Consistency and Computation
| dc.date.accessioned | 2022-08-15T05:02:00Z | |
| dc.date.available | 2022-08-15T05:02:00Z | |
| dc.date.issued | 2022 | |
| dc.identifier | doi:10.17170/kobra-202208056581 | |
| dc.identifier.uri | http://hdl.handle.net/123456789/14054 | |
| dc.language.iso | eng | |
| dc.rights | Namensnennung 4.0 International | * |
| dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ | * |
| dc.subject.ddc | 100 | |
| dc.title | Consistency and Computation | eng |
| dc.type | Dissertation | |
| dcterms.abstract | The diagonal arguments by Cantor, Gödel and Turing constitute fundamental results that demonstrate limits to what is mathematically possible. These results can easily appear to us as limits that must hold, as if they were laws of nature that govern the ideal world of platonic numbers and logic, giving them an “ultraphysical” appearance of rigidity and hardness. In all three cases, Wittgenstein critically examines the formal ideal of consistency and points out that the conclusions of the diagonal arguments only seem inevitable if we are not prepared to accept the contradictory result of the diagonalisation as an object in the formal system. Wittgenstein’s intent is not to advocate for a trivialist or paraconsistent treatment of inconsistency, since such an interpretation of the mathematical results would be just as dogmatic and philosophically one-sided as the interpretations that Wittgenstein is critically examining. From his perspective, consistency is not an ideal in and of itself, but merely a principle that has proven itself so useful in a large variety of language games that we accept it as an unquestioned rule even in cases where the situation is radically different. In Wittgenstein’s philosophy of mathematics, the actual language games that might appear to act only as examples or as motivation for their later formalisation are not merely primitive secondary stimuli for the primary formal system, they are instead essential for an understanding of the formal system to begin with, because the actual language games in all their variety lead to a surveyable representation of our concepts in a way that does not reveal itself by merely considering the uniform treatment in the formal system. Wittgenstein’s investigation of the three diagonal arguments shows what is at stake in these particular proofs: Although the mathematical proofs themselves are perfectly valid, we have the tendency to interpret them not as merely demonstrating logical impossibilities, but as “ultraphysical” impossibilities, comparable to laws of nature, governing the ideal realm of mathematics. Such a misleading picture is the result of a “one-sided diet”, because we lack surveyability: We fail to grasp the concepts in all their various uses and in the context of how they fit into our form of life. The antidote is to describe them in a surveyable representation, sometimes by imagining different forms of life. | eng |
| dcterms.abstract | Die Diagonalargumente von Cantor, Gödel und Turing sind grundlegende Ergebnisse, die die Grenzen des mathematisch Möglichen aufzeigen. Diese Ergebnisse können leicht als Schranken erscheinen, die gelten müssen, als wären sie Naturgesetze, die die ideale Welt der platonischen Zahlen und der Logik regieren, wodurch sie den “ultraphysischen” Anschein von Starrheit und Härte erhalten. In allen drei Fällen setzt sich Wittgenstein kritisch mit dem formalen Ideal der Konsistenz auseinander und weist darauf hin, dass die Schlussfolgerungen der Diagonalargumente nur dann unausweichlich erscheinen, wenn wir nicht bereit sind, das widersprüchliche Ergebnis der Diagonalisierung als Gegenstand des formalen Systems zu akzeptieren. Wittgenstein will nicht für eine trivialistische oder parakonsistente Behandlung der Inkonsistenz eintreten, da eine solche Interpretation der mathematischen Ergebnisse so dogmatisch und philosophisch einseitig wäre wie die von Wittgenstein kritisch hinterfragten Interpretationen. Aus seiner Sicht ist Konsistenz kein Ideal an sich, sondern lediglich ein Prinzip, das sich in einer Vielzahl von Sprachspielen als so nützlich erwiesen hat, dass wir es als unhinterfragte Regel auch in Fällen akzeptieren, in denen die Situation radikal anders ist. In Wittgensteins Philosophie der Mathematik sind die konkreten Sprachspiele, die nur als Beispiele oder als Motivation für ihre spätere Formalisierung zu dienen scheinen, nicht bloß primitive Sekundärreize für das primäre formale System, sondern sie sind für das Verständnis des formalen Systems überhaupt erst wesentlich, weil die konkreten Sprachspiele in ihrer ganzen Vielfalt zu einer übersichtlichen Darstellung unserer Begriffe in einer Weise führen, die sich bei bloßer Betrachtung der einheitlichen Behandlung im formalen System nicht erschließt. Wittgensteins Untersuchung der drei Diagonalargumente zeigt uns, was in diesen besonderen Beweisen auf dem Spiel steht: Obwohl die mathematischen Beweise selbst vollkommen valide sind, neigen wir dazu, sie nicht als bloße Demonstration logischer Unmöglichkeiten zu interpretieren, sondern als “ultraphysische” Unmöglichkeiten, vergleichbar mit Naturgesetzen, die das ideale Reich der Mathematik regieren. Ein solch irreführendes Bild ist das Ergebnis einer “einseitigen Diät”, da uns Übersichtlichkeit fehlt: Wir begreifen die Begriffe nicht in all ihren verschiedenen Verwendungen und vor dem Kontext, wie sie in unsere Lebensform passen. Das Gegenmittel ist eine Beschreibung mithilfe einer übersichtlichen Darstellung, manchmal dadurch, dass man sich andere Lebensformen vorstellt. | ger |
| dcterms.accessRights | open access | |
| dcterms.creator | Kettelhoit, Frederic | |
| dcterms.dateAccepted | 2022-07-06 | |
| dcterms.extent | ix, 297 Seiten | |
| dc.contributor.corporatename | Kassel, Universität Kassel Fachbereich Geistes- und Kulturwissenschaften | |
| dc.subject.swd | Philosophie | ger |
| dc.subject.swd | Naturphilosophie | ger |
| dc.subject.swd | Mathematik | ger |
| dc.subject.swd | Wittgenstein, Ludwig | ger |
| dc.title.subtitle | Wittgenstein on the Diagonal Argument | eng |
| dc.type.version | publishedVersion | |
| kup.iskup | false | |
| ubks.epflicht | true |
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