Datum
2011-11-09Metadata
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Dissertation
Uniformisierbarkeit in Familien von abelschen t-Moduln höheren Ranges
Zusammenfassung
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie sich in einer Familie von abelschen t-Moduln die Teilfamilie der uniformisierbaren t-Moduln beschreiben lässt. Abelsche t-Moduln sind höherdimensionale Verallgemeinerungen von Drinfeld-Moduln über algebraischen Funktionenkörpern. Bekanntermaßen lassen sich Drinfeld-Moduln in allgemeiner Charakteristik durch analytische Tori parametrisieren. Diese Tatsache überträgt sich allerdings nur auf manche t-Moduln, die man als uniformisierbar bezeichnet.
Die Situation hat eine gewisse Analogie zur Theorie von elliptischen Kurven, Tori und abelschen Varietäten über den komplexen Zahlen. Um zu entscheiden, ob ein t-Modul in diesem Sinne uniformisierbar ist, wendet man ein Kriterium von Anderson an, das die rigide analytische Trivialität der zugehörigen t-Motive zum Inhalt hat.
Wir wenden dieses Kriterium auf eine Familie von zweidimensionalen t-Moduln vom Rang vier an, die von Koeffizienten a,b,c,d abhängen, und gelangen dabei zur äquivalenten Fragestellung nach der Konvergenz von gewissen rekursiv definierten Folgen. Das Konvergenzverhalten dieser Folgen lässt sich mit Hilfe von Newtonpolygonen gut untersuchen. Schließlich erhält man durch dieses Vorgehen einfach formulierte Bedingungen an die Koeffizienten a,b,c,d, die einerseits die Uniformisierbarkeit garantieren oder andererseits diese ausschließen.
Die Situation hat eine gewisse Analogie zur Theorie von elliptischen Kurven, Tori und abelschen Varietäten über den komplexen Zahlen. Um zu entscheiden, ob ein t-Modul in diesem Sinne uniformisierbar ist, wendet man ein Kriterium von Anderson an, das die rigide analytische Trivialität der zugehörigen t-Motive zum Inhalt hat.
Wir wenden dieses Kriterium auf eine Familie von zweidimensionalen t-Moduln vom Rang vier an, die von Koeffizienten a,b,c,d abhängen, und gelangen dabei zur äquivalenten Fragestellung nach der Konvergenz von gewissen rekursiv definierten Folgen. Das Konvergenzverhalten dieser Folgen lässt sich mit Hilfe von Newtonpolygonen gut untersuchen. Schließlich erhält man durch dieses Vorgehen einfach formulierte Bedingungen an die Koeffizienten a,b,c,d, die einerseits die Uniformisierbarkeit garantieren oder andererseits diese ausschließen.
This thesis deals with the question how to describe the uniformizable part in a family of abelian t-modules. Abelian t-moduls are the higher dimensional analogue of Drinfeld modules over algebraic function fields. It is a well known fact that Drinfeld modules in generic characteristic are parametrized by analytic tori. This can only be generalized to some t-modules, which are called uniformizable.
The situation is similar to the theory of elliptic curves, tori and abelian varieties over the complex numbers. To decide whether a t-module is in this sense uniformizable one uses a criterion of Anderson, which says that a t-module is uniformizable if and only if his t-Motiv is rigid analytic trivial.
We apply this criterion to a familiy of t-modules of dimension two and rank four which are described by coefficients a,b,c,d. We get to the equivalent question of the convergence of a certain kind recursive defined sequences. The convergence behaviour of these sequences is studied using the theory of Newton polygons. In the end one gets simple conditions on the coefficients a,b,c,d, which guarantee uniformizability on the one hand or exclude it on the other hand.
The situation is similar to the theory of elliptic curves, tori and abelian varieties over the complex numbers. To decide whether a t-module is in this sense uniformizable one uses a criterion of Anderson, which says that a t-module is uniformizable if and only if his t-Motiv is rigid analytic trivial.
We apply this criterion to a familiy of t-modules of dimension two and rank four which are described by coefficients a,b,c,d. We get to the equivalent question of the convergence of a certain kind recursive defined sequences. The convergence behaviour of these sequences is studied using the theory of Newton polygons. In the end one gets simple conditions on the coefficients a,b,c,d, which guarantee uniformizability on the one hand or exclude it on the other hand.