| dc.date.accessioned | 2012-10-17T12:20:40Z | |
| dc.date.available | 2012-10-17T12:20:40Z | |
| dc.date.issued | 2012-10-17 | |
| dc.identifier.uri | urn:nbn:de:hebis:34-2012101741938 | |
| dc.identifier.uri | http://hdl.handle.net/123456789/2012101741938 | |
| dc.language.iso | eng | |
| dc.rights | Urheberrechtlich geschützt | |
| dc.rights.uri | https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/ | |
| dc.subject | Differential Galois Theory | eng |
| dc.subject | Picard-Vessiot Theory | eng |
| dc.subject | Inverse Problem | eng |
| dc.subject | Classical Groups of Lie Type | eng |
| dc.subject | Differential Algebra | eng |
| dc.subject.ddc | 510 | |
| dc.title | Root parametrized differential equations | eng |
| dc.type | Dissertation | |
| dcterms.abstract | The present thesis is about the inverse problem in differential Galois Theory. Given a differential field, the inverse problem asks which linear algebraic groups can be realized as differential Galois groups of Picard-Vessiot extensions of this field.
In this thesis we will concentrate on the realization of the classical groups as differential Galois groups. We introduce a method for a very general realization of these groups. This means that we present for the classical groups of Lie rank $l$ explicit linear differential equations where the coefficients are differential polynomials in $l$ differential indeterminates over an algebraically closed field of constants $C$, i.e. our differential ground field is purely differential transcendental over the constants.
For the groups of type $A_l$, $B_l$, $C_l$, $D_l$ and $G_2$ we managed to do these realizations at the same time in terms of Abhyankar's program 'Nice Equations for Nice Groups'. Here the choice of the defining matrix is important. We found out that an educated choice of $l$ negative roots for the parametrization together with the positive simple roots leads to a nice differential equation and at the same time defines a sufficiently general element of the Lie algebra. Unfortunately for the groups of type $F_4$ and $E_6$ the linear differential equations for such elements are of enormous length. Therefore we keep in the case of $F_4$ and $E_6$ the defining matrix differential equation which has also an easy and nice shape.
The basic idea for the realization is the application of an upper and lower bound criterion for the differential Galois group to our parameter equations and to show that both bounds coincide. An upper and lower bound criterion can be found in literature. Here we will only use the upper bound, since for the application of the lower bound criterion an important condition has to be satisfied. If the differential ground field is $C_1$, e.g., $C(z)$ with standard derivation, this condition is automatically satisfied. Since our differential ground field is purely differential transcendental over $C$, we have no information whether this condition holds or not.
The main part of this thesis is the development of an alternative lower bound criterion and its application. We introduce the specialization bound. It states that the differential Galois group of a specialization of the parameter equation is contained in the differential Galois group of the parameter equation. Thus for its application we need a differential equation over $C(z)$ with given differential Galois group. A modification of a result from Mitschi and Singer yields such an equation over $C(z)$ up to differential conjugation, i.e. up to transformation to the required shape. The transformation of their equation to a specialization of our parameter equation is done for each of the above groups in the respective transformation lemma. | eng |
| dcterms.abstract | Die vorliegende Arbeit handelt vom inversen Problem in der Differentialgaloistheorie. Generell beschäftigt sich das inverse Problem mit der Frage, welche linearen algebraischen Gruppen als Differentialgaloisgruppen einer Picard-Vessiot-Erweiterung für einen gegebenen Differentialkörper realisiert werden können.
In dieser Arbeit werden wir uns auf die Realisierung der klassischen Gruppen vom Lie Typ als Differentialgaloisgruppen konzentrieren. Wir entwickeln hierzu eine Methode, mittels deren Hilfe wir eine sehr allgemeine Realisierung dieser Gruppen erreichen. Dies bedeutet, dass wir für die klassischen Gruppen vom Lie Rang $l$ explizite lineare Differentialgleichungen angeben, wobei die Koeffizienten Differentialpolynome in $l$ Differentialunbestimmten über einen algebraisch abgeschlossenen Konstantenkörper $C$ sind, d.h. der hier verwendete Differentialgrundkörper ist rein differentialtranszendent über den Konstanten.
Gleichzeitig gelingt es uns, für die Gruppen vom Lie Typ $A_l$, $B_l$, $C_l$, $D_l$ und $G_2$ die Differentialgleichungen im Sinne von Abhyankars berühmter Reihe „Nice Equations for Nice Groups“ zu konstruieren. Hierzu haben wir herausgefunden, dass eine geschickte Wahl von $l$ negativen Wurzeln zusammen mit den positiven einfachen Wurzeln zu einer schönen und einfachen Differentialgleichung führt und gleichzeitig eine genügend allgemeine Matrix in der Lie Algebra definiert. Diese Wahl führt leider für die Gruppen vom Typ $F_4$ und $E_6$ zu langen linearen Differentialgleichungen mit komplizierten Koeffizienten. Daher behalten wir für diese Gruppen die Matrixdifferentialgleichungen bei, die eine ebenso schöne wie einfache Form besitzen.
Die grundlegende Idee für die Realisierung besteht darin, ein oberes und unteres Schrankenkriterium für die Differentialgaloisgruppe auf unsere Parametergleichungen anzuwenden und zu zeigen, dass beide Schranken übereinstimmen. In der Literatur kann man beide Schrankenkriterien finden. Wir werden hier nur die obere Schranke verwenden, denn um das untere Schrankenkriterium aus der Literatur anwenden zu können, muss eine wichtige Voraussetzung erfüllt sein. Diese Voraussetzung gilt automatisch, wenn der Differentialgrundkörper ein $C_1$-Körper ist, wie z. B. im Fall des rationalen Funktionenkörpers $C(z)$ mit Standardderivation. Da wir einen rein differentialtranszendenten Differentialgrundkörper verwenden, haben wir keine Information, ob die obige Voraussetzung erfüllt ist oder nicht.
Der Hauptteil dieser Arbeit umfasst die Entwicklung eines alternativen unteren Schrankenkriteriums und dessen Anwendung auf die einzelnen Gruppen. Wir führen die Spezialisierungsschranke ein. Sie besagt, dass die Differentialgaloisgruppe einer Spezialisierung der Parametergleichung nach $C(z)$ in der Differentialgaloisgruppe der Parametergleichung enthalten ist. Für die Anwendung der Spezialisierungsschranke benötigen wir also eine Differentialgleichung von entsprechender Gestalt über $C(z)$ mit vorgegebener Differentialgaloisgruppe. Eine solche Gleichung liefert bis auf Differentialkonjugation, d.h. bis auf Transformation auf die gewünschte Gestalt, eine Modifikation eines Ergebnisses nach Mitschi und Singer. Die Transformation ihrer Gleichung auf eine Spezialisierung unserer Parametergleichung wird für die jeweiligen Gruppen im Transformationslemma durchgeführt. | ger |
| dcterms.accessRights | open access | |
| dcterms.creator | Seiß, Matthias | |
| dc.contributor.corporatename | Kassel, Univ., Fachbereich 10, Mathematik und Naturwissenschaften, Institut für Mathematik | |
| dc.contributor.referee | Seiler, Werner M. (Prof. Dr.) | |
| dc.contributor.referee | Matzat, B. H. (Prof. Dr.) | |
| dc.subject.msc | 12H05 | ger |
| dc.subject.msc | 34M50 | ger |
| dc.subject.swd | Lie-Typ-Gruppe | ger |
| dc.subject.swd | Differential-Galois-Theorie | ger |
| dc.subject.swd | Inverses Problem | ger |
| dc.subject.swd | Differentialalgebra | ger |
| dc.subject.swd | Picard-Vessiot-Erweiterung | ger |
| dc.date.examination | 2011-12-09 | |
