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dc.date.accessioned2016-11-02T07:46:48Z
dc.date.available2016-11-02T07:46:48Z
dc.date.issued2016-11-02
dc.identifier.uriurn:nbn:de:hebis:34-2016110251238
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/123456789/2016110251238
dc.language.isoeng
dc.rightsUrheberrechtlich geschützt
dc.rights.urihttps://rightsstatements.org/page/InC/1.0/
dc.subjectInvolutive Baseseng
dc.subjectBetti Numberseng
dc.subjectAlgebraic Morse Theoryeng
dc.subjectVeronese Subringseng
dc.subjectFree resolutionseng
dc.subjectPommaret Baseseng
dc.subjectHyperplane Restriction Theoremeng
dc.subject.ddc510
dc.titleFree Resolutions from Involutive Baseseng
dc.typeDissertation
dcterms.abstractWe show that the theory of involutive bases can be combined with discrete algebraic Morse Theory. For a graded k[x0 ...,xn]-module M, this yields a free resolution G, which in general is not minimal. We see that G is isomorphic to the resolution induced by an involutive basis. It is possible to identify involutive bases inside the resolution G. The shape of G is given by a concrete description. Regarding the differential dG, several rules are established for its computation, which are based on the fact that in the computation of dG certain patterns appear at several positions. In particular, it is possible to compute the constants independent of the remainder of the differential. This allows us, starting from G, to determine the Betti numbers of M without computing a minimal free resolution: Thus we obtain a new algorithm to compute Betti numbers. This algorithm has been implemented in CoCoALib by Mario Albert. This way, in comparison to some other computer algebra system, Betti numbers can be computed faster in most of the examples we have considered. For Veronese subrings S(d), we have found a Pommaret basis, which yields new proofs for some known properties of these rings. Via the theoretical statements found for G, we can identify some generators of modules in G where no constants appear. As a direct consequence, some non-vanishing Betti numbers of S(d) can be given. Finally, we give a proof of the Hyperplane Restriction Theorem with the help of Pommaret bases. This part is largely independent of the other parts of this work.eng
dcterms.abstractWir zeigen, dass sich die Theorie involutiver Basen mit diskreter algebraischer Morse-Theorie kombinieren lässt. Für einen graduierten k[x0,..., xn]-Modul M ergibt sich daraus eine freie Auflösung G, die im Allgemeinen nicht minimal ist. Es zeigt sich, dass G isomorph zu der Auflösung ist, die durch involutive Bases induziert wird. In der Auflösung G können ebenfalls involutive Basen identifiziert werden. Die Form von G wird konkret beschrieben. Für das Differential dG werden diverse Rechenregeln etabliert, die darauf beruhen, dass bei der Berechnung von dG diverse Muster an verschiedenen Stellen auftreten. Insbesondere ist die Berechnung der Konstanten unabhängig vom Rest des Differentials möglich. Diese Tatsache erlaubt es, ausgehend von G, die Betti-Zahlen vonMzu berechnen, ohne eine minimale freie Auflösung berechnen zu müssen: Daraus ergibt sich ein neuer Algorithmus zur Berechnung von Betti-Zahlen. Dieser Algorithmus wurde von Mario Albert in CoCoALib implementiert. Im Vergleich mit einigen anderen mputeralgebrasystemen können so in den meisten betrachteten Beispielen die Betti-Zahlen schneller berechnet werden. Für Veronese-Unterringe S(d) haben wir eine Pommaret-Basis gefunden, woraus sich neue Beweise für einige bekannte Eigenschaften dieser Ringe ergeben. Mittels der zu G gefundenen theoretischen Aussagen können durch diese Betti-Zahlen einige Erzeuger von Moduln in G (für Veronese-Unterringe) identifiziert werden, bei denen keine Konstanten auftreten. Als direkte Konsequenz lassen sich einige nicht-verschwindende Betti-Zahlen von S(d) angeben. Zum Abschluss geben wir noch einen Beweis des Hyperplane Restriction Theorems mit Hilfe von Pommaret-Basen.ger
dcterms.accessRightsopen access
dcterms.creatorFetzer, Matthias
dc.contributor.corporatenameKassel, Universität Kassel, Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften, Institut für Mathematik
dc.contributor.refereeSeiler, Werner M. (Prof. Dr.)
dc.contributor.refereeRück, Hans-Georg (Prof.Dr.)
dc.subject.msc13P10ger
dc.subject.msc13P20ger
dc.subject.msc13D02ger
dc.subject.swdAlgebrager
dc.subject.swdDiskrete Morse-Theorieger
dc.subject.swdGröbner-Basisger
dc.subject.swdBetti-Zahlger
dc.date.examination2016-10-17


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