Dissertation
Elimination in Operator Algebras
Abstract
A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied.
Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals.
In this work, we mainly achieve the following:
1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions.
2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions.
3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.
Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals.
In this work, we mainly achieve the following:
1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions.
2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions.
3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.
Viele spezielle Funktionen sind Lösungen linearer Differenzen- und Differentialgleichungssysteme mit polynomialen Koeffizienten. Für eine gegebene Funktion erzeugen diese Gleichungen, betrachtet als Operatorpolynome, ein Linksideal in einer nicht-kommutativen Algebra, genannt Ore-Algebra. Dieses Ideal zusammen mit endlich vielen Anfangswerten charakterisiert die Funktion eindeutig und auf dieses Objekt sind Gröbner-Basen-Techniken anwendbar.
Viele Fragestellungen in Bezug auf spezielle Funktionen, die sich durch obige Ideale beschreiben lassen, können durch Elimination geeigneter nicht-kommutativer Variablen in diesem Ideal gelöst werden.
Diese Dissertation liefert einen Forschungsbeitrag zu folgenden Themen:
1. Es wird ein Überblick über den theoretischen algebraischen Hintergrund gegeben sowie über algorithmische Aspekte verschiedener Methoden, die Gröbner-Eliminationsverfahren in Ore-Algebren verwenden, um Probleme bezüglich spezieller Funktionen zu lösen.
2. Es werden in ausführliche Weise Algorithmen präsentiert, die auf Gröbner-Eliminationsverfahren basieren und die das „Creative telescoping“-Verfahren für Summen und Integrale spezieller Funktionen durchführen.
3. Alle beschriebenen Algorithmen werden untersucht und anhand erklärender Beispielen in dem Computeralgebrasystem Maple miteinander verglichen. Das Ziel dieser Untersuchung war herauszufinden, inwieweit nicht-kommutative Gröbner-Eliminationsverfahren effizient angewendet werden können, um „Creative telescoping“ durchzuführen.
Viele Fragestellungen in Bezug auf spezielle Funktionen, die sich durch obige Ideale beschreiben lassen, können durch Elimination geeigneter nicht-kommutativer Variablen in diesem Ideal gelöst werden.
Diese Dissertation liefert einen Forschungsbeitrag zu folgenden Themen:
1. Es wird ein Überblick über den theoretischen algebraischen Hintergrund gegeben sowie über algorithmische Aspekte verschiedener Methoden, die Gröbner-Eliminationsverfahren in Ore-Algebren verwenden, um Probleme bezüglich spezieller Funktionen zu lösen.
2. Es werden in ausführliche Weise Algorithmen präsentiert, die auf Gröbner-Eliminationsverfahren basieren und die das „Creative telescoping“-Verfahren für Summen und Integrale spezieller Funktionen durchführen.
3. Alle beschriebenen Algorithmen werden untersucht und anhand erklärender Beispielen in dem Computeralgebrasystem Maple miteinander verglichen. Das Ziel dieser Untersuchung war herauszufinden, inwieweit nicht-kommutative Gröbner-Eliminationsverfahren effizient angewendet werden können, um „Creative telescoping“ durchzuführen.