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Numerical analysis of invariant manifolds characterized by quasi-periodic oscillations of nonlinear systems
Abstract
Quasi-periodic motions systematically occur, when a system is subjected to multiple unrelated excitation mechanisms. Since unrelated mechanisms generically exhibit in dependent frequencies, the resulting motion is characterized by multiple fundamental frequencies. Consequently, the resulting motion is not periodic, but, due to the inde pendent frequencies, sort of periodic, namely quasi-periodic. Not being able to identify one unique fundamental frequency, established methods for the identification of periodic motions are impracticable. In order to calculate and analyze a quasi-periodic motion, approaches to the invariant toroidal manifold, which is the hull of a quasi-periodic motion, are utilized. This thesis provides the theoretical frameworks for the developed analyzing program Quont, which is capable of calculating, analyzing and continuing quasi-periodic motions of arbitrary dynamical systems.
Introductory, the theoretical fundamentals of quasi-periodic motions are discussed and the connections between a quasi-periodic motion and an invariant toroidal manifold are explained. Furthermore, possible transition scenarios between periodic and quasi-periodic motions are examined, since these are often encountered in engineering applications. Two conceptually different equations to describe invariant toroidal manifolds are derived and analyzed, from which the hyper-time invariance equation is the superior approach to engineering systems. Having identified the governing equation, three numerical approaches to solve the hyper-time invariance equation are introduced, the multi-dimensional Fourier-Galerkin method, the finite difference method and a shooting method for quasi-periodic motions. From these, the shooting method represents a new approach developed within this thesis. Once the governing equation is solved, an invariant quasi-periodic motion is established. The sole knowledge of stationary motions is often insufficient in applications and the stability property is sought. Two approaches to the stability identification of quasi-periodic motions are developed in this thesis, a spatial and a temporal one. From both, the temporal approach is generally applicable and highly efficient, by which it is implemented in Quont. In order to verify and validate Quont, different nonlinear dynamical systems with varying complexity are analyzed. Regarded systems range from academical examples to a structure abstracted from an engineering application. Multiple new results and phenomena are identified, from which especially the additionally determined stability properties of quasi-periodic motions provide new insides.
Introductory, the theoretical fundamentals of quasi-periodic motions are discussed and the connections between a quasi-periodic motion and an invariant toroidal manifold are explained. Furthermore, possible transition scenarios between periodic and quasi-periodic motions are examined, since these are often encountered in engineering applications. Two conceptually different equations to describe invariant toroidal manifolds are derived and analyzed, from which the hyper-time invariance equation is the superior approach to engineering systems. Having identified the governing equation, three numerical approaches to solve the hyper-time invariance equation are introduced, the multi-dimensional Fourier-Galerkin method, the finite difference method and a shooting method for quasi-periodic motions. From these, the shooting method represents a new approach developed within this thesis. Once the governing equation is solved, an invariant quasi-periodic motion is established. The sole knowledge of stationary motions is often insufficient in applications and the stability property is sought. Two approaches to the stability identification of quasi-periodic motions are developed in this thesis, a spatial and a temporal one. From both, the temporal approach is generally applicable and highly efficient, by which it is implemented in Quont. In order to verify and validate Quont, different nonlinear dynamical systems with varying complexity are analyzed. Regarded systems range from academical examples to a structure abstracted from an engineering application. Multiple new results and phenomena are identified, from which especially the additionally determined stability properties of quasi-periodic motions provide new insides.
Quasi-periodische Bewegungen treten systematisch auf, wenn ein System mehreren unabhängigen Anregungsmechanismen unterworfen wird. Da unabhängige Mechanismen in der Regel unabhängige Frequenzen aufweisen, ist die resultierende Bewegung durch mehrere Grundfrequenzen charakterisiert. Folglich ist die resultierende Bewegung nicht periodisch, aber aufgrund der unabhängigen Frequenzen gewissermaßen periodisch, nämlich quasi-periodisch. Da es nicht möglich ist, eine einzige Grundfrequenz zu identifizieren, sind etablierte Methoden zur Identifizierung periodischer Bewegungen nicht anwendbar. Um eine quasi-periodische Bewegung zu berechnen und zu analysieren, werden Ansätze für die invariante toroidale Mannigfaltigkeit, welche die abgeschlossene Hülle einer quasi-periodischen Bewegung ist, verwendet. In diese Arbeit wird die zugrundeliegende Theorie, welche für das entwickelte Analyseprogramm Quont verwendet wird diskutiert. Dieses ist in der Lage quasi-periodische Bewegungen beliebiger dynamischer Systeme zu berechnen, zu analysieren und zu verfolgen. Einleitend werden die theoretischen Grundlagen quasi-periodischer Bewegungen erörtert und die Zusammenhänge zwischen einer quasi-periodischen Bewegung und einer invarianten toroidalen Mannigfaltigkeit erläutert. Weiterhin werden mögliche Übergangsszenarien zwischen periodischen und quasi-periodischen Bewegungen untersucht, da diese in technischen Anwendungen häufig auftreten. Zwei konzeptionell unterschiedliche Gleichungen zur Beschreibung invarianter toroidaler Mannigfaltigkeiten werden hergeleitet und analysiert, von denen die Hyperzeit-Invarianz-Gleichung der geeignetere Ansatz für technische Anwendungen ist. Nachdem die beschreibende Gleichung identifiziert wurde, werden drei numerische Ansätze zur Lösung der Hyperzeit-Invarianz-Gleichung vorgestellt, die multidimensionale Fourier-Galerkin-Methode, die Finite-Differenzen-Methode und ein Schießverfahren für quasi-periodische Bewegungen. Hier bei stellt das Schießverfahren einen neuen Ansatz dar, der im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wird. Wird die Hyperzeit-Invarianz-Gleichung gelöst, kann lediglich eine invariante quasi-periodische Bewegung identifiziert werden. Die ausschließliche Kenntnis einer stationären Bewegung ist in Anwendungen oft nicht, da zusätzlich die Stabilitätseigenschaft benötigt wird. In dieser Arbeit werden zwei Ansätze zur Bestimmung der Stabilität von quasi-periodischen Bewegungen entwickelt, ein räumlicher und ein zeitlicher. Von beiden Ansätzen ist der zeitliche Ansatz allgemein anwendbar und hoch effizient, weshalb er für Quont genutzt wird. Um Quont zu verifizieren und zu validieren, werden verschiedene nichtlineare dynamische Systeme mit unterschiedlichem Komplexitätsgrad analysiert. Die betrachteten Systeme reichen von akademischen Beispielen bis hin zu einer Struktur, die aus einer technischen Anwendung abstrahiert wird. Es wer den zahlreiche neue Ergebnisse präsentiert und Phänomene identifiziert, von denen vor allem die zusätzlich ermittelten Stabilitätseigenschaften quasi-periodischer Bewegungen neue Erkenntnisse liefern.
Additional Information
Zugleich: Dissertation, Universität Kassel, 2021Druckausgabe
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Citation
@book{doi:10.17170/kobra-202104083633,
author={Fiedler, Robert},
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4170 Berichte des Instituts für Mechanik ;; 1/2021
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Since unrelated mechanisms generically exhibit in dependent frequencies, the resulting motion is characterized by multiple fundamental frequencies. Consequently, the resulting motion is not periodic, but, due to the inde pendent frequencies, sort of periodic, namely quasi-periodic. Not being able to identify one unique fundamental frequency, established methods for the identification of periodic motions are impracticable. In order to calculate and analyze a quasi-periodic motion, approaches to the invariant toroidal manifold, which is the hull of a quasi-periodic motion, are utilized. This thesis provides the theoretical frameworks for the developed analyzing program Quont, which is capable of calculating, analyzing and continuing quasi-periodic motions of arbitrary dynamical systems. Introductory, the theoretical fundamentals of quasi-periodic motions are discussed and the connections between a quasi-periodic motion and an invariant toroidal manifold are explained. Furthermore, possible transition scenarios between periodic and quasi-periodic motions are examined, since these are often encountered in engineering applications. Two conceptually different equations to describe invariant toroidal manifolds are derived and analyzed, from which the hyper-time invariance equation is the superior approach to engineering systems. Having identified the governing equation, three numerical approaches to solve the hyper-time invariance equation are introduced, the multi-dimensional Fourier-Galerkin method, the finite difference method and a shooting method for quasi-periodic motions. From these, the shooting method represents a new approach developed within this thesis. Once the governing equation is solved, an invariant quasi-periodic motion is established. The sole knowledge of stationary motions is often insufficient in applications and the stability property is sought. Two approaches to the stability identification of quasi-periodic motions are developed in this thesis, a spatial and a temporal one. From both, the temporal approach is generally applicable and highly efficient, by which it is implemented in Quont. In order to verify and validate Quont, different nonlinear dynamical systems with varying complexity are analyzed. Regarded systems range from academical examples to a structure abstracted from an engineering application. Multiple new results and phenomena are identified, from which especially the additionally determined stability properties of quasi-periodic motions provide new insides. Quasi-periodische Bewegungen treten systematisch auf, wenn ein System mehreren unabhängigen Anregungsmechanismen unterworfen wird. Da unabhängige Mechanismen in der Regel unabhängige Frequenzen aufweisen, ist die resultierende Bewegung durch mehrere Grundfrequenzen charakterisiert. Folglich ist die resultierende Bewegung nicht periodisch, aber aufgrund der unabhängigen Frequenzen gewissermaßen periodisch, nämlich quasi-periodisch. Da es nicht möglich ist, eine einzige Grundfrequenz zu identifizieren, sind etablierte Methoden zur Identifizierung periodischer Bewegungen nicht anwendbar. Um eine quasi-periodische Bewegung zu berechnen und zu analysieren, werden Ansätze für die invariante toroidale Mannigfaltigkeit, welche die abgeschlossene Hülle einer quasi-periodischen Bewegung ist, verwendet. In diese Arbeit wird die zugrundeliegende Theorie, welche für das entwickelte Analyseprogramm Quont verwendet wird diskutiert. Dieses ist in der Lage quasi-periodische Bewegungen beliebiger dynamischer Systeme zu berechnen, zu analysieren und zu verfolgen. Einleitend werden die theoretischen Grundlagen quasi-periodischer Bewegungen erörtert und die Zusammenhänge zwischen einer quasi-periodischen Bewegung und einer invarianten toroidalen Mannigfaltigkeit erläutert. Weiterhin werden mögliche Übergangsszenarien zwischen periodischen und quasi-periodischen Bewegungen untersucht, da diese in technischen Anwendungen häufig auftreten. Zwei konzeptionell unterschiedliche Gleichungen zur Beschreibung invarianter toroidaler Mannigfaltigkeiten werden hergeleitet und analysiert, von denen die Hyperzeit-Invarianz-Gleichung der geeignetere Ansatz für technische Anwendungen ist. Nachdem die beschreibende Gleichung identifiziert wurde, werden drei numerische Ansätze zur Lösung der Hyperzeit-Invarianz-Gleichung vorgestellt, die multidimensionale Fourier-Galerkin-Methode, die Finite-Differenzen-Methode und ein Schießverfahren für quasi-periodische Bewegungen. Hier bei stellt das Schießverfahren einen neuen Ansatz dar, der im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wird. Wird die Hyperzeit-Invarianz-Gleichung gelöst, kann lediglich eine invariante quasi-periodische Bewegung identifiziert werden. Die ausschließliche Kenntnis einer stationären Bewegung ist in Anwendungen oft nicht, da zusätzlich die Stabilitätseigenschaft benötigt wird. In dieser Arbeit werden zwei Ansätze zur Bestimmung der Stabilität von quasi-periodischen Bewegungen entwickelt, ein räumlicher und ein zeitlicher. Von beiden Ansätzen ist der zeitliche Ansatz allgemein anwendbar und hoch effizient, weshalb er für Quont genutzt wird. Um Quont zu verifizieren und zu validieren, werden verschiedene nichtlineare dynamische Systeme mit unterschiedlichem Komplexitätsgrad analysiert. Die betrachteten Systeme reichen von akademischen Beispielen bis hin zu einer Struktur, die aus einer technischen Anwendung abstrahiert wird. Es wer den zahlreiche neue Ergebnisse präsentiert und Phänomene identifiziert, von denen vor allem die zusätzlich ermittelten Stabilitätseigenschaften quasi-periodischer Bewegungen neue Erkenntnisse liefern. open access Fiedler, Robert 2021-04-21 xiv, 226 Seiten Berichte des Instituts für Mechanik ;; 1/2021 Kassel, Universität Kassel, Fachbereich Maschinenbau Hetzler, Hartmus (Prof. Dr.) Dohnal, Fadi (Prof. Dr.) Kassel 978-3-7376-0948-7 Finite-Differenzen-Methode Fourier-Reihe Oszillation <Mathematik> publishedVersion Berichte des Instituts für Mechanik 1/2021 true 39,00 Berichte des Instituts für Mechanik Naturwissenschaft, Technik, Informatik, Medizin Dissertation FB 15 / Maschinenbau Softcover DIN A5 true </resource>
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