X(ω)] Re[X(ω)] für Re[X(ω)] > 0 arctan Im[X(ω)] Re[X(ω)] + π für Re[X(ω)] < 0 (C.17) Zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT/FTA) Unter der Annahme, dass ein zeit- und wertekontinuierliches Signal x(t) mit einer be- stimmten Messfrequenz fs = 1Δt zu den Zeitpunkten tn = nΔt (C.18) 176 C. GRUNDLAGEN DER TRANSFORMATION IM FREQUENZBEREICH abgetastet wird, entsteht ein zeitdiskretes, wertekontinuierliches Signal. Δt entspricht dem Abtastintervall und n dem jeweiligen Abtastwert. Unter Verwendung einer Dirac- Stoß-Funktion, siehe HOFFMANN (2005), wird das Signal x(t) abgetastet und kann durch den Ausdruck xA(t) = x(t) · ∞∑ n=−∞ δ(t− nΔt) = ∞∑ n=−∞ x(t) · δ(t− nΔt) (C.19) ersetzt werden. Mit der Ausblendeigenschaft des Dirac-Stoßes folgt xA(t) = ∞∑ n=−∞ x(t) · δ(t− nΔt) = x(nΔt) · δ(0)︸︷︷︸ =1 = x(nΔt). (C.20) Da der Dirac-Stoß nur für t = nΔt existiert (δ(0) = 1), nämlich dort, wo das Argument Null ist, liefert das Produkt x(t) · δ(t − nΔt) auch nur an dieser Stelle einen Wert, der von Null verschieden ist. Wird nun Gleichung (C.20) in die Fourier-Transformierte (C.14) eingesetzt, so lautet das Ergebnis X(ω) = ∫ ∞ −∞ ∞∑ n=−∞ x(nΔt)δ(t− nΔt) · e−jωt dt. (C.21) Laut HOFFMANN (2014) kann Summation und Integration vertauscht werden. Ferner kann x(nΔt) vor das Integral geschrieben werden, da es nur implizit von t abhängt und somit für die Fourier-Transformierte eine Konstante darstellt. X(ω) = ∞∑ n=−∞ ∫ ∞ −∞ x(nΔt)δ(t− nΔt) · e−jωt dt = ∞∑ n=−∞ x(nΔt) ∫ ∞ −∞ δ(t− nΔt) · e−jωt dt︸ ︷︷ ︸ =ejωnΔt·1 (C.22) Unter Nutzung der Ausblendeigenschaft des Dirac-Stoßes sowie der zugehörigen De- finitionsgleichung folgt X(ω) = ∞∑ n=−∞ x(nΔt) · e−jωnΔt. (C.23) Mit Gleichung (C.23) existiert eine Transformationsvorschrift für das Amplitudenspek- trum eines Abtastsignals. Da ω jeden beliebigen Wert annehmen kann, liegt ein konti- nuierliches Spektrum vor. In der Literatur wird diese Vorschrift als zeitdiskrete Fourier- Transformation, Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA) oder discret time fourier transformation (DTFT) bezeichnet und ist nicht mit der diskreten Fourier-Transformation (DFT) zu verwechseln. C.2. FOURIER-TRANSFORMATION (FT) 177 Diskrete Fourier-Transformation Die diskrete Fourier-Transformation hat große Ähnlichkeit mit der DTFT. Der Unter- schied liegt darin, dass die Summe in Gleichung (C.23) im Sinne einer DFT nun auf N Abtastwerte beschränkt ist. Folglich wird nur ein Ausschnitt der Länge T = NΔt = N fs (C.24) des ursprünglichen Signals betrachtet. T entspricht hierbei der Periodendauer. Durch die Festlegung einer Periodendauer T , wird der dadurch eingeschlossene Bereich des Signals als periodisch betrachtet, ungeachtet der Tatsache, ob x(t) periodisch ist. So werden aperiodische Signale zwangsperiodisiert. Durch die Reduktion auf N endli- che Abtastwerte resultiert ein diskretes periodisches Spektrum, mit der Frequenzauf- lösung Δf = fs N (C.25) und den Frequenzvariablen ω = ωk = 2πfk = 2πΔfk = 2π k T . mit k = 0, 1, 2, ....N − 1. Bei gleichbleibender Frequenzauflösung kann eine höhere Abtastrate fs durch eine Erhöhung der Abtastwerte N kompensiert werden. Im Resultat bedeutet dies jedoch, dass mehrere Werte abzuspeichern sind und die Speicherkapaziät des Messsystems unter Umständen bei einer zu hohen Messrate nur ein kleines Zeitfenster abdeckt. Im Vorfeld sollte daher überlegt werden, welche Messrate fs notwendig ist. Im Ergebnis lautet die diskrete Fourier-Transformation wie folgt Xk = X(ωk) = N−1∑ n=0 x(nΔt)e−jωknΔt, = N−1∑ n=0 xne −j2π kn N . (C.26) Die inverse Form der diskreten Fourier-Transformation lautet x(nΔt) = 1 N N−1∑ k=0 X(ωk)e −j2π kn N . (C.27) 178 C. GRUNDLAGEN DER TRANSFORMATION IM FREQUENZBEREICH Ein Vergleich mit der komplexen Darstellung der Fourier-Reihe, bei der das Integral durch eine Summe aus diskreten Abtastwerten ersetzt wird, liefert den Zusammen- hang Ak = 1 N Xk. (C.28) Dies bedeutet, dass die DFT-Koeffizienten mit größer werdendem Zeitfenster wachsen, die Fourier-Koeffizienten hingegen bleiben unabhängig von der Größe des Fensters. Aus diesem Grund wird häufig bei der Hintransformation der DFT (C.26) mit dem Faktor 1/N multipliziert. Bei der zugehörigen Rücktransformation würde dieser dann natürlich entfallen. Die DFT liefert ein Linienspektrum mit dem Frequenzabstand Δf = fs/N . Diese Tat- sache impliziert, dass das zugrundeliegende Zeitsignal bezüglich des Zeitfensters T periodisch sein muss. Wie bereits oben erwähnt, kann es sein, dass das Signal aperi- odisch ist bzw. die Wahl des Zeitfensters T eine Periode zerschneidet. Solche Signale besitzen eigentlich ein kontinuierliches Spektrum, werden aber bei Anwendung einer DFT in ein Linienspektrum gezwängt und zwangsperiodisiert. Hieraus ergeben sich Fehler, die aber aufgrund der guten Praxistauglichkeit und gewisser numerischer Vor- teile gern in Kauf genommen werden. Da die Umformung des Exponenten in Gleichung (C.26) nicht sofort ersichtlich ist, wer- den die relevanten Rechenschritte im Folgenden nachvollziehbar dargelegt. e−jωt = e−jωk tn e−jωk tn = e−j2πfk Δtn e−j2πfk Δtn = e−j2π k T Δtn e−j2π k T Δtn = e −j2π kn NΔt Δt = e−j2π kn N Ein interessanter Zusammenhang ergibt sich zwischen DFT und Fourier-Transforma- tion aperiodischer Signale, wenn das Integral der Fourier-Transformation numerisch approximiert wird. Die Annäherung dieses Integrals (C.14) durch die Summe X(ω) ∼= Xˆ(ω) = N−1∑ n=0 x[nΔt]e−jωnΔtΔt (C.29) ergibt einen interessanten Zusammenhang. Nach HOFFMANN (2011) wird angenom- men, dass t > 0 gilt, wobei das Untersuchungsintervall in N Segmente der Größe Δt C.2. FOURIER-TRANSFORMATION (FT) 179 unterteilt wird. Hierbei wird vorausgesetzt, dass für t → ∞ das Zeitsignal x(t) → 0 wer- den muss. Um zur DFT zu gelangen wird ω ebenfalls diskretisiert, so dass ωk = Δωk = 2πk fs N gilt. Eingesetzt in Gleichung (C.29) ergibt sich der wichtige Zusammenhang Xˆ(Δωk) = Δt N−1∑ n=0 x[nΔt]e−j2πkn/N = ΔtXk X(ω) ∼= ΔtXk, (C.30) wobei Xk der DFT entspricht. 180 D. ABSCHÄTZUNG DER GITTERLÄNGEN D. Abschätzung der Gitterlängen Ausgehend von der Proportionalitätsbeziehung (4.11) kann in Abhängigkeit von Re0 und einer charakteristischen Länge der turbulenten Strukturen t eine Kolmogorov- Länge abgeschätzt werden: η ≈ Re−3/40 0. (D.1) Entsprechend Abschnitt 4.2.1 entspricht 0 einem turbulenten Längenmaß , das un- gefähr der Größenordnung geometrischer Abmessungen entspricht. In Anlehnung an POPE (2000) gilt hier der Zusammenhang 0 = 0, 5L, wobei in diesem Fall L = ls = 0, 5m entspricht (siehe Re0) kann anhand der Beziehung (4.14) abgeschätzt wer- den: Re0 ≈ 3 10 Re. (D.2) Demnach ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Re-Zahl der Freiströmung und einer geometrischen Länge, um die Kolmogorov-Länge zu approximieren. Sowohl die Re-Zahl als auch eine geometrische Länge (beispielsweise die Sehnenlänge eines Profils oder der Durchmesser eines Zylinders) sind für ein Strömungsproblem leicht zu ermitteln. Das turbulente kinetische Energiespektrum nach dem Modell von Pope (4.15) ist durch η,  und 0 definiert. Aus Untersuchungen ist bekannt, dass die Wahl von  verantwort- lich ist für das Niveau des Spektrums, aber keinen Einfluss auf den Wellenzahlbe- reich hat. Anhand eines mit 1/4 ·ν5/4 normierten Spektrums (siehe Abbildung B.1) wird dies nochmal deutlich, da die Verläufe für unterschiedliche -Werte direkt übereinan- der liegen. Das turbulente Energiespektrum (4.15) wird genutzt, um in Abhängigkeit eines bestimmten Anteils aufzulösender Turbulenz, eine Wellenzahl κ abzuschätzen. Dabei entspricht der Kehrwert von κ einer Länge die zur Netzgenerierung genutzt wer- den kann. Für die vorliegenden Betriespunkte mit einer Re-Zahl von ca. 430 000 bis 450 000 und lS = 0, 05m als charakteristische Länge L ergibt sich das folgende tur- bulente Energiespektrum, siehe Abbildung D.1. Sollen beispielsweise 70% des Spek- 181 E(κ) 70% 75% 80% 85% 90% 95% 106104102 102 100 100 10−2 10−4 10−6 10−8 10−10 E (κ ) κ [1/m] Abb. D.1.: Verlauf des turbulenten Energiespektrums für die zu untersuchenden Be- triebspunkte entsprechend Tabelle 7.2 mit c = 110m/s, ls = 0, 05m und ν = 0, 000016Pa·s. Die gestrichelten Linien entsprechen dem jeweiligen An- teil aufgelöster turbulenter Energie. trums abgebildet werden, so wird die Cut-Off Wellenzahl κc,70 anhand von Gleichung D.3 durch Integration des Modellspektrums berechnet, wobei die Integration durch eine Summation approximiert wird. κc,70∫ κ0 E(κ)dκ κc,100∫ κ0 E(κ)dκ ≈ κc,70∑ κ0 E(κ) κ100∑ κ0 E(κ) = 0, 7 (D.3) Für den vorliegenden Fall ergibt sich ein Cut-Off Wellenzahlwert von κc,70 = 978, 64 = 2π/c,70. Hieraus folgt für die damit zusammenhängende charakteristische Cut-Off Län- ge c,70 = 2π κc,70 = 8, 32 · 10−3m (D.4) 182 D. ABSCHÄTZUNG DER GITTERLÄNGEN Dabei entspricht lc,70 einem Längenmaß turbulenter Strukturen, die durch ein adäqua- tes Rechennetz aufgelöst werden müssen um ca. 70% des Spektrums abzubilden. Entgegen dem Nyquist-Kriterium, werden hierbei zur Abbildung einer Länge anstelle von 2, 2π Punkte genutzt, um eine bessere Auflösung zu garantieren. Daraus folgt die Bedingung für die Zellen eines Rechengitters, um beispielsweise 70% der turbulenten Strukturen wiederzugeben, dass die Zellen im Mittel einer Länge von Δm = c,70/(2π) = 1, 32 · 10−3m genügen müssen. In Abhängigkeit des aufzulösenden Anteils ergeben sich für die untersuchten Betrieb- spunkte des RGWKs entsprechend Tabelle 7.2 die folgenden einzuhaltenden charak- teristischen Längen und Zellgrößen. Das Verhältnis in der fünften Spalte der Tabelle κ [-] c [m] Δx [m] 0/Δx [-] 70% 755,53 0,00832 0,00132 19 75% 978,64 0,00642 0,00102 25 80% 1332,96 0,00471 0,00075 33 85% 1962,36 0,00320 0,00051 49 90% 3298,44 0,00190 0,00030 83 95% 7330,33 0,00086 0,00014 178 Tab. D.1.: Einzuhaltende Längenmaßstäbe um einen bestimmten Anteil (1. Spalte) des turbulenten Energiespektrums aufzulösen bezüglich der untersuchten Be- triebspunkte des RGWKs, siehe Tabelle 7.2. D.1 gibt Auskunft über die ungefähre Anzahl resultierender Zellen in der Fokus-Region. Dies steht im Einklang mit den Angaben von SPALART (2001), welcher für 80 bis 85% einen Wert von 323 angibt. 183 E. Randbedingungen 184 E. RANDBEDINGUNGEN h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 h r e l 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 92000 96000 100000 104000 108000 pt [Pa] h r e l α [◦] 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 −65 −60 −55 −50 −45 −40 −35 Abb. E.1.: Eintrittsrandbedingungen für die Betriebspunkte BP1 bis BP5, wobei die ers- te Zeile BP1 und die letzte BP5 entspricht. Links ist der Verlauf des Total- drucks pt und rechts der Verlauf des Zuströmwinkels α dargestellt. Die Extra- polation der Randbereiche hinsichtlich α beginnt bei 10 und 90% Kanalhöhe. Die pt-Verteilung wurde so angepasst, dass der Verlauf aus den Messdaten an der ME1 erfüllt wird. 185 F. Tabellen 186 F. TABELLEN F.1. Auswirkung der Variation verschiedener Parameter auf das Kolmogorov-Energiespektrum η 0  Re0 κc,85η κc,85 c,85 2 · m/c,85 Variation η 0, 0001 1 1 215443, 47 0, 00541 54, 1 0, 1161 37 0, 001 1 1 10000, 0 0, 0431 43, 1 0, 1458 30 0, 01 1 1 464, 16 0, 204 20, 4 0, 3080 14 0, 1 1 1 21, 54 0, 51 5, 1 1, 2320 4 Variation  0, 0005 1 0, 01 25198, 42 0, 0239 47, 8 0, 1314 33 0, 0005 1 1 25198, 42 0, 0239 47, 8 0, 1314 33 0, 0005 1 100 25198, 42 0, 0239 47, 8 0, 1314 33 0, 0005 1 1000 25198, 42 0, 0239 47, 8 0, 1314 33 Variation 0 0, 0005 10 1 542883, 52 0, 0028 5, 6 1, 1212 37 0, 0005 1 1 25198, 42 0, 0239 47, 8 0, 1314 33 0, 0005 0, 1 1 1169, 61 0, 1381 276, 2 0, 0227 19 0, 0005 0, 01 1 54, 29 0, 4021 804, 2 0, 0078 6 Tab. F.1.: Einfluss der Variation von η,  und 0 auf die Reynolds-Zahl, die Cut-Off Wel- lenzahl κc,85 sowie die daraus abgeleitete Cut-Off Länge c,85 bei 85%. Das Verhältnis m/c,85 entspricht der Anzahl an Zellen/Gitterpunkten der Größe c,85 um m in eine Koordinatenrichtung, so dass 85% des isentropen turbu- lenten Spektrums aufgelöst werden. m entspricht einer charakteristischen Länge, bei welcher das Maximum im Energiespektrum vorliegt. F.2. BASISGRÖSSEN DER SIGNALANALYSE 187 F.2. Basisgrößen der Signalanalyse In Anlehnung an BENDAT UND PIERSOL (1980) sind in Tabelle F.2 einige Größen so- wie die zugehörigen Einheiten bezüglich der Signalanalyse aufgelistet. Dabei wird angenommen, dass die gemessenen Messsignale einem Drucksignal entsprechen. Größe Einheit t, Δt, τ s T s x(t) Pa f,Δf Hz Rxx(τ),Rxy(τ) Pa 2 X(f),Y (f) Pa · s Sxx(f),Sxy(f) Pa 2 · s Gxx(f),Gxy(f) Pa 2 · s Tab. F.2.: Wichtige Basisgrößen und deren Einheiten bezüglich der Spektralanalyse in Anlehnung an BENDAT UND PIERSOL (1980) am Beispiel eines zeitlich aufgenommenen Drucksignals. 188 F. TABELLEN F.3. RANS Rechnungen Netz m˙ [kg/s] cpt [-] π [-] Soll Ist Δ[%] Soll Ist Δ[%] Soll Ist Δ[%] Inzidenz i = 0◦ Grid 4 5,1902 5,2307 0,78 0,9323 0,9247 -0,82 1,0157 1,0231 0,73 Grid 3 5,2021 0,23 0,9253 -0,75 1,0198 0,40 Grid 2 5,1776 -0,24 0,9260 -0,68 1,019 0,32 Grid 1 5,1569 -0,64 0,9257 -0,71 1,0179 0,22 Inzidenz i = 6◦ Grid 4 4,9342 5,0404 2,15 0,8669 0,8850 2,09 1,0201 1,0355 1,51 Grid 3 4,9974 1,28 0,8723 0,62 1,0293 0,90 Grid 2 4,9582 0,49 0,8589 -0,92 1,0264 0,62 Grid 1 4,9422 0,16 0,8615 -0,62 1,0251 0,49 Inzidenz i = 8◦ Grid 4 4,5488 4,5732 0,54 0,8280 0,7946 -4,03 1,0072 1,0124 0,52 Grid 3 4,6111 1,37 0,8089 -2,31 1,0144 0,71 Grid 2 4,6232 1,63 0,5218 -0,75 1,0142 0,69 Grid 1 4,6197 1,56 0,8191 -1,07 1,0138 0,66 Inzidenz i = 10◦ Grid 4 4,51683 4,4276 -1,98 0,6684 0,6408 -4,13 1,0086 1,0133 0,46 Grid 3 4,4669 -1,11 0,6413 -4,05 1,0147 0,60 Grid 2 4,5062 -0,24 0,6461 -9,94 1,0160 0,73 Grid 1 4,5055 -0,25 0,6550 -2,00 1,0159 0,72 Inzidenz i = 12◦ Grid 4 4,1294 4,0886 -0,99 0,6149 0,5921 -4,13 1,0086 1,0133 -3,71 Grid 3 4,0925 -0,89 0,5849 -4,05 1,0147 -4,88 Grid 2 4,0888 -0,98 0,5740 -9,94 1,0160 -6,65 Grid 1 4,0936 -0,87 0,5876 -2,00 1,0159 -4,44 Tab. F.3.: Globale Ergebnisse (Massenstrom m˙, Totaldruckbeiwert cpt und statisches Druckverhältnis π) der RANS-Simulationen auf vier unterschiedlichen Netzen bezüglich der experimentell vermessenen Betriebspunkte entsprechend Ta- belle 7.2. Der Soll-Wert entspricht dem Experiment, der Ist-Wert dem Ergeb- nis der stationären RANS-Rechnung und Δ der prozentualen Abweichung. F.4. NUMERISCHE UNTERSUCHUNGEN PHASE 2 189 F.4. Numerische Untersuchungen Phase 2 Für die Berechnung der Amplitudenwerte aus einem Autoleistungsspektrum kann fol- gender Zusammenhang genutzt werden Ak = ( 2 ·Gxx Δt ·N NG CG )1/2 NG = 1 N N−1∑ i=1 w(i)2 CG = 1 N N−1∑ i=1 w(i), wobei Ak der Amplitude der Schwingung, N der Anzahl der Werte, Δt dem Zeitinkre- ment und w(i) dem Wichtungsfaktor der jeweiligen Fensterfunktion. Der Faktor NG wird noise gain und der Faktor CG coherent gain genannt. Für ein Hanning-Window beträgt NG = 0, 375 und CG = 0, 5. Wird keine Fensterfunktion genutzt, so ist dies gleichbedeutend mit einer Rechteckfunktion, für welche w(i) = 1 für alle i gilt. Somit folgt in diesem Fall CG = NG = 1 und die Berechnungsvorschrift für Ak vereinfacht sich zu Ak = ( 2 ·Gxx Δt ·N )1/2 .label(equ : AmpausALS2) (F.1) 190 F. TABELLEN f [Hz] Gxx [Pa2/Hz] Ak [Pa] 279 99 195 1060 560 465 1533 170 256 2220 24 96 3125 47 135 3654 66 160 6273 9 59 Tab. F.4.: Dominante Frequenzen aus dem Autoleistungsspektrum einer DES- Rechnung auf dem Gitter G1 bei einem Zeitschritt Δt1. Umrechnung der ALS-Werte anhand von Gleichung ?? in Amplitudenwerte zu den jeweiligen Frequenzen. F.5. Skalierbarkeitsstudie In Tabelle F.5 sind Kombinationen aus Löser, Genauigkeit, MPI Option und Anzahl verwendeter Rechenkerne aufgelistet, welche innerhalb der Skalierbarkeitsstudie un- tersucht wurden. tsim entspricht der Simulationsdauer in Sekunden, ΔtIte. der Zeit in Sekunden für eine Iteration und f einem Effizienzfaktor, welcher aussagt wieviel CPUh ein Prozessor für 1 000 Iterationen benötigt, wenn das Gitter aus einer Million Zellen besteht. Anhand von Gleichung (F.2) kann dieser Faktor berechnet werden, wobei tsim der Simulationsdauer in Stunden, nIter der Anzahl der Iterationen dividiert durch 1 000 und nZellen der Anzahl an Zellen in Millionen entspricht. f = tsim · nCPUs nZellen · nIter. , (F.2) Je kleiner der f -Wert ist, desto schneller ist die Rechnung. Mit Hilfe des f -Faktors kann der Bedarf an CPUh sowie die Simulationsdauer in Echtzeit (tsim) abgeschätzt werden. CPUh = nZellen 106 · nIter. 1000 · f (F.3) tsim = CPUh nCPUs (F.4) F.5. SKALIERBARKEITSSTUDIE 191 case FT/FO SP/DP MPI nCPUs tsim [h] ΔtIte. [-] f 1.1 FT SP new 8 1229,8 0,61 1,14 16 595,8 0,30 1,10 32 353,8 0,18 1,31 48 260,6 0,13 1,45 64 245,6 0,12 1,82 1.2 FT SP default 8 1583,4 0,79 1,47 16 898,3 0,45 1,66 20 715,0 0,36 1,66 24 826,5 0,41 2,30 32 1045,2 0,52 3,87 48 981,9 0,49 5,45 64 1239,3 0,62 9,18 1.3 FT DP default 8 2959,9 1,48 2,74 16 1669,2 0,83 3,09 20 1335,4 0,67 3,09 24 1657,5 0,83 4,6 32 1850,3 0,93 6,85 48 1446,1 0,72 8,03 64 2131,7 1,07 15,79 2.1 FO SP default 8 5854,9 2,93 5,42 16 3175,2 1,59 5,88 20 2641,1 1,32 6,11 24 2309,3 1,15 6,41 32 1765,2 0,88 6,54 48 1691,3 0,85 9,40 64 1262,6 0,63 9,35 2.2 FO DP default 8 6908,5 3,45 6,40 16 3551,7 1,78 6,58 32 2131,9 1,07 7,90 64 1821,8 0,91 13,5 Tab. F.5.: Untersuchte Kombinationen hinsichtlich der Skalierbarkeitsstudie 192 LITERATURVERZEICHNIS Literaturverzeichnis BAUMGARTNER, M., F. KAMEIER UND J. HOURMOUZIADIS (1995). Non-Engine Or- der Blade Vibration in a High Pressure Compressor. 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