Ein diskontinuierliches Galerkin-Verfahren hoher Ordnung auf Dreiecksgittern mit modaler Filterung zur Lösung hyperbolischer Erhaltungsgleichungen

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung diskontinuierlicher Galerkin-Verfahren zur numerischen Lösung hyperbolischer Erhaltungsgleichungen. Diese Klasse zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen stellt besondere Anforderungen an ein zur approximativen Berechnung ihrer L¨osungen ausgew¨ahltes numerisches Verfahren, da die Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen abweichend vom klassischen Lösungsbegriff unstetige Lösungen zulässt. Hinzu kommt, dass die Eindeutigkeit dieser Lösungen im Allgemeinen nur durch das Aufstellen zusätzlicher Entropiebedingungen gewährleistet werden kann. Während numerische Verfahren erster Ordnung dazu neigen, Sprungunstetigkeiten der exakten Lösung zu verschmieren, reagieren Verfahren höherer Ordnung ohne an die spezielle Situation hyperbolischer Erhaltungsgleichungen angepasste zusätzliche Dämpfungsmechanismen mit der Ausbildung unphysikalischer Oszillationen in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsstellen. Da diese Oszillationen in Kombination mit der Nichtlinearität der Gleichungen die Stabilität des numerischen Verfahrens gefährden können, werden in der Literatur verschiedene zusätzliche Dämpfungsmechanismen vorgeschlagen, die auf die konkrete gewählte Verfahrensklasse ausgerichtet sind.